Seconde 4 IE7 probabilités Sujet 1 2011-2012

Seconde 4
IE7 probabilités
Sujet 1 2011-2012
Exercice 1: (4 points)
On écrit chacune des lettres du mot TAUX sur un carton et on place ces quatre cartons dans un sac. On
tire un carton au hasard, puis un second sans remettre le premier dans le sac. On forme ainsi un
assemblage de deux lettres sans répétition de lettre, appelé encore "mot", par exemple TA, AT ou TX.
1) Utiliser un arbre pour déterminer combien de tels mots peuvent ainsi être formés.
2) Soit E l'événement : "le mot obtenu commence par la lettre T" et F l'événement : "le mot
contient deux voyelles". Ecrire les issues qui réalisent E, puis celles qui réalisent E ; même
question pour F et F .
3) Y a-t-il des issues qui réalisent E ∪ F ?
Y a-t-il des issues qui réalisent E ∩ F ?
Exercice 2: (6 points)
Dans le cadre d'une campagne publicitaire, une grande surface organise une loterie.
Le candidat sélectionné pour la phase finale doit tirer au sort, successivement et sans remise, 2
jetons dans une boîte.
La boîte contient 3 jetons blancs, notés B1, B2 et B3 et 1 jeton rouge noté R.
Tous les choix sont équiprobables.
1) A l'aide d'un tableau à double entrée déterminer l'ensemble des couples différents que l'on
peut obtenir.
2) Le règlement de la loterie est le suivant :
• le finaliste gagne le voyage s'il tire le jeton B1 en premier;
• le finaliste gagne l'ordinateur s'il tire deux jetons de couleurs différentes.
Ces deux lots sont cumulables : ainsi le tirage (B1;R) permet de gagner à la fois le voyage et
l'ordinateur.
Enfin si le client ne gagne ni le voyage ni l'ordinateur, il reçoit un bon d'achat de 200 €.
On considère les événements suivants :
• V "le finaliste gagne le voyage";
• O "le finaliste gagne l'ordinateur";
• A "le finaliste gagne le bon d'achat".
a) Calculer p(V), p(O) et p(V ∩ O).
b) Définir par une phrase l'événement V ∪ O, puis calculer sa probabilité.
c) Définir par une phrase l'événement contraire de V ∪ O, puis calculer sa probabilité de deux
manières différentes.
Seconde 4
IE7 probabilités
Sujet 2 2011-2012
Exercice 1: (4 points)
On dispose de quatre cartons sur lesquels on a noté les lettres M, A, T et H. On forme un "mot" de
deux lettres en choisissant au hasard successivement et sans remise deux cartons. Ici "mot" désigne
tout assemblage ayant un sens ou non, par exemple "TH".
1) En s'aidant d'un arbre, déterminer l'ensemble de tous les mots possibles.
2) Ecrire sous forme d''ensembles les événements :
a) E1 : "le mot contient la lettre M".
b) E2 : "le mot contient la lettre A".
3) On considère l'événement "le mot contient la lettre M ou la lettre A".
Décrire cet événement à l'aide de E1 et de E2, puis l'écrire sous la forme d'un ensemble.
4) Reprendre la question 3) avec l'événement "le mot contient la lettre M et la lettre A".
Exercice 2: (6 points)
Une étudiante fabrique chaque semaine un petit stock de bijoux fantaisie qu'elle vend en fin de
semaine afin de s'assurer quelques revenus.
Sa production hebdomadaire de bijoux se répartit comme suit : 20% de boucles d'oreilles, 40% de
colliers et 40% de bracelets. Chaque bijou est réalisé soit en métal argenté, soit en métal doré. 60%
des bijoux fabriqués sont argentés. Elle fabrique autant de colliers argentés que de colliers dorés.
75% des bracelets sont argentés.
1) Reproduire et compléter le tableau de fréquences (en %) par rapport à l'ensemble de la
production suivant :
Colliers
Bracelets
Boucles d'oreille
Total
Argentés
Dorés
Total
20
100
2) Pour se rendre sur le lieu de vente, elle range en général sa production en vrac dans une
mallette. Elle prend au hasard un bijou dans la mallette. On suppose que tous les choix possibles
sont équiprobables.
a) Calculer les probabilités des événements suivants :
• A : "le bijou pris est argenté";
• B : "le bijou pris est un bracelet".
b) Décrire par une phrase l'événement A ∩ B et calculer sa probabilité.
c) Décrire par une phrase l'événement A ∪ B et calculer sa probabilité de deux manières
différentes.
d) Décrire par une phrase l'événement A et calculer sa probabilité.
Seconde 4
IE7 probabilités
CORRECTION
Sujet 1 2011-2012
Exercice 1: (5 points)
On écrit chacune des lettres du mot TAUX sur un carton et on place ces quatre cartons dans un
sac. On tire un carton au hasard, puis un second sans remettre le premier dans le sac. On forme
ainsi un assemblage de deux lettres sans répétition de lettre, appelé encore "mot", par exemple
TA, AT ou TX.
1) Utiliser un arbre pour déterminer combien de tels mots peuvent ainsi être formés.
2) Soit E l'événement : "le mot obtenu commence par la lettre T" et F l'événement : "le mot
contient deux voyelles". Ecrire les issues qui réalisent E, puis celles qui réalisent E ;
même question pour F et F .
3) Y a-t-il des issues qui réalisent E ∪ F ?
Y a-t-il des issues qui réalisent E ∩ F ?
1) On peut former 12 mots :
"TA", "TU", "TX", "AT", "AU", "AX", "UT",
"UA", "UX", "XT", "XA", "XU"
2) Les issues qui réalisent E sont : "TA", "TU" et "TX".
E est l'événement contraire E; il se réalise lorsque E ne se réalise pas.
Les issues qui réalisent E sont : "AT", "AU", "AX", "UT", "UA", "UX", "XT", "XA",
"XU".
Les issues qui réalisent F sont : "AU" et "UA".
F est l'événement contraire F ; il se réalise lorsque F ne se réalise pas.
Les issues qui réalisent F sont : "TA", "TU", "TX", "AT", "AX", "UT", "UX", "XT",
"XA" et "XU".
3) E ∪ F se réalise lorsque le mot commence par T ou lorsque le mot contient deux
voyelles.
Les issues qui réalisent E ∪ F sont : "TA", "TU", "TX", "AU" et "UA".
E ∩ F se réalise lorsque le mot commence par T et lorsque le mot contient deux
voyelles.
Ce n'est pas possible car T est une consonne.
3
Seconde 4
IE7 probabilités
CORRECTION
Sujet 1 2011-2012
Exercice 2: (5 points)
Dans le cadre d'une campagne publicitaire, une grande surface organise une loterie.
Le candidat sélectionné pour la phase finale doit tirer au sort, successivement et sans
remise, 2 jetons dans une boîte.
La boîte contient 3 jetons blancs, notés B1, B2 et B3 et 1 jeton rouge noté R.
Tous les choix sont équiprobables.
1) A l'aide d'un tableau à double entrée déterminer l'ensemble des couples différents
que l'on peut obtenir.
2) Le règlement de la loterie est le suivant :
• le finaliste gagne le voyage s'il tire le jeton B1 en premier;
• le finaliste gagne l'ordinateur s'il tire deux jetons de couleurs différentes.
Ces deux lots sont cumulables : ainsi le tirage (B1;R) permet de gagner à la fois le voyage
et l'ordinateur.
Enfin si le client ne gagne ni le voyage ni l'ordinateur, il reçoit un bon d'achat de 200 €.
On considère les événements suivants :
• V "le finaliste gagne le voyage";
• O "le finaliste gagne l'ordinateur";
• A "le finaliste gagne le bon d'achat".
a) Calculer p(V), p(O) et p(V ∩ O).
b) Définir par une phrase l'événement V ∪ O, puis calculer sa probabilité.
c) Définir par une phrase l'événement contraire de V ∪ O, puis calculer sa probabilité de
deux manières différentes.
1)
Tirage 1
Tirage 2
B1
B2
B3
R
B1
B2 B1
B3 B1
RB1
B2
B3
R
B1B2
B1B3
B2 B3
B1R
B2 R
B3 R
B3 B2
RB2
RB3
L'ensemble des couples possibles est le suivant :
{(B1;B2), (B1;B3), (B1;R), (B2;B1), (B2;B3), (B2;R), (B3;B1), (B3;B2), (B3;R), (R;B1), (R;B2), (R;B3)}
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
L'événement V se réalise pour les tirages (B1;B2), (B1;B3) et (B1;R).
3 1
Donc p(V) =
=
12 4
L'événement O se réalise pour les tirages (B1;R), (B2;R), (B3;R), (R;B1), (R;B2),
2) a) Etant en situation d'équiprobabilité, on p(V) =
(R;B3).
Donc p(O) =
6 1
=
12 2
4
Seconde 4
IE7 probabilités
CORRECTION
Sujet 1 2011-2012
L'événement V ∩ O se réalise si le client gagne à la fois le voyage et
l'ordinateur c'est-à-dire pour le couple (B1;R) uniquement.
1
Donc p(V ∩ O) =
12
b) L'événement V ∪ O se réalise si le client gagne le voyage ou l'ordinateur (ou
bien les deux) c'est-à-dire pour les couples (B1;B2), (B1;B3), (B1;R), (B2;R), (B3;R),
(R;B1), (R;B2), (R;B3).
Donc p(V ∪ O) =
8 2
=
12 3
Autre méthode :
p(V ∪ O) = p(V) + p(O) - p(V ∩ O) =
1 1 1 3+6–1 8 2
+ =
=
=
4 2 12
12
12 3
c) V ∪ O : événement contraire de V ∪ O : se réalise si le client ne gagne ni le
voyage ni l'ordinateur (le client gagne alors le bon d'achat.)
V ∪ O = {"B2B1"; "B2B3";"B3B2";"B3B1"}
Donc p( V ∪ O ) =
4 1
=
12 3
Autre manière : p( V ∪ O ) = 1 – p(V ∪ O) = 1 –
2 1
=
3 3
5
Seconde 4
IE7 probabilités
CORRECTION
Sujet 2 2010-2011
Exercice 1: (4 points)
On dispose de quatre cartons sur lesquels on a noté les lettres M, A, T et H. On forme
un "mot" de deux lettres en choisissant au hasard successivement et sans remise deux
cartons. Ici "mot" désigne tout assemblage ayant un sens ou non, par exemple "TH".
1) En s'aidant d'un arbre, déterminer l'ensemble de tous les mots possibles.
2) Ecrire sous forme d'ensemble les événements :
a) E1 : "le mot contient la lettre M".
b) E2 : "le mot contient la lettre A".
3) On considère l'événement "le mot contient la lettre M ou la lettre A".
Décrire cet événement à l'aide de E1 et de E2, puis l'écrire sous la forme d'un
ensemble.
4) Reprendre la question 3) avec l'événement "le mot contient la lettre M et la
lettre A".
1)
L'ensemble de tous les mots possibles est constitué
des éléments suivants :
MA,MT,MH,MA,TA,AH,TM,TA,TH,HM,HA et HT.
Cet ensemble contient 12 éléments.
2) a)
L'événement E1 est constitué des éventualités
suivantes : MA, MT, MH, AM, TM et HM.
L'événement E2 est constitué des éventualités
suivantes : MA, AM, AT, AH, TA et HA.
3) Nommons U cet événement : U = E1 ∪ E2
U = {MA, MT, MH, AM, AT, AH, TM, TA, HM, HA}
4) Nommons I cet événement : U = E1 ∩ E2
I = {MA, AM }
Exercice 2: (6 points)
Une étudiante fabrique chaque semaine un petit stock de bijoux fantaisie qu'elle vend
en fin de semaine afin de s'assurer quelques revenus.
Sa production hebdomadaire de bijoux se répartit comme suit : 20% de boucles
d'oreilles, 40% de colliers et 40% de bracelets. Chaque bijou est réalisé soit en métal
argenté, soit en métal doré. 60% des bijoux fabriqués sont argentés. Elle fabrique
autant de colliers argentés que de colliers dorés.
75% des bracelets sont argentés.
1) Reproduire et compléter le tableau de fréquences (en %) par rapport à
l'ensemble de la production suivant :
Colliers
Bracelets
Boucles
Total
d'oreille
Argentés
Dorés
Total
20
100
2) Pour se rendre sur le lieu de vente, elle range en général sa production en vrac
dans une mallette. Elle prend au hasard un bijou dans la mallette. On suppose que
tous les choix possibles sont équiprobables.
a) Calculer les probabilités des événements suivants :
6
Seconde 4
IE7 probabilités
CORRECTION
Sujet 2 2010-2011
• A : "le bijou pris est argenté";
• B : "le bijou pris est un bracelet".
b) Décrire par une phrase l'événement A ∩ B et calculer sa probabilité.
c) Décrire par une phrase l'événement A ∪ B et calculer sa probabilité de deux
manières différentes.
d) Décrire par une phrase l'événement A et calculer sa probabilité.
1)
Argentés
Dorés
Total
Colliers
Bracelets
20
20
40
30
10
40
Boucles
d'oreille
10
10
20
Total
60
40
100
2) a)
Etant en situation d'équiprobabilité,
nombre de cas favorables
on a p(A) =
nombre de cas possibles
60
Soit p(A) =
= 0,6
100
40
P(B) =
= 0,4
100
b)
A ∩ B : "le bijou pris est un bracelet argenté."
30
P(A ∩ B) =
= 0,3
100
c) A ∪ B : "le bijou pris est argenté ou est un bracelet"
60 + 10
P(A ∪ B) =
= 0,7
100
Autre méthode
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,6 + 0,4 – 0,3 = 0,7.
d)
A est l'événement contraire de A.
Il se réalise si le bijou n'est pas argenté (c'est-à-dire s'il est doré).
p( A ) = 1 – p(A) = 1 – 0,6 = 0,4
7