Le théorème de Dehn-Nielsen-Baer. - IRMA

Transcription

Le Théorème de Dehn-Nielsen-Baer
Joëlle Clees
Université de Strasbourg
Table des matières
1 Introduction
4
2 Un peu de géométrie différentielle
4
3 Quelques outils algébriques
3.1 Quelques résultats sur les groupes . . . . . .
3.2 Quelques résultats sur les espaces métriques
3.3 Action de groupes . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Automorphismes intérieurs et extérieurs . .
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6
6
7
7
4 Prérequis de topologie algébrique
4.1 Homotopie et Isotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Le groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 L’homomorphisme de groupes F : Homeo(M ) → Out(π1 (M )) .
4.4 Les revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Le groupe fondamental du tore . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Les CW-complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 La caractéristique d’Euler d’un CW-complexe . . . . . . . . .
4.8 La propriété d’extension d’homotopie . . . . . . . . . . . . . .
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8
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5 La quasi-isométrie
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5.1 Le graphe de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 La quasi-isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Les
6.1
6.2
6.3
6.4
surfaces
Les courbes fermées simples sur des surfaces
Coller et couper des surfaces . . . . . . . . .
La classification des surfaces . . . . . . . . .
La caractéristique d’Euler d’une surface . . .
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7 Mapping Class Group étendu
7.1 Le mapping class group étendu du tore . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 L’homomorphisme de groupes F : Homeo(T 2 ) → GL2 (Z)
7.1.2 Surjectivité de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 L’homomorphisme surjective σ : Mod± (T 2 ) → GL2 (Z)
7.1.4 Injectivité de σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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28
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31
33
38
38
39
39
41
41
8 Géométrie hyperbolique
42
2
8.1 Le plan hyperbolique H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.1.1 Le demi-plan de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2
8.2
8.3
8.4
8.1.2 Le disque de Poincaré . . .
Le bord du plan hyperbolique . . .
Les isométries du plan hyperbolique
Surfaces hyperboliques . . . . . . .
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9 Le théorème de Dehn-Nielsen-Baer
62
9.1 Injectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.2 Surjectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3
1
Introduction
Ce texte constitue mon mémoire de Master 2 Mathématiques Fondamentales qui a été dirigé par Madame Chloé Perin. Le but de mon mémoire est
de démontrer le Théorème de Dehn-Nielsen-Baer.
Je me suis surtout appuyée sur le livre de Benson Farb et Dan Margalit intitulé ”A primer on mapping class groups”. Mais j’ai aussi utilisé des
résultats de mon travail de l’année dernière nommé ”Le groupe des réflexions
d’un triangle idéal du plan hyperbolique”, que j’avais écrit dans le cadre de
l’UE Étude de Textes. De plus, pour beaucoup de résultats de la topologie
algébrique, je fais référence au livre d’Allen Hatcher intitulé ”Algebraic Topology”.
Voici le plan de mon mémoire.
Dans la section 2, je définis une variété à bords orientée, compacte ou même
fermée.
Ensuite je donne quelques résultats algébriques importants pour la suite dans
la section 3, dont la définition du groupe des automorphismes extérieurs.
Dans la section 4, j’introduis des notions du domaine de la topologie algébrique,
comme la relation d’isotopie et le groupe fondamental.
La section 5 sert à définir la notion de quasi-isométrie, dont j’ai besoin pour
pouvoir démontrer le théorème de Dehn-Nielsen-Baer.
A partir de la section 6, je me restreins au cas des surfaces et je les classifie.
Ensuite, je définis le mapping class group étendu des surfaces d’une certaine
classe dans la section 7 et je démontre que le mapping class group étendu du
tore est isomorphe au groupe des automorphismes du groupe fondamental du
tore. Ce résultat constitue un cas particulier du Théorème de Dehn-NielsenBaer.
La section 8 est consacrée à la géométrie hyperbolique. Je définis par exemple
une surface hyperbolique et je donne quelques résultats sur les surfaces hyperboliques, dont je me sers pour démontrer finalement le Théorème de
Dehn-Nielsen-Baer dans la section 9. Ce théorème relie le mapping class
group étendu, qui est un objet topologique, au groupe des automorphismes
extérieurs, qui est un objet algébrique et ceci en utilisant la géométrie hyperbolique, d’où la nécessité des sections 3, 4 et 8.
2
Un peu de géométrie différentielle
Commençons par définir quelques outils du domaine de la géométrie
différentielle, dont nous allons nous servir dans la suite.
4
Définition 2.1. Soit m ∈ N. Une variété topologique de dimension m est un
espace topologique M qui est Hausdorff, à base dénombrable et localement
homéomorphe à Rm .
Définition 2.2. Soit m ∈ N. Une variété à bords de dimension m est
◦
un espace topologique M tel que M est localement homéomorphe à Rm
◦
et tout x ∈ M \ M admet un voisinage dans M qui est homéomorphe à
m
Rm
+ = {x ∈ R : xm ≥ 0}.
En particulier, M admet un atlas (Ui , φi )i∈I avec
S I un ensemble d’indice
tel que pour tout i ∈ I, Ui est un ouvert de M , i∈I Ui = M et φi (Ui ) est
homéomorphe à Rm ou Rm
+.
Si de plus les applications φj ◦ φ−1
i : φi (Ui ∩ Uj ) → φj (Ui ∩ Uj ) sont des
C ∞ -difféomorphismes pour tout i, j ∈ I, on dit que M est une variété lisse.
◦
L’ensemble M \ M est appelé le bord de M et est noté ∂M .
Définition 2.3. Soit M une variété topologique. On dit que M est fermée
lorsqu’elle est compacte et de bord vide.
Définition 2.4. Soient m ∈ N et M une variété lisse de dimension m. On
dit que M admet une orientation, lorsqu’il existe une application de la forme
◦
◦
M → TM
p 7→ (X1 (p), . . . , Xm (p))
◦
tel que (X1 (p), . . . , Xm (p)) forme une base de Tp M , avec Xi (p) un champ de
vecteurs C ∞ pour tout 1 ≤ i ≤ m.
Définition 2.5. Soient m ∈ N et M une variété lisse de dimension m qui
admet une orientation. On appelle alors une orientation de M une classe
d’équivalence formée par les applications de la forme
◦
◦
M → TM
p 7→ (X1 (p), . . . , Xm (p))
◦
définies ci-dessus avec la relation d’équivalence {pour tout p ∈ M la matrice
de changement de base a un déterminant > 0}.
Définition 2.6. Si M admet une orientation, on dit qu’elle est orientable et
si M est munie d’une orientation, on dit qu’elle est orientée.
5
3
Quelques outils algébriques
Dans cette section nous allons maintenant introduire tous les résultats
purement algébriques, dont nous avons besoin plus tard.
3.1
Quelques résultats sur les groupes
Définition 3.1. Soit G un groupe. Un élément g ∈ G est primitif s’il n’existe
pas de h ∈ G tel que g = hk avec k ∈ Z \ {−1, 0, 1}.
Remarque 3.2. Soient G un groupe, g ∈ G un élément primitif et φ ∈ Aut(G).
Alors φ(g) ∈ G est aussi un élément primitif, car si on suppose par l’absurde
que φ(g) n’est pas primitif, alors il existe h ∈ G et k ∈ Z \ {−1, 0, 1} tel que
φ(g) = hk
⇐⇒ g = φ−1 (hk )
⇐⇒ g = (φ−1 (h))k
et donc, comme φ−1 (h) ∈ G, g est primitif. D’où la contradiction.
Définition
3.3.
a
GL2 (Z) =
c
Le
groupe linéaire de Z est défini
par
b
, a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = ±1 muni du produit matriciel.
d
Définition
3.4. Le
groupe spécial linéaire deR est défini par
a b
SL2 (R) =
, a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1 muni du produit matriciel.
c d
Posons I la matrice identité.
Proposition 3.5. Z(SL2 (R)) = {I, −I}.
On en trouve une preuve dans [ClJo], il s’agit de la Proposition 5.6.
Définition 3.6. Le groupe projectif spécial linéaire est défini par
PSL2 (R) = SL2 (R)/Z(SL2 (R)).
3.2
Quelques résultats sur les espaces métriques
Définition 3.7. Soit X un espace métrique. On dit que X est propre si
chaque boule fermée dans X est compacte.
Définition 3.8. Soit X un espace métrique. On dit que X est géodésique si
pour tout couple de points dans X il existe un segment géodésique qui les
relie.
6
3.3
Action de groupes
Définition 3.9. On dit qu’un groupe G agit librement sur un espace topologique X si tout élément de G différent de l’élément neutre agit sans point
fixe.
Définition 3.10. On dit qu’un groupe G agit proprement discontinument
sur un espace topologique X si pour tout sous-espace compact K ⊂ X,
l’ensemble {g ∈ G tel que (gK ∩ K) 6= ∅} est fini.
Définition 3.11. Soit G un groupe qui agit sur un ensemble E. On appelle
domaine fondamental pour l’action de G sur E un sous-ensemble F ⊂ E tel
que
[
gF = E
g∈G
0
et pour tout g 6= g ∈ G
gF ∩ g 0 F = ∅.
3.4
Automorphismes intérieurs et extérieurs
Définition 3.12. Soit G un groupe. On appelle automorphisme intérieur un
automorphisme de la forme
Ih : G → G
g 7→ hgh−1
pour h ∈ G.
On note le groupe des automorphismes intérieurs par Int(G).
Proposition 3.13. Si G est un groupe abélien, Int(G) est trivial.
Démonstration. Soient g, h ∈ G. Si G est abélien, alors
Ih (g) = hgh−1
= hh−1 g
= g.
Donc Ih = idG pour tout h.
Proposition 3.14. Int(G) est un sous-groupe distingué de Aut(G).
7
Démonstration. Soient g, h ∈ G, Ih ∈ Int(G) et f ∈ Aut(G), on a
f ◦ Ih ◦ f −1 (g) = f (hf −1 (g)h−1 )
= f (h)f (f −1 (g))f (h−1 )
= f (h)gf (h)−1
= If (h) (g).
Donc f ◦ Ih ◦ f −1 ∈ Int(G).
Définition 3.15. Soit G un groupe. On appelle groupe des automorphismes
extérieurs
Out(G) = Aut(G)/ Int(G).
Un automorphisme extérieur agit donc sur l’ensemble des classes de conjugaison d’éléments de G.
Soit φ ∈ Aut(G). Notons {φ} la classe des automorphismes extérieurs de φ.
Proposition 3.16. Si G est un groupe abélien, Out(G) = Aut(G).
Cette Proposition est une conséquence de la Proposition 3.13.
Remarque 3.17. Si G est un groupe, alors l’application
Aut(G) → Out(G)
φ 7→ {φ}
est un homomorphisme de groupes, car cette application est la projection
canonique.
4
Prérequis de topologie algébrique
L’idée de cette section est de regrouper tous les notions et résultats de
la topologie algébrique. De plus nous allons construire un homomorphisme
de groupes entre l’espace des homéomorphismes d’un espace topologique
connexe par arcs et le groupe des automorphismes extérieurs du groupe fondamental de cet espace topologique. Cette application nous sera très utile
dans la suite.
4.1
Homotopie et Isotopie
Soient M et N des espaces topologiques.
8
Définition 4.1. Soient f, g : M → N des fonctions continues. On dit que f et
g sont homotopes (librement) s’il existe une fonction continue H : M × [0, 1] → N
tel que pour tout x ∈ M
H(x, 0) = f (x)
H(x, 1) = g(x).
Notons ht (x) := H(x, t), ce qui nous donne h0 = f et h1 = g.
Si f et g sont homotopes, on note f ' g.
Définition 4.2. Soient f, g : M → N des fonctions homotopes. On dit que f
et g sont homotopes relativement à une partie A ⊂ M si pour tout t ∈ [0, 1]
et pour tout p ∈ A, on a
ht (p) = f (p) = g(p).
Il est facile de voir que l’homotopie est une relation d’équivalence. On en
trouve une preuve dans [AlHat], il s’agit de la Proposition 1.2.
Notons [f ] la classe d’homotopie de f .
Définition 4.3. Soit A un sous-espace de M . Une rétraction de M sur A est
une homotopie
H : M × [0, 1] → A
tel que
H|A×[0,1] = idA .
Définition 4.4. On appelle un chemin dans M entre deux points x, y ∈ M
une application continue γ : [0, 1] → M tel que γ(0) = x et γ(1) = y.
Définition 4.5. On appelle l’ensemble des composantes connexes par arcs
de M l’ensemble
π0 (M ) = {γ : ? → M }/ ∼
avec ∼ la relation d’homotopie.
Donc deux points de M qui peuvent être reliés par un chemin ou autrement dit qui sont dans la même composante connexe par arcs, sont identifiés
dans π0 (M ).
Définition 4.6. Soient f, g : M → N des homéomorphismes et ht : M → N
une homotopie entre f et g. On dit que f et g sont isotopes si pour tout
t ∈ [0, 1] l’application ht est un homéomorphisme.
9
4.2
Le groupe fondamental
Soient M et N des espaces topologiques.
Définition 4.7. Soient α, β des chemins sur M tel que α(1) = β(0). On
définit α ? β : [0, 1] → M par
α ? β(t) = α(2t) si t ∈ [0, 1/2]
et
α ? β(t) = β(2t − 1) si t ∈ [1/2, 1].
Remarque 4.8. Soient α, α0 , β, β 0 des chemins sur M tel que α(1) = β(0) et
α0 (1) = β 0 (0). Si α0 est homotope à α relativement à {0, 1} et β 0 est homotope
à β relativement à {0, 1}, alors α0 ? β 0 est homotope à α ? β relativement à
{0, 1}.
Définition 4.9. On appelle une courbe fermée sur M l’image d’une application continue S 1 → M . On dit qu’elle est simple lorsque cette application
est injective.
D’une manière plus visuelle, une courbe fermée est un chemin qui se replie
sur lui-même. Une courbe fermée est dite simple quand elle n’admet pas de
point double.
Définition 4.10. Soit p ∈ M . Définissons l’ensemble
π1 (M, p) = {γ : [0, 1] → M continue, γ(0) = γ(1) = p}/ ∼
avec ∼ la relation d’homotopie relativement à p.
Soit γ un chemin tel que γ(0) = γ(1) = p. On note alors [γ] ∈ π1 (M, p)
la classe d’homotopie relativement à p de γ.
Définition 4.11. Soient [α], [β] ∈ π1 (M, p). On définit [α] ? [β] := [α ? β].
Remarque 4.12. Par la Remarque 4.8 cette définition ne dépend pas des
représentants choisis dans [α] et [β]. De plus, par la Définition 4.10, α(1) = p = β(0),
donc α ? β est bien défini et α ? β(0) = α(0) = p = β(1) = α ? β(1), donc
[α ? β] ∈ π1 (M, p).
Proposition 4.13. L’ensemble π1 (M, p) muni de l’opération ? est un groupe.
On l’appelle le groupe fondamental.
10
Démonstration. L’élément neutre du π1 (M, p) est la classe d’homotopie du
lacet constant égal à p, qu’on note [cp ].
Si on considère [γ], [δ] ∈ π1 (M, p), alors [γ] ? [δ] = [γ ? δ] ∈ π1 (M, p), d’après
la Définition 4.11 et la Remarque 4.12.
Donc π1 (M, p) est stable pour l’opération ?.
Soit [γ] ∈ π1 (M, p), donc
γ : [0, 1] → M
t 7→ γ(t)
est un chemin et γ(0) = γ(1) = p. Il existe alors un chemin
γ : [0, 1] → M
t 7→ γ(1 − t)
qui est le même chemin parcouru en sens inverse. De plus, γ(0) = γ(1) = p
et γ(1) = γ(0) = p. Donc γ ∈ π1 (M, p). On constate que
[γ ? γ] = [cγ(0) ] = [cp ]
et
[γ ? γ] = [cγ(1) ] = [cp ].
Donc π1 (M, p) est stable par passage à l’inverse.
Par conséquent, (π1 (M, p), ?) est bien un groupe.
Lemme 4.14. Soient α0 , α1 deux courbes fermées sur M (librement) homotopes par (αt : S 1 → M )t∈[0,1] et δp le chemin t 7→ αt (p) décrit par le point
de base p entre α0 (p) et α1 (p). Alors α0 est homotope relativement à p à
δp ? α 1 ? δp .
Figure 1 – Illustration du Lemme 4.14
11
Proposition 4.15. Soient p ∈ M, q ∈ N et
φ: M → N
p 7→ q
une application continue, alors l’application donnée par
φ∗ : π1 (M, p) → π1 (N, q)
[α] 7→ [φ ◦ α]
est un homomorphisme de groupes.
Il s’agit d’un résultat qu’on trouve par exemple dans [AlHat] au début de
la section Induced Homomorphisms.
Définition 4.16. Une application φ : M → N est une équivalence d’homotopie s’il existe une application ψ : N → M tel que φ ◦ ψ ' idN et ψ ◦ φ ' idM .
Corollaire 4.17. Soient p ∈ M, q ∈ N et
φ: M → N
p 7→ q
un homéomorphisme, alors l’application donnée par
φ∗ : π1 (M, p) → π1 (N, q)
[α] 7→ [φ ◦ α]
est un isomorphisme de groupes.
Démonstration. Comme φ est un homéomorphisme, φ est une équivalence
d’homotopie. Donc, d’après la Proposition 1.18 dans [AlHat], φ∗ est un isomorphisme.
Proposition 4.18. Si M est connexe par arcs, p, q ∈ M et γ un chemin de
q à p, alors l’homomorphisme de groupes
Θγ : π1 (M, p) → π1 (M, q)
[α] 7→ [γ ? α ? γ]
est un isomorphisme.
12
Figure 2 – γ ? α ? γ
Démonstration. Commençons par montrer qu’il s’agit d’un homomorphisme
de groupes. Soient [α], [β] ∈ π1 (M, p), on a
Θγ ([α] ? [β]) = Θγ ([α ? β])
= [γ ? (α ? β) ? γ]
= [γ ? α ? (γ ? γ) ? β ? γ]
= [γ ? α ? γ] ? [γ ? β ? γ]
= Θγ ([α]) ? Θγ ([β]).
par la Définition 4.11
par la Remarque 4.8
par la Définition 4.11
Bien entendu l’application Θγ est aussi un homomorphisme de groupes.
Pour démontrer ensuite que Θγ est un isomorphisme, montrons que Θγ
est l’application inverse de Θγ . Soit [α] ∈ π1 (M, p) et [β] ∈ π1 (M, q), on a
Θγ ◦ Θγ ([α]) = Θγ ([γ ? α ? γ])
= [(γ ? γ) ? α ? (γ ? γ)]
= [α]
par la Remarque 4.8
Θγ ◦ Θγ ([β]) = Θγ ([γ ? β ? γ])
= [(γ ? γ) ? β ? (γ ? γ)]
= [β]
par la Remarque 4.8.
et
Donc Θγ est bien un isomorphisme et Θ−1
γ = Θγ .
Par conséquent, si M est connexe par arcs, on écrit simplement π1 (M ),
bien que le choix de l’isomorphisme n’est pas canonique.
Lemme 4.19. Si M est connexe par arcs, p, q ∈ M et γ, δ des chemins de p
à q, alors
Θδ ◦ Θγ = Θδ?γ .
13
Démonstration. Soit [α] ∈ π1 (M, p), on a
Θδ ◦ Θγ ([α])
= Θδ ([γ ? α ? γ])
= [δ ? γ ? α ? γ ? δ]
= [(δ ? γ) ? α ? (δ ? γ)]
= Θδ?γ ([α]).
Remarque 4.20. Si on considère un lacet α de point de base p, alors l’application
Θα : π1 (M, p) → π1 (M, p)
est la conjugaison par [α].
4.3
L’homomorphisme de groupes F : Homeo(M ) → Out(π1 (M ))
Soit M un espace topologique connexe par arcs et p un point de base
dans M . Notons Homeo(M ) le groupe des homéomorphismes de M muni de
la composition des applications.
A l’aide des résultats énoncés jusqu’ici, nous allons maintenant construire un
homomorphisme de groupes entre Homeo(M ) et Out(π1 (M )).
Soit φ ∈ Homeo(M ). On veut lui associer un automorphisme de π1 (M, p).
Mais, d’après le Corollaire 4.17, φ induit l’isomorphisme
φ∗ : π1 (M, p) → π1 (M, φ(p))
[α] 7→ [φ ◦ α].
Postcomposons φ∗ par l’isomorphisme défini dans la Proposition 4.18,
Θγ : π1 (M, φ(p)) → π1 (M, p)
[β] 7→ [γ ? β ? γ]
avec γ un chemin entre p et φ(p). Ainsi en composant les deux isomorphismes,
on obtient l’isomorphisme
Θγ ◦ φ∗ : π1 (M, p) → π1 (M, p)
[α] 7→ [γ ? (φ ◦ α) ? γ].
Notons φγ∗ := Θγ ◦ φ∗ ∈ Aut(π1 (M )).
14
Associons ensuite à cet automorphisme sa classe d’automorphismes extérieurs
{φγ∗ }. Montrons qu’elle ne dépend pas du choix de γ.
Si au lieu de considérer le chemin γ, on prend un autre chemin δ entre p et
φ(p), on obtient pour tout [α] ∈ π1 (M, p),
φδ∗ ([α]) = Θδ ◦ φ∗ ([α])
= Θδ ◦ (Θγ ◦ Θγ ) ◦ φ∗ ([α])
par la Proposition 4.18 et le Lemme 4.19
= (Θδ ◦ Θγ ) ◦ (Θγ ◦ φ∗ )([α])
= Θδ?γ ◦ φγ∗ ([α])
par le Lemme 4.19
γ
= Conj([δ ? γ]) ◦ φ∗ ([α])
par la Remarque 4.20,
car δ ? γ est un lacet dans M de point de base p.
Donc {φδ∗ } = {φγ∗ } ∈ Out(π1 (M )). Ainsi on peut définir l’application
F : Homeo(M ) → Out(π1 (M ))
φ 7→ {φγ∗ }
et elle ne dépend pas du choix de γ.
Montrons qu’il s’agit d’un homomorphisme de groupes.
Soient maintenant φ, ψ ∈ Homeo(M ), γ un chemin entre p et ψ(p) et δ un
chemin entre ψ(p) et φ ◦ ψ(p). Donc γ ? δ est un chemin entre p et φ ◦ ψ(p).
Donc on a
F (φ ◦ ψ) = {(φ ◦ ψ)γ?δ
∗ }
Comme chemin entre p et φ(p) on peut choisir γ ? δ ? φ ◦ γ. Notons-le β.
Figure 3 – Les chemins entre p, ψ(p), φ ◦ ψ(p) et φ(p)
Donc il faut montrer que
β
γ
{(φ ◦ ψ)γ?δ
∗ } = {φ∗ } ◦ {ψ∗ }.
15
Soit [α] ∈ π1 (M, p), on a
φβ∗ ◦ ψ∗γ ([α]) = φγ?δ?φ◦γ
([γ ? (ψ ◦ α) ? γ])
∗
= [γ ? δ ? φ ◦ γ ? φ(γ ? (ψ ◦ α) ? γ) ? γ ? δ ? φ ◦ γ]
= [γ ? δ ? (φ ◦ γ ? φ ◦ γ) ? (φ ◦ ψ ◦ α) ? (φ ◦ γ ? φ ◦ γ) ? δ ? γ]
= [γ ? δ ? (φ ◦ ψ ◦ α) ? γ ? δ] par la Remarque 4.8
= (φ ◦ ψ)γ?δ
∗ ([α]).
Donc
β
γ
{(φ ◦ ψ)γ?δ
∗ } = {φ∗ ◦ ψ∗ }.
D’où, d’après la Remarque 3.17, on a finalement que
β
γ
{(φ ◦ ψ)γ?δ
∗ } = {φ∗ } ◦ {ψ∗ }.
Donc F est bien un homomorphisme de groupes.
Lemme 4.21. Si φ0 , φ1 ∈ Homeo(M ) sont isotopes, alors F (φ0 ) = F (φ1 ).
Démonstration. Soient φ0 , φ1 ∈ Homeo(M ) isotopes. Il existe alors une isotopie (t 7→ φt )t∈[0,1] entre φ0 et φ1 . Donc pour tout [α] ∈ π1 (M, p), φ0 ◦ α et
φ1 ◦ α sont homotopes librement par l’homotopie (t 7→ φt ◦ α)t∈[0,1] .
D’où, d’après le Lemme 4.14, φ0 ◦α est homotope à δp ?(φ1 ◦α)?δp relativement
à p avec δp le chemin décrit par le point de base p entre φ0 ◦ α(p) = φ0 (p) et
φ1 ◦ α(p) = φ1 (p).
Montrons alors que {(φ0 )γ∗ } = {(φ1 )δ∗ } avec γ un chemin quelconque entre p
et φ0 (p) et δ = γ ? δp , qui définit bien un chemin entre p et φ1 (p). Cela nous
donne
p
(φ1 )δ∗ ([α]) = (φ1 )γ?δ
([α])
∗
= [γ ? δp ? (φ1 ◦ α) ? γ ? δp ]
= [γ ? δp ? (φ1 ◦ α) ? δp ? γ]
= [γ ? (φ0 ◦ α) ? γ]
= (φ0 )γ∗ ([α]).
par la Remarque 4.8
Donc {(φ1 )δ∗ } = {(φ0 )γ∗ }.
4.4
Les revêtements
Soient X et Y des espaces topologiques, x ∈ X et y ∈ Y .
16
Définition 4.22. L’application p : Y → X est un revêtement si pour tout
x ∈ X il existe un ouvert U avec x ∈ U , Fun ensemble d’indice I et des
ouverts disjoints Ui ∈ Y tel que p−1 (U ) = i∈I Ui et p|Ui : Ui → U est un
homéomorphisme pour tout i ∈ I.
Figure 4 – Un revêtement
Proposition 4.23. Soit G un groupe. Si G agit par homéomorphismes sur X
librement et proprement discontinûment, alors p : X → X/G est un revêtement.
On trouve une preuve de cette proposition dans [AlHat], il s’agit d’une
partie de la Proposition 1.40.
Exemple 4.24. Considérons R et le groupe des translations par Z donné
par l’ensemble {tn : x → x + n, n ∈ Z} muni de l’addition. Ce groupe agit sur
R par homéomorphismes, librement et proprement discontinument. Donc,
d’après la Proposition 4.23, p : R → R/Z est un revêtement.
Définition 4.25. On définit le cercle S 1 par S 1 := R/Z.
Exemple 4.26. Considérons R2 et le groupe des translations par Z2 donné
par l’ensemble {tn : x → x+n, n ∈ Z2 } muni de l’addition. Ce groupe agit sur
R2 par homéomorphismes, librement et proprement discontinument. Donc,
d’après la Proposition 4.23, p : R2 → R2 /Z2 est un revêtement.
17
Définition 4.27. On définit le tore T 2 par T 2 := R2 /Z2 .
Voici la propriété du relèvement.
Proposition 4.28. Soient Z un espace topologique connexe par arcs et localement connexe par arcs, z ∈ Z, p : Y → X un revêtement et f : Z → X une
fonction continue tel que f (z) = x = p(y). Il existe alors une application
f˜: Z → Y
z 7→ y
>Y
f˜
Z
/
f
p
X
tel que p ◦ f˜ = f si et seulement si f∗ (π1 (Z, z)) ⊂ p∗ (π1 (Y, y)). De plus si
une telle application existe, elle est unique.
Cette propriété a été énoncée par exemple dans [CoFr]. Il s’agit du Théorème
0.17.
Exemple 4.29. Relèvement des chemins
Soit p : Y → X un revêtement tel que p(y) = x. Soit α : [0, 1] → X un
chemin tel que α(0) = x. Alors il existe un unique relèvement α̃ : [0, 1] → Y
tel que p ◦ α̃ = α et α̃(0) = y,
=Y
α̃
p
[0, 1] α / X
car α∗ (π1 ([0, 1])) = 1 ⊂ p∗ (π1 (Y, y)).
Remarque 4.30. Si α est une courbe fermée, alors α̃(1) ∈ p−1 ({x}).
Définition 4.31. Si Y est connexe par arcs, p : Y → X un revêtement et
π1 (Y, y) = 1, alors p est un revêtement universel de X et on note Y = X̃.
Exemple 4.32. Comme R2 est connexe par arcs et π1 (R2 ) = 1, le revêtement
p : R2 → T 2 donné dans l’Exemple 4.26 est universel.
4.5
Le groupe fondamental du tore
Théorème 4.33. Soient p : R2 → T 2 le revêtement donné dans l’Exemple
4.26, γ : [0, 1] → T 2 tel que γ(0) = γ(1) = p((0, 0)) et soit γ̃ un relevé de γ
18
en (0, 0). Alors l’homomorphisme de groupes
Θ : π1 (T 2 , p((0, 0))) → Z2
[γ] 7→ γ̃(1)
Démonstration. Commençons par montrer que Θ est bien défini.
2
On a
=R .
γ̃
[0, 1]
γ
/
p
T2
γ̃ existe d’après l’Exemple 4.29 avec p ◦ γ̃ = γ et γ̃(0) = (0, 0).
On peut remarquer que, comme γ est une courbe fermée, d’après la Remarque
4.30, γ̃(1) ∈ Z2 . Donc
Θ : π1 (T 2 , p((0, 0))) → Z2
[γ] 7→ γ̃(1)
est bien défini.
Montrons qu’il s’agit d’un homomorphisme de groupes.
Soient [γ], [δ] ∈ π1 (T 2 , p((0, 0))) on a
Θ([γ] ? [δ]) = Θ([γ ? δ])
= γ]
? δ(1)
où γ]
? δ est le relevé de γ ? δ en (0, 0).
Soit δ̂ le relevé de δ en γ̃(1), alors on peut remarquer que p ◦ (γ̃ ? δ̂) = γ ? δ.
Donc par l’unicité dans la Proposition 4.28,
γ̃ ? δ̂ = γ]
? δ.
D’où
Θ([γ] ? [δ]) = γ]
? δ(1)
= γ̃ ? δ̂(1)
= δ̂(1)
par la Définition 4.7.
Or, si on note par trγ̃(1) (δ̃) le translaté de δ̃ par le vecteur γ̃(1), on peut
aussi remarquer que
car γ̃(1) ∈ Z2
p(trγ̃(1) (δ̃)) = p(δ̃)
= δ.
19
Donc par l’unicité dans la Proposition 4.28,
δ̃ + γ̃(1) = δ̂.
D’où
Θ([γ] ? [δ]) = δ̂(1)
= δ̃(1) + γ̃(1)
= γ̃(1) + δ̃(1).
Donc Θ est un homomorphisme de groupes.
Figure 5 – γ]
? δ(1) = γ̃(1) + δ̃(1)
Montrons ensuite que Θ est injective. Soit [γ] ∈ π1 (T 2 , p((0, 0))) tel que
Θ([γ]) = (0, 0)
⇒ γ̃(1) = γ̃(0)
⇒ γ̃ homotope à c(0,0)
⇒ p ◦ γ̃ homotope à cp((0,0))
⇒ γ homotope à cp((0,0)) .
car R2 est contractile
D’où l’injectivité.
Reste à montrer que Θ est surjective. Posons
α̃ : [0, 1] → R2
t 7→ (t, 0)
et β̃ : [0, 1] → R2
t 7→ (0, t).
On a alors Θ([p◦ α̃]) = α̃(1) = (1, 0) et Θ([p◦ β̃]) = β̃(1) = (0, 1). D’où l’image
de Θ contient une base de Z2 et donc Im(Θ) = Z2 . D’où la surjectivité.
20
Remarque 4.34. Le tore T 2 est connexe par arcs, donc par la Proposition
4.18, il n’est pas nécessaire de préciser un point de base.
Corollaire 4.35. Une base de π1 (T 2 ) est donnée par ([p ◦ α̃], [p ◦ β̃]).
Démonstration. Comme Θ est un isomorphisme, Θ respectivement Θ−1 envoie une base sur une base. D’où ([p ◦ α̃], [p ◦ β̃]) est une base de π1 (T 2 ).
4.6
Les CW-complexes
Définition 4.36. On appelle un CW-complexe de dimension 0 un ensemble
X 0 muni de la topologie discrète. Les points de X 0 sont appelés des 0-cellules.
Soit n ∈ N. Un CW-complexe de dimension n est un espace topologique X
obtenu à partir d’un CW-complexe X n−1 de dimension n − 1 en attachant
des n-cellules enα homéomorphes à des boules de dimension n, B n , le long de
S n−1 = ∂B n par des applications continues ψα : S n−1 → X n−1 .
X n−1 est alors appelé le (n − 1)-squelette de X n .
S
Définition 4.37. Un CW-complexe est une réunion X = n≥0 X n où pour
tout n ≥ 0, X n est un CW-complexe de dimension n et de (n − 1)-squelette
X n−1 .
Définition 4.38. Soit X un CW-complexe. On appelle sous-CW-complexe
de X un sous-ensemble fermé de X, constitué d’une réunion de cellules.
Lemme 4.39. Soit X un CW-complexe. Une application continue ψ : S n−1 → X
s’étend continûment à B n si et seulement si ψ est homotope à une application
constante S n−1 → {x} pour un certain x ∈ X.
Lemme 4.40. Soient X et Y des CW-complexes tels que le revêtement universel Ỹ est contractile. Soit X 0 tel que X 2 ⊂ X 0 ⊂ X et h : X 0 → Y une
application continue. Alors il existe ĥ : X → Y continu tel que ĥ|X 0 = h.
Démonstration. Raisonnons par récurrence.
Comme X 2 ⊂ X 0 , h est définie sur le 2-squelette de X.
Supposons qu’on a réussi à étendre h au (n−1)-squelette de X, donc il existe
ĥ : X n−1 → Y tel que ĥ|X 0 = h. Pour étendre h au n − squelette de X il suffit
de considérer une n-cellule enα ∈ X \ X n−1 quelconque et de définir son image
par ĥ. On a
5 Ỹ
fα
S n−1
ψα
/
X n−1
/
ĥ
p
Y
21
fα existe par la propriété du relèvement 4.28, car comme n − 1 ≥ 2 on a
π1 (S n−1 ) = 1 (d’après la Proposition 1.14 dans [AlHat]), donc
(ĥ ◦ ψα )∗ (π1 (S n−1 )) = 1 ⊂ p∗ (π1 (Ỹ )).
Le fait que Ỹ est contractile implique que fα (S n−1 ) est homotope à un point
ỹ ∈ Ỹ . Donc p ◦ fα (S n−1 ) = ĥ ◦ ψα (S n−1 ) est homotope au point p(ỹ) ∈ Y .
Par conséquent, l’application ĥ◦ψα est homotope à une application constante
S n−1 → {p(ỹ)}.
Ainsi, d’après le Lemme 4.39, ĥ ◦ ψα s’étend à B n .
Posons alors ĥ(enα ) = ĥ ◦ ψα (B n ) ⊂ Y . Comme on a choisi enα quelconque, ĥ
est définie sur le n − squelette.
Par récurrence on peut ainsi étendre h à ĥ : X → Y tel que ĥ|X 0 = h.
Proposition 4.41. Soient X et Y des CW-complexes tel que X 0 = {x},
Y 0 = {y} et le revêtement universel Ỹ est contractile. Soit
f : π1 (X, x) → π1 (Y, y)
un homomorphisme de groupes. Alors il existe une application continue,
unique à homotopie près,
φ: X → Y
x 7→ y
telle que φ∗ = f .
Nous allons seulement démontrer l’unicité. On trouve une preuve complète
dans [AlHat], il s’agit de la Proposition 1B.9.
Démonstration. Soient
φ0 , φ1 : X → Y
x 7→ y
telles que (φ0 )∗ = (φ1 )∗ = f . Montrons que φ0 est homotope à φ1 .
Posons
Z = X × [0, 1].
Déterminons une homotopie h : Z → Y entre φ0 et φ1 . Posons pour tout
x∈X
h(x, 0) = φ0 (x)
h(x, 1) = φ1 (x)
h({x} × [0, 1]) = {y}.
22
Considérons ensuite une 1-cellule de X, e1α . Comme X 0 = {x}, e1α := α : [0, 1] → X
continue tel que α(0) = α(1) = x. Comme on a supposé que (φ0 )∗ = (φ1 )∗ ,
on a
(φ0 )∗ ([α]) = (φ1 )∗ ([α])
⇐⇒ [φ0 ◦ α] = [φ1 ◦ α].
Donc il existe une homotopie entre φ0 ◦α et φ1 ◦α, c’est-à-dire une application
continue g : e1α × [0, 1] → Y telle que
g|e1α ×{0} = φ0 |e1α := φ0 ◦ α
g|e1α ×{1} = φ1 |e1α := φ1 ◦ α.
Donc on étend h à e1α × [0, 1] en posant h|e1α ×[0,1] := g. Ainsi on a défini h sur
le 2-squelette de Z. Donc on peut appliquer le Lemme 4.40 pour étendre h
sur Z tout entier. Ainsi on a construit une homotopie entre φ0 et φ1 .
Remarque 4.42. En particulier, la Proposition 4.41 nous dit qu’un automorphisme f de π1 (X, x) est induit par une application continue φ : X → X qui
fixe x, c’est-à-dire que φ∗ = f . De plus, f −1 est aussi un automorphisme de
π1 (X, x) et est donc aussi induit par une application continue ψ : X → X
qui fixe x, c’est -à-dire que ψ∗ = f −1 . D’où on a
φ∗ ◦ ψ∗ = f ◦ f −1
⇐⇒ (φ ◦ ψ)∗ = idX
⇐⇒ (φ ◦ ψ)∗ ([α]) = [α]
⇐⇒ [φ ◦ ψ ◦ α] = [α]
⇐⇒ φ ◦ ψ ' idX .
pour tout [α] ∈ π1 (X, x)
pour tout [α] ∈ π1 (X, x)
Par un raisonnement analogue, on a aussi que
ψ ◦ φ ' idX .
Par conséquent, φ est une équivalence d’homotopie.
Donc, la Proposition 4.41 nous dit qu’un automorphisme de π1 (X, x) est
induit par une équivalence d’homotopie.
4.7
La caractéristique d’Euler d’un CW-complexe
Définition 4.43. Soit X un CW-complexe de dimension finie. La caractéristique
d’Euler de X est donnée par
X
χ(X) =
(−1)n bn
n≥0
avec bn le nombre de n − cellules.
23
Théorème 4.44. Si X et Y sont deux CW-complexes homéomorphes, alors
χ(X) = χ(Y ).
4.8
La propriété d’extension d’homotopie
Définition 4.45. Soient X un espace topologique, A ⊂ X et ∂X ⊂ X. On
dit que (X, A) a la propriété d’extension d’homotopie (relativement à ∂X)
si pour tout espace topologique Y , pour tout f0 : X → Y et f1A : A → Y ,
chaque homotopie H (relative à ∂X) entre f0 |A et f1A , peut être étendue en
une homotopie H̃ (relative à ∂X) entre f0 et une application f1 : X → Y
telle que f1 |A = f1A .
Proposition 4.46. Soient X un CW-complexe et A un sous-CW-complexe
de X. Alors (X, A) a la propriété d’extension d’homotopie.
On trouve une preuve de cette proposition dans [AlHat], il s’agit de la
Proposition 0.16.
Elle nous donne aussi le résultat suivant.
Proposition 4.47. Si A est une courbe fermée simple sur un CW-complexe
X, alors (X,A) a la propriété d’extension d’homotopie.
Proposition 4.48. Soient X un CW-complexe, p, q ∈ X et γ un chemin de
q à p. Alors il existe une application continue
ψ: X → X
p 7→ q
homotope à l’identité tel que ψ∗ = Θγ avec
Θγ : π1 (X, p) → π1 (X, q)
[α] 7→ [γ ? α ? γ].
Démonstration. D’après la Proposition 4.46, (X, p) a la propriété d’extension
d’homotopie.
On pose f0 = id : X → X et f1p = q. On a alors en effet une homotopie H
entre f0 |{p} et f1p , c’est-à-dire entre p et q. Il suffit de choisir H(x, t) = γ(t).
La propriété d’extension d’homotopie nous donne alors une homotopie H̃
entre l’identité et une application f1 : X → X telle que f1 (p) = q.
Reste à montrer que (f1 )∗ = Θγ .
Soit [α] ∈ π1 (X, p). Comme f1 ' id on a aussi f1 ◦ α ' α. Soit δp le chemin
décrit par le point de base p entre f1 ◦ α(p) et α(p), c’est-à-dire entre q et
p. Alors on a, d’après le Lemme 4.14 que f1 ◦ α est homotope à δp ? α ? δp
24
relativement à p.
Or H̃(p, t) = γ(t) comme H̃ étend H. Donc le chemin décrit par p est γ.
D’où δp = γ.
Donc on a pour tout [α] ∈ π1 (X, p)
(f1 )∗ ([α]) = [f1 ◦ α]
= [δp ? α ? δp ]
= [γ ? α ? γ]
= Θγ ([α]).
par la Remarque 4.8
Par conséquent f1 est l’application ψ cherchée, car
f1 : X → X
p 7→ q,
f1 est homotope à l’identité et (f1 )∗ = Θγ .
5
5.1
La quasi-isométrie
Le graphe de Cayley
Définition 5.1. On appelle un graphe un CW-complexe de dimension 1.
Figure 6 – Quelques graphes
Définition 5.2. Soient G un groupe et S une partie génératrice de G. Le
graphe de Cayley de G par rapport à S, noté Γ(G, S), est un graphe tel que
chaque point correspond à un élément g ∈ G et pour tout (g, s) tel que g ∈ G,
s ∈ S ou s−1 ∈ S les points g et gs sont reliés par une arête.
Remarque 5.3. Comme S est une partie génératrice de G, le graphe de Cayley
Γ(G, S) est connexe.
25
Munissons Γ(G, S) d’une métrique.
Définition 5.4. La distance entre deux points distincts qui sont directement
liés par une arête est fixée égale à 1.
Pour deux éléments quelconques de G, on cherche le chemin le plus court
qui les relie en passant par des arêtes du graphe. La distance entre ces deux
points sera alors égale au nombre d’arêtes empruntées.
On appelle cette métrique la métrique des mots de G par rapport à S. On la
note dS .
Remarque 5.5. La métrique des mots dépend de la partie génératrice S.
5.2
La quasi-isométrie
Définition 5.6. Soient (X, dX ) et (Y, dY ) des espaces métriques. On dit que
X et Y sont quasi-isométriques si et seulement s’il existe des applications
f : X → Y et g : Y → X et des constantes K, C et D tel que pour tout
x, x0 ∈ X et y, y 0 ∈ Y
dY (f (x), f (x0 )) ≤ KdX (x, x0 ) + C,
dX (g(y), g(y 0 )) ≤ KdY (y, y 0 )+, C
dX (g ◦ f (x), x) ≤ D,
et dY (f ◦ g(y), y) ≤ D.
Théorème 5.7. Soient X un espace métrique propre et géodésique et G un
groupe qui agit proprement et discontinûment sur X par isométries. Si le
quotient X/G est compact, alors la partie génératrice de G est finie et G est
quasi-isométrique à X.
Plus précisément, il existe une métrique des mots sur G tel que pour tout
x0 ∈ X l’application
G→X
g 7→ g × x0
est une quasi-isométrie.
On trouve une preuve détaillée de ce Théorème dans [BFDM], il s’agit du
Théorème 8.2.
26
Remarque 5.8. Soit G un groupe et S une partie génératrice finie de G.
Définissons l’action de G sur Γ(G, S) comme suit : Un élément h ∈ G associe
à un point g ∈ Γ(G, S) le point hg et l’arête qui relie g et gs est transformée
en l’arête qui relie hg et hgs.
Cette action nous dit que dS (g, h) = dS (1, g −1 h) pour tout g, h ∈ G.
Corollaire 5.9. Soient S et S 0 deux parties génératrices finies d’un groupe
G et dS et dS 0 deux métriques des mots sur G par rapport à S respectivement
S 0 . Alors l’application id : (G, dS ) → (G, dS 0 ) est une quasi-isométrie.
Démonstration. Comme S et S 0 sont tous les deux des parties génératrices
de G, chaque élément s ∈ S peut s’écrire comme un produit d’éléments de
S 0 . Posons K la longueur maximale d’un de ces produits. Soit g ∈ G, on a
alors
dS 0 (1, g) ≤ KdS (1, g).
Donc, par la Remarque 5.8 on a
dS 0 (g, h) = dS 0 (1, g −1 h) ≤ KdS (1, g −1 h) = KdS (g, h).
En inversant les rôles de S et S 0 on démontre par un raisonnement analogue
que
dS (g, h) = dS (1, g −1 h) ≤ KdS 0 (1, g −1 h) = kdS 0 (g, h).
De plus
dS (g, g) = dS 0 (g, g) ≤ D
pour tout D ≥ 0.
Donc id est une quasi-isométrie de constantes K définie comme ci-dessus,
C = 0 et D ≥ 0.
Corollaire 5.10. Soit G un groupe tel que la partie génératrice S est finie.
Alors tout automorphisme de G est une quasi-isométrie.
Remarque 5.11. Grâce au Corollaire 5.9, il n’est pas nécessaire de préciser la
métrique choisie sur G.
Démonstration. Soit φ ∈ Aut(G) avec G un groupe de partie génératrice S
finie. Comme φ est un automorphisme, l’ensemble φ−1 (S) = {φ−1 (s), s ∈ S}
est aussi une partie génératrice finie de G. De plus
dS (φ(g), φ(h)) = dφ−1 (S) (g, h)
27
pour tout g, h ∈ G. Donc le Corollaire 5.9, appliqué avec S 0 = φ−1 (S) nous
donne qu’il existe des constantes K, C et D tel que pour tout g, h ∈ G
dφ−1 (S) (g, h) ≤ KdS (g, h) + C
dS (g, h) ≤ Kdφ−1 (S) (g, h) + C
dS (g, g) ≤ D
dφ−1 (S) (g, g) ≤ D.
Donc on a pour tout g, h ∈ G
dS (φ(g), φ(h)) ≤ KdS (g, h) + C
dS (g, h) ≤ KdS (φ(g), φ(h)) + C
dS (g, g) ≤ D
dS (φ(g), φ(g)) ≤ D.
D’où φ est une quasi-isométrie.
6
Les surfaces
Cette section sert à définir les surfaces, à les classifier et à donner quelques
résultats importants sur les surfaces.
Définition 6.1. On appelle une surface une variété lisse S de dimension 2.
Exemple 6.2. Le tore T 2 := R2 /Z2 muni de la topologie quotient est une
surface fermée, connexe et orientable.
Théorème 6.3. Toute surface S admet une structure de CW-complexe.
6.1
Les courbes fermées simples sur des surfaces
Soit S une surface orientée.
Proposition 6.4. Soient p ∈ S un point de base et α ∈ S une courbe fermée
simple basée en p, alors [α] ∈ π1 (S, p) est primitive.
Par abus, on dit qu’une courbe fermée simple sur une surface est primitive.
On trouve une preuve de cette Proposition dans [BFDM]. Il s’agit de la
Proposition 1.4.
28
Définition 6.5. Soient α respectivement β une courbe fermée simple sur S
ou un chemin dont les extrémités sont dans ∂S. Notons par a respectivement
b la classe d’homotopie (relative aux extrémités de α respectivement β) de α
respectivement β. On appelle alors nombre d’intersection géométrique entre
a et b le nombre minimal de points d’intersection entre les courbes fermées
simples ou les chemins dont les extrémités sont dans ∂S choisies parmi tous
les représentants de a et b. On le note
i(a, b) = min{|α ∩ β|, α ∈ a, β ∈ b}.
Par abus de notation, on écrit aussi i(α, β) au lieu de i(a, b).
Définition 6.6. Soient α et β des chemins orientés qui s’intersectent sur S.
Alors l’indice d’un point d’intersection entre α et β est +1 si l’orientation de
l’intersection est la même que celle de S et −1 sinon.
Définition 6.7. Soient α respectivement β une courbe fermée simple orientée
sur S ou un chemin orientée dont les extrémités sont dans ∂S tel que α et β
s’intersectent. Le nombre d’intersection algébrique entre α et β, noté î(α, β)
est la somme des indices des points d’intersection entre α et β.
Définition 6.8. On appelle une chaı̂ne sur S une suite finie de courbes
fermées simples orientées (α1 , α2 , . . . , αn ), pour un certain n ∈ N, qui vérifient
pour tout 1 ≤ k ≤ n − 1 que î(αk , αk+1 ) ne dépend pas de k, i(αk , αk+1 ) = 1
et i(αk , αj ) = 0 si |k − j| > 1.
Figure 7 – Une chaı̂ne de courbes fermées simples sur une surface
6.2
Coller et couper des surfaces
Définition 6.9. Soient S1 et S2 deux surfaces compactes, connexes, D1 ⊂ S1 ,
D2 ⊂ S2 deux disques et φ : ∂D1 → ∂D2 un difféomorphisme. Alors on appelle somme connexe de S1 et S2 et on note S1 #φ S2 la surface (S1 \D1 ∪ S2 \D2 )/ ∼
29
avec ∼ la relation d’équivalence suivante
x ∼ y ⇐⇒ x ∈ ∂S1 et y = φ(x)
ou x ∈ ∂S2 et x = φ(y)
ou x = y.
Figure 8 – La somme connexe de deux surfaces
La sphère est l’élément neutre pour cette opération.
Proposition 6.10. Si φ, ψ : ∂D1 → ∂D2 sont des difféomorphismes, alors
S1 #φ S2 est homéomorphe à S1 #ψ S2
On trouve une preuve de cette Proposition dans [WiTh] sur les pages 28
et 29.
Définition 6.11. Soient S une surface compacte, connexe et α une courbe
fermée simple sur S respectivement un chemin dont les extrémités sont dans
∂S. La surface obtenue en coupant S le long de α est une surface compacte
Sα munie d’un homéomorphisme h entre deux composantes de bord respectivement deux intervalles I1 , I2 ⊂ ∂S tel que
1. Sα /(x ∼ h(x)) est homéomorphe à S et
2. l’application rα : Sα → S appliquée à ces deux composantes de bord
respectivement ces deux intervalles donne α.
Remarque 6.12. Soit α une courbe fermée simple sur S respectivement un
chemin dont les extrémités sont dans ∂S. Si β est une courbe fermée simple
telle que i(α, β) = 1, alors il existe un unique chemin sur Sα , que l’on note
β̂, tel que l’image de rα (β̂) = β.
Définition 6.13. Soient S une surface compacte, connexe et α une courbe
fermée simple sur S respectivement un chemin dont les extrémités sont dans
∂S. On dit que α est non-séparante si Sα est connexe.
30
Lemme 6.14. Soient S une surface connexe et α un chemin joignant deux
composantes connexes distinctes du bord de S. Alors α est non-séparant (i.e.
Sα est connexe).
Si β est une courbe fermée simple tel que i(α, β) = 1, alors le chemin β̂ joint
une composante de bord de Sα à elle-même.
Lemme 6.15. Soit S une surface connexe. Soit α un chemin joignant une
composante de bord à elle-même. Soit β une courbe fermée simple telle que
i(α, β) = 1. Alors α est non-séparante et le chemin β̂ joint deux composantes
de bord distinctes de Sα .
Proposition 6.16. Soient S une surface compacte, connexe et (α1 , . . . , αn )
une chaı̂ne de courbes fermées simples sur S. Si n est pair, alors la chaı̂ne
est non-séparante.
Démonstration. Supposons que n est pair, donc il existe k ∈ N∗ tel que
n = 2k. Raisonnons par récurrence sur k.
Soit k = 1. Montrons que Sα1 ,α2 est connexe et que α
c3 ∈ Sα1 ,α2 joint une
composante de bord à elle-même.
Si α1 est séparante, alors i(α1 , α2 ) est pair. Or, par la Définition 6.8, i(α1 , α2 ) = 1.
Donc ce cas est à exclure. Donc α1 est non-séparante. D’où Sα1 est connexe
et le chemin α
c2 ∈ Sα1 joint deux composantes connexes distinctes du bord
de Sα1 (ce sont les composantes, qui recollées, donnent α1 ). Donc, d’après le
Lemme 6.14, α
c2 est non-séparant. D’où Sα1 ,α2 est connexe.
De plus, α
c3 joint une composante de bord de Sα1 ,α2 à elle-même, d’après le
Lemme 6.14.
Par hypothèse de récurrence, on peut alors supposer que Sα1 ,...,α2k est connexe,
donc que la chaı̂ne de courbes fermées simples (α1 , . . . , α2k ) est non-séparante
et que α[
2k+1 joint une composante de bord de Sα1 ,...,α2k à elle-même. Par la
Définition 6.8, α2(k+1) est une courbe fermée simple tel que i(α2k+1 , α2(k+1) ) = 1.
D’où par le Lemme 6.15, α[
2k+1 est non-séparante, donc Sα1 ,...,α2k+1 est connexe
et l’arc α\
2(k+1) joint deux composantes de bord distinctes de Sα1 ,...,α2k+1 . Donc
par le Lemme 6.14, α\
2(k+1) est non-séparante et donc Sα1 ,...,α2(k+1) est connexe.
De plus α[
2k+3 joint une composante de bord à elle-même, d’après le Lemme
6.14.
D’où on peut conclure que (α1 , . . . , α2k ) est non-séparante pour tout k ∈ N.
6.3
La classification des surfaces
Le Théorème de la classification des surfaces est connu depuis le milieu du
19e siècle. Il est souvent attribué à Möbius, mais le cas des surfaces compactes
a été démontré par Radò.
31
Théorème 6.17. Toute surface fermée, connexe, orientable est homéomorphe
à la somme connexe d’une sphère avec g tores, pour un certain g ∈ N.
On appelle g le genre de la surface et on note Sg toute surface fermée,
connexe, orientable de genre g.
Remarque 6.18. Si g ≥ 1, on peut supposer que le 0-squelette Sg0 est réduit
à un point.
Grâce au Théorème 6.17 on peut aussi classer les surfaces compactes,
c’est-à-dire des surfaces qui peuvent avoir un bord.
Théorème 6.19. Toute surface compacte, connexe, orientable est obtenue à
partir d’une surface fermée en lui retirant b disques ouverts dont les adhérences
sont disjointes, pour un certain b ∈ N.
L’entier b est le nombre de composantes connexes du bord de la surface.
Finalement, nous pouvons aussi classer les surfaces non-compactes.
Théorème 6.20. Toute surface connexe, orientable est obtenue à partir
d’une surface compacte en lui retirant n points de son intérieur, pour un
certain n ∈ N.
Ainsi toutes les surfaces connexes, orientables sont classées.
Remarque 6.21. Toutes les surfaces connexes sont connexes par arcs. Donc,
d’après la Proposition 4.18, si on parle du groupe fondamental d’une surface
connexe, il n’est pas nécessaire de préciser le point de base.
Proposition 6.22. Soit (c1 , . . . , c2g ) une chaı̂ne de classes d’homotopie libre
de courbes fermées simples sur Sg . Alors les ck engendrent π1 (Sg ).
Figure 9 – Une chaı̂ne de classes d’homotopie libre de courbes fermées
simples sur S2
32
Démonstration. Soit p ∈ Sg un point de base. Considérons les courbes fermées
simples γk basées en p représentées sur la figure ci-dessous. On voit bien que
pour tout 1 ≤ k ≤ 2g, ck = [γk ].
Figure 10 – Une chaı̂ne de courbes fermées simples sur S2
S
Remarquons que le S
complémentaire de 2g
k=1 γk dans Sg est
S2gun disque.
2g
Soit q ∈ Sg tel que q ∈
/ k=1 γk . Alors Sg \ q se rétracte sur k=1 γk , c’est-àdire que, d’après la Définition 4.3, il existe une homotopie
H : Sg \ q × [0, 1] →
2g
[
γk
k=1
tel que
H|S2g
k=1
γk ×[0,1]
= idS2g
k=1
γk .
Soit δ une courbe fermée simple sur Sg basée enSp. On peut supposer que
q∈
/ δ. Alors δ est homotope par H à un lacet de 2g
k=1 γk , c’est-à-dire que δ
est une concaténation de γk .
Donc [δ] ∈ π1 (Sg ) est la concaténation de [γk ] = ck , ce qui démontre que les
ck engendrent π1 (Sg ).
6.4
La caractéristique d’Euler d’une surface
En appliquant la Définition 4.43 aux surfaces, on obtient la Définition
suivante.
Définition 6.23. Soit S une surface, munie d’une structure de CW-complexe.
La caractéristique d’Euler de S est donnée par
χ(S) = b0 − b1 + b2
avec b0 le nombre de points, b1 le nombre d’arêtes et b2 le nombre de faces
de la surface S.
33
La caractéristique d’Euler nous permet d’énoncer le théorème de la classification des surfaces d’une autre façon.
Théorème 6.24. Une surface compacte, connexe, orientable S est caractérisée,
à homéomorphisme près, par sa caractéristique d’Euler et le nombre de composantes connexes de son bord.
Lemme 6.25. Soient D le disque unité ouvert, p, q ∈ D. Alors il existe un
homéomorphisme ψ : D → D fixant le bord tel que ψ(p) = q.
Démonstration. Soient p = reiθ et q = seiφ avec r, s ∈]0, 1] et θ, φ ∈ [0, 2π].
Posons ∆φ−θ : [0, 1] → R une application linéaire sur [0, r] et sur [r, 1] tel que
∆φ−θ (0) = 0
∆φ−θ (r) = φ − θ
∆φ−θ (1) = 0
et posons Rr,s : [0, 1] → R une application linéaire par morceaux tel que
Rr,s (1) = 1
Rr,s (0) = 0
Rr,s (r) = s.
Alors
ψ: D → D
ρeiα 7→ Rr,s (ρ)ei[α+∆φ−θ (ρ)]
est l’homéomorphisme cherché, car
ψ(p) = ψ(reiθ )
= Rr,s (r)ei[θ+∆φ−θ (r)]
= sei[θ+φ−θ]
= seiφ
=q
et
ψ(eiα ) = Rr,s (1)ei[α+∆φ−θ (1)]
= 1ei[α+0]
= eiα .
34
Si p ou q est nulle, on considère un disque D0 ⊂ D tel que p et q ne sont
pas au centre de ce disque. Ensuite on peut refaire le même raisonnement
sur D0 et puis on étend l’homéomorphisme trouvé sur D0 par l’identité sur
D \ D0 .
Proposition 6.26. Soient S une surface compacte, connexe, orientable et α
et β deux courbes fermées simples, non-séparantes sur S. Alors il existe un
homéomorphisme h : S → S tel que h(α) = β. De plus, si p ∈ S \ α ∩ β on
peut supposer que h fixe p.
Démonstration. Comme α et β sont non-séparantes, Sα et Sβ sont connexes.
De plus le nombre de composantes connexes du bord de Sα et Sβ est le même,
c’est celui de S augmenté de 2 et χ(Sα ) = χ(Sβ ) = χ(S). Donc d’après le
Théorème 6.24 Sα est homéomorphe à Sβ .
Soient rα : Sα → S et rβ : Sβ → S les applications de recollement. Alors
il existe un homéomorphisme h : Sα → Sβ tel que si x, y ∈ Sα tel que
rα (x) = rα (y), alors rβ (h(x)) = rβ (h(y)). Donc h induit un homéomorphisme
h : S → S qui rend le diagramme suivant commutatif.
h /
Sβ
Sα
rα
S
/
h
rβ
S
Par conséquent h(α) = β.
Si h ne fixe pas p, posons h(p) = q et soit U un ouvert de S \ β tel que
p, q ∈ U . Identifions U au disque unité. Alors, d’après le Lemme 6.25, il existe
un homéomorphisme ψ : U → U qui envoie p sur q et qui fixe le bord de
U . Il suffit d’étendre cet homéomorphisme par l’identité sur S \ U . Alors
l’homéomorphisme ψ −1 ◦ h vérifient que
ψ −1 ◦ h(p) = ψ −1 (q) = p
et
ψ −1 ◦ h(α) = ψ −1 (β) = β.
Proposition 6.27. Soient S une surface compacte, connexe, orientable et α
et β deux chemins ayant les mêmes extrémités. Alors il existe un homéomorphisme
h : S → S tel que h(α) = β et h fixe les bords de S point par point.
Démonstration. Commençons par montrer l’existence d’un tel homéomorphisme.
La preuve est analogue à celle de la Proposition 6.26.
Deux cas peuvent se produire. Soit les chemins joignent une composante de
35
bord à elle-même, soit elles joignent deux composantes de bords distinctes.
Si α et β joignent deux composantes de bord distinctes, Sα et Sβ sont
connexes, d’après le Lemme 6.14. De plus le nombre de composantes connexes
du bord de Sα et Sβ est le même, c’est celui de S diminué de 1. Et χ(Sα ) = χ(Sβ ) = χ(S) + 1.
Donc, d’après le Théorème 6.24, Sα est homéomorphe à Sβ .
Si α et β joignent une composante de bord à elle-même, Sα et Sβ sont
connexes par le Lemme 6.15. De plus le nombre de composantes connexes
du bord de Sα et Sβ est le même, c’est celui de S augmenté de 1. Et
χ(Sα ) = χ(Sβ ) = χ(S) − 1. Donc, d’après le Théorème 6.24, Sα est homéomorphe
à Sβ .
Le construction de h ∈ Homeo(S) tel que h(α) = β se fait ensuite exactement
comme dans la preuve de la Proposition 6.26.
Reste à démontrer que h fixe les bords de S point par point.
S’il y a des composantes du bords qui n’ont aucun lien avec α ou β, c’est clair
qu’ils sont fixées par h. Concernant les composantes du bord qui sont reliées
par α ou β les seules points dont il faut se soucier sont les extrémités de α et
β, car f envoie les extrémités de α sur les extrémités de β, mais comme on
a supposé qu’ils sont identiques, ces points-là sont aussi fixés par f . Donc f
fixe tous les bords de S point par point.
Lemme 6.28. Soient β0 , β1 des courbes fermées simples sur une surface
S orientable tel que i(β0 , β1 ) = 1 et γ tel que i(β0 , γ) = 1. Alors il existe
h ∈ Homeo(S) tel que h(β0 ) = β0 , h(β0 ) ∩ h(γ) = β0 ∩ β1 et h est l’identité
en dehors d’un voisinage de β0 .
Démonstration. Soit V un voisinage de β0 tel qu’on peut identifier V à
S 1 ×] − 1, 1[ et β0 à S 1 × {0}. Alors on peut voir γ ∩ V comme étant égale à
{eiθ }×] − 1, 1[ et β1 ∩ β0 comme un point {eiψ } × {0}.
Figure 11 – L’homéomorphisme h
36
L’application
h : S 1 ×] − 1, 1[ → S 1 ×] − 1, 1[
(eix , s) 7→ (ei[(1−|s|)(ψ−θ)+x] , s)
est un homéomorphisme sur le voisinage V . Il suffit de l’étendre par l’identité
sur S \ V pour obtenir l’homéomorphisme cherché. On a alors en effet
h(β0 ) ∩ h(γ) := h(eix , 0) ∩ h(eiθ , s)
avec x ∈ S 1 et s ∈] − 1, 1[
= (ei[(ψ−θ)+x] , 0) ∩ (ei[(1−|s|)(ψ−θ)+θ] , s)
= (ei[(ψ−θ)+θ] , 0)
x = θ et s = 0 sont dans l’intersection
= (eiψ , 0)
=: β0 ∩ β1 .
Théorème 6.29. Soient S une surface compacte, connexe, (α1 , . . . , αn ) et
(β1 , . . . , βn ) deux chaı̂nes de courbes fermées simples, non-séparantes sur S.
Alors il existe h ∈ Homeo(S) tel S
que h(α
Si ) = βi pour tout 1 ≤ i ≤ n et on
peut supposer que h fixe p ∈ S \ ( αi ∪ βi ).
Démonstration. Raisonnons par récurrence sur n.
Pour n = 1, il s’agit de la Proposition 6.26. Donc c’est démontré.
Par hypothèse de récurrence, il existe h ∈ Homeo(S) tel que h(αi ) = βi pour
tout 1 ≤ i ≤ n − 1. Notons αn0 = h(αn ).
Comme (β1 , . . . , βn−1 , βn ) et (β1 , . . . , βn−1 , αn0 ) = (h(α1 ), . . . , h(αn−1 ), h(αn ))
sont des chaı̂nes, par le Lemme 6.28, on peut supposer que βn et αn0 intersectent βn−1 au même point. Comme ce sont des chaı̂nes non-séparantes, les
cn et α
cn0 sont non-séparants sur la surface Sβ1 ,...,βn−1 et ont les mêmes
chemins β
extrémités. D’où, par la Proposition 6.27, il existe un homéomorphisme f : Sβ1 ,...,βn−1 → Sβ1 ,...,βn−1
tel que f (αˆn0 ) = βˆn qui fixe les bords de Sβ1 ,...,βn−1 point par point. Par
conséquent, f induit un homéomorphisme f : S → S qui fixe β1 , . . . , βn−1 et
tel que f (αn0 ) = βn . D’où pour tout 1 ≤ i ≤ n
f ◦ h(αi ) = βi .
S
Si f ◦ h ne fixe pas p, posons f ◦ h(p) = q et soit U un ouvert de S \ βi tel
que p, q ∈ U . Identifions U au disque unité. Alors, d’après le Lemme 6.25, il
existe un homéomorphisme ψ : U → U qui envoie p sur q et qui fixe le bord
de U . Il suffit d’étendre cet homéomorphisme par l’identité sur S \ U . Alors
l’homéomorphisme ψ −1 ◦ f ◦ h vérifient que
ψ −1 ◦ f ◦ h(p) = ψ −1 (q) = p
37
et pour tout 1 ≤ i ≤ n,
ψ −1 ◦ f ◦ h(αi ) = ψ −1 (βi ) = βi .
7
Mapping Class Group étendu
Nous allons maintenant définir le mapping class group étendu et démontrer
un cas particulier du Théorème de Dehn-Nielsen Baer.
Soit S une surface compacte, connexe, orientée. Considérons le groupe
des homéomorphismes de S qui valent l’identité sur ∂S si ∂S 6= ∅, muni de
la composition des applications. Notons-le Homeo(S).
Proposition 7.1. Soit S une surface compacte qui n’est ni un disque fermé,
ni une couronne fermée. Soient f, g ∈ Homeo(S) homotopes, alors f et g
sont isotopes.
On trouve ce résultat dans [BFDM], il s’agit du Théorème 1.12.
Définition 7.2. Soit S une surface compacte, connexe, orientée, alors le
mapping class group étendu de S est le groupe défini par
Mod± (S) = π0 (Homeo(S))
= (Homeo(S))/ ∼
avec ∼ la relation d’isotopie, muni de la composition des applications.
Donc deux éléments de Homeo(S) qui sont isotopes sont identifiés dans
Mod± (S).
7.1
Le mapping class group étendu du tore
Théorème 7.3. Le mapping class group étendu du tore, noté Mod± (T 2 ) est
isomorphe à GL2 (Z).
Démontrons ce théorème en plusieurs étapes.
38
7.1.1
L’homomorphisme de groupes F : Homeo(T 2 ) → GL2 (Z)
Considérons l’homomorphisme de groupes
F : Homeo(M ) → Out(π1 (M, p))
φ 7→ {φγ∗ }
qu’on a défini dans la sous-section 4.3 pour tout espace topologique connexe
pas arcs. On peut donc supposer que M = T 2 , ce qui nous donne d’après la
Remarque 4.34,
F : Homeo(T 2 ) → Out(π1 (T 2 ))
φ 7→ {φγ∗ }.
Or, d’après le Théorème 4.33, on peut identifier π1 (T 2 ) à Z2 par l’isomorphisme Θ et comme Z2 est abélien, par la Proposition 3.16, Out(Z2 ) = Aut(Z2 ).
De plus, par le Corollaire 4.35, on peut munir π1 (T 2 ) de la base ([p◦ α̃], [p◦ β̃])
qui sera identifiée à la base ((1, 0), (0, 1)) de Z2 . Ainsi on peut finalement identifier Out(π1 (T 2 )) à GL2 (Z).
Ainsi nous avons défini une application
F : Homeo(T 2 ) → GL2 (Z)
φ 7→ φγ∗ .
7.1.2
Surjectivité de F
a b
Soit A ∈ GL2 (Z), donc A =
, avec a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = ±1.
c d
Posons
fA : R2 → R2
u 7→ A × u.
Alors fA ∈ Homeo(R2 ). Soient u, v ∈ R2 et p : R2 → T 2 le revêtement donné
dans l’Exemple 4.26. On remarque que si p(u) = p(v), alors p(fA (u)) = p(fA (v)),
car si p(u) = p(v), alors il existe k ∈ Z2 tel que u = v + k et on a alors
fA (u) = A × u
= A × (v + k)
=A×v+A×k
= A × v + k0
= fA (v) + k 0 .
avec k 0 ∈ Z2
39
Donc p(fA (u)) = p(fA (v)). Par conséquent, il existe fA : T 2 → T 2 qui rend
le diagramme suivant commutatif :
R2
p
fA
/
R2 .
T2
p
/ T2
fA
De plus fA est inversible et son inverse est défini par
fA−1 : R2 → R2
u 7→ A−1 × u.
Donc fA−1 ∈ Homeo(R2 ) et par un raisonnement analogue on peut montrer
−1
qu’il existe fA : T 2 → T 2 qui rend le diagramme suivant commutatif :
R2
p
−1
fA
/
R2 .
T2
fA
−1
p
/ T2
Donc fA est inversible et donc bijective.
De plus fA et p sont des homéomorphismes locaux, donc fA aussi. Comme fA
est de plus bijective, il s’agit d’un homéomorphisme global. Donc fA ∈ Homeo(T 2 ).
Reste à montrer que F (fA ) := A.
D’après le Corollaire 4.35, on a à isomorphisme près
F (fA )(1, 0) = (fA )∗ (1, 0)
= [fA ◦ p ◦ α̃]
= [p ◦ fA ◦ α̃]
= fA ◦ α̃(1)
= fA (1, 0)
= A × (1, 0)
par le Théorème 4.33
et de même on trouve F (fA )(0, 1) = A × (0, 1). Donc F (fA ) := A. D’où F
est surjective.
40
7.1.3
L’homomorphisme surjective σ : Mod± (T 2 ) → GL2 (Z)
Considérons φ, φ0 ∈ Homeo(T 2 ) isotopes. Alors, d’après ce qu’on a démontré
dans la sous-section 4.3, F (φ) = F (φ0 ). Par conséquent, F induit l’application
σ : Mod± (T 2 ) → GL2 (Z)
[φ] 7→ φγ∗ .
Montrons que σ est aussi un homomorphisme de groupes.
Soient [φ], [ψ] ∈ Mod± (T 2 ), on a alors
σ([φ] ◦ [ψ]) = σ([φ ◦ ψ])
= F (φ ◦ ψ)
= F (φ) ◦ F (ψ)
car F est un homomorphisme de groupes
= σ([φ]) ◦ σ([ψ]).
Comme F est surjective, σ l’est aussi.
7.1.4
Injectivité de σ
Reste à montrer que σ est injective.
Soit φ ∈ Homeo(T 2 ) tel que σ([φ]) = idGL2 (Z) . Montrons que [φ] = [idT 2 ].
Comme F (φ) = σ([φ]), on a
φγ∗ = idGL2 (Z)
⇐⇒ Θγ ◦ φ∗ = idGL2 (Z)
⇐⇒ φ∗ = Θγ
avec γ un chemin entre p et φ(p).
D’après la Proposition 4.48, il existe une application continue
ψ: T2 → T2
p 7→ φ(p)
homotope à l’identité tel que
ψ∗ = Θγ .
Donc
ψ∗ = φ∗ .
D’après la Remarque 6.18, on peut supposer que (T 2 )0 est réduit à un point
et d’après le Théorème 6.3, T 2 admet une structure de CW-complexe. De
41
plus, par l’Exemple 4.32, R2 est le revêtement universel de T 2 et comme
R2 est contractile, on peut appliquer la Proposition 4.41 qui nous donne
que φ ' ψ. Or ψ ' id, donc φ ' idT 2 . D’où, par la Proposition 7.1,
[φ] = [idT 2 ] ∈ Mod± (T 2 ).
D’où l’injectivité.
Ainsi on a finalement montré que σ définit un isomorphisme de groupes
entre Mod± (T 2 ) et GL2 (Z).
8
Géométrie hyperbolique
Dans cette section nous allons introduire le plan hyperbolique avec son
bord et ses isométries, nous allons définir les surfaces hyperboliques et énoncer
beaucoup de résultats importants sur les surfaces hyperboliques, qu’il nous
faut pour démontrer finalement dans la prochaine section le Théorème de
Dehn-Nielsen-Baer.
8.1
Le plan hyperbolique H2
Il existe plusieurs modèles de représentations du plan hyperbolique.
8.1.1
Le demi-plan de Poincaré
Dans ce modèle H2 = {z ∈ C : Im(z) > 0}. Munissons-le d’une métrique.
Figure 12 – Le demi-plan de Poincaré
Définition 8.1. Considérons dans H2 la courbe paramétrée, de classe C 1
par morceaux, donnée par l’application
γ : [0, 1] → H2
t 7→ (x(t), y(t)).
42
Alors on définit la longueur hyperbolique de γ dans le demi-plan de Poincaré
par
Z 1p 0
(x (t))2 + (y 0 (t))2
dt.
`d−p (γ) =
y(t)
0
Définition 8.2. Soient P, Q ∈ H2 .
On pose
dd−p (P, Q) = inf `d−p (γ),
γ
où γ décrit l’ensemble des courbes paramétrées, C 1 par morceaux, reliant P
à Q dans H2 .
Proposition 8.3. L’application dd−p : H2 × H2 → R est une métrique.
On en trouve une démonstration dans [ClJo].
L’espace métrique (H2 , dd−p ) s’appelle le demi-plan de Poincaré.
Dans ce modèle les géodésiques complètes sont les demi-cercles centrés
sur l’axe des abscisses et délimités par deux points de l’axe des abscisses
(ce qui inclut des demi-droites verticales délimitées par l’axe des abscisses).
On trouve un développement détaillé qui explique comment on aboutit à ce
résultat dans [ClJo].
Figure 13 – Les géodésiques du demi-plan de Poincaré
8.1.2
Le disque de Poincaré
On construit ce modèle à partir du demi-plan de Poincaré, à l’aide de
l’application
J : {z ∈ C : Im(z) > 0} → {z ∈ C : |z| < 1}
iz + 1
z 7→
z+i
43
On peut facilement vérifier que J est bien définie. De plus J est une bijection,
dont l’application réciproque est donné par
J −1 : {z ∈ C : |z| < 1} → {z ∈ C : Im(z) > 0}
−iz + 1
z 7→
.
z−i
Dans ce modèle, en bijection avec le demi-plan de Poincaré, H2 = {z ∈ C : |z| < 1}.
Figure 14 – Le disque de Poincaré
Pour le munir d’une métrique, on munit tout simplement le disque unité
de la métrique induite par J, c’est-à-dire que pour tout P, Q ∈ H2
ddisc (P, Q) = dd−p (J −1 (P ), J −1 (Q)).
L’espace métrique (H2 , ddisc ) s’appelle le disque de Poincaré.
Dans ce modèle les géodésiques complètes sont les arcs de cercles qui
rencontrent le disque unité perpendiculairement (ce qui inclut les diamètres
du disque).
Figure 15 – Les géodésiques du disque de Poincaré
44
8.2
Le bord du plan hyperbolique
Notons d la distance hyperbolique lorsque ce n’est pas nécessaire de
préciser le modèle de représentation.
Définition 8.4. Un rayon géodésique est l’image d’une isométrie γ : [0, ∞[→ H2 .
Définition 8.5. Le bord du plan hyperbolique est défini par
∂H2 = {rayons géodésiques}/ ∼
avec ∼ la relation d’équivalence suivante
γ1 ∼ γ2 ⇐⇒ ∃D > 0 tel que d(γ1 (t), γ2 (t)) ≤ D ∀t ≥ 0.
Figure 16 – Le bord du plan hyperbolique dans les différents modèles
Notons H2 = H2 ∪ ∂H2 .
Définition 8.6. On appelle demi-plan de H2 une composante connexe de
H2 \ γ avec γ une géodésique dans H2 .
Définition 8.7. Soit P ⊂ H2 un demi-plan. On définit alors
UP = {[γ] ∈ ∂H2 | ∃T ≥ 0 tel que γ(t) ∈ P ∀t ≥ T }.
Figure 17 – UP dans le modèle du disque de Poincaré
45
Un point de ∂H2 est dans UP si pour chaque rayon géodésique γ qui le
représente il existe T ≥ 0 tel que γ(t) ∈ P pour tout t ≥ T .
On munit H2 de la topologie induite par les ouverts de H2 et les ensembles
P ∪ UP avec P des demi-plans.
Remarque 8.8. Si f ∈ Isom (H2 ), on peut remarquer que f envoie un rayon
géodésique sur un rayon géodésique et que f préserve ∼. Ainsi on peut
l’étendre à f : H2 → H2 .
Comme 2 points distincts de ∂H2 définissent une unique géodésique dans H2 ,
f envoie donc 2 points distincts sur 2 points distincts. Donc f est injective.
Proposition 8.9. f est un homéomorphisme de H2 .
Il s’agit d’un résultat donné sur la page 20 de [BFDM].
8.3
Les isométries du plan hyperbolique
Notons par Isom+ (H2 ) le groupe des isométries de H2 qui préservent
l’orientation du plan hyperbolique muni de la composition des applications.
Dans le modèle du demi-plan de Poincaré, on a le résultat suivant.
Proposition 8.10. L’application
PSL2 (R) → Isom+ (H2 )
az + b
a b
7→ z 7→
c d
cz + d
On trouve une démonstration de la Proposition 8.10 dans [ClJo], il s’agit
de la Proposition 5.8.
Soient f ∈ Isom+ (H2 ) et l’application continue f : H2 → H2 l’extension
de f . Si on se place dans le modèle du disque de Poincaré, f admet au moins
un point fixe dans H2 par le théorème de Brouwer dans le plan :
Théorème 8.11. Toute application f continue d’un disque fermé dans luimême admet au moins un point fixe.
On en trouve une preuve dans [AlHat], il s’agit du Théorème 1.9.
On a alors la classification suivante :
46
1. Si f a un seul point fixe et que ce point fixe est dans H2 , on dit que f
est elliptique. Dans ce cas, on montre facilement
que
f est représentée
a b
dans PSL2 (R) par une matrice de la forme
avec |a + d| < 2.
c d
2. Si f a un seul point fixe et que ce point fixe est dans ∂H2 , on dit que f
est parabolique. Dans ce cas, on montre facilement
que f est représentée
a b
dans PSL2 (R) par une matrice de la forme
avec |a + d| = 2.
c d
3. Si f a deux points fixes et que ces deux points fixes sont dans ∂H2 ,
on dit que f est hyperbolique. Dans ce cas, on montre facilement
que
a b
f est représentée dans PSL2 (R) par une matrice de la forme
c d
avec |a + d| > 2.
Il est facile de démontrer que chaque matrice A 6= I ∈ PSL2 (R) représente
selon sa trace une des fonctions f cité ci-dessus.
Ainsi, si f a plus que deux points fixes dans H2 , f = idH2 .
Si f ∈ Isom+ (H2 ) est hyperbolique, on note par (Ax(f )(−∞), Ax(f )(+∞)) ∈ ∂H2
les 2 points fixes de f .
Définition 8.12. Soit f ∈ Isom+ (H2 ) hyperbolique. On appelle l’axe de
f et on note Ax(f ), l’unique géodésique de H2 qui joint les deux points
Ax(f )(−∞) et Ax(f )(+∞).
Remarque 8.13. L’isométrie f préserve Ax(f ) et l’application f |Ax(f ) est une
translation.
Figure 18 – Représentation de f k (q)
47
Lemme 8.14. Soit f ∈ Isom+ (H2 ) hyperbolique. Considérons Ax(f ). Alors
pour tout q ∈ H2 , on a
lim f k (q) = Ax(f )(±∞).
k→±∞
Démonstration. Faisons le raisonnement pour +∞. L’autre cas s’explique
par un raisonnement analogue.
Soit γ une géodésique distincte de Ax(f ). Soit P le demi-plan défini par γ
qui vérifie que l’ouvert P ∪ UP ⊂ H2 contient Ax(f )(+∞).
Si q ∈ Ax(f ), comme f agit par translation sur Ax(f ), il existe k0 tel que
pour tout k ≥ k0 , f k (q) ∈ P . De plus, pour tout R > 0 il existe k1 ≥ k0 tel
que pour tout k ≥ k1 d(f k (q), γ) > R. D’où
lim f k (q) = Ax(f )(+∞).
k→+∞
Si q ∈
/ Ax(f ), soit q 0 ∈ Ax(f ). Alors il existe à nouveau k0 et k1 ≥ k0 tel
que pour tout k ≥ k0 , f k (q 0 ) ∈ P et pour tout k ≥ k1 d(f k (q 0 ), γ) > d(q, q 0 ).
Donc pour tout k ≥ k1 d(f k (q), f k (q 0 )) < d(f k (q 0 ), γ) et f k (q) ∈ P . De plus,
pour tout R > 0 il existe k2 ≥ k1 tel que pour tout k ≥ k2 d(f k (q), γ) > R.
D’où
lim f k (q) = Ax(f )(+∞).
k→+∞
Remarque 8.15. La convergence se fait par rapport à la topologie définie sur
H2 .
8.4
Surfaces hyperboliques
Définition 8.16. Une surface hyperbolique est un espace métrique (X, d),
connexe, muni d’un atlas {(Ui , φi )}i∈I avec
S I un ensemble d’indice tel2 que
pour tout i, j ∈ I, Ui est un ouvert de X, i∈I Ui = X, il existe Vi ⊂ H ou+
2
vert tel que φi : Ui → Vi est une isométrie et φj ◦ φ−1
i : φi (Ui ∩ Uj ) → φj (Ui ∩ Uj ) ∈ Isom (H ).
Théorème 8.17. Soit S une surface connexe, orientée, caractérisée par
g, b, n ∈ N. Si g ≥ 2, alors S peut être munie d’une métrique d telle que
(S, d) est une surface hyperbolique.
Voici le théorème de Killing-Hopf.
Théorème 8.18. Si S est une surface hyperbolique, alors il existe une action
du π1 (S) sur H2 par isométrie, libre et proprement discontinue, telle que
H2 /π1 (S) est isométrique à S.
48
Proposition 8.19. Si S est une surface hyperbolique, alors p : H2 → S est
un revêtement universel.
Démonstration. D’après le Théorème 8.18 et la Proposition 4.23 p : H2 → S
est un revêtement. Comme de plus H2 est connexe par arcs et π1 (H2 ) = 1,
H2 est le revêtement universel de S.
Remarque 8.20. La théorie des revêtements nous permet d’expliciter l’action
du π1 (Sg ) sur son revêtement universel :
Soient g ≥ 2, q un point de base dans Sg et p : H2 → Sg un revêtement fixé.
Soient x ∈ H2 tel que p(x) = q, [γ] ∈ π1 (Sg , q) et γ̃ le relevé de γ par p
qui existe d’après l’Exemple 4.29 et qui vérifie γ̃(0) = x. Alors, d’après la
Remarque 4.30, γ̃(1) ∈ p−1 (q). D’où on peut définir l’action du π1 (Sg , q) sur
l’ensemble des relevés de q par p par
[γ] × x = γ̃(1).
Pour étendre l’action du π1 (Sg , q) sur H2 tout entier on applique la propriété
du relèvement avec Z = H2 et f = p. On a en effet, que p(x) = q = p([γ]×x).
2
H
>
Fγ
p
H2 p / Sg
Donc il existe une unique application
Fγ : H2 → H2
x 7→ [γ] × x
avec [γ] ∈ π1 (Sg , p(x)) telle que le diagramme commute, c’est-à-dire que
p ◦ Fγ = p.
L’action du π1 (Sg ) sur H2 est alors donnée par
[γ] × y = Fγ (y)
avec [γ] ∈ π1 (Sg , p(y)).
Remarque 8.21. Si S est une surface hyperbolique et a ∈ π1 (S), alors comme
π1 (S) agit sur H2 par isométries, a donne une isométrie fa de H2 .
Définition 8.22. Soient S une surface hyperbolique, a ∈ π1 (S) et fa ∈ Isom(H2 )
l’isométrie donné par a. On dit que a est un élément hyperbolique si fa est
hyperbolique.
Lemme 8.23. Si S est une surface hyperbolique compacte, alors tous les
éléments non triviaux de π1 (S) sont hyperboliques.
49
Définition 8.24. Soient S une surface hyperbolique compacte et a ∈ π1 (S)
non-trivial. On définit l’axe de a par Ax(a) := Ax(fa ).
Soient maintenant S une surface hyperbolique compacte, x ∈ S un point
de base, p : H2 → S un revêtement, x̃ ∈ p−1 ({x}), a = [α] ∈ π1 (Sg , x) nontrivial, α̃ le relevé de α en x̃ donné dans l’Exemple 4.29 et f l’isométrie de
H2 associée à a par la Remarque 8.21.
Remarque 8.25. Alors f k (α̃) relie f k (x̃) à f k+1 (x̃).
On note ak × α̃ := f k (α̃) et ak × x̃ := f k (x̃).
Définition 8.26. Définissons la concaténation des ak × α̃ par
α̃∞ : R → H2
t 7→ abtc × α̃(t − btc).
Remarque 8.27. La concaténation des ak ×α̃ est C 1 par morceaux et p(α̃∞ ) = α.
Lemme 8.28.
limt→±∞ α̃∞ (t) = Ax(a)(±∞).
Identifions maintenant Ax(a) à R par isométrie. Alors < a > est identifié
à Z.
Soit ρ : R → R/Z =: S 1 le revêtement donné dans l’Exemple 4.24. Alors, par
la même isométrie, on peut supposer que ρ : Ax(a) → Ax(a)/ < a >.
Lemme 8.29. L’application p|Ax(a) se factorise en
p|Ax(a) = α0 ◦ ρ
avec Ax(a)
ρ
/
Ax(a)/ < a >' S 1
α0
/S
et [α0 ] = a.
Remarque 8.30. L’image de Ax(a) par p ”s’enroule” autour d’une courbe
fermée α0 qui représente a.
Définition 8.31. On appelle α0 représentant géodésique de a.
Lemme 8.32. Soient a ∈ π1 (S) une classe d’homotopie de courbes fermées
simples, y ∈ Ax(a) et g ∈ π1 (S). Alors si g × y ∈ Ax(a), il existe k ∈ Z tel
que g = ak .
50
Démonstration. Supposons par l’absurde que g × y n’est pas dans l’orbite de
y par < a >. Alors ρ(g × y) 6= ρ(y). Mais
α0 ◦ ρ(g × y) = p(g × y)
= p(y)
= α0 ◦ ρ(y).
Donc α0 n’est pas injective, ce qui est contradictoire au fait que [α0 ] = a qui
est une classe d’homotopie de courbes fermées simples.
Définition 8.33. Soient S une surface hyperbolique compacte, a, b ∈ π1 (S)
non-triviaux. On dit que a et b sont liés à l’infini si Ax(a) ∩ Ax(b) est réduit
à un point de H2 .
Figure 19 – être lié à l’infini
Lemme 8.34. Soient g ≥ 2, p : H2 → Sg un revêtement fixé, φ ∈ Aut(π1 (Sg ))
et a, b ∈ π1 (Sg ) non-triviaux. Alors φ(a) et φ(b) sont liés à l’infini si et seulement si a et b sont liés à l’infini.
Démonstration. Comme φ est inversible, il suffit de démontrer une implication. L’autre sera exactement pareil en raisonnant avec φ−1 .
D’après le corollaire 5.10, φ est une quasi-isométrie de π1 (Sg ) sur lui-même.
Soit x0 ∈ H2 , on définit l’orbite de x0 par
Orb(x0 ) = {g × x0 , g ∈ π1 (Sg )}.
D’après le Théorème 5.7, l’application g 7→ g × x0 est une quasi-isométrie
51
π1 (Sg ) → Orb(x0 ).
Ceci nous permet de voir φ comme une quasi-isométrie de Orb(x0 ) sur ellemême de constantes K, C et D, avec D le diamètre d’un domaine fondamental
fixé de l’action du π1 (Sg ) sur H2 .
Supposons que a et b ne sont pas liés à l’infini et montrons que φ(a) et
φ(b) ne sont pas liés à l’infini.
Si a et b ne sont pas liés à l’infini, alors par la Définition 8.33, Ax(a) et Ax(b)
ne s’intersectent pas dans H2 . D’où il y a trois possibilités.
1. Ax(a) et Ax(b) n’ont pas de point commun sur ∂H2
2. Ax(a) et Ax(b) ont exactement un point commun sur ∂H2
3. Ax(a) = Ax(b)
1. Soit R > 0.
Considérons l’ensemble
Oa = {ak × x0 , k ∈ Z}.
Notons xa le projeté de x0 sur Ax(a), xb le projeté de x0 sur Ax(b),
da = d(x0 , xa ) et db = d(x0 , xb ).
Figure 20 – Les projetés xa et xb et les distances da et db
Posons R0 = R + da + db .
Comme on a supposé que Ax(a) et Ax(b) n’ont pas de point commun
52
à l’infini, ils ne sont pas à une distance bornée l’un de l’autre.
Donc il existe MR0 tel que si y ∈ Ax(b) et
d(y, xb ) > MR0 ,
alors
d(y, Ax(a)) > R0 .
Donc pour N assez grand pour que
d((bN )k × xb , xb ) > MR0
pour tout k ∈ Z∗ , on a
d((bN )k × xb , Ax(a)) > R0 .
Donc pour tout k 0 ∈ Z,
0
d((bN )k × xb , ak × xa ) > R0 .
D’où
0
d((bN )k × x0 , ak × x0 )
0
0
0
≥ d((bN )k × xb , ak × xa ) − d((bN )k × x0 , (bN )k × xb ) − d(ak × x0 , ak × xa )
> R0 − da − db
= R.
Ainsi on a montré qu’il existe N dépendant de R tel que chaque élément
de l’ensemble
ObN = {(bN )k × x0 , k ∈ Z∗ }
est à une distance au moins R de chaque élément de Oa .
Posons
VR (Ax(a)) = {y ∈ H2 tel que d(y, Ax(a)) ≤ R}.
Si R > db , on a alors de plus que tous les points de ObN sont dans la
même composante connexe de H2 \ VR (Ax(a)).
Soit ∆ un domaine fondamental de l’action du π1 (Sg ) sur H2 (∆ est
compact). Posons
[
ṼR (Ax(a)) =
g × ∆.
d(g×∆,Ax(a))<R
53
Alors ṼR (Ax(a)) ⊂ VR+D (Ax(a)).
Donc, quitte à prendre N tel que les points de ObN satisfont d(y, Ax(a)) > R + D
si R > db , tous les points de ObN sont dans la même composante connexe
de H2 \ ṼR (Ax(a)).
Ceci nous permet de relier les points de ObN par des chemins géodésiques
par morceaux contenus dans cette composante connexe tel que chaque
segment géodésique relie des points βi ∈ Orb(x0 ) tel que pour tout i,
(a) ObN ⊂ {βi }
(b) d(βi , βi+1 ) ≤ 2D
(c) d(βi , Ax(b)) est bornée
(d) d(βi , Ax(a)) > R.
D’une manière analogue, on relie les points de Oa . Notons {αi } les
sommets de ce chemin géodésique par morceaux. On a alors pour tout
i,
(a) Oa ⊂ {αi }
(b) d(αi , αi+1 ) ≤ 2D
(c) d(αi , Ax(a)) est bornée
(d) d(αi , Ax(b)) > R.
En particulier, on a pour tout i, j que
d(αi , βj ) > R.
Appliquons ensuite φ aux αi et βi . Par la Définition 5.6, on a pour tout
i, j
d(φ(αi ), φ(αi+1 )) ≤ K × d(αi , αi+1 ) + C
< 2KD + C,
d(φ(βi ), φ(βi+1 )) ≤ K × d(βi , βi+1 ) + C
< 2KD + C
54
et
d(αi , βj ) ≤ K × d(φ(αi ), φ(βj )) + C
1
⇐⇒ d(φ(αi ), φ(βj )) ≥ (d(αi , βj ) − C)
K
1
⇐⇒ d(φ(αi ), φ(βj )) > (R − C).
K
Supposons maintenant que φ(a) et φ(b) sont liés à l’infini et montrons
qu’il y a une contradiction.
Si φ(a) et φ(b) sont liés à l’infini, alors d’après la Définition 8.33,
Ax(φ(a)) et Ax(φ(b)) s’intersectent. Donc les chemins géodésiques par
morceaux {φ(αi )} et {φ(βi )} se croisent. Donc il existe i, j tel que les
segments géodésiques [φ(αi ), φ(αi+1 )] et [φ(βj ), φ(βj+1 )] ont un point
commun. Donc comme
d(φ(αi ), φ(αi+1 )) < 2KD + C
et
d(φ(βj ), φ(βj+1 )) < 2KD + C,
il existe n ∈ {i, i + 1} et m ∈ {j, j + 1} tel que
d(φ(αn ), φ(βm )) < 2KD + C.
Or on a montré que
d(φ(αn ), φ(βm )) >
1
(R − C).
K
Donc il faut que
1
(R − C) < 2KD + C.
K
Or on a choisi R > 0 quelconque. D’où la contradiction.
Donc φ(a) et φ(b) ne sont pas liés à l’infini.
2. Considérons les ensembles
Oa0 = {ak × x0 , k ∈ Z}
et
Ob0 = {bk × x0 , k ∈ Z}.
Comme Ax(a) et Ax(b) tendent vers un même point, on peut fixer
l’orientation des axes tel que pour tout il existe m, n ∈ N tel que pour
tout k ≥ m et pour tout l ≥ n,
d(ak × x0 , bl × x0 ) < .
55
Comme φ est une quasi-isométrie de Orb(x0 ) sur elle-même de constantes
K, C et D, et que Oa0 , Ob0 ⊂ Orb(x0 ), on a alors
d(φ(ak × x0 ), φ(bl × x0 )) ≤ K × d(ak × x0 , bl × x0 ) + C
< K + C
= 0
Donc Ax(φ(a)) et Ax(φ(b)) ont un point commun sur ∂H2 . D’où soit
Ax(φ(a)) = Ax(φ(b)), soit il ne s’intersectent pas dans H2 .
Si Ax(φ(a)) = Ax(φ(b)), alors φ(a) et φ(b) ne sont pas liés à l’infini
et si Ax(φ(a)) et Ax(φ(b)) ne s’intersectent pas dans H2 , d’après la
Définition 8.33, φ(a) et φ(b) ne sont pas non plus liés à l’infini.
3. Ici Ax(a) et Ax(b) ont deux points communs sur ∂H2 . Donc, par un
raisonnement analogue à celui ci-dessus, Ax(φ(a)) et Ax(φ(b)) ont aussi
deux points communs sur ∂H2 et donc Ax(φ(a)) = Ax(φ(b)). D’où, φ(a)
et φ(b) ne sont pas liés à l’infini.
Donc on a finalement montré par contraposée que si φ(a) et φ(b) sont liés à
l’infini, alors a et b sont liés à l’infini, ce qui termine la preuve.
Théorème 8.35. Soient U1 et U2 deux ouverts de ∂H2 et g ≥ 2. Alors il
existe a ∈ π1 (Sg ) non-trivial tel que Ax(a) joint un point de U1 à un point
de U2 .
Ce Théorème est une conséquence du Lemme 4.1.2 de [FrLa].
Corollaire 8.36. Soient g ≥ 2, p : H2 → Sg un revêtement fixé, φ ∈ Aut(π1 (Sg ))
et a, b, c ∈ π1 (Sg ) des éléments non-triviaux tel que Ax(a), Ax(b) et Ax(c)
soient disjoints. Alors Ax(φ(a)) et Ax(φ(b)) sont du même côté de Ax(φ(c))
si et seulement si Ax(a) et Ax(b) sont du même côté de Ax(c).
Démonstration. Ax(a) et Ax(b) sont du même côté de Ax(c) si et seulement
s’il existe d ∈ π1 (Sg ) tel que d est lié à l’infini avec a et b, mais pas avec
c (un tel d existe d’après le Théorème 8.35). Par le Lemme 8.34, ceci est
équivalent au fait que φ(d) est lié à l’infini avec φ(a) et φ(b), mais pas avec
φ(c), ce qui équivaut à dire que Ax(φ(a)) et Ax(φ(b)) sont du même côté de
Ax(φ(c)).
Lemme 8.37. Soient g ≥ 2, p : H2 → Sg un revêtement fixé et a, b ∈ π1 (Sg )
des éléments non-triviaux. Alors Ax(aba−1 ) = a × Ax(b).
56
Démonstration. Soient x, y ∈ ∂H2 des points fixés par b. Alors
aba−1 (a × x) = ab × x
=a×x
−1
et aba (a × y) = ab × y
= a × y.
Donc les points a × x, a × y ∈ ∂H2 sont fixés par aba−1 . Par conséquent,
Ax(aba−1 ) est la géodésique entre a×x et a×y. Comme deux points distincts
définissent une unique géodésique, Ax(aba−1 ) = a × Ax(b).
Proposition 8.38. Une classe de conjugaison A d’un élément primitif de
π1 (Sg ) a un représentant simple si et seulement s’il n’existe pas de a1 , a2 ∈ π1 (Sg )
tel que {a1 } = {a2 } = A et a1 est lié à l’infini avec a2 .
Démonstration. Raisonnons par l’absurde.
Soit A une classe de conjugaison d’un élément primitif qui a un représentant
simple. Supposons qu’il existe a et hah−1 tel que {a} = {hah−1 } = A qui sont
liés à l’infini, c’est-à-dire que Ax(a) et Ax(hah−1 ) = h Ax(a) s’intersectent.
Considérons α̃∞ et hα̃∞ . Alors
limt→±∞ α̃∞ (t) = Ax(a)(±∞)
et
limt→±∞ hα̃∞ (t) = h Ax(a)(±∞) = Ax(hah−1 )(±∞).
Donc les deux chemins infinis α̃∞ et hα̃∞ se croisent au moins une fois.
Notons par ỹ un point d’intersection.
Figure 21 – Le sens direct de la Proposition 8.38
57
Soit U un voisinage assez petit autour de ỹ et p : H2 → Sg un revêtement.
Alors p|U est un homéomorphisme sur son image.
Or p(α̃∞ ) = α = p(hα̃∞ ) et donc α s’intersecte elle-même en p(ỹ). D’où α
n’est pas une courbe simple, ce qui donne une contradiction.
Ensuite on part de l’hypothèse qu’il n’existe pas d’éléments conjugués
dans A qui sont liés à l’infini et nous supposons que A n’admet pas de
représentant simple, c’est-à-dire que tout représentant α tel que {[α]} = {a} = A
s’intersecte lui-même. Donc, en particulier, son représentant géodésique α0
n’est pas simple. Donc, comme a est primitif, il existe y ∈ α0 et un voisinage
U de y tel que α0 ∩ U n’est pas un segment.
Soit ỹ un relevé de y sur Ax(a) et V = p−1 (U ). On peut supposer que
p|V : V → U est un homéomorphisme. Alors V contient deux segments
géodésiques distincts I et J tels que ỹ ∈ I ∩ J et p(I), p(J) ⊂ α0 . Donc, il
existe h ∈ π1 (Sg ) tel que hJ ⊂ Ax(a), ce qui implique que J ⊂ h−1 Ax(a) = Ax(h−1 ah).
Par conséquent a et h−1 ah sont liés à l’infini. Donc on a trouvé des éléments
conjugués qui sont liés à l’infini, ce qui est contradictoire à l’hypothèse.
Figure 22 – Le sens réciproque de la Proposition 8.38
Proposition 8.39. Soient A, B des classes de conjugaison de classes d’homotopie de courbes fermées simples sur Sg . Alors i(A, B) = 0 si et seulement
s’il n’existe pas de représentants a, b ∈ π1 (Sg ) de A et B, tel que a et b sont
liés à l’infini.
Démonstration. Raisonnons par contraposée.
Supposons qu’il existe des représentants a, b ∈ π1 (Sg ) tel que a et b sont liés
58
à l’infini, c’est-à-dire que Ax(a) et Ax(b) s’intersectent. Soient α et β des
représentants de a et b. Considérons les chemins α̃∞ et β̃ ∞ . On a
limt→±∞ (α̃∞ (t)) = Ax(a)(±∞)
et
limt→±∞ (β̃ ∞ (t)) = Ax(b)(±∞).
Donc ces deux chemins s’intersectent au moins une fois. Notons ỹ un point
d’intersection.
Soit U un voisinage assez petit autour de ỹ et p : H2 → Sg un revêtement.
Alors p|U est un homéomorphisme sur son image.
Or p(α̃∞ ) = α et p(β̃ ∞ ) = β, donc α et β s’intersectent en p(ỹ).
Comme on a pris des représentants quelconques de a et b, on a montré que
i(A, B) > 0.
Pour la réciproque, supposons que i(A, B) > 0. Alors, en particulier, les
représentants géodesiques α0 = p(Ax(a)) et β0 = p(Ax(b)) s’intersectent en
un point y. On peut donc trouver deux relevés h Ax(a) = Ax(hah−1 ) et
g Ax(b) = Ax(gbg −1 ) de α0 et β0 qui s’intersectent. Donc hah−1 et gbg −1
sont liés à l’infini.
Proposition 8.40. Soient A, B des classes de conjugaison de classes d’homotopie de courbes fermées simples sur Sg . Alors i(A, B) = 1 si et seulement
si pour un certain représentant a de A et un représentant fixé b de B qui sont
liés à l’infini, l’ensemble des représentants de A qui sont lié avec b à l’infini
est donné par {bl ab−l , l ∈ Z}.
59
Démonstration. Montrons d’abord la réciproque.
Soit b un représentant de B fixé et a un représentant de A lié à l’infini avec b.
Supposons que l’ensemble des représentants de A qui sont liés à l’infini avec
b est de la forme {bl ab−l , l ∈ Z}. Comme a appartient à cet ensemble, on sait
qu’il n’est pas vide et donc i(A, B) 6= 0, d’après la Proposition 8.39.
Comme a et b sont liés à l’infini, il existe ỹ ∈ H2 tel que Ax(a) ∩ Ax(b) = {ỹ}.
Donc y = p(ỹ) ∈ α0 ∩ β0 . On montre maintenant que α0 ∩ β0 = {y}.
Soit z ∈ α0 ∩ β0 . Il existe donc un relevé g Ax(a) = Ax(gag −1 ) de α0 qui
intersecte Ax(b) en z̃ avec p(z̃) = z. Donc gag −1 est liée à l’infini avec b.
D’où, par hypothèse, il existe l ∈ Z tel que gag −1 = bl ab−l .
Mais Ax(bl ab−l ) ∩ Ax(b) = bl Ax(a) ∩ Ax(b) = bl ỹ et p(bl ỹ) = p(ỹ) = y. Or
on a supposé que Ax(gag −1 ) ∩ Ax(b) = z̃. Donc on a montré que y = z.
Montrons ensuite l’implication directe. Supposons donc que i(A, B) = 1.
Alors, comme i(A, B) 6= 0, d’après la Proposition 8.39, il existe des représentants
a et b de A et B qui sont liés à l’infini. Notons ỹ = Ax(a) ∩ Ax(b) et
y = p(ỹ) = α0 ∩ β0 .
Soit a0 un représentant de A lié à l’infini avec b, alors il existe g ∈ π1 (Sg )
tel que a0 = gag −1 , donc Ax(a0 ) = g Ax(a). Notons ỹ 0 = Ax(a0 ) ∩ Ax(b) et
y 0 = p(ỹ 0 ) = α0 ∩ β0 . Donc y = y 0 et par conséquent ỹ et ỹ 0 sont dans la même
orbite, c’est-à-dire qu’il existe h ∈ π1 (Sg ) tel que hỹ = ỹ 0 . Or ỹ, ỹ 0 ∈ Ax(b)
et b est primitif, donc d’après le Lemme 8.32, il existe l ∈ Z tel que h = bl .
Maintenant on a donc bl ỹ, g ỹ ∈ g Ax(a) et gb−l (bl ỹ) = g ỹ. D’où, d’après le
Lemme 8.32, il existe k ∈ Z tel que gb−l = ak et donc g = bl ak .
Donc a0 = bl ak aa−k b−l = bl ab−l .
60
Proposition 8.41. Soient A, B, C des classes de conjugaison de classes
d’homotopie de courbes fermées simples orientées sur Sg tel que i(A, B) = 1,
i(B, C) = 1 et i(A, C) = 0. Alors î(A, B) a le même signe que î(C, B) si et
seulement si Ax(aba−1 ) et Ax(cbc−1 ) sont du même côté de Ax(b).
Démonstration. Comme i(A, B) = i(B, C) = 1 et i(A, C) = 0, on peut
trouver a, b et c tel que Ax(a) ∩ Ax(b) = {ỹ}, Ax(b) ∩ Ax(c) = {z̃} et
Ax(a) ∩ Ax(c) = ∅.
Montrons d’abord le sens direct.
61
Supposons donc que î(A, B) et î(C, B) ont même signe. Alors a× ỹ et c× z̃
sont du même côté de Ax(b). Or Ax(aba−1 ) = a Ax(b) et a × ỹ ∈ a Ax(b). De
plus Ax(cbc−1 ) = c Ax(b) et c × z̃ ∈ c Ax(b). Donc Ax(aba−1 ) et Ax(cbc−1 )
sont du même côté de Ax(b).
Pour montrer le sens réciproque, on suppose que î(A, B) et î(C, B) ont
des signes distincts. Alors a × ỹ et c × z̃ sont de part et d’autre de Ax(b) et
donc Ax(aba−1 ) et Ax(cbc−1 ) aussi.
9
Le théorème de Dehn-Nielsen-Baer
Maintenant, à l’aide de tout le travail qu’on a fait, nous allons finalement
énoncer et démontrer le Théorème de Dehn-Nielsen-Baer.
Considérons à nouveau l’homomorphisme de groupes
F : Homeo(M ) → Out(π1 (M, p))
φ 7→ {φγ∗ }
qu’on a défini dans la sous-section 4.3 pour tout espace topologique connexe
par arcs. On peut supposer que M est une surface fermée, connexe, orientée,
de genre g ≥ 1, ce qui nous donne, l’application
F : Homeo(Sg ) → Out(π1 (Sg ))
φ 7→ {φγ∗ }.
62
Considérons ensuite φ, φ0 ∈ Homeo(Sg ) isotopes. Alors, d’après ce qu’on a
démontré dans la sous-section 4.3, F (φ) = F (φ0 ). Par conséquent, F induit
l’application
σ : Mod± (Sg ) → Out(π1 (Sg ))
[φ] 7→ {φγ∗ }.
Montrons que σ est aussi un homomorphisme de groupes.
Soient [φ], [ψ] ∈ Mod± (Sg ), on a alors
σ([φ] ◦ [ψ]) = σ([φ ◦ ψ])
= F (φ ◦ ψ)
= F (φ) ◦ F (ψ)
car F est un homomorphisme de groupes
= σ([φ]) ◦ σ([ψ]).
Donc on peut énoncer le théorème suivant qui s’appelle le Théorème de DehnNielsen-Baer.
Théorème 9.1. Soit g ≥ 1. L’homomorphisme de groupes
σ : Mod± (Sg ) → Out(π1 (Sg ))
Jusqu’à présent, d’après la Remarque 4.42, on savait qu’un automorphisme de π1 (Sg ) est induit par une équivalence d’homotopie. Le Théorème
9.1 nous dit maintenant que toute automorphisme extérieur de π1 (Sg ) est
induit par un homéomorphisme.
Remarquons que le cas g = 1 nous donne le Théorème 7.3 qui a déjà été
démontré.
Reste à démontrer que σ est injective et surjective lorsque g ≥ 2.
9.1
Injectivité
Soit φ ∈ Homeo(Sg ) et γ un chemin entre p et φ(p). Supposons que
σ([φ]) = {id∗ }
⇐⇒ φγ∗ = Conj([δ])
⇐⇒ Θγ ◦ φ∗ = Θδ
⇐⇒ φ∗ = Θγ ◦ Θδ
⇐⇒ φ∗ = Θγ?δ
pour [δ] ∈ π1 (Sg , p)
d’après la Remarque 4.20
d’après le Lemme 4.19.
63
D’après la Proposition 4.48, il existe une application continue
ψ : Sg → Sg
p 7→ φ(p)
homotope à l’identité tel que ψ∗ = Θγ ?δ , car γ ? δ est un chemin de
φ(p) = ψ(p) vers p.
Donc on a
ψ∗ = φ∗ .
D’après la Remarque 6.18, on peut supposer que (Sg )0 est réduit à un point et
d’après le Théorème 6.3, Sg admet une structure de CW-complexe. De plus,
comme g ≥ 2, d’après le Théorème 8.17, Sg est une surface hyperbolique,
donc par la Proposition 8.19 le revêtement universel de Sg est H2 et comme
H2 est contractile, on peut appliquer la Proposition 4.41, qui nous donne que
φ ' ψ et donc φ ' id. D’où par la Proposition 7.1, φ est isotope à l’identité.
Donc [φ] = [id] ∈ Mod± (Sg ), ce qui démontre l’injectivité.
9.2
Surjectivité
On a déjà vu que Sg est une surface hyperbolique.
Considérons ensuite f ∈ Aut(π1 (Sg )) et notons {f } ∈ Out(π1 (Sg )) sa classe
d’automorphismes extérieurs. Pour démontrer la surjectivité il faut déterminer
un élément de Mod± (Sg ) qui admet {f } comme image par σ.
Soit (γ1 , . . . , γ2g ) une chaı̂ne de courbes fermées simples orientées définie
comme dans la figure ci-dessous. Pour tout 1 ≤ k ≤ 2g, soit Ck la classe
de conjugaison de la classe d’isotopie de la courbe fermée simple orientée
ck = [γk ] ∈ π1 (Sg ). On note Ck = {ck }. Considérons alors la chaı̂ne (C1 , . . . , C2g ).
Figure 28 – Une chaı̂ne de courbes fermées simples sur une surface Sg
64
Donc, par la Définition 6.8, pour tout 1 ≤ k ≤ 2g − 1, î(Ck , Ck+1 ) ne
dépend pas de k, i(Ck , Ck+1 ) = 1 et i(Ck , Cj ) = 0 sinon. Supposons que les
γk sont orientées de façon à ce que pour tout 1 ≤ k ≤ 2g−1, î(Ck , Ck+1 ) = +1.
Remarque 9.2. Soit a ∈ π1 (Sg ). Comme f ∈ Aut(π1 (Sg )), on a {f (a)} = {f }({a}).
Montrons que ({f }(C1 ), . . . , {f }(C2g )) est aussi une chaı̂ne, c’est-à-dire
que
1. pour tout 1 ≤ k ≤ 2g, {f }(Ck ) admet une courbe fermée simple comme
représentant,
2. pour tout 1 ≤ k ≤ 2g − 1, i({f }(Ck ), {f }(Ck+1 )) = 1,
3. i({f }(Ck ), {f }(Cj )) = 0 sinon et
4. î({f }(Ck ), {f }(Ck+1 )) ne dépend pas de k.
Démonstration.
1. Par définition de Ck , la courbe fermée simple γk est un
représentant de Ck . Donc, d’après la Proposition 6.4, Ck est la classe
de conjugaison d’un élément primitif. Ainsi, par les Remarques 3.2 et
9.2, {f }(Ck ) est aussi une classe de conjugaison d’un élément primitif.
Supposons par l’absurde que {f }(Ck ) n’a pas de représentant simple.
Alors, d’après la Proposition 8.38, il existe des éléments f (ck ), f (c0k ) ∈ π1 (Sg )
tel que {f (ck )} = {f (c0k )} = {f }(Ck ) et f (ck ) et f (c0k ) sont liés à l’infini. Donc, d’après le Lemme 8.34, ck et c0k sont liés à l’infini. De plus
{ck } = {c0k } = Ck . Donc, d’après la Proposition 8.38, Ck n’a pas de
représentant simple, ce qui est contradictoire à la définition de Ck .
D’où, {f }(Ck ) admet une courbe simple comme représentant.
2. Soit ck+1 dans la classe de Ck+1 fixé et ak dans la classe de Ck tel
que ak est lié à l’infini avec ck+1 . Un tel représentant existe d’après
la contraposée de la Proposition 8.39, car i(Ck , Ck+1 ) 6= 0 pour tout
1 ≤ k ≤ 2g − 1. Ainsi le sens direct de la Proposition 8.40, nous dit
que l’ensemble des représentants de Ck qui sont liés à l’infini avec ck+1
est donné par {clk+1 ak c−l
k+1 , l ∈ Z}.
Ensuite, par le Lemme 8.34, on a que l’ensemble des représentants de
{f }(Ck ) qui sont liés à l’infini à f (ck+1 ) est donné par {f (clk+1 ak c−l
k+1 ), l ∈ Z}
l
−l
qui est égal à {f (ck+1 ) f (ak )f (ck+1 ) , l ∈ Z}.
En appliquant finalement le sens réciproque de la Proposition 8.40, on
trouve que i({f (ak )}, {f (ck+1 )}) = 1. Donc par la Remarque 9.2, on a
que i({f }(Ck ), {f }(Ck+1 )) = 1 pour tout 1 ≤ k ≤ 2g − 1.
3. Comme i(Ck , Cj ) = 0 si j 6= k + 1, on a par le sens direct de la
Proposition 8.39 qu’il n’existe pas d’éléments dans Ck et Cj qui sont
liés à l’infini.
Ensuite par le Lemme 8.34, on a qu’il n’existe pas d’éléments dans
65
{f }(Ck ) et {f }(Cj ) qui sont liés à l’infini.
En appliquant finalement le sens réciproque de la Proposition 8.39, on
trouve que i({f }(Ck ), {f }(Cj )) = 0 si j 6= k + 1.
4. Appliquons la Proposition 8.41 aux classes Ck , Ck+1 , Ck+2 pour 1 ≤ k ≤ 2g − 2.
Comme î(Ck , Ck+1 ) a le même signe que î(Ck+1 , Ck+2 ), î(Ck , Ck+1 ) et
−1
î(Ck+2 , Ck+1 ) ont des signes distincts. Donc Ax(ck ck+1 c−1
k ) et Ax(ck+2 ck+1 ck+2 )
sont de part est d’autre de Ax(ck+1 ).
−1
Ensuite, par le Corollaire 8.36, Ax(f (ck ck+1 c−1
k )) = Ax(f (ck )f (ck+1 )f (ck ) )
−1
et Ax(f (ck+2 ck+1 ck+2 )) = Ax(f (ck+2 )f (ck+1 )f (ck+2 )−1 ) sont aussi de
part et d’autre de Ax(f (ck+1 )).
Comme on a déjà démontré que i({f (ck )}, {f (ck+1 )}) = i({f (ck+1 )}, {f (ck+2 )}) = 1
et i({f (ck )}, {f (ck+2 )}) = 0 pour tout 1 ≤ k ≤ 2g − 2 on peut finalement appliquer le sens réciproque de la Proposition 8.41 et la Remarque
9.2 et on trouve que î({f (ck )}, {f (ck+1 )}) = î({f }(Ck ), {f }(Ck+1 )) et
î({f (ck+2 )}, {f (ck+1 )}) = î({f }(Ck+2 ), {f }(Ck+1 )) ont des signes distincts. Donc î({f }(Ck ), {f }(Ck+1 )) et î({f }i(Ck+1 ), {f }(Ck+2 )) ont le
même signe pour tout 1 ≤ k ≤ 2g − 2. D’où î({f }(Ck ), {f }(Ck+1 )) ne
dépend pas de k.
Ainsi on a montré que ({f }(C1 ), . . . , {f }(C2g )) est aussi une chaı̂ne de
classes de conjugaisons de classes d’isotopies de courbes fermées simples
orientées dans Sg .
Par la Proposition 6.16, les deux chaı̂nes sont séparantes. Donc on peut
appliquer le Théorème 6.29, qui nous donne l’existence d’un homéomorphisme
ψ ∈ Homeo(Sg ) qui fixe le point de base p ∈ Sg et qui induit, d’après le
Corollaire 4.17, l’automorphisme ψ∗ ∈ Aut(π1 (Sg , p)) qui vérifie alors que
ψ∗ (ck ) = f (ck ) pour tout 1 ≤ k ≤ 2g. Par conséquent, {ψ∗ (ck )} = {f (ck )}
pour tout 1 ≤ k ≤ 2g et donc, par la Remarque 9.2, {ψ∗ }(Ck ) = {f }(Ck )
pour tout 1 ≤ k ≤ 2g, si on note {ψ∗ } ∈ Out(π1 (Sg )) sa classe d’automorphismes extérieurs.
Considérons ensuite [ψ] ∈ Mod± (Sg ) et montrons que σ([ψ]) = {f }. La
preuve de la surjectivité sera alors terminée.
On sait que σ([ψ]) = {ψ∗ }. Donc il faut montrer que {ψ∗ } = {f }. Pour cela il
suffit de montrer qu’il existe un automorphisme intérieur J ∈ Int(π1 (Sg , p))
tel que J ◦ ψ∗−1 ◦ f est l’application identité.
Par la contraposée de la Proposition 8.39, comme i(Ck , Ck+1 ) 6= 0, il existe
des représentants ck et ck+1 qui sont liés à l’infini pour tout 1 ≤ k ≤ 2g − 1.
Choisissons les comme représentants.
66
D’après la Proposition 6.22, les ck engendrent π1 (Sg , p). Donc il suffit de
montrer que J ◦ ψ∗−1 ◦ f (ck ) = ck pour tout 1 ≤ k ≤ 2g.
Notons F = ψ∗−1 ◦ f . L’application F , étant la composée de deux automorphismes, préserve le fait d’être lié ou non par le Lemme 8.34. Notons
{F } ∈ Out(π1 (Sg )) sa classe d’automorphismes extérieurs. On a alors de
plus pour tout 1 ≤ k ≤ 2g
{F }(Ck ) = {ψ∗ }−1 ◦ {f }(Ck )
= {ψ∗ }−1 ◦ {ψ∗ }(Ck )
= Ck .
Donc en particulier,
{F }(C1 ) = C1
⇐⇒ {F (c1 )} = {c1 }
⇐⇒ F (c1 ) = a−1
1 c 1 a1
−1
⇐⇒ a1 F (c1 )a1 = c1
⇐⇒ Ia1 ◦ F (c1 ) = c1
par la Remarque 9.2
pour un certain a1 ∈ π1 (Sg , p)
avec Ia1 ∈ Int(π1 (Sg , p)).
L’application Ia1 ◦ F , étant la composée de deux automorphismes, préserve
le fait d’être lié ou non par le Lemme 8.34.
De plus {F }(C2 ) = C2 . Donc il existe aussi un automorphisme intérieur Ix
tel que Ix ◦ F (c2 ) = c2 . Déterminons-le.
On a c1 et c2 qui sont liés à l’infini. Donc Ia1 ◦F (c1 ) = c1 est lié avec Ia1 ◦F (c2 )
à l’infini.
D’après la Proposition 8.40, l’ensemble des représentants de C2 qui sont liés
avec c1 à l’infini est donné par {cl1 c2 c−l
1 , l ∈ Z}. Donc il existe l ∈ Z tel
−l
l
que Ia1 ◦ F (c2 ) = c1 c2 c1 , ce qui implique que Ic−l a1 ◦ F (c2 ) = c2 . De plus
1
l
Ic−l a1 ◦ F (c1 ) = c−l
=
c
.
Donc
I
c
c
◦
F
fixe
c
−l
1
1 et c2 .
1 1 1
c1 a1
1
Montrons par récurrence que Ic−l a1 ◦ F fixe tous les ck .
1
Supposons que Ic−l a1 ◦ F (ck ) = ck pour tout k ≤ n. Donc en particulier
1
Ic−l a1 ◦ F fixe cn−1 et cn et donc tous les éléments de l’ensemble {cln cn−1 c−l
n , l ∈ Z},
1
c’est-à-dire les représentants de Cn−1 qui sont liés à l’infini avec cn . Or cn+1
est aussi lié à l’infini avec cn , mais cn+1 n’est lié à aucun élément de l’ensemble {cln cn−1 c−l
n , l ∈ Z}, car i(Cn+1 , Cn−1 ) = 0 et donc, par la Proposition
8.39, cn+1 n’est lié avec aucun représentant de Cn−1 . Donc il existe l ∈ Z
−(l+1)
l+1
tel que Ax(cn+1 ) ”se trouve entre” Ax(cln cn−1 c−l
) (cf
n ) et Ax(cn cn−1 cn
figure).
Notons Ic−l a1 ◦ F (cn+1 ) = c0n+1 . Alors {c0n+1 } = {cn+1 } = Cn+1 , car
1
Ic−l a1 ◦ F préserve les Ck . De plus, Ax(c0n+1 ) est entre Ax(cln cn−1 c−l
n ) et
1
67
Figure 29 – Axes dans H2
−(l+1)
Ax(cl+1
) et c0n+1 est lié à l’infini avec cn . Or, d’après la Propon cn−1 cn
sition 8.40, les seuls représentants de Cn+1 qui sont liés à l’infini avec cn sont
de la forme ckn cn+1 c−k
n et le seul élément de cette forme, dont l’axe est entre
−(l+1)
−l
l
) est cn+1 lui-même. Donc c0n+1 = cn+1 , ce
Ax(cn cn−1 cn ) et Ax(cnl+1 cn−1 cn
qui démontre que Ic−l a1 ◦ F fixe cn+1 .
1
Ainsi on a déterminé un automorphisme intérieur J = Ic−l a1 qui vérifie
1
que
J ◦ F (ck ) = J ◦ ψ∗−1 ◦ f (ck ) = ck
pour tout 1 ≤ k ≤ 2g. Donc on a démontré que
σ([ψ]) = {ψ∗ } = {f }.
D’où la surjectivité de σ.
68
Références
[BFDM] Benson Farb et Dan Margalit, ”A primer on mapping class groups
Version 5.0”, Princeton university press, Princeton and Oxford
[ClJo] Clees Joëlle, Le groupe des réflexions d’un triangle idéal du plan hyperbolique, 2012
[CoFr] Costantino Francesco, Cours de Topologie en petite dimension, 2013
[AlHat] Allen Hatcher, Algebraic Topology, 2001
[WiTh] William Thurston, The geometry and topology of three-manifolds,
Princeton lecture notes (1978–1981)
[FrLa] Francois Labourie, A short and dirty introduction to hyperbolic surfaces
69

Le théorème de Dehn-Nielsen-Baer. - IRMA

Transcription

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