Exercices d`application du cours d`hydraulique en charge

Transcription

Exercices d'application du cours
d'hydraulique en charge
O. Thual, H. Roux, L. Cassan, J. Albagnac
INP Toulouse
Paternité - Partage des Conditions Initiales à l'Identique :
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
31 janvier 2015
Table des matières
Introduction
5
I - Exercice : Siphon
7
II - Exercice : Écoulement gravitaire
9
III - Exercice : Réseau avec valve
11
IV - Exercice : Conduites en parallèle
13
V - Exercice : Réservoirs
15
VI - Exercice : Pompe de relevage
17
Conclusion
19
Ressources annexes
21
Solution des exercices
23
3
Introduction
Chaque question conduit à un réponse sous forme valeur numérique comme par exemple 3 ou 3,1
suivant le nombre de décimales requises.
5
I-
Exercice : Siphon
I
[Solution n°1 p 23]
Siphon : question 1
On considère le siphon de la figure avec
cm. On néglige les pertes de charge
et on considère
,
et
Pa pour les
applications numériques.
Image 1 Siphon
1. Indiquer la pression normalisée
en m au point
Siphon : question 2
2. On suppose que la pression au point
pression normalisée
en m au point
est égale à la pression atmosphérique. Indiquer la
Siphon : question 3
3. Calculer la vitesse
en m/s.
Siphon : question 4
en m au point
7
Exercice : Siphon
Siphon : question 5
8
en m au point
II
Exercice : Écoulement
gravitaire
II -
Écoulement gravitaire : question 1
On considère l'écoulement gravitaire entre
deux réservoirs dont les surfaces libres,
représentées par les points
et
d'altitudes respectives
et
sont
Image 2 Écoulement gravitaire
séparées
d'un
différence
d'altitude
. Les réservoirs sont reliés par une conduite en fonte de longueur
, de
diamètre
cm et de rugosité absolue
(fonte). Il en résulte un mouvement
gravitaire de débit . On suppose que les réservoirs sont alimentés ou vidés de manière à
ce que les altitudes
et
restent constantes. On considère
,
et
pour les applications numériques.
1. On suppose ici que l'on connait
. Donner la valeur de en m (zéro décimale).
Le diagramme de Moody est disponible ici (cf. Diagramme de Moody p 21).
2. Quelle hauteur
en m (zéro décimale) obtient-on avec la formule de Hazen-Williams
avec
(fonte).
3. On suppose ici que l'on connait
cm. Donner la valeur de
en
avec deux décimales.
4. Quelle débit a valeur
en
.
(une décimale) obtient-on avec la formule de Hazen-Williams
9
Exercice : Écoulement gravitaire
10
Exercice : Réseau avec
valve
III -
III
Réseau avec valve : question 1
On considère l'écoulement dans une
canalisation dont le débit est
l/s. Une
conduite verticale de longueur
m et
de diamètre
cm se prolonge en une
conduite de longueur
m et de
diamètre
cm. La rugosité absolue
des conduites est
~mm. Un coude
dont le coefficient de perte de charge
singulière est
le relie à une
Image 3 Réseau
conduite horizontale de longueur
m
et de même diamètre. L'eau s'écoule alors à travers une valve dont le coefficient de perte de
charge singulière est
. On considère
,
et
Calculer la valeur de la pression
au point
en Bar (avec une décimale).
11
Exercice : Conduites en
parallèle
IV -
IV
Conduites en parallèle : question 1
On considère deux montages reliant le point
de pression
au point
de pression
. Le montage (a) est constitué de deux
conduites de longueur
~m et de
Image 4 Conduites en parallèle ou conduite
diamètre
~cm. Le montage (b) est
unique
constitué d'une conduite unique de longueur
et de diamètre
. La rugosité absolue de toutes ces conduite est
mm. On
suppose que
~hPa. On considère
,
et
Calculer le rapport
des débits des deux montages (une décimale). On pourra supposer dans
un premier temps que le régime est rugueux puis vérifier cette hypothèse.
13
V-
Exercice : Réservoirs
V
Réservoirs : question 1
On considère le montage de la figure et on
ajuste
de telle sorte que le débit vers le
réservoir intermédiaire soit nul.
Image 5 Réservoirs
Calculer le rapport
conduites.
en supposant que le coefficient de frottement est constant dans toutes les
15
Exercice : Pompe de
relevage
VI -
VI
Pompe de relevage : question 1
Une
pompe
de
courbe caractéristique
avec
m,
et
m, relève de l'eau
entre deux réservoirs dont les surfaces
libres sont séparées par une hauteur
m. La conduite reliant les deux réservoirs
est de longueur
m, de diamètre
cm et de rugosité absolue
mm. On considère
,
et
pour les applications
numériques.
Calculer le débit de fonctionnement
du montage en
le régime est rugueux puis vérifier cette hypothèse.
Image 6 Réservoirs
(une décimale). On pourra supposer que
17
Conclusion
D'autres exercices peuvent être trouvés dans l'ouvrage de Bennis [Saad BENNIS]
19
Ressources annexes
- Diagramme de Moody
21
> Solution n°1 (exercice p. 7)
Siphon : question 1
10
On a
m.
Siphon : question 2
10
On a
m.
Siphon : question 3
3
Les
égalités
s'écrit
et
entrainent
m/s.
Siphon : question 4
9,55
L'égalité
s'écrit
entraine
m/s.
Siphon : question 5
9,10
L'égalité
s'écrit
entraine
m/s.
13
•
Comme
•
Cette perte de charge est due au frottement dans la conduite et vaut
•
Le coefficient de frottement
puisque
et
, on a
se lit sur le diagramme de Moody avec
m/s et
.
.
.
,
23
•
On trouve
et donc
m.
// Scilab
// Exercice "Gravitaire"
// Question 1
clear a
// Colebrook
function F=col(f,r,Re)
F=1/sqrt(f)+2*log10(r/3.71+2.51/Re/sqrt(f));
endfunction
// Parametres
e=6e-5; g=10; L=1e+3; nu=1e-6;
// D Q imposes
D=.6;Q=1;
// Calcul de Re et r
A=%pi*D^2/4;
V=Q/A;
Re=V*D/nu;
r=e/D;
disp(sprintf('U=%3.1f Re=%3.2g , r=%3.2g',V,Re,r))
// Calcul de f
f=fsolve(0.01,col)
disp(sprintf('f=%3.2g',f))
// calcul de h
h=L*f*V^2/(2*g*D)
disp(sprintf('h=%3.1f',h))
Listing résultat :
U=3.5 Re=2.1e+06 , r=0.0001
f=0.013
h=13.3
14
m.
// Scilab
// Question 2
clear
// Parametres
e=6e-5; g=10; L=1e+3; nu=1e-6;
// D Q imposes
D=.6;Q=1;
// Calcul de r
r=e/D;
// Formule de Hazen-Williams
CHW=140;
h=10.675*L*(Q/CHW)^1.852/D^4.87;
disp(sprintf('h=%3.1f',h))
24
Listing résultat :
h=13.6
0,13
•
La relation
•
En itérant sur le diagramme de Moody (
,
,
,
)
ou directement en résolvant cette équation implicite à l'aide d'une calculatrice, on obtient
et donc
m/s.
entraine que
avec
m/s.
// Scilab
// Question 3
clear
// Colebrook
function F=colhD(f)
V=sqrt(2*g*h*D/(f*L));
r=e/D; Re=V*D/nu;
endfunction
// Parametres
e=6e-5; g=10; L=1e+3; nu=1e-6;
// Q h imposes
h=.3; D=0.6;
// Calcul de r
r=e/D;
// Guess
K=sqrt(2*g*h*D/L);
f1=0.012;
V1=K/sqrt(f1);
Re1=V1*D/nu;
f2=1/(2*log10(r/3.71+2.51/Re1/sqrt(f1)))^2;
disp(sprintf('K=%3.2g , r=%3.2g',K,r))
disp(sprintf('f1=%3.3f V1=%3.2g , Re1=%3.2g, f2=
%3.3f',f1,V1,Re1,f2))
// Calcul de f
f=fsolve(0.01,colhD)
// calcul de Q
V=K/sqrt(f);
Re=V*D/nu;
Q=V*%pi*D^2/4;
disp(sprintf('V=%3.2g, Re=%3.2g, Q=%3.2f',V,Re, Q))
Listing résultat :
K=0.06 , r=0.0001
f1=0.012 V1=0.55 , Re1=3.3e+05, f2=0.016
f=0.016
V=0.48, Re=2.9e+05, Q=0.14
25
0,14
On a
// Scilab
// Question 2
clear
// Colebrook
function F=colhD(f)
V=sqrt(2*g*h*D/(f*L));
r=e/D; Re=V*D/nu;
endfunction
// Parametres
e=6e-5; g=10; L=1e+3; nu=1e-6;
// Q h imposes
h=.3; D=0.6;
// Calcul de r
r=e/D;
// Guess
K=sqrt(2*g*h*D/L);
f1=0.012;
V1=K/sqrt(f1);
Re1=V1*D/nu;
f2=1/(2*log10(r/3.71+2.51/Re1/sqrt(f1)))^2;
disp(sprintf('K=%3.2g , r=%3.2g',K,r))
disp(sprintf('f1=%3.3f V1=%3.2g , Re1=%3.2g, f2=
%3.3f',f1,V1,Re1,f2))
// Calcul de f
f=fsolve(0.01,colhD)
// calcul de Q
V=K/sqrt(f);
Re=V*D/nu;
Q=V*%pi*D^2/4;
disp(sprintf('V=%3.2g, Re=%3.2g, Q=%3.2f',V,Re, Q))
Listing résultat :
K=0.06 , r=0.0001
f1=0.012 V1=0.55 , Re1=3.3e+05, f2=0.016
f=0.016
V=0.48, Re=2.9e+05, Q=0.14
Réseau avec valve : question 1
2,5
On calcule la charge en partant de l'aval et en rajoutant les pertes de charge.
• La charge en
, supposé situé à l'altitude
m (par convention) est
26
•
•
•
•
•
m.
La vitesse dans la conduite de rayon
est
m/s.
La perte de charge dans la valve est
ce qui conduit à
m.
Le nombre de Reynolds dans la conduite de diamètre
est
et la rugosité
est
. On en déduit, à partir du diagramme de Moody,
et donc
m.
La perte de charge dans le coude est
m.
La perte de charge dans la conduite de longueur
conduisent à
m.
ce qui conduit à
et le changement d'altitude
•
Le nombre de Reynolds dans la conduite de diamètre
est
est
. On en déduit, à partir du diagramme de Moody,
m.
•
Comme
•
On en déduit
, on a
et la rugosité
et donc
m.
Bars.
Pression (rouge) et charge (bleu) le long du réseau
// Scilab
// Exercice "Reseau"
// Question 1
clear
xdel(winsid())
// Colebrook
27
endfunction
// Parametres
L1=1; L2=2; L3=3;
D1=.04; D2=.02;
e=4*1.e-4; nu=1e-6;
g=9.81; rho=1000; rhog=g*rho;
Q=.001;
K3=1.5; K5=10;
// Calcul de Re et r
A1=%pi*D1^2/4;
V1=Q/A1;
A2=%pi*D2^2/4;
V2=Q/A2;
Re1=V1*D1/nu;
Re2=V2*D2/nu;
r1=e/D1;
r2=e/D2;
disp(sprintf('V1=%3.1f Re1=%3.2g , r1=%3.2g',V1,Re1,r1))
disp(sprintf('V2=%3.1f Re2=%3.2g , r2=%3.2g',V2,Re2,r2))
// Calcul de f1
Re=Re1; r=r1; f1=fsolve(0.01,col)
Re=Re2; r=r2; f2=fsolve(0.01,col)
disp(sprintf('f1=%3.2g',f1))
disp(sprintf('f2=%3.2g',f2))
// calcul de h
p6=1.e+5/rhog; H6=p6;
disp(sprintf('H6=%3.2f',H6))
H5=H6+K5*V2^2/(2*g);
p5=H5-V2^2/(2*g);
disp(sprintf('H5=%3.2f, p5=%3.2f',H5,p5))
H4=H5+f2*V2^2/(2*g*D2)*L3;
p4=H4-V2^2/(2*g);
H3=H4+K3*V2^2/(2*g);
p3=H3-V2^2/(2*g);
H2=H3+f2*V2^2/(2*g*D2)*L2;
p2=H2+L2-V2^2/(2*g);
H1=H2+f1*V1^2/(2*g*D1)*L1;
p1=H1+(L1+L2)-V1^2/(2*g);
P1=p1*rhog;
disp(sprintf('P1=%3.2f',P1))
// Figure
L12=L1+L2;L123=L1+L2+L3;
s=[0 L1 L12 L12 L123 L123];
H=[H1 H2 H3 H4 H5 H6];
p=[p1 p2 p3 p4 p5 p6];
plot(s,H,'b-','Linewidth',2)
plot(s,H,'bo','Linewidth',2)
plot(s,p,'r-','Linewidth',3)
28
plot(s,p,'ro','Linewidth',2)
xlabel("s","fontsize", 4);
ylabel("p/(rho g) et H","fontsize", 4);
a=gca();
a.data_bounds(2)=7;
a.data_bounds(1)=-1;
//a.data_bounds(4)=1.2*Hm;
set(gca(),"grid",[1 1])
set(gca(),"font_size",3)
xs2png(gcf(),'Reseau1');
Listing résultat :
V1=0.8 Re1=3.2e+04 , r1=0.01
V2=3.2 Re2=6.4e+04 , r2=0.02
f1=0.04
f2=0.049
H6=10.19
H5=15.36, p5=14.84
H4=19.17, p4=18.65
H3=19.94, p3=19.43
H2=22.48, p2=23.97
H1=22.52, p1=25.48
P1=249995.28
Conduites en parallèle : question 1
3,1
•
•
La perte de charge linéique dans les deux cas est
Les vitesses
dans les conduites de diamètre
par
et
.
•
•
Les rugosités
frottement
On en déduit
•
En
•
utilisant
et
.
et
de diamètre
sont données
et
conduisent au coefficient de
en supposant que le régime est rugueux.
m/s et t
m/s.
les
nombres
de
Reynolds
et
et les rugosités et , on vérifie sur le diagramme de Moody
que les valeurs de
et
sont bien celles de régimes rugueux. Les débits sont alors
et
.
Le rapport entre les deux débit est
.
Listing résultat :
// Scilab
// Exercice "Parallele"
// Question 1
clear
// Colebrook
endfunction
29
// Parametres
L=100; D=0.1; Dp=2.e+5;
e=1.e-4; nu=1e-6;
// Perte de charge lineique
J=(Dp/rhog)/L;
// Deux petits tuyaux
Da=D; ra=e/Da; fa=0.02;
Va=sqrt(2*g*Da*J/fa);
Rea=Va*Da/nu;
disp(sprintf('Va=%3.1f Rea=%3.2g , ra=%3.2g',Va,Rea,ra))
r=ra; Re=Rea; fac=fsolve(fa,col);
disp(sprintf('fa=%5.4f, fac=%5.4f',fa,fac))
// Un gros tuyau
Db=2*D; rb=e/Db; fb=0.017;
Vb=sqrt(2*g*Db*J/fb);
Reb=Vb*Db/nu;
disp(sprintf('Vb=%3.1f Reb=%3.2g , rb=%3.2g',Vb,Reb,rb))
r=rb; Re=Reb; fbc=fsolve(fb,col);
disp(sprintf('fb=%5.4f, fab=%5.4f',fb,fbc))
// Debits
Qa=2*%pi*Da^2/4*Va;
Qb=%pi*Db^2/4*Vb;
ratio=Qb/Qa;
disp(sprintf('Qa=%5.4f, Qb=%5.4f',Qa, Qb))
disp(sprintf('ratio=%5.4f',ratio))
ratiot=2*sqrt(2)*sqrt(fa/fb)
disp(sprintf('ratioc=%5.4f',ratiot))
Va=4.5 Rea=4.5e+05 , ra=0.001
fa=0.0200, fac=0.0203
Vb=6.9 Reb=1.4e+06 , rb=0.0005
fb=0.0170, fab=0.0171
Qa=0.0702, Qb=0.2155
ratio=3.0679
ratioc=3.0679
Réservoirs : question 1
33
•
•
Comme
tuyau de diamètre
et
On en déduit que
dans le tuyau de diamètre
, on peut écrire
.
et
d'où
et
dans le
.
Pompe de relevage : question 1
0,14
30
•
•
La rugosité
La
courbe
•
L'égalité
conduit à un coefficient de frottement
.
caractéristique
de
la
conduite
avec
.
des deux courbes caractéristiques conduit au débit de
fonctionnement
•
On en déduit
régime rugueux.
.
~m/. Comme
et
, on est bien en
Point de fonctionnement
// Scilab
// Exercice "Pompe"
// Question 1
clear
xdel(winsid())
// Colebrook
endfunction
// Parametres de la pompe
Hm=100; Qm=1; bet=40;
// Parametres du tuyau
L=100; D=.15; h=20;
e=1.5e-3; nu=1e-6;
// Rugosite
31
r=e/D;
f=0.038;
alpha=8*f*L/(%pi^2*g*D^5);
disp(sprintf('r=%3.2g, alpha=%6.4g',r,alpha))
// Point de fonctionnement
Qs=sqrt((Hm-h)/(alpha+bet/Qm^2));
Hs=h+alpha*Qs^2;
disp(sprintf('Qs=%5.3g, Hs=%5.3g',Qs,Hs))
// Verification frottement
Vs=4*Qs/(%pi*D); Res=Vs*D/nu;
disp(sprintf('Vs=%5.3g, Res=%5.3g r=%3.2g',Vs, Res, r))
Re=Res; fs=fsolve(f,col);
disp(sprintf('fs=%5.4g',fs))
// Courbe caracteritique
Q=linspace(0,Qm,101);
Hp=Hm-bet*(Q/Qm).^2;
Hc=h+alpha*Q.^2;
// Plot
figure("BackgroundColor",[1 1 1])
plot(Q,Hp,'b-','Linewidth',4)
plot(Q,Hc,'r-','Linewidth',4)
xlabel("Q","fontsize", 4);
ylabel("Hp","fontsize", 4);
a=gca();
a.data_bounds(3)=0;
a.data_bounds(4)=1.2*Hm;
set(gca(),"grid",[1 1])
set(gca(),"font_size",3)
xs2png(gcf(),'pompe');
Listing résultat :
r=0.01, alpha= 4135
Qs=0.138, Hs= 99.2
Vs= 1.18, Res=1.76e+05 r=0.01
fs=0.03821
32

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