Etude et résultats du comportement de convergence des codes

SETIT 2007
4th International Conference: Sciences of Electronic,
Technologies of Information and Telecommunications
March 25-29, 2007 – TUNISIA
Etude et résultats du comportement de convergence
des codes Turbo Systématiques et Partiellement
Systématiques
Slim Chaoui (1), Haythem Ben Cheikha (2)
(1)
Unité de recherche CES à l’Ecole Nationale d’Ingénieurs de Sfax - Tunisie
[email protected]
(2)
Unité de recherche CSE à l’Ecole Polytechnique de Tunisie
[email protected]
Résumé : Nous présenterons une étude d’évaluation de l’influence des codes constituants du code Turbo sur le
comportement de convergence du décodage itératif. En fait, nous avons distingué des codes constituants qui aboutissent
à des performances surprenantes en termes de BER (Bit Error Rate) sur un canal AWGN (Additive Weight Gaussian
Noise). Dans ce contexte, nous avons utilisé les EXIT-charts (EXtrinsic Information Transfer charts) pour des codes
Turbo systématiques et des codes Turbo partiellement systématiques.
Mots clés : AWGN, Codes Turbo partiellement systématiques, Codes Turbo systématiques, convergence, décodage
itératif, EXIT-charts.
de l'information extrinsèque, appelé EXIT-chart, qui
décrit le comportement de convergence dans les
régions où le SNR (Signal Nose Ratio) est faible.
INTRODUCTION
Les codes Turbo proposés par [Berrou 93] ont
montré des performances considérables sur un canal
AWGN. Ces codes sont systématiques avec décodage
itératif utilisant le principe SISO (Soft In-Soft Out)
entre les décodeurs constituants.
Cet article est organisé comme suit : la première
section définit les codes TPS. La deuxième section est
une description théorique de l'échange de l'information
mutuelle entre l'entrée et la sortie des décodeurs
constituants du décodage itératif. Dans la troisième,
nous présenterons l’efficacité déterminante d’un
EXIT-chart pour la description du comportement de
convergence des codes Turbo. La quatrième section
représente les résultats du comportement de
convergence des codes TPS à partir des EXIT-charts.
En fin, nous clôturons avec une conclusion.
Une partie importante dans cette étude est
consacrée
aux
codes
Turbo
Partiellement
Systématiques (TPS). Cette partie est inspirée du
travail de [Chaoui 03], dans lequel l’auteur a montré
qu’on peut construire des codes avec décodage itératif
sans avoir besoin de transmettre la partie systématique
du code. Ces codes sont nommés Convolutional
Coupled Codes où la partie systématique pourrait être
complètement enlever. Ceci a montré des bons
résultats chez les Coupled Codes mais moins
importantes chez les Turbo Codes. Néanmoins, le fait
de poinçonner la partie systématique du code Turbo
avec un pourcentage bien déterminé a montré qu’une
amélioration au niveau de la distance minimale du
code peut être atteinte [Land 00]. De ce fait, nous
avons essayé de déterminer des codes constituants
performants pour les codes TPS au sein d’une
architecture de décodage itératif.
1. Codes
Turbo
Systématiques
Partiellement
L’encodeur de codes TPS est représenté par la
figure 1.
CRS
u
Encod 1
π
Comme l’analyse d’une telle architecture à partir
du diagramme conventionnel de BER est complexe et
difficile, nous avons utilisé l’outil semi-analytique de
[ten Brink 99]. Il s’agit d’un diagramme de transfert
CRS 2
u
Poinçonnage
p1
p’1
p2
p’2
c
Figure 1. Encodeur de codes TPS
-1-
u'’
c'
SETIT2007
Le mot d’information u de longueur K est encodé par
deux encodeurs Convolutifs Récursifs Systématiques
(CRS) avec une longueur de mémoire m. Le premier
encodeur est de rendement ½ où le mot de code
résultant comprend le mot d’information systématique
u et le mot de parité p1 ; le deuxième encodeur est de
rendement ½ où le mot d’information ne sera pas
transmis. Le mot d’information sera entrelacé avant de
passer par le deuxième encodeur. Les deux encodeurs
terminent en assurant le codage de tout le mot
d’information c'est-à-dire en retournant chacune des
mémoires à l’état zéro. Cependant, les bits de
terminaison se diffèrent d’un encodeur à l’autre.
Désentrelaceur
D1
C1
½
0
Pρu
11
10
01
11101101
10111010
01010111
1010
1101
0111
0
1
1
A2
π
M
U
X
U
M
U
X
C2
p2
Figure 2. Modèle de l’architecture itérative CCP
L’ensemble des variables (C1, D1, A1, E1, C2, D2, A2,
E2) est un ensemble de LLR (Log-Likelihood Ratios).
Nous avons utilisé comme décodeur constituant le
décodeur MAP (Maximum A-Posteriori) ou BCJR
(Bahl Cocke Jelinek Raviv). Il s’agit du décodeur
SISO optimal en ce qui concerne le calcul exact de la
probabilité a-posteriori [Robertson 97].
A chaque itération le premier décodeur MAP reçoit
l’observation du canal (C1) et l’information a-priori
(A1) pour donner à la sortie le soft a-posteriori (D1).
En passant par l’antrelaceur, l’information extrinsèque
résultante E1 = D1 − A1 devient l’information a-priori
(A2) entrante au deuxième décodeur. L’information
extrinsèque
à
la
sortie
de
ce
dernier
E 2 = D2 − A2 devient l’information a-priori (A1)
entrante au premier décodeur. Comme l’entrelaceur et
le désentrelaceur ne change pas la valeur de
l’information mutuelle, l’idée proposée par
[ten Brink 01] prévoit le comportement du décodage
itératif en regardant la relation qui existe entre les
entrées/sorties des décodeurs constituants. De ce fait,
nous avons utilisé la simulation dont la fonction
densité de la loi probabilité de la sortie extrinsèque à
valeurs dans E (respectivement l’entrée a-priori à
valeurs dans A) est approchée à une loi Gaussienne en
augmentant le nombre d’itérations. Il est approprié de
définir l’entrée a-priori A par cette équation :
Deux critères de base sont accordés à cette
architecture de poinçonnage : (i) Le rendement de
l’encodeur de codes TPS est Rc = ½. (ii) Les deux
parties de parité sont poinçonnées de la même
quantité. Soit ρ u le ratio du nombre des bits
systématiques dans une architecture TPS. Ainsi, la
description de la partie systématique d’un tel code est
connue à partir de ρ u . Le tableau 1 représente un
exemple de chaque configuration possible.
¾
π
E1
p1
Ainsi, ce code est considéré de la famille Turbo. A fin
d’avoir le rendement de ce code environ ½, un
poinçonnage du mot de code c est nécessaire. Dans le
cas classique d’un code Turbo [Berrou 93], seulement
les mots de parité (p1 et p2) sont poinçonnés tel que
uniquement le deuxième bit est transmis. En se
référant à [Land 02], le poinçonnage peut être réparti
entre la partie systématique et les deux parties de
parité en assurant une amélioration des propriétés de
la distance du code poinçonné. De ce fait, on a vécu la
naissance des codes TPS.
1
2ème
MAP
Entrelaceur
(1)
ρu
D2
E2
1er
MAP
Le mot du code c = (u, p1, p2) est constitué par la
partie systématique et les deux parties de parité, et le
rendement de code est donné par l’équation :
R = K/(3K+3m) ≈ 1/3
π-1
A1
Tableau 1. Matrices de poinçonnage Pρu pour des
architectures TPS(R = ½, 0 signifie « bit poinçonné »
et 1 signifie « bit non poinçonné »)
A = μΑ ⋅ u + ηΑ
Le cas où ρ u = 1 correspond au cas classique (code
Turbo Systématique) et celui où ρ u = 0 , il s’agit du
code Turbo non systématique. Le mot de code donné
par l’architecture TPS est c’ = (u’, p’1, p’2) où le prime
dénote le mot poinçonné respective comme c’est
représenté par la figure 1.
(2)
u ∈ {± 1} est le symbole transmis systématiquement et
η Α est une variable de distribution gaussienne qui a
une moyenne zéro et une variance σ Α2 .
Puisque A est un LLR basé sur une loi Gaussienne,
d’après [Hagenauer 96], μ A est donnée par :
2. Extrinsic Transfer Characteristics
μ A = σ A2 / 2
Le modèle de l’architecture du décodage itératif
étudié est celui des Codes Concaténés en Parallèle
(CCP). Ce modèle est représenté par la figure 2.
(3)
Maintenant, si on considère un canal AWGN, les
signaux discrets reçus sur un axe temporaire sont
-2-
SETIT2007
architectures de codes Turbo : les codes Turbo
classiques (systématiques) avec le rendement 1/3 et les
codes TPS de rendement ½ définis à la première
section. La figure 3 représente les diagrammes ETC
des différents codes avec différents taux de
poinçonnage (1, ¾, ½, 0) pour des codes constituants
ayant les générateurs (gr,g) = (31,27). La notation
(gr,g) désigne les générateurs polynomiaux du code
Turbo dont gr est le polynôme de Feedback. Puisqu’il
donne une distance minimale importante, ce choix des
générateurs polynomiaux est considéré parmi les
meilleurs pour une architecture CCP de rendement 1/3
et de longueur de mémoire m = 4 [Benedetto 96].
définis par :
ξ=u +n
(4)
A partir de l’équation (3), la fonction de la loi
probabilité conditionnelle attribuée au LLR de
l’information a-priori A est la suivante :
− (ξ -
1
PA (ξ/U = u ) =
2π σ A
σ A2
e
2
u) 2 2σ A2
(5)
où U est la variable aléatoire binaire qui dénote les
symboles transmis u ∈ {± 1} .
IA =
Information mutuelle IE (output)
Dans une architecture Turbo, l'information est
mesurée à l’aide de l’information mutuelle
I A = I (U ; A) entre un symbole envoyé (U) et un LLR
de l’information a-priori (A). Cette dernière est
définit par :
+∞
1
PA (ξ / U = u )
∑
∫
−
2 u = −1, +1 ∞
⎡
⎤
2 ⋅ PA (ξ / U = u )
⋅ log 2 ⎢
⎥ dξ
⎣ PA (ξ / U = −1) + PA (ξ / U = +1) ⎦
(6)
CCP
P1
P3/4
P1/2
P0
0 ≤ IA ≤1
A partir de l’équation (5), l’équation (6) devient :
I Α (σ Α ) = 1 − ∫
+∞
−∞
1
2π σ Α
e
− ((ξ − (σ Α2
/ 2 )⋅u )
2
Information mutuelle IA (input)
) / 2σ Α2 )
⋅ log 2 (1 + e −ξ )dξ
Figure 3. Diagrammes ETC des différentes
configurations (CCP avec R =1/3 et TPS avec R = ½)
où (gr,g)= (31,27) (SNR = 0.7dB)
(7)
A des valeurs bas de l’information mutuelle
a-priori (IA), la figure 3 montre des valeurs différentes
de l’information mutuelle extrinsèque (IE) pour le
même rendement total des codes TPS (rendement ½).
Ceci est dû au type de poinçonnage utilisé chaque fois.
Comme abréviation proposée par [ten Brink 01],
J (σ ) = I Α (σ Α = σ )
(8)
et
lim
J (σ ) = 0 , lim
J (σ ) = 1
σ →0
σ →∞
Dans la suite, l’étude de l’architecture
systématique de rendement 1/3 est un test de
performance des simulations réalisées vis-à-vis au
résultat de [Benedetto 96].
(9)
L'équation (8) est réversible,
σ Α = J −1 ( I Α )
(10)
Pour créer un Extrinsic Transfer Characteristics
(ETC), il existe une fonction de transfert T entre
l'information mutuelle I Α et l’information mutuelle
I E qui mesure l’information extrinsèque à la sortie du
décodeur constituant. Cette fonction dépend du SNR.
I Ε = Τ( I Α , E b / N 0 )
3. EXIT-charts et test de performance
Un EXIT-chart est l’assemblage dans un même
diagramme de deux diagrammes ETC des deux
décodeurs MAP constituants. Dans le cas d’une
architecture CCP où la sortie d'un bloc est l’entrée de
l'autre et vice versa, après la construction du premier
diagramme, le deuxième est sa symétrie par rapport à
l’axe IA = IE.
(11)
En fixant le SNR du canal,
I Ε = Τ( I Α )
(12)
Le diagramme ETC du premier décodeur MAP est
tracé en considérant
l'axe des abscisses
(respectivement l’axe des ordonnées) comme axe de
l’information mutuelle a-priori IA1 à l’entrée
(respectivement axe de l’information extrinsèque IE1 à
la sortie). Pour établir la nature itérative, le deuxième
diagramme correspondant au deuxième décodeur
MAP est obtenu en faisant une permutation des axes
c'est-à-dire l’entrée a-priori IA2 (respectivement la
Le diagramme ETC d'un décodeur est obtenu en
déterminant Τ( I Α ) pour chaque entrée de LLR
a-priori. Les paramètres spécifiques pour la
construction d’un tel diagramme sont les polynômes
générateurs de l’encodeur CRS et la valeur du SNR
(Eb/N0).
Notre
étude
se
concentre
sur
les
deux
-3-
SETIT2007
sortie extrinsèque IE2) est représentée par l'axe des
ordonnées (respectivement l'axe des abscisses). De ce
fait a découlé l’appellation « EXtrinsic Information
Transfer chart » qui désigne la visualisation de
l'échange de l'information extrinsèque sous forme
d’une trajectoire de décodage, ce qui rapproche le
comportement réel des décodeurs itératifs. Pour un
SNR très faible les deux diagrammes de transfert dans
un EXIT-chart se croisent tôt sans atteindre la
convergence souhaitée. Cette intersection prouve que
l'architecture Turbo ne peut pas converger.
de rendement 1/3 dont le polynôme primitif de
Feedback est « 31». Pour un SNR de 0.7 dB, la figure
5 montre que l’EXIT-chart du code de polynômes
générateurs (gr,g)=(31,27) possède le tunnel le plus
large. Ceci prouve sa considération, dans le travail de
[Benedetto 96], comme étant le meilleur de point de
vue distance minimale pour une architecture CCP de
rendement 1/3 et de longueur de mémoire m = 4 .
Maintenant, pour différentes valeurs de SNR et
pour une séquence d’information de longueur 120.000
bits, nous avons essayé de prouver itération par
itération le comportement itératif du décodage de ce
code. L’entrelaceur est de type modulo et de facteur
« 37 ». La figure 29 montre que chaque une des
trajectoires en zigzag résultantes du décodage est
limitée des deux cotés par l’EXIT-chart correspondant.
Output IE1 du 1er décodeur devient input IA2 du 2ème décodeur
Output IE1 du 1er décodeur devient input IA2 du 2ème décodeur
La figure 4 représente les EXIT-charts pour
différentes valeurs de SNR avec le code Turbo de
générateurs polynomiaux (gr,g) = (31,27). D’après
cette figure, le code Turbo ne peut pas converger avec
les valeurs de SNR inférieurs à 0.5 dB. Cependant,
pour les autres valeurs les diagrammes de transfert
convergent vers la limite souhaitée.
Output IE2 du 2ème décodeur devient input IA1 du 1er décodeur
Figure 6. Trajectoires de décodage itératif CCP
(R=1/3, EntrelaceurModulo-37, 120.000 bits
d’information, (gr,g)=(31,27))
Output IE2 du 2ème décodeur devient input IA1 du 1er décodeur
Figure 4. EXIT-charts pour différentes valeurs de SNR
(CCP de rendement 1/3, m = 4)
Output IE1 du 1er décodeur devient input IA2 du 2ème décodeur
Par correspondance aux trajectoires de la figure 6,
le tableau 2 représente le nombre d’itérations
nécessaires pour chaque SNR et le BER à chaque
itération.
SNR (dB)
1ère itération
2ème itération
3ème itération
4ème itération
5ème itération
0.7
1.49 e-1
9.93 e-2
3.91 e-2
9.96 e-3
1.57 e-3
BER
1.0
1.34 e-1
7.24 e-2
1.06 e-2
3.75 e-4
1.5
1.03 e-1
3.33 e-2
2.66 e-4
Tableau 2. BER à chaque itération par
correspondance aux trajectoires de la figure 6
Figure 5. EXIT-charts des codes Turbo systématiques
CCP (R=1/3, SNR=0.7dB, m=4, gr=31)
De ce fait, le traçage des EXIT-charts peut être
utilisé pour l’analyse du comportement de
convergence d'une architecture Turbo pour différentes
valeurs de SNR.
Pour mettre en évidence l’utilité des EXIT-charts
dans la description du comportement de convergence
de décodage itératif et pour s’assurer de la
performance des simulations réalisées, nous avons
choisis d’étudier les codes Turbo systématiques CCP
Dans la suite et à partir des EXIT-charts, nous
allons représenter pour différents taux de poinçonnage
le comportement de décodage itératif à fin de
distinguer des codes constituants performants de point
de vue convergence.
Output IE2 du 2ème décodeur devient input IA1 du 1er décodeur
-4-
SETIT2007
4. Etude
du
Comportement
de
Convergence à partir des EXIT-charts
4.1. Code TPS de
(gr,g)=(31,27)
polynômes
IE1 devient IA2
Nous avons conservé le même type de décodage
CCP et nous avons essayé d’extraire des codes
constituants performants chez les quatre types des
codes TPS (P1, P3/4, P1/2 et P0).
générateurs
Le choix du code de générateurs polynomiaux
(gr,g)=(31,27), considéré comme l’un des meilleurs
pour une architecture CCP de rendement 1/3, était
pour avoir une idée sur le comportement de
convergence pour les quatre variantes P1, P3/4 , P1/2
et P0 .
IE2 devient IA1
(a)
IE1 devient IA2
En variant le SNR, nous avons obtenu les EXITcharts représentés par la figure 7. D’après cette figure,
le comportement de convergence du code TPS P3/4 est
le meilleur puisque avec un SNR de 0.5 dB c’est le
seul qui peut converger. Cependant, le code TPS P0
est loin d’être un code convergent. En conséquence,
nous l’avons éliminé des codes que nous désirons
construire.
Un bon code avec le rendement 1/3 (sans
poinçonnage) n’est pas obligatoirement un bon code
avec le rendement ½ (avec poinçonnage). Même, au
sein des architectures TPS, le choix d’un bon code
varie d’un taux de poinçonnage à un autre. C’est
l’objet des EXIT-charts qui suivent.
IE2 devient IA1
(b)
4.2. Cas des codes TPS « P1 »
IE1 devient IA2
Pour distinguer les meilleurs codes constituants,
deux étapes sont nécessaires :
(i) Après le traçage de tous les EXIT-charts des
codes de polynôme primitif de Feedback « 31 »,
les deux qui débutent avec les extremums de
l’information
extrinsèque
sont
pris
en
considération avec deux autres intercalés au
milieu.
(ii) À partir de cette sélection, encore il est difficile
de distinguer lequel parmi ces codes est le
meilleur de point de vue convergence. Pour cela,
les simulations sont indispensables pour illustrer
le comportement détaillé de chaque code en
faisant varier le SNR.
IE2 devient IA1
(c)
IE1 devient IA2
Dans ce cas, la première étape est illustrée par la
figure 8. Les codes sélectionnés sont ceux de
polynômes
générateurs
(gr,g)=(31,22),
(gr,g)=(31,25), (gr,g)=(31,27) et (gr,g)=(31,34).
Comme la variation de SNR entre 0.5dB et 0.9dB
représente la région où les tunnels apportés par les
EXIT-charts deviennent intéressants, la deuxième
étape est illustrée par la figure 9.
Les codes TPS « P1 » de générateurs polynomiaux
(gr,g)=(31,27) et (gr,g)=(31,34) apportent les tunnels
les plus larges. Donc, ces codes convergent plus
rapidement et nous pouvons les considérer comme des
codes constituants performants.
IE2 devient IA1
(d)
Figure 7. EXIT-charts en variant le SNR pour les
architectures TPS (R = ½) ; (a) P1, (b) P3/4, (c) P1/2,
(d) P0
-5-
IE1 devient IA2
Output IE1 du 1er décodeur devient input IA2 du 2ème décodeur
SETIT2007
IE2 devient IA1
(a)
Output IE2 du 2ème décodeur devient input IA1 du 1er décodeur
IE1 devient IA2
Figure 8. EXIT-charts pour l’architecture TPS « P1 »
(R = ½, m = 4, SNR = 1.0 dB, gr=31)
4.3. Cas des codes TPS « P3/4 »
En poursuivant les deux étapes de distinction de
codes constituants performants décrites dans le
paragraphe 4.2, la figure 10 représente le cas des
codes TPS « P3/4 ». La sélection remembre les couples
de
polynômes
générateurs
(gr,g)=(31,27),
(gr,g)=(31,32), (gr,g)=(31,34) et (gr,g)=(31,36).
D’après les EXIT-charts effectués, le code TPS
« P3/4 » de générateurs polynomiaux (gr,g)=(31,32)
est le meilleur.
IE2 devient IA1
(b)
4.4. Cas des codes TPS « P1/2 »
IE1 devient IA2
De la même manière, pour les codes TPS « P1/2 »,
nous avons réalisé des simulations pour distinguer au
moins un code constituant performant de point de vue
convergence. La figure 11 illustre ce cas où les
couples de polynômes générateurs sélectionnés sont
(gr,g)=(31,22),
(gr,g)=(31,24),
(gr,g)=(31,27)
et (gr,g)=(31,36).
D’après les EXIT-charts obtenus, le code TPS
« P1/2 » de polynômes générateurs (gr,g)=(31,22)
possède le tunnel le plus large. Donc, c’est le code le
plus performant.
IE2 devient IA1
(c)
5. Conclusion
IE1 devient IA2
Nous avons proposé dans le présent papier une
étude du comportement de convergence des codes
Turbo systématiques et des codes Turbo partiellement
systématiques à partir des EXIT-charts. Ainsi, ces
diagrammes ont été attribués pour évaluer l’influence
des codes constituants et l’influence du taux de
poinçonnage de la partie systématique.
Nous avons réussi de trouver un ensemble de
codes constituants performants pour les codes TPS P1,
P3/4 et P1/2 où les P3/4 et les P1/2 sont les meilleurs par
rapport à ceux des P1. Autant, les P3/4 sont excellents.
IE2 devient IA1
(d)
Figure 9. EXIT-charts pour l’architecture TPS « P1 »
(R = ½, m = 4, SNR variable) ; (a) (gr,g)=(31,22),
(b) (gr,g)=(31,25), (c) (gr,g)=(31,27), (d)
(gr,g)=(31,34)
En outre, contrairement au « Coupled Codes » où
la partie systématique du code est totalement
poinçonnée en gardant la même performance du
-6-
IE1 devient IA2
IE1 devient IA2
SETIT2007
(a)
(a)
IE2 devient IA1
IE1 devient IA2
IE1 devient IA2
IE2 devient IA1
(b)
(b)
IE1 devient IA2
IE2 devient IA1
IE1 devient IA2
IE2 devient IA1
(c)
(c)
IE1 devient IA2
IE2 devient IA1
IE1 devient IA2
IE2 devient IA1
(d)
(d)
IE2 devient IA1
IE2 devient IA1
Figure 10. EXIT-charts pour l’architecture TPS
« P3/4 » (R = ½, m = 4) ; (a) SNR=1.0 dB et gr=31,
(b) SNR variable et (gr,g)=(31,32), (c) SNR variable
et (gr,g)=(31,34), (d) SNR variable et (gr,g)=(31,36)
Figure 11. EXIT-charts pour l’architecture TPS
« P½ » (R = ½, m = 4) ; (a) SNR=1.8 dB et gr=31,
(b) SNR variable et (gr,g)=(31,22), (c) SNR variable
et (gr,g)=(31,24), (d) SNR variable et (gr,g)=(31,36)
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SETIT2007
décodage itératif, nous avons montré que le décodeur
Turbo nécessite une partie du mot systématique.
REFERENCES
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[Hagenauer 96] J. Hagenauer, E. Offer, L. Papke, "Iterative
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