Seconde Chapitre 1 : Les vecteurs (1)

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Chapitre 1 : Les vecteurs (1)
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I ) Translation :
Activité : Une télécabine se déplace le long d’un câble de A vers B.
Dessiner ci – dessus la télécabine lorsqu’elle sera arrivée au terminus B.
On appelle ce déplacement une …………………………… de A vers B.
A retenir :
Déplacer une figure par translation , c’est faire glisser cette figure sans la faire tourner .
Pour décrire ce déplacement , il faut donc donner la direction , le sens et la longueur de ce parcours . Pour cela , on va
utiliser un nouvel outil mathématique : les vecteurs .
II) Vecteurs :
1) Qu’est – ce qu’un vecteur ?
Définition :
Un vecteur ( non nul ) est la donnée de trois éléments :
1) une direction ( une droite , deux droites parallèles ont la même direction )
2) un sens de parcours de cette direction .
3) une longueur ( appelée norme ) .
Exemples :
1) Le vecteur formé de la direction(‫)ܤܣ‬, de sens « de ‫ ܣ‬vers
‫ » ܤ‬et de longueur AB est noté ሬሬሬሬሬԦ
‫ ܤܣ‬.
2) Les vecteurs AB et CD ont la même direction et le même
sens mais pas la même longueur
3) Les vecteurs AB et BA ont la même direction et la même
longueur mais pas le même sens.
Remarque :
Dans l’activité précédente , on parle de la translation de vecteur AB .
On dit que A est l’origine du vecteur et que B est son extrémité .
On dit que le point B est l’image du point A par la translation de vecteur AB .
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2) Vecteurs égaux :
Définition :
On dit que deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur .
Exemple :
AB = CD signifie que :
1) AB = CD ont la même direction, c’est-à-dire que les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles.
2) AB = CD ont le même sens, c’est-à-dire que le sens est le même de A vers B que de C vers D.
3) AB = CD ont la même longueur, c’est-à-dire que AB = CD
ሬԦ :
3) Notation ࢛
La translation de vecteur AB transforme le point C
en D, le point E en F.
On a AB = CD = EF .
On dit alors que AB, CD et EF sont des
représentants d’un même vecteur que l’on peut noter
génériquement u .
On dit que AB est le représentant du vecteur u
d’origine A.
4) Vecteurs particuliers :
Définition :
Soit A un point quelconque du plan.
Le vecteur AA est appelé vecteur nul et noté 0 . Il n’a pas de direction, ni de sens et sa longueur est nulle.
Remarque : AB = 0 si et seulement si A et B sont confondus.
Définition :
Soit u un vecteur non nul .
ሬԦ ayant la même direction, le sens contraire et la même norme.
L’opposé du vecteur u est le vecteur noté − ࢛
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Représentation graphique de − ‫ݑ‬
ሬԦ :
Remarque :
L’opposé du vecteur AB est le vecteur BA . On écrit donc que : BA = − AB .
5) Vecteurs égaux et parallélogramme :
Propriété :
Soient ‫ ܣ‬, ‫ ܤ‬, ‫ ܥ‬et ‫ ܦ‬quatre points du plan distincts deux à deux .
AB = DC si et seulement si ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) .
Remarque :
On a aussi BA = CD,
AD = BC et DA = CB
Exercice n° 2 feuille 1 : application ( dans les deux sens ) .
6) Vecteurs égaux et milieu d’un segment :
Propriété :
ሬሬሬሬሬԦ.
Le point ‫ ܫ‬est le milieu du segment [࡭࡮] si et seulement si ሬሬሬሬԦ
࡭ࡵ = ࡵ࡮
Remarque :
ሬሬሬሬԦ
On a aussi ሬሬሬሬሬԦ
࡮ࡵ = ࡵ࡭
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III) Somme de vecteurs :
1) Somme vectorielle :
Relation de Chasles :
On définit la somme vectorielle AB + BC comme étant le vecteur AC .
Remarque :
Ce vecteur somme correspond à la translation « bilan » que l’on obtient en faisant successivement les
translations de vecteurs AB puis de vecteur BC .
« Aller de A vers B, puis de B vers C, revient à aller directement de A vers C ».
Plus généralement :
Etant donnés deux vecteurs quelconques u et v , on définit la somme vectorielle u + v comme étant le vecteur
égal à AC , où A est un point quelconque du plan et C son image par les translations successives de vecteurs
respectifs u et v .
Remarques :
La somme vectorielle ne dépend pas du point A choisi.
Comme pour la somme des nombres, la somme vectorielle est commutative, c'est-à-dire u + v = v + u et
associative, c'est-à-dire ( u + v ) + w = u + ( v + w ) , ce que l’on peut simplement noter u + v + w .
ሬԦ + ‫ܞ‬ሬԦ :
2) Construction géométrique de ‫ܝ‬
1er cas : Vecteurs « bout à bout »
Quels que soient les points ‫ ܣ‬, ‫ ܤ‬et ‫ ܥ‬,
ሬሬሬሬሬሬԦ = ሬሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬሬሬԦ + ࡮࡯
on a la relation de Chasles : ࡭࡮
࡭࡯
Exemple :
Voir figure précédente
2nd cas : Vecteurs quelconques
On déplace l’un ou l’autre ou les deux vecteurs pour
se ramener à la configuration « bout à bout »
précédente.
Pour construire AB + CD , on place le point E
tel que BE = CD . Comme : AB + CD = AB + BE ,
d’après la relation de Chasles, AB + CD = AE .
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3) Somme de vecteurs et configurations :
Propriété : Parallélogramme
Si ABCD est un parallélogramme alors AB + AD = AC .
Démonstration :
Si ABCD est un parallélogramme alors AB = DC .
On a alors AB + AD = DC + AD = AD + DC = AC .
Propriété : Médiane
Si [AI] est la médiane issue de A dans le triangle ABC,
alors AB + AC = 2 AI .
Propriété : Milieu
I est le milieu de [AB] si et seulement si IA + IB = 0 .
Remarque : On a aussi : AI + BI = 0
4) Différence de deux vecteurs :
Définition :
On appelle différence entre u et v , le vecteur noté u − v défini par : u − v = u + ( −v ) .
Remarque : On retrouve le « soustraire, c’est ajouter l’opposé ».
Construction géométrique de u − v
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Configuration :
Dans un parallélogramme, les deux diagonales correspondent à la somme et la différence des vecteurs des côtés :
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