III Circuit RLC série

III. Circuit 𝑅𝐿𝐶 série
2009-2010
III
Circuit 𝑅𝐿𝐶 série
III.1
Théorie
Régimes transitoires TP
Ü Équation différentielle vérifiée par la tension 𝑢(𝑡) :
d2 𝑢 𝑅0 d𝑢
𝑢
𝐸
+
+
=
2
d𝑡
𝐿 d𝑡
𝐿𝐶
𝐿𝐶
Qu’on peut écrire sous la forme canonique :
d2 𝑢 𝜔0 d𝑢
+
+ 𝜔02 𝑢 = 𝜔02 𝐸
(𝐸)
d𝑡2
𝑄 d𝑡
⎧

1


: pulsation propre

⎨ 𝜔0 = √𝐿𝐶
en posant :
√

1
1 𝐿
𝐿𝜔0



: facteur de qualité
⎩ 𝑄 = 𝑅 = 𝑅𝐶𝜔 = 𝑅 𝐶
0
Ü Solutions :
Hyp : on se place dans le cas où 𝑒(𝑡) = 𝐸 avec, comme conditions initiales 𝑢(0− ) = 0 et
d𝑢
𝑖(0− ) = 𝐶 (0− ) = 0
d𝑡
Csqce : comme il y a continuité de l’intensité 𝑖 traversant la bobine ainsi que de la tension 𝑢
d𝑢
aux bornes du condensateur : 𝑖(0+ ) = 𝐶 (0+ ) = 0 et 𝑢(0+ ) = 0.
d𝑡
(1) La solution 𝑢(𝑡) est de la forme 𝑢(𝑡) = 𝑢𝑃 + 𝑢𝐺 (𝑡) avec :
{
𝑢𝑃
: une solution particulière de l’équation avec second membre
𝑢𝐺 (𝑡) : la solution générale de l’équation homogène
(2) Le second membre étant constant, on cherche une solution particulière constante :
d2 𝑢𝑃
𝜔0 d𝑢𝑃
+ 𝜔02 𝑢𝑃 = 𝜔02 𝐸, soit : 𝑢𝑃 = 𝐸
+
d𝑡2
𝑄 d𝑡
𝜔0
𝑟 + 𝜔02 𝑟 = 0
𝑄
( )2
𝜔0
Le discriminant de cette équation caractéristique est : Δ =
(1 − 4𝑄2 )
𝑄
1
(4) régime transitoire apériodique : cas où Δ > 0 ⇔ 𝑄 <
2
𝜔0 √
𝜔0
Les racines de (∗) sont deux racines réelles (négatives) : 𝑟1/2 = −
±
1 − 4𝑄2 .
2𝑄 2𝑄
Alors : 𝑢𝐺 (𝑡) = 𝐴.𝑒𝑟1 𝑡 + 𝐵.𝑒𝑟2 𝑡
d𝑢
= (𝑟1 𝐴.𝑒𝑟1 𝑡 + 𝑟2 𝐵.𝑒𝑟1 𝑡 )
→ Soit : 𝑢 = 𝑢𝑃 + 𝑢𝐺 (𝑡) = 𝐸 + 𝐴.𝑒𝑟1 𝑡 + 𝐵.𝑒𝑟2 𝑡 et donc :
d𝑡
⎧
𝑟2 𝐸

{

+
⎨ 𝐴 = −𝑟 − 𝑟
𝑢(0 )
=𝐴+𝐵+𝐸 =0
2
1
Avec, comme conditions initiales :
→
d𝑢 +

𝑟 𝐸
(0 ) = 𝑟1 𝐴 + 𝑟2 𝐵 = 0

⎩ 𝐵= 1
d𝑡
𝑟2 − 𝑟1
[
]
(
)
1
𝑟1 𝑡
𝑟2 𝑡
→ 𝑢(𝑡) = 𝐸 1 +
−𝑟2 .𝑒 + 𝑟1 .𝑒
𝑟2 − 𝑟1
(3) Équation caractéristique (∗) associée à (𝐸) :
𝑟2 +
1
2
𝜔0
Les racines de (∗) constituent une racine double : 𝑟1 = 𝑟2 = −
= −𝜔0 .
2𝑄
Alors : 𝑢𝐺 (𝑡) = (𝐴 + 𝐵.𝑡).𝑒−𝜔0 𝑡
d𝑢
→ Soit : 𝑢 = 𝑢𝑃 + 𝑢𝐺 (𝑡) = 𝐸 + (𝐴 + 𝐵.𝑡).𝑒−𝜔0 𝑡 , et donc :
= [−𝜔0 (𝐴 + 𝐵.𝑡) + 𝐵].𝑒−𝜔0 𝑡
d𝑡
(5) régime transitoire critique : cas où Δ = 0 ⇔ 𝑄 =
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5
III. Circuit 𝑅𝐿𝐶 série
TP Régimes transitoires
{
Avec, comme conditions initiales :
→
[
]
𝑢(𝑡) = 𝐸 1 − (1 + 𝜔0 𝑡).𝑒−𝜔0 𝑡
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{
𝑢(0+ )
=𝐴+𝐸
=0
𝐴 = −𝐸
→
d𝑢 +
𝐵 = −𝜔0 𝐸
(0 ) = −𝜔0 𝐴 + 𝐵 = 0
d𝑡
1
(6) régime transitoire pseudo-périodique : cas où Δ < 0 ⇔ 𝑄 >
√ 2
−𝑏 ± 𝑗 ∣Δ∣
𝜔0
𝜔0 √ 2
≫ = −
±𝑗
Les racines de (∗) sont deux racines complexes : 𝑟1/2 = «
4𝑄 − 1.
2𝑎
2𝑄 2𝑄
⎧

2𝑄


𝜏=
⎨
1
𝜔0
Soit : 𝑟1/2 = − ± 𝑗𝜔 avec
𝜔0 √ 2

𝜏


𝜔
=
4𝑄 − 1
pseudo-pulsation
⎩
2𝑄
(
)
𝑡
Alors : 𝑢𝐺 (𝑡) = (𝐴. cos(𝜔𝑡) + 𝐵. sin(𝜔𝑡)). exp −
𝜏
(
)
𝑡
→ Soit : 𝑢 = 𝑢𝑃 + 𝑢𝐺 (𝑡) = 𝐸 + (𝐴. cos(𝜔𝑡) + 𝐵. sin(𝜔𝑡)). exp −
𝜏
[(
)
(
)
]
(
)
d𝑢
𝐴
𝐵
𝑡
Et donc :
=
− + 𝐵𝜔 . cos(𝜔𝑡) + − − 𝐴𝜔 . sin(𝜔𝑡) . exp −
d𝑡
𝜏
𝜏
⎧ 𝜏
{
+
⎨ 𝐴 = −𝐸
𝑢(0 )
=𝐴+𝐸
=0
𝐴
𝐸
→
Avec, comme conditions initiales :
𝐴
d𝑢 +
= −√
⎩ 𝐵=−
(0 ) = − + 𝐵𝜔 = 0
𝜏𝜔
4𝑄2 − 1
d𝑡
𝜏
[
(
)] (
)
1
𝑡
→ 𝑢(𝑡) = 𝐸 1 − cos(𝜔𝑡) + √
sin(𝜔𝑡)
.𝑒 −
𝜏
4𝑄2 − 1
(7) Résistance critique : valeur de 𝑅 qui permet le régime critique lorsque 𝐿 et 𝐶 sont fixées :
√
𝐿
𝑅𝑐 = 2
— A.N. : pour 𝐿 = 40 𝑚𝐻 et 𝐶 = 0, 1 𝜇𝐹 : 𝑅𝑐 = 1 265 Ω
𝐶
III.2
Montage
(
)
𝑡
• Pour un régime pseudo-périodique : 𝑢𝐺 (𝑡) = (𝐴. cos(𝜔𝑡)+𝐵. sin(𝜔𝑡)). exp −
et le décrément
𝜏
𝑈𝐺𝑚 (𝑡0 )
𝑇
logarithmique s’écrit : 𝛿 = ln
, soit : 𝛿 =
ce qui peut s’écrire :
𝑈𝐺𝑚 (𝑡0 + 𝑇 )
𝜏
⎧ 2𝜋
𝜋
2𝜋

(≃
=√
lorsque 𝑄 est « élevé »)


2

𝜏
𝜔
𝑄
4𝑄 − 1
⎨
𝛿=
𝑇 𝜔0
𝑇
𝜔
𝑇.𝑅
0𝑅

=
→ 𝛿=
,
1


2
𝜔
2𝐿
0

⎩ 2𝑄
𝜔0 √ 2
𝐿𝜔0
4𝑄 − 1, en élevant au carré et en remplaçant 𝑄 par
, on obtient :
2𝑄
𝑅
( )2
𝑅
𝜔02 = 𝜔 2 +
,
2
2𝐿
( )2
𝜔0 1
1
4𝑝𝑖2
𝑅
√
• De plus, comme
,,
2 donne :
= 2 +
= 𝐿𝐶
𝐿𝐶
𝑇
2𝐿
1
4𝜋 2
𝛿2
Soit, en utilisant ,
1 :
= 2 + 2
𝐿𝐶
𝑇
𝑇
𝑇2
,
3
→ d’où : 𝐿 =
(4𝜋 2 + 𝛿 2 ).𝐶
• Comme 𝜔 =
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• Cette dernière relation injectée dans ,
1 donne :
𝑅=
2𝛿𝑇
(4𝜋 2 + 𝛿 2 ).𝐶
Régimes transitoires TP
,
4
𝐶 étant supposée connue,
la connaissance de 𝛿 (décrément logarithmique) et 𝑇 (pseudo-période) permettent de remonter aux caractéristiques du circuit : 𝑅, 𝐿 et 𝑄.
• Avec une bobine de 1 000 spires et une capacité 𝐶 = 0, 1 𝜇𝐹 ,
on mesure 𝑇 = 410 𝜇𝑠 et 𝛿 = 0, 81
Les relations ,
3 et ,
4 donnent accès aux valeurs : 𝐿calc ≃ 42 𝑚𝐻 et 𝑅calc ≃ 165 Ω
• En réalité, il ne s’agit pas de 𝑅 qui a été fixée à 100 Ω, mais de la résistance totale du circuit :
𝑅𝑇 = 𝑅 + 𝑟 + 𝑅𝑔 où 𝑅 est la résistance variable (boı̂te AOIP), 𝑟 la résistance interne de la bobine
(∼ 9 Ω) et 𝑅𝑔 la résistance interne du générateur.
Ce qui permet d’obtenir une bonne estimation de la résistance interne du générateur :
𝑅𝑔 = 𝑅𝑇 − 𝑟 − 𝑅 ≃ 56 Ω
Valeur tout à fait√convenable puisque ∼ 50 Ω.
𝐿
− 𝑟 − 𝑅𝑔 = 1 265 − 9 − 56 ∼ 1 200 Ω
Ainsi 𝑅𝑐,théo = 2
𝐶
√
1
𝐿
2𝑄
• 𝑄calc =
= 3, 9 → 𝜏calc =
≃ 495 𝜇𝑠
𝑅𝑇 𝐶
𝜔0
• Avec un tel circuit, le facteur de qualité maximal que l’on peut atteindre est obtenu lorsque
√
1
𝐿
= 9, 8 ∼ 10
𝑅𝑇 est minimale, donc lorsque 𝑅 = 0 : 𝑄max =
𝑅𝑔 + 𝑟 𝐶
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