Prise de décision en maintenance conditionnelle pour un système

Transcription

Prise de décision en maintenance conditionnelle
pour un système soumis aux risques concurrents
de choc et de dégradation
K.T. Huynh1 , A. Barros1 , C. Bérenguer1 et I.T. Castro2
1 Institut
Charles Delaunay - UMR CNRS 6279
Université de technologie de Troyes, France
2 Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura, Spain
Groupe de travail FIMA, Grenoble, le 13 Octobre 2011
K.T. Huynh et al. (UTT, UEX)
Décision en maintenance conditionnelle
FIMA, Grenoble, France
1 / 33
Outline
1
Motivations & Objectifs du travail
2
Modélisation du système
3
Maintenance préventive basée sur le temps calendaire
4
Maintenance préventive basée sur la dégradation
5
Maintenance préventive basée sur la MRL conditionnelle
6
Conclusions
2 / 33
Motivations
Motivations
Maintenance calendaire (TBM): classique et ineffective
Généralisation des techniques de surveillance ⇒ Politiques conditionnelles
Maintenance conditionnelle (CBM): onéreuse à cause des inspections, ineffective à
cause des mauvais indicateurs de décision
Nécessité
CBM vs. TBM ⇒ Avantageuse en terme de coût?
Construction un indicateur robuste pour la décision en CBM
3 / 33
Objectifs du travail
Modéliser un système fonctionnant dans un environnement dynamique
⇒ Modèle de défaillances concurrentes dépendantes de dégradation et choc
Proposer et développer les modèles de coût des politiques de maintenance:
⇒ Politique calendaire: politique BR
⇒ Politique conditionnelle basée sur la dégradation: politique (∆T , M)
⇒ Politique conditionnelle basée sur la MRL: politique (∆T , m)
Étudier les deux politiques BR et (∆T , M)
⇒ Quantifier l’apport de l’information de surveillance
Étudier les deux politiques (∆T , m) et (∆T , M)
⇒ Construire un indicateur plus robuste et le quantifier
4 / 33
Impact de l’environnement et objectif de modélisation
Impact de l’environnement et objectif de modélisation
Impact de l’environnement
Environnement dynamique provoque des chocs qui causent une défaillance du
système dégradé
Modèle DTS (degradation-threshold-shock) = modèle de dégradation + modèle
de choc
Contexte
Modèle DTS traditionnel: indépendant entre processus de choc et de dégradation
Situations pratiques: dépendance structure entre choc et dégradation est important
Objectif de modélisation
Élargir le modèle DTS traditionnel en soulignant la dépendance entre des modes
de défaillance
5 / 33
Modèle DTDS (degradation-threshold-dependent shock)
Motivation de modélisation
Plus le système est dégradé, plus il est sensible à des défaillances par choc
Modélisation de dégradation - Modèle DT
Processus gamma homogène {xt }t≥0 , xt − xs ∼ Ga (α · (t − s) , β)
fα·(t−s),β (u) =
1
β α·(t−s) u α·(t−s)−1 e−βu
Γ(α·(t−s))
· 1{u≥0}
Défaillance du système: xt ≥ L (seuil critique de défaillance par la dégradation)
Modélisation de choc - Modèle DS
Processus de Poisson non-homogène {Nt }t≥0 dont l’intensité est
r (t, xt ) = r1 (t) 1{xt <Ms } + r2 (t) 1{xt ≥Ms }
où, r2 (t) ≥ r1 (t), Ms est un niveau de dégradation fixé
Le système tombe en panne lorsqu’un choc survient
6 / 33
Illustration du modèle DTDS
xt
Défaillance liée à la dégradation
τM
0
s
τL
Zone de fonctionnement
xt
Défaillance liée au choc
L
L
Ms
Ms
τM
Temps
Etat de panne
r(t,xt)
0
τL
s
r(t,xt)
r2(t)
Mode nominal
r2(t)
Mode accéléré
Mode nominal
r1(t)
Mode accéléré
r1(t)
Temps
0
Etat de panne
Temps
0
Nt
Nt
1
1
τs
0
Temps
Etat de panne
τf
Etat de panne
τs
Temps
Etat de panne
0
τf
Temps
Etat de panne
7 / 33
Fiabilité du modèle DTDS
Fiabilité du modèle DTDS
F̄f (t)
=
=
P (xt < L, Nt = 0) = P (xt < Ms , Nt = 0) + P (Ms ≤ xt < L, Nt = 0)
Z t
F̄1 (t) F̄τMs (t) + F̄2 (t)
a (u) F̄τL −τMs (t − u) du,
0
1
Modèle DT
Modèle DS
Modèle DTDS
Fiabilité
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
Temps
8 / 33
Hypothèses et critère d’évaluation de la performance
Hypothèses et critère d’évaluation de la performance
Hypothèses
Défaillance et dégradation cachées
Défaillance et dégradation sont révélées par une inspection (Cid )
Deux actions de maintenance: remplacement préventif (Cp > Cid ) et correctif
(Cc > Cp ) ⇒ Renouveler le système
Durée d’indisponibilité (Cd ) et actions de maintenance prennent le temps
négligeable
Critère d’évaluation de la performance - critère du coût
Théorème de renouvellement:
C∞ = lim
t→+∞
E [C (t)]
E [C (S)]
=
t
E [S]
où, S est un cycle de renouvellement
9 / 33
Maintenance préventive basée sur le temps calendaire
Politique BR
Remplacement à périodes T , soit préventivement si en marche, soit correctivement sinon
Modèle de coût:
RT
Cp F̄f (T ) + Cc 1 − F̄f (T ) + Cd 0 1 − F̄f (t) dt
T
BR
C∞
(T ) =
Optimisation:
n
o
BR
BR
C∞
(Topt ) = min C∞
(T ) , T > 0
T
CBR (T
55
) = 7.1099, T
∞
opt
10
15
opt
= 14
50
45
∞
CBR (T)
40
35
30
25
20
15
10
5
0
5
20
25
30
35
40
T
10 / 33
Politique (∆T , M)
Modèle et politique de maintenance basée sur le niveau de
dégradation (1)
Inspecter périodiquement (période ∆T )
Remplacer correctivement si le système tombe en panne
Remplacer préventivement si le système est en marche et xTi ≥ M
Variables de décision: ∆T , M
Modèle de coût
∆T ,M
C∞
(∆T , M) =
h
i
h
i
Cid E Ni∆T ,M + Cp Pp∆T ,M + Cc 1 − Pp∆T ,M + Cd E Wd∆T ,M
E [S ∆T ,M ]
11 / 33
Modèle et politique de maintenance basée sur le niveau de
dégradation (2)
∆T ,M
P Ep,(k+1)∆T
≤ (k + 1) ∆T < τL , N(k+1)∆T = 0
Probabilité de remplacement préventif: Pp∆T ,M =
∆T ,M
Ep,(k+1)∆T
= k∆T < τM
Optimisation:
∆T ,M
C∞
(∆Topt , Mopt ) = min
∆T ,M
k=0
n
o
∆T ,M
C∞
(∆T , M) , ∆T > 0, 0 < M < L
30
M
(∆Topt, Mopt) = 4.4349, ∆Topt = 2.5, Mopt = 19
C∆T,
∞
25
12
10
20
8
M
M
(∆T, M)
C∆T,
∞
P∞
15
6
10
4
30
20
20
15
M
5
10
10
5
0
0
∆T
1
2
3
4
∆T
5
6
7
8
12 / 33
Performance économique de la politique (∆T , M)
Coût de remplacement préventif variable
Cid = 2, Cc = 100, Cp = 2 : 1 : 100, Cd = 25
30
10
20
9
10
8
0
0
40
60
80
100
Topt/∆Topt
20
∞
,M
opt
)
opt
6
5
15
10
5
0
0
C∆T, M(∆T
7
20
Copt
∞
Mopt
BR
C∞ (Topt)
20
40
60
80
Topt
4
∆Topt
3
100
2
0
Cp
20
40
60
80
100
Cp
13 / 33
Coût d’indisponibilité par unité de temps variable
Cid = 5, Cc = 100, Cp = 50, Cd = 5 : 1 : 150
14
12
C∆T, M(∆T
∞
,M
opt
)
opt
10
0
5
34
63
92
121
150
30
Topt/∆Topt
BR
C∞ (Topt)
20
8
Topt
20
10
Copt
∞
Mopt
30
∆Topt
6
10
0
5
34
63
92
121
150
4
5
Cd
34
63
92
121
150
Cd
14 / 33
Coût d’inspection variable
Cid = 2 : 1 : 90, Cc = 100, Cp = 90, Cd = 25
13
20
Mopt
18
12
16
14
11
12
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Topt/∆Topt
25
Copt
∞
10
0
9
8
20
7
15
Topt
10
∆Topt
5
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
CBR
(Topt)
∞
6
90
5
0
M
C∆T,
(∆Topt, Mopt)
∞
10
Cid
20
30
40
50
60
70
80
90
Cid
15 / 33
Sensibilité à la dynamique d’évolution du système
r1 (t) = 0.001, r2 (t) = 0.01
r1 (t) = 0.01, r2 (t) = 0.1
5.5
7.5
7
5
6.5
Copt
∞
Copt
∞
4.5
4
6
5.5
3.5
(∆T, M): σ2 = 10
(∆T, M): σ2 = 10
5
BR: σ2 = 10
3
BR: σ2 = 10
(∆T, M): σ2 = 1
(∆T, M): σ2 = 1
4.5
BR: σ2 = 1
2.5
1
5
9
13
17
BR: σ2 = 1
21
4
1
Cid
5
9
13
17
21
Cid
16 / 33
Construction de MRL conditionnelle
Motivations
Indicateur de décision conditionnelle
Bon indicateur doit caractériser précisément l’état courant et futur du système
Niveau de dégradation: classique, ne représente que l’état de santé courant, n’est
pas suffisant pour un modèle DTS
⇒ La durée de vie résiduelle moyenne (MRL) conditionnelle?
Prise de décision en maintenance préventive
Décision basée sur le niveau de dégradation: populaire
Décision basée sur la MRL: rare
⇒ Comment intègre-t-on la MRL dans les règles de décision?
⇒ Quel sont ses apports?
17 / 33
Construction de MRL conditionnelle (1)
Calcul de MRL
Fonction de RUL à l’instant t:
τf − t | τf > t, Z0:t
τf : date de défaillance, Z0:t : covaribles corrélées à l’état du système
Méthode classique: τf − t | τf > t
Dans ce travail:
R∞
mxt (t) = E [τf − t | τf > t, xt ] = t R (u | xt ) du
xt : niveau de dégradation à t, R (u | xt ) fiabilité conditionnelle à u > t sachant xt
Fiabilité conditionnelle du modèle DTDS
R (u | xt ) = P (xu < L, Nu = 0 | xt ) = R1 (u | xt ) 1{xt <Ms } + R2 (u | xt ) 1{xt ≥Ms }
R1 (u | xt ) = F̄τMs −xt (u − t) F̄F̄1 (u)
+
(t)
1
R2 (u | xt ) = F̄τL−xt (u − t)
F̄2 (u)
F̄2 (t)
Ru
t
F̄τL −τMs (u − v )
F̄1 (v)F̄2 (u)
f
F̄1 (t)F̄2 (v) τMs −xt
(v − t) dv
18 / 33
Construction de MRL conditionnelle (2)
Illustrations:
25
17
19
mx (t)
t
t
mx (t)
12
13
7
7
1
0
0
10
10
0
10
10
20
20
t
2
0
30
30
20
20
x
t
r1 (t) = 0.01, r2 (t) = 0.1
t
30
30
x
t
r1 (t) = 0.0025t + 0.01, r2 (t) = 0.0025t + 0.1
Remarques:
r (t, xt ) indépendant du temps: MRL est inutile pour la décision en maintenance
r (t, xt ) dépendant du temps: MRL est utile pour la décision en maintenance
19 / 33
Modèle et politique de maintenance basée sur MRL
Modèle et politique de maintenance basée sur MRL (1)
Politique (∆T , m)
Inspecter périodiquement (période ∆T )
Remplacer correctivement si le système tombe en panne
Calculer la MRL conditionnelle à chaque inspection
Remplacer préventivement si le système est en marche et mxTi (Ti ) ≤ m
Variables de décision: ∆T , m
Modèle de coût
∆T ,M
C∞
(∆T , m) =
h
i
h
i
Cid E Ni∆T ,m + Cp Pp∆T ,m + Cc 1 − Pp∆T ,m + Cd E Wd∆T ,m
E [S ∆T ,m ]
20 / 33
Modèle et politique de maintenance basée sur MRL
Modèle et politique de maintenance basée sur MRL (2)
Probabilité de remplacement préventif: Pp∆T ,m =
∆T ,m
Ep,(k+1)∆T
=
Optimisation:
∆T ,m
P
E
k=0
p,(k+1)∆T
P∞
n
mxk∆T (k∆T ) > m ≥ mx(k+1)∆T ((k + 1) ∆T ) ,
(k + 1) ∆T < τL , N(k+1)∆T = 0
∆T ,m
C∞
(∆Topt , mopt ) = min
∆T ,m
n
o
∆T ,m
C∞
(∆T , m) , ∆T > 0, 0 < m < MTTF
∆T,m
C∞
(∆Topt,mopt) = 7.8416, mopt = 8.5, ∆Topt = 4.5
16
14
21
12
16
m
(∆T,m)
C∆T,m
∞
26
10
11
8
6
20
15
15
10
5
m
6
10
5
0
0
∆T
4
2
4
6
8
∆T
10
12
14
21 / 33
Analyse de l’équivalence des politiques (∆T , m) et (∆T , M)
Équivalence des politiques (∆T , m) et (∆T , M) (1)
Analyse de l’équivalence des probabilités de remplacement préventif
Cas de figure de r (t, xt ) indépendant du temps
MRL ne dépend que du xt → noter mx
Xm = inf {0 ≤ x ≤ L, mx ≤ m}, τXm et τM suivent la même loi
Événément de remplacement préventif à (k + 1) ∆T :
n
o
∆T ,m
Ep,(k+1)∆T
,
mxk∆T > m ≥ mx(k+1)∆T , (k + 1) ∆T < τL , N(k+1)∆T = 0
⇔
xk∆T < Xm ≤ x(k+1)∆T , (k + 1) ∆T < τL , N(k+1)∆T = 0
⇔
k∆T < τXm ≤ (k + 1) ∆T < τL , N(k+1)∆T = 0
Pp∆T ,m (∆T , m) ≡ Pp∆T ,M (∆T , Xm )
Remarque: Deux politiques (∆T , m) et (∆T , M) sont équivalentes lorsque le taux de
choc est indépendant du temps
22 / 33
Évolution des variables de décision optimales
Évolution des coûts moyens asymptotiques optimaux
6.5
mM (Topt)
opt
15
6
10
5
10
Mopt
20
30
mopt
40
50
60
70
∆Topt
5
5.5
Copt
∞
mopt / Mopt
20
5
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
4.5
4.5
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
4
10
20
30
40
50
60
70
4
10
20
30
40
Cp
50
60
70
C
p
23 / 33
13
8.5
m
M
(Topt)
M
opt
opt
12
11
10
mopt
30
50
70
90
110
130
150
7
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
∆Topt
6
5
4
3
2
10
30
50
70
90
110
130
150
Optimal expected cost rate − Copt
mopt / Mopt
14
8
7.5
7
6.5
6
5.5
5
10
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
30
Inactivity cost rate − Cd
50
70
90
110
130
150
C
d
24 / 33
8
m
opt
14
m
13 Mopt
M
(T
opt
)
7.5
opt
12
11
3
7
5
7
9
11
13
15
17
19
Copt
∞
mopt / Mopt
15
6.5
9
∆Topt
6
7
3
3
5.5
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
5
5
7
9
11
13
15
17
19
5
3
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
5
Ci
7
9
11
13
15
17
19
C
i
25 / 33
Cas de figure de r (t, xt ) dépendant du temps
MRL dépend à la fois de xt et t
Xt,m = inf {0 ≤ x ≤ L, mxt (t) ≤ m} pour t fixé, τXt,m et τM suivent les lois
différentes
Événément de remplacement préventif à (k + 1) ∆T :
n
∆T ,m
Ep,(k+1)∆T
,
mxk∆T (k∆T ) > m ≥ mx(k+1)∆T ((k + 1) ∆T ) ,
(k + 1) ∆T < τL , N(k+1)∆T = 0
⇔
xk∆T < Xk∆T ,m , X(k+1)∆T ,m ≤ x(k+1)∆T ,
(k + 1) ∆T < τL , N(k+1)∆T = 0
n
o
⇔
k∆T < τXk∆T ,m , τX(k+1)∆T ,m ≤ (k + 1) ∆T < τL , N(k+1)∆T = 0
Pp∆T ,m (∆T , m) 6≡ Pp∆T ,M (∆T , Xt,m )
Remarque: Deux politiques (∆T , m) et (∆T , M) ne sont pas équivalentes lorsque le
taux de choc est dépendant du temps
26 / 33
9
mM (Topt)
10
opt
mopt
0
10
8.5
Mopt
5
20
30
8
40
50
60
70
7.5
7
5
∆Topt
Copt
∞
mopt / Mopt
15
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
4.5
6.5
4
6
3.5
10
5.5
10
20
30
40
50
60
70
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
20
30
40
50
60
70
C
Cp
p
27 / 33
12
13
Mopt
mM (Topt)
12
opt
10
11
mopt
30
50
70
90
110
130
150
10
∞
8
10
Copt
mopt / Mopt
14
9
mopt / Mopt
8
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
6
8
4
7
2
0
10
30
50
70
90
110
130
150
6
10
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
30
50
70
90
110
130
150
C
Cd
d
28 / 33
11
12 mM (Topt)
10.5
opt
10
8
∆Topt
6
3
mopt
5
7
10
Mopt
9
11
13
15
17
19
Copt
∞
mopt / Mopt
14
9.5
8
9
6
8.5
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
4
2
3
5
7
9
11
13
15
17
8
19
7.5
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
3
5
Ci
7
9
11
13
15
17
19
C
i
29 / 33
Performance économique de la politique (∆T , m)
Cid = 5, Cc = 100, Cp = 10 : 1 : 70, Cd = 50
σ2=2
σ2=10
10
10.5
9.5
10
9
9.5
9
Copt
∞
Copt
∞
8.5
8
8.5
7.5
8
7
7.5
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
6.5
6
10
20
30
40
50
60
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
7
70
6.5
10
20
30
Cp
40
50
60
70
Cp
r1 (t) = 0.0025t + 0.01 et r2 (t) = 0.0025t + 0.1
30 / 33
Cid = 5, Cc = 100, Cp = 30, Cd = 10 : 1 : 150
σ2=2
σ2=10
11.5
10.5
11
10
10.5
9.5
10
9
9.5
Copt
∞
∞
Copt
8.5
8
7.5
8
7
7.5
6.5
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
6
5.5
10
9
8.5
30
50
70
90
110
130
150
7
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
6.5
6
10
30
50
70
Cd
90
110
130
150
Cd
r1 (t) = 0.0025t + 0.01 et r2 (t) = 0.0025t + 0.1
31 / 33
Cid = 2 : 1 : 20, Cc = 100, Cp = 30, Cd = 50
σ2=2
σ2=10
11
12
10.5
11.5
11
10
10.5
10
Copt
∞
9
∞
Copt
9.5
8.5
9
8
8.5
7.5
8
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
7
6.5
2
9.5
5
8
11
14
17
Politique (∆T,M)
Politique (∆T,m)
7.5
20
7
2
5
8
11
Cid
14
17
20
Cid
r1 (t) = 0.0025t + 0.01 et r2 (t) = 0.0025t + 0.1
32 / 33
Conclusions
Conclusions
Le modèle de dégradation/défaillance proposé a le mérite d’être assez générique et
de combiner un phénomène de dégradation graduel avec chocs
Montrer l’intérêt de développer des modèles quantitatifs qui permettent d’intégrer
de l’information de surveillance en maintenance
Proposer et montrer l’intérêt économique de la prise de décision basée sur la durée
de vie résiduelle conditionnelle
Merci de votre attention!
Questions?
33 / 33

Prise de décision en maintenance conditionnelle pour un système

Transcription

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