CORRIGE ROBOT DE PEINTURE

CI3 Le mouvement dans les mécanismes
CORRIGE ROBOT DE PEINTURE
Problématiq
ue
Contexte
Quelle est l’expression du vecteur vitesse de la buse du robot de peinture ?
On étudie un robot de peinture de voiture. Ce robot se déplace par rapport à
une carrosserie de voiture, et projette dessus de la peinture. L'objectif est de
déterminer les lois du mouvement du robot, pour lui permettre de vérifier le
critère de vitesse de déplacement relatif (entre le robot et la carrosserie de
voiture) du cahier des charges.
𝑥⃗0 = 𝑥⃗1
𝛼
𝑥⃗2
Schéma cinématique minimum.
Le chariot S, auquel on associe le repère 𝑅1 (𝐴, 𝑥⃗1 , 𝑦⃗1 , 𝑧⃗1 ) est en mouvement de translation de direction 𝑦⃗0 rapport au
Questions
bâti 𝑆0 , de repère 𝑅0 (𝑂, 𝑥⃗0 , 𝑦⃗0 , 𝑧⃗0 ).
Le corps 𝑆2 , auquel on associe le repère 𝑅2 (𝐴, 𝑥⃗2 , 𝑦⃗2 , 𝑧⃗2 ) est en mouvement de rotation autour de l'axe (𝐵, 𝑦⃗0 ) avec le
chariot 𝑆1 .
Le bras 𝑆3 , auquel on associe le repère 𝑅3 (𝐵, 𝑥⃗3 , 𝑦⃗3 , 𝑧⃗3 ) est en mouvement de rotation autour de l'axe (B,𝑦⃗2 ) avec le
corps 𝑆2 .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 𝐻. 𝑧⃗1
𝐵𝑃 = 𝐿. 𝑧⃗3
Q1 Dessiner les figures planes de repérage/paramétrage puis exprimer les vecteurs rotation ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 1/0 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2/1 et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3/2 .
Q2 Exprimer les torseurs cinématiques {𝑉1⁄0 } {𝑉2⁄1 } {𝑉3⁄2 }
Q3 En déduire le torseur cinématique {𝑉3⁄0 }
Q4 Exprimer ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝑃∈3/0 .
On souhaite que P décrive la droite (𝐷, 𝑥⃗), à vitesse constante, conformément au cahier des charges.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐷 = 𝑏. 𝑦⃗0 avec 𝑏 = √(𝐿2 − 𝐻2 ).
Q5 Traduire, à l’aide de l’expression de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝑃∈3/0 le fait que P se déplace à la vitesse V selon 𝑥⃗0 .
Q6 𝛽̇ étant égal à 0, exprimer alors 𝜆̇ et 𝛼̇ en fonction de L, V, α et 𝛽.
Denis Guérin
crédits : Florestan Mathurin
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TSI Eiffel Dijon
CI3 Le mouvement dans les mécanismes
Q1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝛺1⁄0
⃗0⃗
Q2 {𝑉1⁄0 } = {
}= {
}
̇
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝜆. 𝑦⃗1
𝑉
⁄
𝐴∈1
0
𝐴
𝐴
{𝑉2⁄1 } = {
𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝛺2⁄1
𝛼̇ . 𝑧⃗
} = { 2}
⃗0⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉
𝐴
𝐴∈2⁄1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝛺3⁄2
𝛽̇ . 𝑦⃗2
{𝑉3⁄2 } = {
}= {
}
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗0⃗
𝑉
⁄
𝐵∈3
2
𝐵
𝐵
Q3 par la relation de composition des mouvements : {𝑉3⁄0 } = {𝑉3⁄2 } + {𝑉2⁄1 } + {𝑉1⁄0 }
Attention, on somme les torseurs au même point, soit
{𝑉3⁄0 } = 𝐴{𝑉3⁄2 } + 𝐴{𝑉2⁄1 } + 𝐴{𝑉1⁄0 } = {
𝐴
𝛽̇ . 𝑦⃗2
⃗0⃗
𝛼̇ . 𝑧⃗
} + { 2} + {
}
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗0⃗
𝜆̇. 𝑦⃗1
𝑉
+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 ⋀𝛺
3⁄2
𝐴
𝐴 𝐵∈3⁄2
𝛼̇ . 𝑧⃗2 + 𝛽̇ . 𝑦⃗2
𝛼̇ . 𝑧⃗2 + 𝛽̇ . 𝑦⃗2
𝛼̇ . 𝑧⃗2 + 𝛽̇ . 𝑦⃗2
{𝑉3⁄0 } = {
}= {
}= {
}
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝜆̇. 𝑦⃗1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵⋀𝛺
𝜆̇. 𝑦⃗1 + 𝐻. 𝑧⃗1 ⋀𝛽̇ . 𝑦⃗2
𝜆̇. 𝑦⃗1 − 𝐻. 𝛽̇ . 𝛼̇ . 𝑥⃗2
3⁄2
𝐴
𝐴
𝐴
̇ ⃗1 − 𝐻. 𝛽̇ . 𝛼̇ . 𝑥⃗2 + (−𝐿. 𝑧⃗3 − 𝐻. 𝑧⃗1 )⋀(𝛼̇ . 𝑧⃗2 +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋀𝛺
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Q4 Vecteur vitesse ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝑃∈3⁄0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝐴∈3⁄0 + 𝑃𝐴
3⁄0 = 𝑉𝐴∈3⁄0 + (𝑃𝐵 + 𝐵𝐴)⋀𝛺3⁄0 = 𝜆 . 𝑦
𝛽̇ . 𝑦⃗2 )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝑃∈3⁄0 = 𝜆̇. 𝑦⃗1 − 𝐻. 𝛽̇ . 𝛼̇ . 𝑥⃗2 + 𝐿. 𝛼̇ . sin 𝛽 . 𝑦⃗2 + L. 𝛽̇ . 𝑥⃗3 + 𝐻. 𝛽̇ . 𝛼̇ . 𝑥⃗2 =𝜆̇. 𝑦⃗1 + 𝐿. 𝛼̇ . sin 𝛽 . 𝑦⃗2 + L. 𝛽̇ . 𝑥⃗3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉𝑃∈3⁄0 = 𝜆̇. 𝑦⃗1 + 𝐿. 𝛼̇ . sin 𝛽 . 𝑦⃗2 + L. 𝛽̇ . 𝑥⃗3
Q5
Denis Guérin
crédits : Florestan Mathurin
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