Slides - Université de Rouen

Théorèmes limites pour processus stationnaires mélangeants
En collaboration avec Dalibor Volný
Davide Giraudo
Université de Rouen
7 juin 2013
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Plan
Présentation du TCLF et des conditions de mélange
Un exemple de suite β-mélangeante avec TCL, sans TCLF
Extension aux champs aléatoires
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Plan
Présentation du TCLF et des conditions de mélange
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Suites stationnaires, définition
Définition
La suite (Xj , j ∈ Z) de variables aléatoires de Ω dans R est strictement
stationnaire si pour tout entier n, les suites (Xj+n , j ∈ Z) et (Xj , j ∈ Z) ont la
même loi.
Cette condition est équivalente à :
pour tout d ∈ N∗ , n ∈ N, t1 , . . . , td ∈ R,
µ
d
\
j=1
!
{Xj < tj }
=µ
d
\
!
{Xj+n < tj } .
j=1
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Suite stationnaires, représentation
Soit T : Ω → Ω bijective, bi-mesurable, et préservant la mesure :
µ(T −1 (A)) = µ(A) pour tout A ∈ F.
`
´
Si f : Ω → R est mesurable, alors la suite f ◦ T j , j ∈ Z est strictement
stationnaire.
Réciproquement, toute suite strictement stationnaire peut-être représentée de
cette manière.
On appelle le quadruplet (Ω, F, µ, T ) un système dynamique.
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Le théorème central limite (TCL)
Soit f ∈ L2 (Ω) à moyenne nulle, Sn (f ) :=
Pn−1
j=0
f ◦ T j et σn (f )2 := E (Sn (f )2 ).
Définition `
´
On dit que f ◦ T j , j ∈ Z vérifie le théorème central limite si la suite
“
”
1
S (f ), n > 1 converge en loi vers la loi normale centrée réduite, i.e. pour
σn (f ) n
toute fonction h : R → R continue bornée,
» „
«–
„ 2«
Z +∞
1
x
lim E h
Sn (f )
= (2π)−1/2
h(x) exp −
dx.
n→∞
σn (f )
2
−∞
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Le théorème central limite fonctionnel (TCLF)
Pour f : Ω → R, on pose
bntc−1
Sn∗ (f , t, ω) :=
X
f ◦ T j (ω).
j=0
Pour ω et n fixés, t 7→ Sn∗ (f , t, ω) est une fonction à valeurs dans l’espace
D[0, 1] des fonctions continues à droite, ayant un limite à gauche en tout point
de [0, 1].
`
´
On dit que la suite f ◦ T j , n ∈ N vérifie le TCLF si la suite
“
”
1
S ∗ (f , t, ·), n ∈ N converge en loi dans D[0, 1] vers un mouvement
σn n
Brownien standard (Bt )t>0 .
On peut travailler avec C [0, 1] et définir
bntc−1
Sn∗ (f , t, ω) :=
X
f ◦ T j (ω) + (nt − bntc)f ◦ T bntc .
j=0
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Théorème de Donsker
Définition (indépendance)
On dit que la suite (Xj , j ∈ Z) est indépendante si pour tous I , J ⊂ Z finis et
disjoints, et A ∈ B(R|I | ), B ∈ B(R|J| ), on a
µ ({(Xi )i∈I ∈ A} ∩ {(Xj )j∈J ∈ B}) = µ ((Xi )i∈I ∈ A) µ ((Xj )j∈J ∈ B)
Théorème (Donsker, 1952)
Si la suite (Xj , j ∈ Z) est indépendante, identiquement distribuée à moyenne
nulle, de carré intégrable, alors le TCLF a lieu.
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Relation entre TCL et TCLF
On peut montrer que le TLCF est équivalent à
1. la convergence des lois fini-dimensionnelles, et,
2. la tension uniforme dans l’espace
considéré,
i.e. pour tout ε > 0, il existe
˘
¯
un compact K tel que µ( σn−1 Sn∗ ∈ K ) > 1 − ε pour chaque n.
En particulier, le TCLF implique le théorème central limite.
On cherche à voir sous quelles conditions on a une réciproque partielle, i.e. une
condition (C) telle que si (Xk , k ∈ Z) est stationnaire, à moyenne nulle, de carré
intégrable, et vérifie à la fois le TCL et la condition (C), alors on a le TCLF.
Il faut donner une quantification de la dépendance d’une suite.
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Les conditions de mélange
Soient A et B deux sous-tribus de F. On introduit
α(A, B) :=
|µ(A ∩ B) − µ(A)µ(B)| ;
sup
A∈A,B∈B
I
β(A, B) :=
J
XX
1
sup
|µ(Ai ∩ Bj ) − µ(Ai )µ(Bj )| ;
2
i=1 j=1
où Ai ∈ A, Bj ∈ B, et {Ai , 1 6 i 6 I }, {Bj , 1 6 j 6 J} forment une partition
de Ω, et
˛
˛
˛
˛ µ(A ∩ B)
˛
˛
φ(A, B) :=
sup
˛ µ(A) − µ(B)˛ .
A∈A,µ(A)>0,
B∈B
Si −∞ 6 m 6 n 6 +∞ et X := (Xj , j ∈ Z) est une suite de variables
aléatoires, on pose Fmn := σ(Xj , m 6 j 6 n).
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Le ρ-mélange
Pour A et B deux sous-tribus de F,
n
o
ρ(A, B) := sup |Corr(f , g )| , f ∈ L2 (A), g ∈ L2 (B), f , g 6= 0 ,
où Corr(f , g ) :=
E (fg )−E (f )E (g )
.
kf kL2 kg kL2
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Suite mélangeante
On dit que X := (Xj , j ∈ Z) est α-mélangeante si
m
+∞
α(n) := sup α(F−∞
, Fm+n
) → 0, n → +∞.
m∈N
On a α(n) 6 ρ(n) 6 φ(n) en tout généralité.
Il n’y a pas de telle relation entre les coefficients de β et ρ-mélange.
0
Dans le cas stationnaire, c(n) = c(F−∞
, Fn∞ ) (avec c = α, β ou φ). On a
0 6 α(n) 6 2β(n) 6 φ(n).
Si X est indépendante, alors φ(n) = 0 pour tout n.
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Théorème central limite sous des conditions de mélange
Théorème
Soit X = (Xk , k ∈ Z) une suite stationnaire α-mélangeante, avec
σn2 := Var Sn → +∞, E (X0 ) = 0. Les conditions suivantes sont équivalentes :
Sn
σn
⇒ N(0, 1) ;
o
n 2
S
2. la famille σn2 , n > 1 est uniformément intégrable.
1. on a
n
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Théorème central limite sous des conditions de mélange
Théorème
Soit X = (Xk , k ∈ Z) une suite stationnaire α-mélangeante, avec
σn2 := Var Sn → +∞, E (X0 ) = 0. Les conditions suivantes sont équivalentes :
Sn
σn
⇒ N(0, 1) ;
o
n 2
S
2. la famille σn2 , n > 1 est uniformément intégrable.
1. on a
n
Théorème (Herrndorff, 1983)
Étant donnée une suite décroissante (ck , k > 1) de nombres réels positifs, il
existe une suite (Xk , k ∈ Z) strictement stationnaire, à moyenne nulle,
σn2 := Var Sn2 → +∞, vérifiant
I
la suite (Sn , n > 1) est uniformément tendue ;
I
inf n>1 µ(Sn = 0) > 0 ;
I
pour tout entier n, βX (n) 6 cn .
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Sous la condition d’α-méalange
Théorème (Oodaira, 1972)
Soit X := (Xj , j ∈ Z) une suite strictement stationnaire, à moyenne nulle, telle
P
δ
que E [X02+δ ] < ∞ pour un δ > 0. Sous la condition n α(n) 2+δ < ∞, le TCLF
a lieu.
En 1984, Herndorff a construit un exemple de suite non-stationnaire,
1-dépendante, avec des moments d’ordre deux, vérifiant un TCL sans TLCF.
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Un critère de Doukhan, Massart et Rio
Soit (Xk , k ∈ Z) une suite strictement stationnaire, et Q la fonction càdlàg
inverse de t 7→ µ {|X0 | > t}. On note α−1 (u) := inf {t, α(btc) 6 u}. La
condition
Z 1
(DMR)
α−1 (u)Q(u)2 du < ∞
0
entraı̂ne le TLFC.
R1
Si a > 1 et F une fonction de répartition telle que 0 u −1/a QF (u)2 du diverge,
alors il existe une suite strictement stationnaire X = (Xk , k ∈ Z) pour laquelle :
1. X0 a pour fonction de répartition F ;
2. αX (n) se comporte comme n−a ;
3. le théorème central limite n’est pas vérifié.
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Sous la condition de φ-mélange
Théorème (Peligrad, 1985)
Soit X := (Xj , j ∈ Z) une suite strictement stationnaire, à moyenne nulle, de
carré sommable, σn → ∞ et φ-mélangeante, avec φ(1) < 1. Alors le TCL
donne le TCLF.
Le φ-mélange est donc suffisament restrictif pour impliquer la version
fonctionnelle du TLC. Qu’en est-il des autres conditions de mélange ?
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Plan
Un exemple de suite β-mélangeante avec TCL, sans TCLF
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Énoncé du résultat
Théorème (G., Volný)
Il existe une suite stationnaire à valeurs réelles X = (Xk , k > 0) vérifiant les
conditions suivantes :
1. X vérifie le théorème central limite ;
2. X ne vérifie pas le TLCF ;
3. X0 ∈ Lp pour tout p > 0 ;
4. X est β-mélangeant.
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La construction
Soit (nk , k ∈ N) une suite strictement croissante d’entiers. On peut construire
−
un système dynamique (Ω, F, µ, T ) et des parties mesurables A+
k , Ak telles que
les variables aléatoires
”
“
U −i (χA+ − χA− ), i, k ∈ Z
k
k
−
sont indépendantes, avec U(f )(ω) := f (T ω), et µ(A+
k = µ(Ak ) =
µ(Ω \
(A+
k
t
A−
k ))
=1−
1
nk2
X
i=0
,
. On pose
nk −1
hk :=
1
2nk2
nk −1
U −i ξk − U −nk
X
i=0
U −i ξk ;
h :=
+∞
X
k · hk .
k=1
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Justification
I
On peut écrire h sous la forme g − Ug , donc ça ne pertubera pas le TCL.
I
On peut montrer que β(2nk ) 6
I
En choisissant la suite (nk , k > 1), on peut s’assurer que :
I
I
2
j>k nj
P
.
h est bien définie (Borel-Cantelli) ;
`
´
en ajoutant une suite indépendante, indépendante de h ◦ T j , j ∈ Z , on
met en défaut le TLCF.
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Plan
Extension aux champs aléatoires
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Présentation des champs aléatoires
Soit d > 1 un entier. Un champ aléatoire est une collection de variables
aléatoires (Xk , k ∈ Zd ).
Le champ (Xk , k ∈ Zd ) est (strictement) stationnaire si pour tout u ∈ Z, la loi
de (Xk , k ∈ Zd ) est la même que celle de (Xk+u , k ∈ Zd ).
On peut représenter un champ aléatoire stationnaire (Xk , k ∈ Z) par
k
(U k f , k ∈ Z), où U k = U1k1 . . . Ud d , avec les Uj les opérateurs associés à Tj
(par Uj f (x) = f (Tj x)), applications préservant la mesure et qui commutent.
On dit que (f ◦ T k , k ∈ Zd ) vérifie le TCL si
1
√
n1 . . . nd
X
16ki 6ni
f ◦ T k ⇒ N(0, 1) quand min ni → +∞.
16i6d
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Le principe d’invariance pour les champs aléatoires
Soit Qd :=
nQ
d
j=1 [0, tj ], 0
o
6 tj 6 1 la classe des quadrants. On pose
Sn∗ (f , A) :=
X
λ(nA ∩ Rj ) · f ◦ T j ,
j∈Zd
Qd
où Rj := i=1 (ji − 1, ji ], A ∈ Qd et λ est la mesure de Lebesgue.
Q
On note At := dj=1 [0, tj ].
On dit que (f ◦ T j , j ∈ Zd ) vérifie le principe d’invariance relativement à Qd si
la famille (t 7→ n−d/2 Sn∗ (f , At )) converge Q
en loi vers un drap brownien
(Bt )t∈[0,1]d (de covariance Cov(Bs , Bt ) = dj=1 min {si , ti }) dans C [0, 1]d .
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Les conditions de mélange pour les champs aléatoires
Soit (f ◦ T k , k ∈ Zd ) un champ aléatoire stationnaire. Si I ⊂ Zd , on note FI la
tribu engendrée par les f ◦ T k , k ∈ I . Si i, j ∈ N ∪ {∞}, on pose
αi,j (n) = sup {α(FI , FJ ), |I | 6 i, |J| 6 j, ∃c ∈ [d], ∀i ∈ I , j ∈ J, ic 6 et jc > n} .
On a pour d > 2 et pour tout champ aléatoire stationnaire que
α∞,∞ (n) 6 ρ∞,∞ (n) 6 2π · α∞,∞ (n),
et si β∞,∞ (n) → 0, alors (f ◦ T k , k ∈ Zd ) est m-dépendant. (i.e. si
max16i6d |ji − ki | > m alors f ◦ T j et f ◦ T k sont indépendants.
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Adaptation du contre-exemple aux champs aléatoires
Théorème (G., Volný)
Il existe
` un champs
´ aléatoire stationnaire à valeurs réelles, moyenne nulle,
X = Xk , k ∈ Zd vérifiant les conditions suivantes :
1. X vérifie le théorème central limite ;
2. X ne vérifie pas le TLCF relativement à Qd ;
3. X0 ∈ Lp pour tout p > 0 ;
4. on a βk,∞ (n) → 0 pour tout entier k.
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Résultat expliquant la différence avec les suites
Théorème (Kim, Seok)
Si (Xk , k ∈ Zd ) est un champ aléatoire strictement stationnaire à moyenne
nulle, tel que E (X02+δ ) < ∞ pour un δ > 0, Var(Sn ) → +∞,et α∞,∞ (n) → 0,
alors le principe d’invariance a lieu relativement à Qd .
Conséquence : on ne peut pas espérer une condition de mélange uniforme
pour les coefficients d’α-mélange.
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Perspectives
Question 1.
Soit (Xj , j ∈ Z) une suite strictement stationnaire, E (X0 ) = 0,E (X02 ) < ∞,
Var Sn → ∞, et ρX (n) → 0. On suppose que le TCL est vérifié. En est-il de
même pour le TLCF ?
P∞
j
I Le TLCF a lieu si
j=0 ρ(2 ) < ∞ (Shao, Peligrad).
I
I
Il a également lieu si E (|X0 |2+δ ) < ∞ pour un δ > 0.
S’il existe une fonction g : [0, +∞) → [0, +∞) telle que
E (X“02 g (|X0 |)) < ∞ et” il existe A > 2 tel que
Pblog nc
exp A j=1 2 ρ(2j ) g (n1/2 ), alors le TFLC a lieu.
Question 2.
Peut-on remplace Qd par une classe de boréliens plus petite ?
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