Exercices en Théorie des jeux - Thierry Granger

MASTER 104 - Finance
Cours : Information/Jeux/Finance
Thierry Granger
Exercices
en
Théorie des jeux
Université Paris-Dauphine
Octobre 2014
1
Les questions numérotées par des lettres a, b, c, d, ... portent sur les aspects descriptifs du jeu présenté.
Les questions numérotées 1, 2, 3, ... portent sur le déroulement prévisible
du jeu, sur son ou ses équilibres.
2
I — Jeu en information parfaite ou imparfaite
1
Forme extensive, forme normale
Joueur 1
Joueur 2
1
2
3
0
1
1
0
2
a – Le jeu présenté est-il en information parfaite ? Est-il en information
complète ?
b – Combien y a-t-il de sous-jeux (en comptant le jeu entier) ?
c – Combien le joueur i a-t-il de stratégies (i = 1, 2) ?
d – Décrire toutes les stratégies des joueurs 1 .
e – Écrire le jeu sous forme normale.
———————————————————————————————
1 – Existe-t-il un équilibre de Nash en stratégies pures. Est-il unique ?
2 – Trouver un équilibre de Nash en stratégies mixtes.
3 – Trouver un équilibre de Nash parfait en sous-jeux. Cet équilibre est-il
unique ?
2
Le mille-pattes
a – Le jeu présenté est-il en information parfaite ? Est-il en information
complète ?
1. La stratégie d’un joueur est un plan complet d’actions conditionnelles, c’est-à-dire
un plan comprenant une action définie à chaque nœud où c’est au joueur de jouer.
3
dates :
1
A
s
2
B
c
s
2
1
3
A
c
s
1
4
4
B
c
c
s
4
3
n+1
B
n+2
A
n+3
c
2n-1
2n+2
s
s
...
...
c
2n-3
2n
2n
2n-1
b – Quels sont les gains des joueurs lorsque le jeu se termine à la date 4 ?
c – Combien y a-t-il de sous-jeux (en comptant le jeu entier) lorsque le
jeu se termine à la date 4 ?
d – Combien le joueur i a-t-il de stratégies (i = A, B) lorsque le jeu se
termine à la date 4 ?
e – Écrire le jeu sous forme normale.
———————————————————————————————
1 – Existe-t-il un équilibre de Nash en stratégies pures. Est-il unique ?
2 – Trouver un équilibre de Nash parfait en sous-jeux. Cet équilibre est-il
unique ?
3
Jeu en information parfaite ou imparfaite
Joueur 1
Joueur 2
2
2
1
0
0
1
1
1
a – Le jeu présenté est-il en information parfaite ? Est-il en information
complète ?
4
b – Redessiner l’arbre du jeu en supposant que le second joueur ne sait
pas ce qu’a joué le premier. Quel est le nombre de sous-jeux dans ce
cas ?
c – Écrire le jeu en information imparfaite sous forme normale.
———————————————————————————————
1 – Existe-t-il un équilibre de Nash en stratégies pures du jeu en information imparfaite. Est-il unique ?
2 – Trouver un équilibre de Nash parfait en sous-jeux. Cet équilibre est-il
unique ? (On reste dans le jeu en information imparfaite.)
4
Le jeu du rendez-vous
Protocole du jeu : deux joueurs, par exemple 2 pilotes qui n’ont pas
de contact visuel, doivent se coordonner afin de réussir leur atterrissage.
S’ils ne choisissent pas le même chef (« aiguilleur »), ils ne peuvent atterrir
(0, 0). S’ils choisissent le même chef, ils peuvent se coordonner et atterrir
(1, 1). Les chefs possibles s’appellent Jean et Paul.
1 – Écrire le tableau de gains.
2 – Quels sont les équilibres de Nash en stratégies pures ?
3 – Y a-t-il un meilleur équilibre au sens de Pareto ?
4 – Comment désigner le chef ?
5
La chasse au cerf
Ce jeu fameux illustre le problème du contrat social selon Jean-Jacques
Rousseau.
Protocole du jeu : deux chasseurs partent à la chasse. Pour chasser
le cerf, ils doivent être deux (actions intitulées C et C), mais à la place ils
peuvent individuellement chasser le lièvre (actions intitulées D et D), bien
que cette chasse n’apporte pas autant de satisfaction à chacun.
Joueur 1
Joueur
C
C 6,6
D 4,0
2
D
0,4
2,2
a – Le jeu présenté est-il en information parfaite ? Est-il en information
complète ?
5
b – Dessiner l’arbre du jeu en supposant que le second joueur sait ce qu’a
joué le premier. Quel est le nombre de sous-jeux dans ce cas ?
———————————————————————————————
1 – Calculer les correspondances de réaction des deux joueurs.
2 – Trouver l’ensemble des équilibres de Nash du jeu sous forme normale.
3 – Trouver l’ensemble des équilibres de Nash parfait en sous-jeux du jeu
sous forme extensive.
6
La culture de la ponctualité
Protocole du jeu : deux joueurs ont rendez-vous à une certaine heure.
Être à l’heure est un bénéfice pour chaque joueur si l’autre joueur est à
l’heure (bénéfice B > 0 pour chacun). Mais être à l’heure impose un coût
(se lever tôt, interrompre une activité inachevée, etc.). On notera C la valeur
de ce coût avec B > C. Lorsque les 2 joueurs sont en retard, leurs gains sont
nuls.
1 – Formuler le tableau de gains. (On appellera les stratégies « à l’heure »
et « en retard »).
2 – Calculer les correspondances de réaction des deux joueurs.
3 – Calculer l’ensemble des équilibres de Nash en stratégies mixtes ou
pures.
4 – Quel est l’équilibre le plus plausible selon vous ?
7
La culture du travail collectif
Protocole du jeu : deux joueurs ont la possibilité de travailler en
équipe ou d’effectuer un travail individuel. Le travail en équipe rapporte
plus mais, si l’autre joueur est individualiste, la perte est substantielle pour
celui qui aurait adopté un comportement collectif.
Joueur 1
Joueur
C
C 6,6
D 4,0
2
D
0,4
2,2
1 – Calculer les correspondances de réaction des deux joueurs.
2 – Calculer l’ensemble des équilibres de Nash en stratégies mixtes ou
pures.
3 – Quel est l’équilibre le plus plausible selon vous et pourquoi ?
4 – Calculer les stratégies qui pour chaque joueur consistent à adopter la
stratégie dont le gain minimum est maximum sur l’ensemble de ses
stratégies propres (stratégies du maximin).
6
8
La culture de la propriété privée entre rivaux
Protocole du jeu : Deux joueurs revendiquent la propriété d’un actif
– ce peut-être aussi un territoire dont les frontières ne sont pas fixées. La
valeur de cet actif est commune aux deux joueurs et égale à V > 0. Si un
des deux joueurs s’inclinent, l’autre joueur devient propriétaire et son gain
est V . Si les deux joueurs revendiquent la même propriété, ce différent leur
coûte à chacun c.
Joueur 1
Joueur 2
Revendiquer (y)
−c, −c
0, V
Revendiquer (x)
S’incliner (1 − x)
S’incliner (1 − y)
V, 0
0, 0
1 – Calculer l’ensemble des équilibres de Nash.
2 – Quels sont les meilleurs équilibres (au sens de l’optimum de Pareto) ?
3 – Dans un repère (x, y) tracer le graphique des stratégies de meilleures
réponses (les correspondances de réaction) et le ou les équilibres du
jeu.
4 – Interprétations : l’institution de la propriété privée ; l’institution des
frontières entre les États.
9
Le dilemme du prisonnier
Joueur 1
Joueur
C
C 2,2
D 3,0
2
D
0,3
1,1
a – Préciser les caractéristiques du jeu : forme (stratégique ou extensive), temporalité (statique ou dynamique), information (parfaite ou
imparfaite, complète ou incomplète).
———————————————————————————————
1 – Trouver un équilibre du jeu.
2 – Soit le tableau de gain modifié suivant
Joueur 1
C
D
Joueur 2
C
D
2 + 2 β, 2 + 2 β
0 + 3 β, 3
3, 0 + 3 β
1 + 1 β, 1 + 1 β
Quels sont les équilibres du jeu en fonction de β (0 < β < 1).
7
3 – Comment interpréter le paramètre β ?
4 – Supposons que le jeu a 2 étapes. Dans la première étape, les joueurs
jouent le dilemme du prisonnier. Dans la seconde étape, ils jouent le
jeu de la chasse au cerf sous forme normale (exercice précédent). Les
paiements sont obtenus à la fin de chaque étape et les gains de la 2e
étape sont escomptés au taux δ (0 < δ < 1). Est-il optimal pour les
joueurs de coopérer à la 1re étape ? Quels sont les équilibres du jeu
en fonction de δ ?
10
Le passager clandestin dans la contribution à
la production d’un bien public
Cet exercice traite du cas de la production d’un « bien public pur » (non
rival, non exclusif).
Protocole du jeu : il existe deux biens dans l’économie, un bien privé
(dont l’usage est rival) et un bien public (dont l’usage est ni rival, ni exclusif).
Le bien public est entièrement consommé par chaque consommateur. Dans
le cas où il existe I consommateurs, xi (i = 1..I) est la consommation de
bien privé par le consommateur i. y est la consommation de bien public par
chaque consommateur.
La fonction d’utilité de tous les consommateurs est identique et égale à
ui (xi , y) = xαi y 1−α .
La production de bien public est effectué à l’aide de bien privé, selon la
technique de production élémentaire suivante,
y = f (x) = x.
Les ressources du consommateur i en bien privé sont notées Ri .
1 – Il y a 2 consommateurs. Quel est le niveau de production de bien
public y ∗ , optimal au sens de Pareto ?
2 – Quel est le niveau optimal de consommation de bien privé (x1 + x2 ) ?
3 – La production de bien public est financée par des contributions volontaires des consommateurs (zi ) avec y = z1 + z2 . Quelle est la
contribution d’un consommateur et le niveau de production de bien
public ?
4 – Comparer les résultats obtenus dans les deux cas précédents.
5 – Généraliser la question précédente en supposant qu’il existe n > 2
consommateurs.
6 – Pourquoi parle-t-on de « passager clandestin » et quel est le rapport
avec le « dilemme du prisonnier » ?
8
11
La tragédie des biens communs
Cet exercice traite du cas de la production d’un « bien commun » aussi
appelé « bien public impur » (partiellement rival, non exclusif).
Le phénomène du passager clandestin, qui se manifeste dans la contribution des joueurs à la production d’un bien public pur (voir exercice précédent), se manifeste également dans la « tragédie des biens communs ». Les
biens communs sont des ressources comme l’eau ou l’air qui ne font pas l’objet d’une appropriation privée, mais dont la consommation privée dégrade
l’usage du bien pour les autres consommateurs.
Protocole du jeu : dans un cadre temporel [0, 1], 2 joueurs ont chacun une consommation privée de bien en première période (respectivement
c1 et c2 ). Mais cette consommation de bien privé est extraite d’une ressource commune – ou « bien commun » – exogène y. En seconde période,
les consommateurs se partagent à égalité la ressource commune résiduelle :
y − c1 − c2 .
les fonctions d’utilité des consommateurs sont identiques et égales à :
ui (c1 , c2 ) = ln(c1 ) + β ln(y − c1 − c2 )
i = 1, 2.
où β est un facteur d’escompte subjectif.
1 – Calculer les consommations privées (c1 et c2 ) de première période,
optimales au sens de Pareto. Quel est le montant de la ressource
résiduelle en bien commun en seconde période ? (On prendra y = 1.)
2 – En supposant que le choix de consommation privée est décentralisé
et simultanée, chaque consommateur ayant librement accès au bien
commun en première période, quelle est la fonction de réaction de
chaque consommateur ?
3 – Calculer l’équilibre de Nash des consommations.
4 – Comparer l’équilibre de Nash à l’allocation optimale au sens de Pareto et expliquer les raisons de l’écart.
12
Le jeu de l’inspection
Protocole du jeu : Dans le cadre d’un contrat qu’il a passé, ou dans le
cadre de la loi, de joueur 1 doit travailler ou, plus généralement, remplir une
obligation comme de payer ses impôts par exemple. Cet effort lui coûte e > 0.
Comme son niveau de richesse initiale est de w, sa richesse nette lorsqu’il
remplit son obligation est de w − e > 0. S’il ne remplit pas son obligation
la pénalité qu’il encourt est égale à w. Le joueur 2 est l’inspecteur : s’il
n’inspecte pas (laissez-faire), son gain net est nul. S’il inspecte, il lui en
coûte c > 0. Lorsqu’il peut pénaliser le joueur 1 parce que c’est un fraudeur,
son gain net est égal à b > 0.
9
Joueur 1
Faillir (x)
Travailler (1 − x)
Joueur 2
Inspecter (y)
0, b
w − e, −c
Laissez-faire (1 − y)
w, 0
w − e, 0
1 – Calculer l’ensemble des équilibres de Nash.
2 – Dans un repère (x, y) tracer le graphique des stratégies de meilleures
réponses et le ou les équilibres du jeu.
3 – L’éthique des joueurs peut-elle avoir une incidence sur l’équilibre de
ce jeu ?
13
Une compétition électorale élémentaire
Protocole du jeu : on suppose qu’il existe un nombre fini d’électeurs
(non joueurs) et 2 candidats (joueurs) à une élection à scrutin majoritaire :
le candidat élu est celui qui obtient la majorité des votes. Tous les électeurs
votent. Chaque électeur vote pour le candidat qui est le plus proche de sa
préférence. La préférence d’un électeur est représenté par un seul nombre
(e > 0). Plus ce nombre est élevé, plus l’électeur est « à droite ». Plus
précidément, soit m la préférence de l’électeur médian : tous les électeurs
dont la préférence est inférieure (e < m) sont « à gauche » ; tous les électeurs
dont la préférence est supérieure (m > e) sont « à droite ».
Le comportement d’un électeur ne dépend pas du comportement des
autres électeurs (leur comportement n’est pas « stratégique ») : un électeur
vote pour le candidat qui est le plus proche de sa préférence. Soit xi et xj
les positionnements politiques respectifs des deux candidats. Un électeur (e)
vote pour i si et seulement si |xi − e| est inférieur à |xj − e| et il vote pour
xj si et seulement si |xj − e| est inférieur à |xi − e|.
Chaque candidat choisit le positionnement qu’il souhaite, sachant que sa
préférence est de gagner l’élection.
On suppose que si les 2 candidats choisissent le même positionnement,
ils ont une chance sur 2 de remporter les élections.
NB : dans cet exercice on ne cherchera pas les fonctions de réaction
des joueurs afin de déduire l’ensemble des équilibres de Nash. On procédera
plus directement par élimination des profils de stratégies qui ne sont pas des
équilibres de Nash, avant d’en déduire un équilibre de Nash. On montrera
qu’il est unique.
1 – Positionner arbitrairement sur une droite fléchée, l’électeur médian,
un électeur de droite (ed ) et un électeur de gauche (eg ), puis les 2
candidats.
10
2 – Montrer qui est le gagnant lorsque chaque candidat choisit un positionnement différent.
3 – Montrer que si les 2 candidats choisissent le même positionnement,
ils ont chacun intérêt à changer de positionnement sauf dans le cas
où leur positionnement est au centre (m).
4 – Quel est l’équilibre de Nash qui résulte du raisonnement précédent ?
14
Promesse, confiance et réciprocité
Protocole du jeu de la confiance : au début de la période 1, le
joueur 1 peut faire confiance au jouer 2 ou se méfier et ne pas coopérer. S’il
se méfie, le jeu s’arrête. S’il lui fait confiance, le joueur 2, au début de la
période 2, peut honorer cette confiance ou la trahir. Puis le jeu s’arrête. Il
est possible d’évaluer, à la fin du jeu, les utilités des différentes décisions
prises par les joueurs.
Il est habituel d’envisager qu’avant de jouer, le joueur 2 promet au joueur
1 d’honorer la confiance que lui ferait le joueur 1 en coopérant avec lui. Il
s’agit d’une communication qui n’a pas d’incidence sur l’arbre des gains du
jeu, ce que les anglais appellent cheap talk.
Joueur 1
n0
Ne pas faire
confiance, ne pas
coopérer
n1
0, 0
Faire confiance, coopérer
n2
Joueur 2
Honorer la confiance,
coopérer
n4
1, 1
Trahir la confiance, ne
pas coopérer
n3
-1, 2
a – Le jeu initial est-il en information parfaite, complète, autre ?
b – Quels sont les sous-jeux ?
c – Écrire le jeu sous forme normale
d – Le jeu précédent est un « jeu d’étape ». Si le jeu d’étape est répété une
infinité de fois et que le facteur d’escompte est égal à β (0 < β < 1)
pour les deux joueurs, quelle est l’espérance de gain des deux joueurs
lorsqu’ils adoptent chacun une stratégie de coopération ? On suppose
11
que les gains sont perçus par les joueurs à la fin de chaque étape et
que le facteur d’escompte s’applique à partir de la 2e étape.
e – Quelle est l’espérance de gain des deux joueurs lorsqu’ils adoptent
chacun une stratégie de non-coopération ?
———————————————————————————————
1 – Quels sont les équilibres de Nash du jeu sous forme normale ?
2 – Quels sont les équilibres de Nash parfait en sous-jeux du jeu d’étape ?
3 – La « promesse » faite au début du jeu, par le joueur 2, de coopérer
à la période 2 du jeu d’étape est-elle « crédible » ?
4 – À quelle condition l’équilibre coopératif (ou chaque joueur coopère à
chaque étape) est-il un équilibre de Nash du jeu répété ?
15
Menace, attaque et défense
Protocole du jeu de l’attaque et de la défense : au début de
la période 1, le joueur 1 peut attaquer le joueur 2, ou le laisser en paix.
S’il le laisse en paix, le jeu s’arrête. S’il l’attaque, le joueur 2, au début
de la période 2, peut se défendre ou transiger avec l’attaquant. Puis le jeu
s’arrête. Il est possible d’évaluer, à la fin du jeu, les utilités des différentes
décisions prises par les joueurs. Les gains obtenus à la fin de chaque étape
sont actualisés au taux r (voir l’exercice 8 qui est similaire).
Il est habituel d’envisager qu’avant de jouer, le joueur 2 menace le joueur
1 de représailles en cas d’attaque de sa part. Il s’agit d’une communication
qui n’a pas d’incidence sur l’arbre des gains du jeu, ce que les anglais appellent cheap talk.
Joueur 1
Période 1
A n0
A
Passe A Attaque
A
A
A
Joueur 2
n1
n
A 2
(0, 2)
A
A Transige
Défend A
A
A
Période 2
n3
(−2, −1)
n4
(1, 1)
Figure 1 – Jeu de l’attaque et de la défense.
12
1 – Quels sont les équilibres de Nash du jeu sous forme normale ?
2 – Quels sont les équilibres de Nash parfait en sous-jeux du jeu d’étape ?
3 – La « menace » faite au début du jeu, par le joueur 2, de représailles
à la période 2 du jeu d’étape est-elle « crédible » ?
4 – À quelle condition l’équilibre de la paix (ou le joueur 1 n’attaque
jamais le joueur 2) est-il un équilibre de Nash du jeu répété ?
16
La guerre d’usure
Protocole du jeu : Deux joueurs se disputent la propriété d’un bien
dont la valeur est différente pour chacun. La « valeur privée » du bien est
égale à vi , i = 1, 2 et on prendra v1 > v2 . On suppose que le seul coût de
la dispute est le temps passé pour obtenir la possession du bien. Le temps
passé par le joueur i est ti . Ce coût est mesuré en même unité que la valeur
vi : ainsi lorsque le temps de la dispute est de ti pour le joueur i, l’utilité du
joueur i est vi − ti s’il obtient le bien et −ti s’il n’obtient pas le bien. Plus
précisément, la fonction de gain du joueur 1 est la suivante :
u1 (t1 , t2 ) =





−t1 si t1 < t2
1
2 v1 − t1 si t1 = t2
v1 − t2 si t1 > t2
Commentaire : il s’agit d’une description dynamique du jeu entre riveaux ci-dessus (p. 7). La stratégie d’un joueur consiste à décider son propre
temps de dispute, ti . S’il est le premier à arrêter la dispute, il n’obtient pas
le bien et c’est l’autre qui l’obtient. S’ils arrêtent la dispute en même temps,
ils se partagent le bien.
1 – Écrire la fonction de gain du joueur 2, symétrique à la fonction de
gain du joueur 1, en expliquant les valeurs de cette fonction.
2 – Quelle est la fonction de réaction (ou fonction de meilleure réponse)
du joueur 2 par rapport aux stratégies du joueur 1. Même question
pour le joueur 1.
3 – Les joueurs commencent à jouer en t = 0. Quel est ou quels sont
les équilibres de Nash en information complète ? Le résultat vous
semble-t-il correspondre à une réalité ?
4 – Rechercher l’équilibre de Nash sans passer par les correspondances
de réaction (argument direct).
13
II — Jeux en information incomplète
17
Quand l’information n’est pas une bénédiction
Protocole du jeu initial : La « Nature » tire à pile ou face. Puis
le joueur A, après avoir observé le résultat du tirage, l’annonce au joueur
B. Puis le joueur B annonce à son tour le résultat. Après confrontation du
résultat du tirage avec les annonces des joueurs, les gains sont distribués.
Par exemple, si les 2 joueurs annoncent le bon résultat, ils gagnent chacun
10.
Nature
Pile
1/2
Face
1/2
Joueur A
Joueur A
P
F
P
F
Joueur B
P
Joueur B
F
(10,10)
P
F
P
(0,1000)
(1000,0)
F
(0,0)
(0,0)
P
F
(1000,0)
(0,1000)
(10,10)
a – Le jeu initial est-il en information parfaite, complète, autre ?
b – Redessiner l’arbre du jeu en supposant que l’information est incomplète. Combien y a-t-il de sous-jeux ? Écrire le jeu sous forme normale.
c – Quels sont les « types » des joueurs A et B ?
d – Redessiner l’arbre du jeu initial en supposant que le joueur A ne
connaît pas son type. Combien y a-t-il de sous-jeux ? Écrire le jeu
sous forme normale.
———————————————————————————————
1 – Dans le jeu initial, quelles sont les stratégies de A et B à l’équilibre ?
(On supposera que les joueurs A et B sont neutres à l’égard du risque.)
14
2 – Dans le jeu en information incomplète, quelles sont les stratégies de
A et B à l’équilibre ?
3 – Lorsque le joueur A ne connaît pas son type, quelles sont les stratégies
de A et B à l’équilibre ?
4 – Quelle est, parmi les 3 formes précédentes, la règle du jeu la plus
intéressante pour les 2 joueurs (i.e. conduisant à un équilibre optimal
au sens de Pareto) ?
18
Le jeu de poker
Protocole du jeu de poker : Chaque joueur commence par miser 1
euro. Puis la Nature tire une bonne ou une mauvaise carte pour le joueur
1. Le joueur 2 n’observe pas cette carte. Ensuite le joueur 1 mise 1 euro ou
passe. Ensuite le joueur 2 mise 1 euro ou passe. Si le joueur 1 a reçu une
bonne carte et qu’il n’a pas passé, il gagne la mise ou les mises du joueur
2. L’arbre du jeu initial (ci-dessous) ignore les ensembles d’information des
joueurs. L’arbre du jeu donne les gains nets du joueur 1 (ce qu’il gagne en
plus de ce qu’il a misé, ou ce qu’il perd) ; comme il s’agit d’un jeu à somme
nulle, la somme des gains et des pertes des joueurs est égale à 0.
Commentaire : Lorsqu’un joueur dispose d’une information privée qui
lui permet de l’emporter ou non dans une compétition avec un autre agent,
il n’a pas intérêt à la divulguer, mais il ne peut entièrement la cacher !
N
@
@
bonne carte
@ mauvaise carte
@
@
1
1
@
@
@
@
@
@ mise @
passe @
@ mise
passe @
@
2
@
@
−1
@
@
2
@
−1
@
mise
passe
@
@ mise
passe
@
@
@
@
@
+1
+2
+1
−2
a – S’agit-il d’un jeu en information imparfaite ou incomplète, autre ?
15
b – En supposant qu’il s’agit d’un jeu en information incomplète, tracer
les ensembles d’informations du jeu. Quels sont les sous-jeux ?
c – Écrire le tableau de gains du jeu sous forme normale.
d – Quels sont les « types » des joueurs A et B ?
———————————————————————————————
1 – Calculer l’équilibre bayésien. Comparez celui-ci à une manière de
jouer «naïve» de la part du joueur 1.
2 – Donner une interprétation financière de ce jeu en terme d’efficience
informationnelle d’un marché.
19
La stratégie de la corde raide
Protocole du jeu : Un premier joueur (les États-Unis) a été mis
devant le fait accompli d’une attaque par le second joueur (l’URSS). En ne
faisant rien, le premier joueur est perdant et le premier joueur est gagnant
(−2, 2) (somme nulle). Le premier joueur a une autre stratégie qui joue sur la
corde raide : il menace le second joueur de représailles qui, avec une certaine
probabilité q, pourait conduire à un désastre collectif si le second joueur
ne cède pas. Plus précisément, si le second joueur cède, le premier joueur
récupère une partie de ce qu’il avait perdu, tandis que le second est le plus
perdant (1, −8) (il doit revenir sur son attaque préalable, ce qui est très
coûteux). Si le second joueur ne cède pas, alors les deux joueurs subissent
de lourdes pertes avec une probabilité q.
Le jeu est en information incomplète, le second joueur ayant 2 types ;
l’URSS peut avoir une « ligne politique dure » avec une probabilité p, ou
une « ligne souple » avec une probabilité 1 − p.
Commentaire : ce jeu est un développement dynamique du jeu de
l’attaque et de la défense 2 . Ayant été l’objet d’une attaque par un joueur
(l’URSS), l’autre joueur (les États-Unis), pour se défendre, peut menacer son
adversaire de représailles. Il s’agit d’une stratégie dangereuse (« sur la corde
raide ») parce que la menace des États-Unis est assortie de la probabilité
que soit déclenché automatiquement un désastre collectif.
1 – Quels sont les équilibres de Nash parfait en sous-jeux du en information complète ?
2 – La menace faite au début du jeu, par le joueur 1, de représailles à la
période 2 est-elle « crédible » ?
3 – À quelles conditions (sur p et sur q) la stratégie de la corde raide
peut-elle l’emporter ?
2. Voir Dixit A. et Skeath S. (1999) Games of Strategy, W.W. Norton & Co., Chap. 13.
16
(1, -8)
Cède
URSS
Joue sur la corde
raide
ÉTATS-UNIS
Ligne dure en
URSS
(probabilité p)
Défie
(-2 - 8q, 2 - 6q)
Ne fait rien
(-2, 2)
Ne fait rien
(-2, 2)
Nature
Ligne souple en
URSS
(probabilité 1 - p)
ÉTATS-UNIS
Cède
(1, -4)
Joue sur la corde
raide
URSS
Défie
(-2 - 8q, 2 - 10q)
Figure 2 – La stratégie de la corde raide
20
La réputation comme renommée
Protocole du jeu de réputation : Nous supposons un jeu d’étape
à deux joueurs – nommés Capitaine et Armateur – répété deux fois.
Le jeu est en information incomplète. Le Capitaine (et seulement lui)
peut posséder deux types, « bon » ou « mauvais ». Il y a donc 2 tableaux de
jeu possibles. Les stratégies de coopérations sont notées (C1 , C2 ), tandis que
les stratégies non coopératives sont notées D1 et D2 . La probabilité 1 − µ(1)
que le Capitaine soit un bon type est une connaissance commune. Au début
du jeu, le Capitaine sait s’il est un bon ou un mauvais type.
Commentaire : même si le Capitaine n’est pas un bon type, il peut avoir
intérêt à faire croire à l’autre joueur (l’Armateur) qu’il est un bon type, prêt
à coopérer. En effet, comme dans le dilemme du prisonnier, le tableau de
gains montre que si le Capitaine est mauvais, le gain qu’il obtient en faisant
défection est plus grand lorsque l’Armateur coopère.
Comme la résolution du jeu va le montrer, la réputation initiale du Capitaine – la probabilité 1 − µ(1) qu’il soit un bon type – est cruciale pour
attirer l’Armateur. Si cette renommée initiale est suffisante, le Capitaine
aura intérêt à la « soutenir » en jouant à la première étape comme s’il était
un bon type. La réputation peut donc évoluer entre la 1re et la 2e étape en
fonction de l’action choisie par le Capitaine à la 1re étape.
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Définition : La réputation est définie par la probabilité d’être un bon
type, dont la stratégie dominante est la coopération avec l’Armateur.
l’Armateur
l’Armateur
C2 D2
C2 D 2
le Capitaine C1 5, 5 5, 2 le Capitaine C1 3,5 0,2
D1 4, 0 2, 2
D1 4,0 2,2
type bon
type mauvais
1 – Trouver les équilibres de Nash parfait des jeux en information complète.
2 – Trouver l’équilibre bayésien du jeu en information incomplète. C’està-dire, le couple de stratégies d’équilibre des deux joueurs et les probabilités associées aux types du capitaine à la 2e étape.
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