Physique Atomique - OER@AVU - African Virtual University

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Physique Atomique
Physique Atomique
Par Prof.C.A.KIWANGA (in memoriam)
African Virtual university
Université Virtuelle Africaine
Universidade Virtual Africana
Université Virtuelle Africaine Note
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Attribution
http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/
License (abréviation « cc-by »), Version 2.5.
Université Virtuelle Africaine Table des matières
I.
La physique atomique________________________________________ 5
II.
Prérequis _________________________________________________ 5
III. Temps d’apprentissage requis_ ________________________________ 5
IV. Matériel didactique__________________________________________ 5
V.
Importance du module_______________________________________ 5
VI. Contenu__________________________________________________ 6
6.1 Aperçu________________________________________________ 6
6.2 Organisation____________________________________________ 7
6.3 Représentation graphique__________________________________ 8
VII. Objectif général_____________________________________________ 9
VIII. Objectifs spécifiques liés aux activités d’apprentissage_ _____________ 9
IX. Évaluation préliminaire______________________________________ 11
X.
Activités d’enseignement et d’apprentissage______________________ 16
XI. Concepts-clés (glossaire)___________________________________ 112
XII. Lectures obligatoires_______________________________________ 114
XIII. Ressources multimédias (optionnelles)_ _______________________ 118
XIV. Liens utiles______________________________________________ 120
XV. Synthèse du module_______________________________________ 124
XVI. Évaluation sommative______________________________________ 125
XVII.Références bibliographiques_________________________________ 129
XVIII. Auteur du module_ _______________________________________ 130
XIX. Structure du fichier________________________________________ 131
Université Virtuelle Africaine Préface
Ce module comporte cinq sections principales.
La première est la section INTRODUCTION, qui contient elle-même cinq
parties :
TITRE : On y définit le titre du module
PREREQUIS : Dans cette section, on vous renseigne sur les connaissances
et aptitudes préalables requises pour débuter ce module. Prenez le soin
de bien les regarder afin de savoir si vous devez faire une révision avant
de commencer.
TEMPS D’APPRENTISSAGE REQUIS : On vous donne le temps estimé
(en heures) qui sera requis pour apprendre ce module. Toutes les autoévaluations, les activités et les évaluations doivent être terminées dans le
temps spécifié.
MATÉRIEL DIDACTIQUE : Vous trouverez ici la liste de matériel requis pour
compléter ce module. Une partie du matériel fait partie de kit de cours
que vous recevrez sur CD-ROM ou que vous trouverez sur Internet. Le
matériel recommandé pour procéder à certaines des expériences peut être
obtenu de votre institution d’accueil (une institution partenaire de l’UVA),
mais vous pouvez l’obtenir ou l’emprunter par d’autres moyens.
IMPORTANCE DU MODULE : Dans cette section, vous aurez les réponses
à des questions comme : « Pourquoi devrais-je étudier ce module en tant
qu’enseignant stagiaire ? Quelle est sa pertinence pour ma carrière ? »
La deuxième est la section CONTENU qui comprend trois parties :
APERÇU : Le contenu du module est exposé brièvement. Dans cette section,
vous trouverez un fichier vidéo (QuickTime movie) dans lequel l’auteur de
ce module est interviewé à propos de ce module. Le paragraphe d’aperçu
est suivi d’un énoncé sur l’organisation du contenu et d’une estimation
du temps requis pour compléter chaque section. On trouvera ensuite une
représentation graphique du contenu. Ceci vous aidera à vous faire une
idée de l’organisation du contenu à travers le module.
OBJECTIF GÉNÉRAL : On y trouve des objectifs clairs, concis et compréhensibles pour vous donner une idée des aptitudes et des connaissances
que vous devrez posséder à la fin de ce module.
OBJECTIFS SPÉCIFIQUES LIES AUX ACTIVITÉS D’APPRENTISSAGE :
Chacun des objectifs spécifiques statués dans cette section est au cœur de
toute activité d’enseignement. Les unités, les éléments et les thèmes du
module sont destinés à vous permettre d’atteindre les objectifs spécifiques
et toute évaluation est basée sur ces objectifs. On vous recommande vivement de porter attention à ces objectifs spécifiques, car ils vous permettront
de cibler votre étude.
Université Virtuelle Africaine La troisième section contient l’essentiel du module, c’est la section qui
prendra le plus de temps. Il s’agit de la section des ACTIVITÉS D’APPRENTISSAGE ET D’ENSEIGNEMENT l’essentiel des neuf parties est énuméré ce
dessous :
EVALUATION PRELIMINAIRE : Cette section comporte une série de questions qui évalueront de façon quantitative votre niveau de préparation aux
objectifs spécifiques du module. Ces questions vous aideront à repérer ce
que vous savez déjà et ce que vous devrez apprendre, vous pourrez donc
voir à quel point vous maîtrisez la matière. Une charte de réponse et des
commentaires pédagogiques sont fournis à la fin.
ACTIVITÉS D’ENSEIGNEMENT ET D’APPRENTISSAGE : C’est ici le
cœur du module. Vous devrez bien suivre les conseils au cours de cette
section. On y trouve divers types d’activités que vous devrez toutes faire.
À certains moments, vous ne suivrez pas nécessairement l’ordre des activités. Il est important de s’assurer que :
- Toutes les évaluations formatives et sommatives doivent être effectivement faites
- Toutes les lectures obligatoires sont à consulter
- Vous aurez à visiter le plus de liens utiles possible
- Vous donnerez une rétrospective à l’auteur
LISTE DES CONCEPTS-CLÉS (GLOSSAIRE) : Cette Section comprend des
définitions courtes et concises de différents termes utilisés dans le module.
Ceci vous aidera à comprendre certains termes que vous ne connaissez
peut-être pas.
LECTURES OBLIGATOIRES : Un minimum de trois lectures obligatoires
sont fournies, il est obligatoire de les lire.
RESSOURCES MULTIMÉDIAS (OPTIONNELLES) : Cette section contient
une liste de références à des ressources multimédias du domaine public.
Elles sont nécessaires pour compléter les activités d’apprentissage.
LIENS UTILES : Cette section contient une liste d’au moins dix sites Web
pertinents qui vous aideront à comprendre les sujets traités dans le module.
Chaque lien est présenté à l’aide d’une référence complète (titre, URL),
une capture d’écran ainsi qu’une description de cinquante mots.
SYNTHÈSE DU MODULE : Cette section contient un sommaire du module.
ÉVALUATION SOMMATIVE :
Bon travail.
Université Virtuelle Africaine I. Physique atomique
Par Pr. C.A. Kiwanga (in memoriam), Université ouverte de Tanzanie
II.Prérequis
Avant de commencer ce module, vous devez : bien connaître le calcul
infinitésimal et la géométrie préuniversitaires, avoir appris les modules
de physique Mécanique 1 & 2, Ondes et optique, Physique thermique,
Électricité 1 & 2 et Physique quantique.
III. Temps d’apprentissage requis
L’étude personnelle de ce module devrait vous prendre environ 120 heures.
Vous devriez allouer plus de temps aux activités 1 et 3 qu’aux activités 2 et 4. La
charge de travail devrait être équivalente à 40 heures pour le modèle atomique,
20 heures pour les décharges électriques, 40 heures pour le spectre atomique et
20 heures pour les rayons X.
IV. Matériel didactique
La liste suivante énumère et décrit l’équipement nécessaire pour toutes les activités de ce module.
1. Ordinateur (avec accès Internet) : Un ordinateur avec un programme de
traitement de texte et un tableur.
2. Tableau périodique des éléments
3. Une règle d’un mètre de longueur
V. Importance du module
La physique atomique peut être définie de façon générale comme l’étude de
la structure de l’atome, ses états d’énergie et ses interactions avec les autres
champs et particules. Apprendre la physique atomique est vital non seulement
pour comprendre la physique de l’atome, mais également pour comprendre les
applications technologiques. Par exemple, le fait que chaque élément possède sa
propre empreinte spectrale a contribué à d’importantes avancées en sciences des
matériaux et en cosmologie.
Université Virtuelle Africaine VI. Contenu
6.1Aperçu
Dans ce module, vous apprendrez à propos d’un sujet important en physique,
la physique atomique. C’est l’un des éléments essentiels de ce que l’on appelle
la physique moderne, une discipline scientifique qui est née entre la fin du 19e
siècle et le début du 20e siècle. Vous serez édifiés sur les développements historiques des théories atomiques, les travaux de Dalton, Thompson, Rutherford et
Bohr. Ces quatre scientifiques tiennent une place spéciale dans le développement
de la physique atomique. Les travaux de Dalton et de Thompson ont établi les
fondations sur lesquelles Rutherford et Bohr ont bâti leurs théories, au point que
les modèles développés par ces derniers sont, dans une certaine mesure, toujours
en usage. Vous serez donc amenés à résoudre des problèmes liés aux modèles
atomiques de Rutherford et de Bohr.
Dans l’activité d’apprentissage 2 de ce module, vous apprendrez des choses relatives au phénomène de décharge gazeuse et à l’origine des rayons cathodiques.
Ce phénomène a été un véritable casse-tête pour les scientifiques de l’époque,
mais a contribué à l’importante découverte de l’électron, la première particule
subatomique à avoir été découverte. Vers la fin de l’activité d’apprentissage, vous
ferez l’expérience de la goutte d’huile de Millikan qui mena à la découverte que
la charge électrique est corpusculaire ou quantifiée.
Dans l’activité d’apprentissage 3, vous apprendrez des choses relatives à l’évolution du spectre atomique et à l’unicité du spectre atomique pour chaque élément.
Cette unicité a des implications scientifiques et technologiques.
Dans l’Activité d’apprentissage 4, vous apprendrez des choses relatives à l’origine
des rayons X, au développement du spectre des rayons X et à l’unicité du spectre
de rayons X de chaque élément. Vers la fin de l’unité, nous résoudrons des problèmes à l’aide de la loi de Moseley et nous verrons finalement les applications
des rayons X comme outil d’analyse.
Université Virtuelle Africaine 6.2.Organisation
Modèle atomique
•
•
•
•
•
Les modèles de Dalton et de Thompson
L’expérience de division alpha de Rutherford
Le modèle atomique planétaire de Rutherford
Le modèle atomique de Bohr
Les postulats de Bohr
Décharges électriques
•
•
•
(40 heures)
Les nombres quantiques
Les couplages de moments angulaires
Le modèle vectoriel d’un atome
L’effet Zeeman
La fine structure du spectre de l’hydrogène
Les spectres d’émission et d’absorption
Le principe d’exclusion de Pauli
Rayons X
•
•
•
•
•
(20 heures)
La découverte des rayons cathodiques
La variation « luminescente » des tubes cathodiques selon la pression
Les propriétés des rayons cathodiques
Le spectre atomique
•
•
•
•
•
•
•
(40 heures)
(20 heures)
Les propriétés de production et les caractéristiques des spectres de rayons X
La diffraction des rayons X
L’équation de Bragg et le spectromètre à cristal
Les spectres de rayons X des éléments atomiques
La loi de Moseley
Université Virtuelle Africaine 6.3. Représentation graphique
8
Université Virtuelle Africaine VII. Objectif général
L’objectif de ce module est de vous guider de manière chronologique à travers
le développement de la physique atomique. Vous commencerez par étudier les
modèles atomiques de Dalton, de Thompson, de Rutherford et, pour finir, de Bohr.
Vous apprendrez ensuite un phénomène qui mena à la découverte de l’électron et
de sa charge négative. Les expériences sur les décharges gazeuses ont également
établi comment les atomes pouvaient être excités.
Après avoir terminé ce module vous devriez être en mesure de :
•
•
•
Comprendre le développement des théories atomiques
Résoudre les problèmes reliés aux spectres d’émission et d’absorption
des atomes
Décrire la production de rayons X et leur interaction avec la matière
VIII. Objectifs spécifiques aux activités
d’apprentissage
Contenu
Modèle atomique
Objectifs d’apprentissage
(40 heures)
• Les modèles de Dalton et de Thompson
• L’expérience de division alpha de Rutherford
• Le modèle atomique planétaire de Rutherford
• Le modèle atomique de Bohr
• Les postulats de Bohr
Décharges électriques (20 heures)
• La découverte des rayons cathodiques
• La variation « luminescente » des tubes
cathodiques selon la pression
• Les propriétés des rayons cathodiques
Au terme de la section vous devrez être
en mesure de :
• Décrire les caractéristiques des modèles
atomiques de Dalton et de Thompson
• Résoudre des problèmes liés à l’expérience
de division alpha
• Résoudre des problèmes en utilisant les
postulats de Bohr
• Expliquer le phénomène de décharge sous
différentes pressions
• Expliquer pourquoi les rayons cathodiques
sont des électrons
• Décrire le contexte et le but de l’expérience
de la goutte d’huile de Millikan
Université Virtuelle Africaine 10
Le spectre atomique
•
•
•
•
•
•
•
Rayons X
•
•
•
•
•
(40 heures)
Les nombres quantiques
Les couplages de moments angulaires
Le modèle vectoriel d’un atome
L’effet Zeeman
La fine structure du spectre de l’hydrogène
Les spectres d’émission et d’absorption
(20 heures)
Les propriétés de production et les caractéristiques des spectres de rayons X
La diffraction des rayons X
L’équation de Bragg et le spectromètre à
cristal
Les spectres de rayons X des éléments
atomiques
La loi de Moseley
• Utiliser le modèle vectoriel de l’atome pour
résoudre des problèmes et expliquer des
propriétés
• Expliquer la fine structure des spectres
• Expliquer l’origine atomique des rayons X
• Déterminer les rayons X caractéristiques
des rayonnements Bremsstrahlung
• Utiliser la règle de Bragg pour résoudre des
problèmes
• Résoudre des problèmes en utilisant la loi
de Moseley
IX.
Évaluation préliminaire
Êtes-vous prêt pour le module de physique atomique ?
Cher étudiant
Dans cette section, vous trouverez des questions d’autoévaluation qui vous
aideront à évaluer votre niveau d’appropriation de ce module. Vous devriez vous
juger vous-mêmes avec sincérité et prendre les mesures nécessaires après avoir
terminé l’autoévaluation. Vous êtes encouragés à prendre le temps nécessaire de
répondre aux questions.
Cher moniteur,
Les questions d’évaluation préliminaire sont destinées à aider l’étudiant à savoir
s’il est prêt à entreprendre l’étude de ce module. Il est fortement conseillé de suivre
les recommandations données selon la note de l’étudiant. En tant que moniteur,
vous devriez encourager vos étudiants à s’autoévaluer en répondant à toutes les
questions ci-dessous. Les recherches en éducation démontrent que ceci aidera les
étudiants à être mieux préparés et à exprimer leurs connaissances antérieures.
L’autoévaluation concernant la physique atomique
Évaluez votre niveau de préparation à suivre ce module sur la physique atomique.
Si votre note est supérieure ou égale à 60 sur 75, vous être prêts à faire ce module.
Si votre note est entre 40 et 60, vous devriez réviser vos notes de physique en
mécanique, en électromagnétisme et en physique moderne. Une note en dessous
de 40 sur 75 indique que vous devez revoir vos bases en physique.
Toutes les questions sont à choix multiples. L’étudiant doit choisir la réponse la
plus appropriée et se donner 5 points pour chaque bonne réponse.
1. Avant 1945, l’atome était défini comme la plus petite :
a)
b)
c)
d)
Particule à charge électrique
Particule divisible
Particule indiscernable
Particule indivisible
2. Les couleurs de l’arc-en-ciel sont telles que :
a)
b)
c)
d)
Seules les couleurs primaires sont présentes
Le noir et le blanc sont également présents
Le violet et le rouge se trouvent à chaque extrémité du spectre
Aucune de ces réponses
3. Un élément essentiel dans une expérience sur la dispersion de la lumière
blanche est :
a)
b)
c)
d)
Une lentille convexe double
Un bloc de verre rectangulaire
Un miroir incurvé
Un prisme de verre triangulaire
4. Les rayons X sont :
a) Des particules subatomiques voyageant à des vitesses relativistes
b) Produits lorsqu’un métal solide est chauffé à des températures avoisinant
son point de fusion
c) Du côté des longueurs d’onde courtes sur le spectre électromagnétique
d) Du côté des basses fréquences sur le spectre électromagnétique
5. En physique classique
a)
b)
c)
d)
Un électron se déplace avec une longueur d’onde de Broglie associée
Une particule est associée avec n’importe quel phénomène d’onde
Le principe d’exclusion de Pauli s’applique
6. La dérivation phénoménologique de l’équation de Schrödinger a été
inspirée par deux équations en physique classique :
a)
b)
c)
d)
L’équation d’onde et de la deuxième loi du mouvement de Newton
L’équation d’onde et la première loi du mouvement de Newton
L’équation d’Ampère-Maxwell et l’équation d’onde
7. Un résultat clé de la mécanique quantique est :
a) La distinction entre la matière et les phénomènes d’onde
b) La catastrophe ultraviolette
c) La non-distinction des phénomènes d’onde et des particules subatomiques
en mouvement
d) La découverte de la charge négative dans les rayons cathodiques
8. L’équation aux dérivées partielles pour l’atome d’hydrogène est plus
facilement résolue en utilisant :
a) Les coordonnées cartésiennes
b) Les coordonnées cylindriques
c) Les coordonnées polaires sphériques
d) Aucun des systèmes de coordonnées mentionnés
9. Une particule se déplace de façon circulaire avec une vélocité tan-
gentielle v. Si r est le rayon du cercle, l’accélération de la particule se
traduit par :
a)
b)
c)
d)
v/r
v2/r
mvr
mv/r2
10.Si la particule de la question 9 possède une masse m, le moment an-
gulaire L de la particule est donné par la formule :
a)
b)
c)
d)
mv/r
mv2/r
mvr
mv/r2
11.Le vecteur du moment angulaire de la particule des deux questions
r r r
r
� p où p est le moment linéaire. La
précédentes est donné par L = r ∧
r
composante de L est donnée par :
a)
L z = xpy − ypx
b)
L z = ypz − zpy
c)
L z = xpx − ypy
d)
L z = zpz − ypy
12.Une charge sphérique positive Q a un rayon R. La magnitude du champ
électrique à un point situé à une distance r<R du centre est donnée
par :
r2
E=
Q
4πε 0
a)
E =
b)
E =
c)
E =
d)
1
4πε 0 r
r
4πε 0
1
Q
4πε 0 r 2
Q
Q
13.La quantification le l’énergie électromagnétique est résumée par l’équation :
a)
b)
c)
d)
E=mc2
E=hw
E=hn
E=hc
14.Un atome excité est un atome dont l’état d’énergie est :
a)
b)
c)
d)
Supérieur à l’état fondamental
Inférieur à l’état fondamental
Le même que l’état fondamental
15.En ce qui concerne l’énergie, la lumière violette :
a)
b)
c)
d)
Est plus énergétique que la lumière rouge
Est mois énergétique que la lumière rouge
Possède la même énergie que la lumière rouge
16.La longueur d’onde de la lumière violette :
a)
b)
c)
d)
Est plus longue que celle de la lumière rouge
Est plus courte que celle de la lumière rouge
Est égale à celle de la lumière rouge
17.Une particule de masse m possédant une charge Q tombe entre deux
plaques parallèles chargées. Si le champ électrique entre les plaques est
EV/m agissant vers le haut et que le milieu entre les deux plaques est
visqueux, créant une force de traînée bv, la relation entre les différentes
forces est donnée par :
r
r
r
a) mg = qE + bv
r r
r
b) mg = qE - bv
r r
r
mg
=
bqE
∧v
c)
r r
mg
=
bqE
.v
d)
18.La condition pour la diffraction de la lumière est que la longueur
d’onde :
a)
b)
c)
d)
Soit proportionnelle à la largeur de la fente
Soit plus grande en proportion à la largeur de la fente
Soit beaucoup plus petite en proportion à la largeur de la fente
Peut avoir n’importe quelle valeur relativement à la largeur de la fente
19.L’énergie d’ionisation est l’énergie nécessaire pour :
a)
b)
c)
d)
Enlever un électron d’orbitale inférieure à un atome gazeux
Enlever un électron de l’orbitale supérieure à un atome gazeux
Élever un électron de la couche K à la couche M dans un atome gazeux
20.L’énergie de liaison d’un atome est l’énergie nécessaire pour :
a)
b)
c)
d)
Exciter un électron de couche inférieure
Enlever un électron de couche supérieure
Enlever un électron de couche inférieure
Implanter un électron dans l’orbitale inférieure
Réponses
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
d
c
d
c
d
a
c
c
b
c
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
a
c
c
a
a
b
b
a
b
c
Commentaire pédagogique pour l’étudiant
Les questions auxquelles vous venez de répondre sont destinées à évaluer votre
niveau de préparation pour ce module. Ce module a comme point de départ vos
prérequis et donc le résultat est indicatif du niveau de préparation de l’étudiant.
Tout résultat inférieur à 50% signifie que vous avez beaucoup de rattrapage à
faire avant le commencement de ce module.
X.Activités d’enseignement et d’apprentissage
Activité 1 : Les modèles atomiques
Vous aurez besoin de 40 heures pour compléter cette activité. Vous aurez d’abord
des lectures, des vidéos multimédias et des exemples, puis des questions et des
problèmes d’autoévaluation. Il vous est fortement suggéré de consulter tout le
matériel obligatoire et le plus possible de références et de liens utiles.
Objectifs spécifiques d’enseignement et d’apprentissage
•
•
•
Caractériser les modèles atomiques de Dalton et de Thompson
Résoudre des problèmes liés à l’expérience de diffusion alpha
Résoudre des problèmes à l’aide des postulats de Bohr
Résumé de l’activité d’apprentissage
L’activité d’apprentissage 1 établit les fondations du module entier. L’activité
commence en examinant la matière d’une perspective historique. Les modèles
atomiques des fondateurs de la physique atomique, soit Dalton, Thompson,
Rutherford et Bohr, y sont présentés. En dernier, nous introduisons le concept de
chiffre quantique et nous parlerons du principe d’exclusion de Pauli.
Lectures obligatoires
Lecture 1 : Atomic Models
Référence complète :
De : Wikipedia
URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_physics
Consulté le 20 avril 2007
Résumé: Cette lecture est une compilation de l’article Wikipédia indiqué ci-haut
et des différents liens disponibles sur la page. Les sections sur le modèle
atomique de Dalton, le modèle plum pudding de Thompson, l’expérience
de diffusion alpha de Rutherford qui mena au modèle planétaire de l’atome
et la physique quantique sont traitées.
Justification : Le matériel de cette compilation est essentiel à la première
activité de ce module.
Lecture 2 : Bohr Model of Hydrogen Atom
Référence complète : http://musr.physics.ubc.ca/~jess/hr/skept/QM1D/node2.
html
Consulté en juin 2007
Résumé : Le modèle de l’atome d’hydrogène de Bohr est présenté de façon
concise en trois pages Web. Il est suggéré de commencer par la page
mise en référence puis d’utiliser le lien next pour aller aux dérivations
du rayon de Bohr, et cliquer next une nouvelle fois pour le calcul des
niveaux d’énergie.
Justification : Le matériel est présenté d’une façon qui est facile à suivre.
Lecture 3 : Theory of Rutherford Scattering
Référence complète : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rutcon.
html#c1
Résumé : La physique de diffusion en relation avec le modèle atomique de
Rutherford est très bien présentée. Vous aurez à suivre l’organisation
présentée dans la page de référence et cliquer sur chaque lien tel que
présenté dans l’organisation.
Justification : Le matériel présenté dans ce lien est essentiel et pertinent au
cours.
Ressources multimédias
Référence : http://www.colorado.edu/physics/2000/index.pl
Consulté en décembre 2006
Description : Il s’agit d’un merveilleux applet où l’on crée son propre atome.
En accédant à la page accueil de Physics 2000, cliquez sur la table des
matières, puis allez sur Science Trek et cliquez sur Electric Force. Placez
votre curseur à environ cinq centimètres du proton. Appuyez et déplacez
l’électron ainsi créé à 45° ou plus du noyau et relâchez-le. Regardez ensuite
l’électron effectuer une orbite elliptique autour du proton. Vous serez
surpris du nombre d’ « atomes orbitaux » qui n’entrent pas en collision
que vous pouvez créer autour du noyau.
Référence : http://www.weaowen.screaming.net/revision/nuclear/rsanim.
htm
Consulté en avril 2007
Description : Il s’agit d’une simulation de l’expérience de diffusion des particules alpha contre une cible en or. Dans cette simulation, le noyau est
représenté par un point jaune et la particule alpha par un point rouge qui
est plus petit. Une diffusion effectuée par l’étudiant en suivant la marche
à suivre concernant le choix d’énergie de la particule alpha, le déplace-
ment du point rouge puis en appuyant sur le bouton « fire ». Vous devez
effacer les traces avant la diffusion suivante. Si rien ne se passe lorsque
vous cliquez sur « fire », essayez de nouveau. Implémentation d’une série
de la marche à suivre constitue une expérience. L’expérience suivante
commence en appuyant sur le bouton « next » pour rétablir la position de
la particule alpha. Après plusieurs diffusions vous devez effacer les traces.
L’énergie de la particule alpha est comprise entre 8 et 25 eV.
Référence : http://www.physics.brown.edu/physics/demopages/Demo/modern/demo/7d5010.htm
Résumé : Une animation du dispositif expérimental de la diffusion alpha de
Rutherford est exposée. 400 particules alpha sont lancées contre une
mince feuille d’or.
Référence : http://webphysics.davidson.edu/Applets/pqp_preview/contents/
pqp_errata/cd_errata_fixes/section4_7.html
Résumé : Il s’agit d’une animation de la diffusion Rutherford dans laquelle
vous pouvez inscrire vos propres valeurs pour le nombre de particules
alpha, l’énergie cinétique, la charge nucléaire de la cible et le paramètre
d’impact.
Référence : http://www.control.co.kr/java1/masong/absorb.html
Description : Il s’agit d’un applet Java démontrant le spectre d’absorption
d’un atome de Bohr.
Liens utiles
Ressource #1
Titre : From Bohr’s Atom to Electron Waves
URL: http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/Bohr_to_Waves/Bohr_to_Waves.
Html
Capture d’écran :
Reactions to Bohr’s Model
Bohr’s interpretation of the Balmer formula in terms of quantized angular momentum was certainly impressive, but his atomic model didn’t make much mechanical
sense, as he himself conceded……
Description : Une description chronologique du travail de Niels Bohr qui a eu
la quantification du moment angulaire pour point culminant.
Justification : L’article est l’une des nombreuses conférences en physique moderne données par Pr Michael Fowler. Vous devriez aller sur la page d’accueil de
Physics 252 et lire autant de conférences possibles sur les atomes, les particules
et les ondes.
Ressource #2
Titre : Chapter 27: Early Quantum Theory and Models of the atom
URL: http://www.google.com/search?q=cache:p4PiiJqdDkwJ:cherenkov.physics.iastate.
edu/~mkpohl/teach/112/ch27.pdf+MODELS+OF+THE+ATOM&hl=en&ct=c
lnk&cd=79
Description : Cet article est une présentation Power Point des débuts de la théorie
quantique et des premiers modèles atomiques : Thompson, Rutherford et Bohr.
Justification : Le matériel est présenté de manière concise et incisive et il vous
est fortement suggéré de le lire. Pour y accéder, suivez le lien ci-haut puis cliquez
sur ce lien : http://cherenkov.physics.iastate.edu/~mkpohl/teach/112/ch27.pdf.
Ressource #3
Titre : Atomic Physics
URL : http://theory.uwinnipeg.ca/physics/bohr/node1.html
Capture d’écran:
Description : Sur ce site vous trouverez divers liens qui vous aideront à explorer
le modèle des atomes d’hydrogène de Bohr et ses extensions. Ce modèle a été
l’un des plus grands succès des débuts de la théorie quantique, et a amené divers
champs d’investigation qui sont toujours d’actualité.
Justification : Le matériel contenu dans cette ressource est pertinent au module.
Ressource #4
Titre : Atomic Models and Spectra
URL : http://online.cctt.org/physicslab/content/Phy1/lessonnotes/atomic/atomicmodelsandspectra.asp
Capture d’écran:
Description: Un exposé chronologique des travaux de Rutherford sur la diffusion
des particules alpha et de l’émergence du noyau.
Justification : Le matériel vous sera utile.
Ressource #5
Titre : Rutherford Scattering
URL : http://www.ux1.eiu.edu/~cfadd/1160/Ch29Atm/Ruthrfd.html
Capture d’écran:
Description: Des notes concises sur la diffusion Rutherford.
Justification : Cet article fait partie d’une série de notes de conférence en physique atomique. Suivez les liens pour plus d’informations.
Ressource #6
Titre : Atomic Structure Concepts
URL : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/atomstructcon.
html#c1
Capture d’écran:
Description : C’est une ressource très utile et presque exhaustive sur la physique de l’atome d’hydrogène. Vous devez suivre les boîtes de façon séquentielle,
en commençant avec la boîte Hydrogen energy levels, dans laquelle vous serez
ensuite guidé vers le modèle de Bohr, etc.
Justification : Cet article fournit des liens à presque tous les concepts pertinents
au module.
Description détaillée de l’activité
(principaux éléments théoriques)
Introduction
Dans la Grèce antique, il existait deux écoles de pensée concernant la structure
de la matière, soit la théorie atomique qui stipulait une nature corpusculaire de la
matière et la théorie de la matière continue, énoncée par Aristote. Dû au fait que
la théorie de la matière continue ait été énoncée par un personnage aussi éminent,
la théorie atomique a longtemps été reléguée dans l’ombre.
Le modèle atomique de Dalton
John Dalton, au début du 19e siècle, a proposé un modèle atomique qui a permis
une étude quantitative limitée de l’atome.
Le modèle de Dalton consistait en des atomes petits, indivisibles et indestructibles, comme des boules de billard, et que chacun des atomes avait une
masse, une taille et un comportement chimique dépendant de l’élément auquel
il appartient.
Le modèle de Dalton ne dit rien à propos de la composition et de la structure
interne de l’atome.
Le modèle atomique de Thompson
Vers la fin du 19e siècle, beaucoup de données spectroscopiques avaient été
récoltées, à l’aide des développements en films photographiques, en tubes à
décharge gazeuse et en réseaux de diffraction. Les caractéristiques du spectre
atomique pour chaque élément avaient été établies. Cependant, il manquait une
base théorique pour expliquer les observations.
J.J. Thompson, ayant établi que les rayons cathodiques étaient chargés négativement, subséquemment appelés électrons, émit l’hypothèse que les électrons
faisaient partie de l’atome. Il proposa un modèle de l’atome comme une sphère
pleine d’une substance électrique chargée positivement mélangée avec des électrons négatifs « comme des raisins dans un pain ». Le modèle de Thompson est
fréquemment appelé le modèle « plum pudding ».
Pour prendre un exemple plus africain, on pourrait comparer l’atome de Thompson
à une goyave sphérique symétrique.
Tompson expliquait les raies spectrales en suggérant que les électrons rayonnaient
lorsqu’ils oscillaient dans le « pudding positif ». Cependant, cette théorie ne pouvait pas expliquer les paquets d’ondes précis émis par différents éléments.
Le modèle atomique de Rutherford
Sir Ernest Rutherford a proposé un modèle atomique basé sur les résultats de la
diffusion de particules alpha. Selon son modèle, l’atome était composé en majorité
d’espace vide avec un petit noyau chargé positivement contenant la plus grande
part de la masse de l’atome. Ce noyau était lui-même entouré d’électrons négatifs
qui tournaient autour, comme les planètes autour du Soleil.
Selon la théorie électromagnétique de Maxwell, une particule chargée se déplaçant de façon circulaire émet de l’énergie et donc, l’électron dans l’atome de
Rutherford perd constamment de l’énergie. Ceci implique que l’électron devrait
se diriger vers le noyau et l’atteindre, ce qui ne se passe pas en réalité. Le modèle
de Rutherford était une conception améliorée de l’atome, mais ne pouvait toujours
pas en expliquer la stabilité.
De plus, selon la physique classique, l’énergie émise par un électron qui tourne
autour du noyau devrait avoir toutes les fréquences, en d’autres mots, le spectre
émis devrait être continu, ce qui n’est pas le cas. Le spectre émis consiste en des
lignes discontinues sur fond foncé. Donc, le modèle de Rutherford ne pouvait
pas expliquer les lignes de spectre des éléments.
Le modèle atomique de Bohr
Niels Bohr a proposé un modèle qui pourrait expliquer les divergences entre les
lignes de spectre émises par les éléments qui étaient observées et les spectres
anticipés par le modèle atomique de Rutherford.
Bohr a proposé les postulats suivants
1. Un électron dans un atome se déplace dans une orbite circulaire autour
du noyau, sous l’influence des forces coulombiennes entre l’électron et
le noyau.
2. Un électron se déplace sur une orbite pour laquelle son moment orbital
angulaire [L] est un multiple entier de
3. Un électron de déplaçant sur une orbite donnée n’émet pas d’énergie
électromagnétique. Donc, son total d’énergie E reste constant.
4. Le rayonnement électromagnétique est émis si un électron, se déplaçant
initialement sur une orbite avec un total d’énergie Ei , modifie son déplacement de façon discontinue de manière à se déplacer avec une énergie totale E f . La fréquence de rayonnement n est égale à la quantité
(E
i
−E
f
)/ h
Le modèle atomique du nuage d’électrons
Le modèle en nuage représente une sorte d’histoire des déplacements probables
de l’électron et de ses déplacements anticipés. Vous pouvez vous représenter un
point au milieu d’une sphère principalement vide, pour représenter le noyau, et
plusieurs autres plus petits points autour du noyau qui représentent des circonstances où se trouvait l’électron. L’ensemble de ces traces se met rapidement à
ressembler à un nuage.
La diffusion Rutherford
Adapté de Wikipédia, l’encyclopédie libre http://en.wikipedia.org/wiki/Rutherford_scattering
La diffusion Rutherford est un phénomène qui fut expliqué par Ernest Rutherford en 1911 et qui a mené à d’importantes avancées dans la théorie orbitale de
l’Atome. La rétrodiffusion de Rutherford est une technique d’analyse utilisée en
science des matériaux. La diffusion Rutherford est parfois appelée la diffusion
de Coulomb puisqu’elle est basée sur des forces d’électricité statique (Coulomb).
Un procédé similaire, la diffusion profondément élastique, a permis de sonder
l’intérieur des noyaux dans les années 1960’.
Les moments forts de l’expérience de Rutherford
•
•
•
•
Un faisceau de particules (est braqué sur une mince feuille d’or.
La majorité des particules passent sans être déviées.
D’autres sont déviées à différents angles
Certaines sont rétrodiffusées
Sir Ernest Rutherford
D’après ces résultats, Rutherford a conclu que la plus grande partie de la masse
était concentrée en une région (le noyau) minuscule, chargée positivement et
entourée d’électrons. Lorsqu’une particule alpha (positive) s’approchait assez
près du noyau, elle était repoussée assez fort pour rebondir à des angles élevés.
La petite taille du noyau expliquait le petit nombre de particules alpha qui étaient
ainsi repoussées. Rutherford a démontré, en utilisant la méthode ci-dessous, que
la taille du noyau était de moins de 10-14m.
La théorie de la diffusion
Principales hypothèses
La collision entre un noyau idéal, mais lourd, possédant une charge de
Q=Ze, et un projectile léger possédant une charge de q=ze est considérée
comme étant élastique,
• Le moment et l’énergie sont conservés,
• Les particules interagissent par la force de Coulomb
• La distance verticale du projectile est du centre de la cible, le paramètre
d’impact b détermine l’angle de diffusion q.
•
Fig. 1.1 La géométrie de la diffusion Rutherford
1
La relation entre l’angle de diffusion q , l’énergie cinétique K = mv02 et le
2
paramètre d’impact est donné par
b=
zZ e2
cot (θ / 2 )
2 K 4πε 0
............................................1.1
où z=2 pour la particule a et Z=79 pour l’or.
Une dérivation superficielle de la section efficace différentielle
Dans la Fig. 1.2 ou 1.3, une particule qui heurte l’anneau entre b et b + db est
diffusée dans l’angle solide dW entre q+dq.
Par définition, la section efficace est la constante proportionnelle
2π bdb = − σ (θ
Donc,
) 2π
sin θ dθ
⎛ dσ ⎞
dσ = 2π b db = ⎜
⎟ d Ω ⎝ dΩ ⎠
......................................1.2
Où d Ω = 2π si n θ dθ
La section efficace différentielle devient donc
2π b db
dσ
=
dΩ 2π sin θ dθ
......................................1.3
Des équations 1.1 et 1.3 nous obtenons
dσ
2
2
⎛ 1 ⎞ ⎛ qQ ⎞
1
=⎜
⎟ ⎜
⎟
4
d Ω ⎝ 4πε 0 ⎠ ⎝ 4 K α ⎠ sin (θ / 2 )
......................................1.4
L’équation 1.4 est appelée la section efficace différentielle pour la diffusion
Rutherford.
Figure.1.2
Géométrie schématisée pour le calcul de la section efficace différentielle
Source : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rutcon.html#c1
Figure.1.3
Arrangements géométriques détaillés pour le calcul de la section efficace différentielle
Dans les calculs ci-dessus, on ne considère qu’une seule particule a. Dans une
expérience de diffusion, on doit considérer plusieurs événements de diffusion et
mesurer la fraction des particules diffusées dans un angle donné.
Pour un détecteur à un angle spécifique par rapport au faisceau incident, le nombre de particules par unité de superficie heurtant le détecteur est donné par la
formule de Rutherford :
N (θ ) =
N i nL Z 2 k 2e4
4r 2 K E 2 sin2 (θ / 2 )
Où Ni = nombre de particules-a
n = atomes par unité de volume dans la cible
L = épaisseur de la cible
Z = numéro atomique de la cible
e = charge électronique
k = constante de Coulomb
r = distance entre la cible et le détecteur
KE = énergie cinétique des particules-a
q = angle de diffusion
...................................1.5
La variation prévue d’alphas avec un angle est suivie de près par les données
Geiger-Marsden, montrées dans la Fig. 1.4 ci-dessous.
Figure.1.4 Vérification de la formule de Rutherford
Calcul de la taille nucléaire maximale
Pour les collisions frontales entre les particules alpha et les noyaux, toute l’éner-
1
gie cinétique mv 2 se transforme en énergie potentielle et la particule est au
2
repos.
La distance entre la particule alpha et le centre du noyau (b) à ce moment est une
valeur maximale pour le noyau, s’il apparaît de l’expérience que les particules
n’ont pas atteint le noyau.
Figure.1.5 Diffusion des différents paramètres d’impact
En appliquant l’énergie potentielle de Coulomb entre les charges de l’électron et
du noyau, on peut écrire :
En réarrangeant :
b=
1
1
1 q1q2
mv 2 =
2
4πε 0 b
2 q1 q2
4πε 0 mv 2
................................1.6
Pour une particule alpha :
m (masse) = 6,7 10-27kg
q1 = 2 (1,6 10-19)C
q2 (pour l’or) = 79 (1,6 10-19) C
v (vélocité initiale) - 2 107 m/s
En substituant ces formules dans l’équation 1.6 on obtient la valeur du paramètre
d’impact d’environ 2,7 10-14m. Le vrai rayon est environ 7,3 10-15m.
Le modèle de Bohr
Tiré de Wikipédia, l’encyclopédie libre : http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr_model
Figure1.6 Une image de Bohr de l’atome d’hydrogène
Dans le modèle de Bohr de l‘atome d’hydrogène (fig.1.6) on voit un électron
chargé négativement confiné sur une couche atomique qui encercle un petit noyau
atomique chargé positivement. Les sauts d’électron entre les différentes orbites
sont accompagnés d’une une quantité émise ou absorbée d’énergie électromagnétique hn. Les orbites dans lesquelles les électrons voyagent sont illustrées
comme des cercles gris; leur rayon augmente à n2, où n est le nombre quantique
principal. La transition 3→2 montrée ici est la première des séries de Balmer, et
pour l’hydrogène (Z = 1) on obtient des photons possédant une longueur d’onde
656nm (rouge).
Expression du rayon de Bohr
Prenez le cas d’un ion avec une charge de noyau de Ze et un électron se déplaçant
avec une vitesse constante et suivant un cercle de rayon r du centre du noyau. La
force de Coulomb sur l’électron est :
F =
Ze2
4πε 0 r 2
La force de Coulomb est équilibrée par la force centripète et nous obtenons
donc :
Ze2
mv 2
=
r
4πε 0 r 2
En utilisant la règle de quantification du moment angulaire de Bohr
L = mr v =
h
2π
=h
ε n 2 h2
Nous avons le nième rayon de Bohr rn = 0
2
π mZe
..........................1.7
Et la vélocité de l’électron dans la nième orbite
vn =
Z e2
2ε 0 hn
.........................1.8
Le modèle planétaire classique
Nous calculons l’énergie de l’atome d’hydrogène et la fréquence du mouvement
orbital d’un atome de Bohr.
Énergie
Énergie mécanique totale E = Ek + Ep (cinétique + potentielle)
⎛ − ke2 ⎞
1
2
E = mv + ⎜
⎜ r ⎟⎟
2
⎝
⎠
k=
Où
.................................1.9
1
4πε 0
Le mouvement orbital est maintenu par la force de Coulomb
ke 2
r2
=
ke 2
mv 2
mv 2 =
r
r ⇒
.................................1.10
Nous voyons d’après les équations 1.9 et 1.10 que lorsqu’une orbite est circulaire, l’énergie cinétique est la moitié de la magnitude de l’énergie potentielle.
Ceci donne :
E =
1 ke 2
2 r
E =−
−
1 ke 2
2 r
ke 2
r
.................................1.11
Cette équation montre que l’énergie totale du système est négative. Comme le
rayon orbital de l’électron r augmente, l’énergie E diminue et tend vers zéro.
Fréquence
La fréquence orbitale f =
ω
2π
=
v
2π r
.................................1.12
Où w est la vitesse orbitale angulaire de l’électron. D’après l’équation 1.10, nous
obtenons
v
=
r
ke 2
mr 3
Substituant ceci dans l’équation (4), nous obtenons :
f =
1
ke 2
2π
mr 3
.................................1.13
Pour l’atome H f=7 × 1015 Hz, qui est dans la région ultraviolette du spectre
électromagnétique.
Si l’électron rayonne, l’énergie E va diminuer en devenir encore plus négatif, et
de l’équation (3) le rayon orbital r diminue également. La diminution de r dans
l’équation 1.13 donne lieu à une augmentation de la fréquence f. Donc, quand
l’énergie est rayonnée, E diminue, le rayon orbital r diminue également, ce qui
augmente à son tour la fréquence orbitale f.
Ce modèle planétaire prévoit que l’électron tourne autour du noyau en émettant
un spectre continu. Ce processus ne dure pas plus de
1 × 10-8 s selon les calculs, un bien court laps de temps.
Tâche 1.1 Estimés selon les modèles de Thompson et de Rutherford
En utilisant les modèles de Thompson et de Rutherford, estimez le champ électrique sur la surface d’un atome d’or (modèle de Thompson) et sur la surface du
noyau (modèle de Rutherford). Supposez que le diamètre atomique est de
1× 10-10 m et que le diamètre du noyau est de 1× 10-15 m et ne prenez pas en
compte l’influence des électrons.
Tâche 1.2 Dérivation de la formule de diffusion Rutherford
Suivez le lien ci-dessous pour établir la formule de la diffusion Rutherford, nommez les principes de physique qui sont impliqués.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rutcon.html#c1
Tâche 1.3 Les postulats de Niels Bohr
On dit que les quatre postulats de Niels Bohr étaient ad hoc, incohérents avec la
théorie de l’époque. Discutez.
Évaluation formative 1
1. Rédigez un essai sur l’évolution du modèle atomique de Dalton à Bohr.
2. Il existe un déséquilibre des genres chez les partisans de la théorie atomique
de la matière. Discutez.
3. Quelles étaient les critiques du modèle atomique du « plum pudding »?
4. Dans la documentation Internet qui vous a été fournie, il semble y avoir des
désaccords entre Niels Bohr et Sir Ernest Rutherford. Quel était le désaccord
et comment a-t-il été réglé? Y a-t-il des leçons à tirer de ce cas?
5. Dans la figure ci-dessous, quel est le rayon de l’orbite de Bohr de l’atome
d’hydrogène ?
6. (a) Si le rayon du noyau était de 10 cm, quel serait le diamètre de l’atome?
(b) Reproduisez les calculs et le noyau hypothétique en supposant que le rayon
de la Terre est r = 6,4 × 106 m et comparez la taille du noyau hypothétique
avec la distance entre la Terre et la Lune 3,8 ×108 m.
Réponses : (a) 100 000 × 0,20 m = 24 km (b) 6,4 × 1011 m
7. Selon le modèle de Bohr, l’énergie de l’électron devrait-elle augmenter ou
diminuer pour une orbite plus large ?
Réponse : Éloigner l’électron du noyau demande plus d’énergie, donc les plus
grandes orbites ont plus d’énergie.
8. Est-ce que le modèle de Rutherford explique : (a) la stabilité des atomes?
(b) la raison de l’émission de longueurs d’onde discrètes ? Expliquez vos
réponses.
Devoir 1
1. Donnez trois présupposés utilisés dans la dérivation de la section efficace
différentielle de la diffusion Rutherford.
2. Une particule 6,0 MeV a - est diffusée à 40° par un noyau d’or.
a. Quel est le paramètre d’impact correspondant?
b. Si la feuille d’or a une épaisseur de 3,0 × 10-7 m, quelle est la fraction
de particules a contenues dans un rayon de 6,0 MeV qui peuvent être
diffusées à plus de 45°
3. Calculez le rayon de Bohr d’un atome d’hydrogène dans son état fondamental.
Consultez une référence pour les constantes nécessaires.
4. Calculez l’énergie de l’état fondamental de l’hydrogène tel que modélisé par
Niels Bohr. Les électrons ont une énergie négative.
5. Pourquoi une orbite d’un rayon de 1mm a-t-elle peu de chance d’être occupée
par un électron dans le modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène? Trouvez le
nombre quantique qui caractérise une telle orbite.
6. Montrez sur un diagramme de niveau d’énergie pour l’hydrogène le nombre
quantique correspondant à une transition dans laquelle la longueur d’onde de
la lumière émise est 121,6 nm.
Enseigner le contenu dans les écoles secondaires 1
Tout dépend du curriculum national de physique, les connaissances de base sur
les modèles atomiques dans cette activité peuvent être enseignées aux élèves des
écoles secondaires.
Activité 2 : Les décharges électriques
Cette activité vous prendra 20 heures. Dans cette activité vous serez amené à
faire une série de lectures, à regarder des vidéos multimédias, à consulter des
exemples et à répondre à des questions et à des problèmes d’autoévaluation. Il
est fortement recommandé de faire toutes les activités, de consulter toutes les
références obligatoires et le plus de liens utiles possibles.
Objectifs spécifiques liés aux activités d’enseignement et d’apprentissage
•
•
•
Expliquer le phénomène de décharge sous différentes pressions
Mettre de l’avant des preuves que les rayons cathodiques sont composés
d’électrons
Décrire le contexte et le but de l’expérience de la goutte d’huile de Millikan
Dans cette activité d’apprentissage, vous apprendrez des choses relatives à un
phénoméne qui a déconcerté les scientifiques du 19e siècle. De soi-disant mystérieux rayons sont observés quand un courant direct à fort voltage est appliqué à
travers un tube de verre sous vide, paré d’au moins deux électrodes, une cathode
ou électrode négative et une anode ou électrode positive, dans une configuration
connue sous le nom de diode. Nous en apprendrons plus sur une expérience ingénieuse qui a démontré la nature corpusculaire des charges électriques.
Lectures obligatoires Lecture 1 : A Look Inside the Atom
Référence: http://www.aip.org/history/electron/jjhome.htm
Résumé : Cet article traite des travaux de J.J. Thompson sur les rayons cathodiques, qui ont abouti à la découverte de l’électron comme partie
fondamentale de l’Atome. Suivez les liens en cliquant sur next.
Lecture 2 : Nobel Prize Lecture on Cathode Rays
Référence : http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1905/lenardlecture.html
Résumé : Dans le contexte de vos connaissances actuelles, ceci est une lecture
assez légère, mais informative sur les rayons cathodiques et les opinions
fausses de l’époque.
Justification : C’est un exposé du prix Nobel de physique de 1905, Philipp
Lenard. Cette lecture sera très motivante.
Lecture 3 : The Millikan Oil Drop Experiment
Référence: http://hep.wisc.edu/~prepost/407/millikan/millikan.pdf
Résumé : C’est un bon article sur les aspects pratiques de l’expérience de la
goutte d’huile de Millikan.
Justification : Le matériel présenté est bon et pertinent au cours.
Référence : http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/crookestube/
Description : Cet applet vous permet de voir comment le tube rayonne avec
plus de voltage. Il est possible de modifier le voltage à laide d’une barre
glissante afin de modifier le courant électrique dans le tube. Comme le
courant est augmenté, les électrons commencent à ioniser les gaz emprisonnés dans le tube, les faisant rayonner d’une couleur bleue fluorescente.
Au fur et à mesure que les électrons ionisants passent sur la croix, une
ombre apparaît à un bout du tube électronique.
Référence : http://www.physchem.co.za/Static%20Electricity/Millikan.htm
Description : Cet article contient un condensé de la théorie de l’expérience
de la goutte d’huile de Millikan et une expérience virtuelle est également
fournie.
Référence : http://www68.pair.com/willisb/millikan/experiment.html
Description : Il s’agit d’un applet sur l’expérience de la goutte d’huile de
Millikan. Lisez le texte contenu dans ce lien et puis cliquez «here » pour
observer une jolie simulation de l’expérience de Millikan. Faites glisser
la barre de champ électrique pour changer le champ électrique entre les
plaques et notez l’effet sur les gouttes d’huile. Plus le champ augmente,
de plus en plus de gouttes sont attirées vers le haut sur la plaque chargée
positivement.
Référence : http://physics.nad.ru/Physics/English/top_ref.htm#mill
Description : Ce fichier contient des animations des dix plus belles expériences
scientifiques. L’expérience de Millikan est la troisième. Allez également
voir les vidéos.
Liens utiles
Ressource #1
Titre : Investigating Cathode Rays
URL : http://schools.cbe.ab.ca/b858/dept/sci/teacher/zubot/Phys30notes/investnurays/investnurays.htm
INVESTIGATING NEW RAYS
• Dalton, in 1808 proposed that matter is made of atoms.
All substances were either made of single atoms or combinations of atoms (molecules).
• He thought that atoms were indivisible.
• In the 20th century, experiments showed that atoms
were divisible. As a result, new particles and forces were
found.
Description:
Description : Les propriétés des rayons cathodiques sont expliquées et illustrées.
Justification : C’est un bon article sur les propriétés des rayons cathodiques.
Vous le trouverez probablement très intéressant.
A schematic diagram of a Crookes tube apparatus. A is a low voltage power supply to
heat cathode C (a «cold cathode» was used by
Crookes). B is a high voltage power supply to
energize the phosphor-coated anode P. Shadow
mask M is connected to the cathode potential
and its image is seen on the phosphor as a nonglowing area.
Source: http://en.wikipedia.org/Image:Crookes Tube.svg.
• Dalton, in 1808 proposed that matter is made of atoms.
All substances were either made of single atoms or combinations of atoms (molecules).
• He thought that atoms were indivisible.
• In the 20th century, experiments showed that atoms
were divisible. As a result, new particles and forces were
found.
Description:
Ressource #2
Titre : Cathode Rays
URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Cathode_ray
A schematic diagram of a Crookes tube apparatus. A is a low voltage power supply to
heat cathode C (a «cold cathode» was used by
Crookes). B is a high voltage power supply to
energize the phosphor-coated anode P. Shadow
mask M is connected to the cathode potential
and its image is seen on the phosphor as a nonglowing area.
Description : Une présentation encyclopédique des rayons cathodiques incluant
la définition, les propriétés, l’histoire et les applications.
Justification : C’est un bon article avec nombre de liens contenant du matériel
pertinent à l’activité.
Ressource #3
Titre : The Cathode Ray Tube
URL : http://www.physics.brown.edu/physics/demopages/Demo/modern/demo/
7b3510.htm
Captures d’écran :
Une vieille version du tube cathodique
Description : On y décrit un tube cathodique.
Justification : Cet article fait partie d’une série de sommaires de concepts en physique atomique. Suivez les liens pour naviguer à travers les différents sujets.
Ressource #4
Titre : The Oil Drop Experiment
URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Oil-drop_experiment
A Simplified scheme of Millikan’s oil-drop experiment.
Description : L’expérience de la goutte d’huile de Millikan est décrite en incluant
le contexte, la procédure expérimentale, la théorie et le commentaire de Feynman
sur le traitement des données de Millikan.
Justification : C’est une présentation encyclopédique sur l’expérience de la goutte
d’huile de Millikan. Les liens dans l’article sont utiles et complémentaires.
(principaux éléments théoriques)
Rayons cathodiques
Les rayons cathodiques sont les faisceaux d’électrons observables dans les tubes
électroniques, c’est-à-dire des tubes sous vide qui comportent au moins deux
électrodes, une cathode (électrode négative) et une anode (électrode positive)
dans une configuration connue sous le nom de diode.
Les propriétés des rayons cathodiques
En présence d’air, une étincelle ne s’étend pas très loin de la source, la cathode.
Cependant, sous un vide partiel, l’étincelle se rend plus loin.
Faisceaux violets à une pression de p = 2,7 kPa
Quand on évacue l’air du tube, les électrodes : l’anode et la cathode sont connectées par un ou plusieurs faisceaux violets, tel qu’illustré dans le schéma ci-haut.
À une pression moindre, une lueur rose remplit le tube en entier.
En continuant à évacuer de l’air, la lueur rose se concentre autour de l’anode et
une lueur bleue autour de la cathode, tel qu’illustré ci-haut. L’espace entre les
lueurs est sombre et est appelé l’espace noir de Faraday.
En réduisant encore la pression, l’espace noir s’étend et la couleur aux électrodes
diminue jusqu’à ce que le tube devienne obscur, excepté une petite lueur autour
de l’anode, tel qu’illustré ci-dessous. La région sombre est appelée l’espace noir
de Crooke.
Pression dans le tube p = 1,3 Pa ou moins
La lueur dans le tube est en partie due à la lumière émise par les atomes gazeux
quand leurs électrons de désexcitent; la recombinaison des électrons et des ions
positifs durant les collisions des particules est également en cause.
Les stries sont causées par l’alternance des ionisations et des recombinaisons
dans le tube. Les bandes noires, les espaces noirs de Faraday et de Crooke, sont
situés là où les ionisations dues aux collisions entre les ions et les atomes neutres
ont lieu principalement. Les atomes gazeux absorbent de l’énergie ce qui excite
leurs électrons et ionise les atomes ; donc, aucune lumière n’est émise. Les bandes
lumineuses sont des endroits où une lumière est émise soit par la désexcitation des
électrons durant la recombinaison avec les ions positifs, soit par la désexcitation
des électrons au sein des atomes excités.
Les recherches sur les rayons cathodiques ont révélé les propriétés suivantes :
1. Les rayons cathodiques se déplacent en ligne droite et projettent une
ombre.
2. Une roulette placée sur le chemin d’un rayon cathodique se met à tourner, indiquant que le rayon est composé de particules, se déplaçant de
la cathode vers l’anode et qu’elles ont de l’énergie et une quantité de
mouvement.
3. Les rayons cathodiques peuvent être déviés par un champ magnétique et
par un champ électrique, ce qui révèle que ce sont des particules chargées
négativement.
4. Les mesures de rapport charge-masse révèlent l’identité des particules
sans égard au matériel cathodique ou du gaz dans le tube.
5. Thompson a appelé la particule du rayon cathodique l’électron.
L’expérience de la goutte d’huile de Millikan
Adapté de Wikipédia, l’encyclopédie libre http://en.wikipedia.org/wiki/Oildrop_experiment
Robert A. Millikan en 1891
Procédure expérimentale
Schéma simplifié de l’expérience de la goutte d’huile de Millikan
Ce schéma illustre une version simplifiée de l’installation de Millikan. Un
champ électrique est fourni par une paire de plaques parallèles et horizontales
avec une grande différence de potentiel entre les deux. Des gouttes d’huile sont
laissées à dériver entre elles. En faisant varier le voltage, les gouttes montent ou
descendent.
On fait tomber une goutte avec le champ électrique fermé. La force d’attraction
agissant sur la goutte est donnée par la loi de Stoke :
F = 6π aη v
Où v est la vitesse (c’est-à-dire la vitesse en absence de champ électrique) de la
goutte, h est la viscosité de l’air et a est le rayon de la goutte.
Le poids de la goutte
W =
4
3
π a3ρ g
La goutte est en l’air, elle subit une remontée
W up =
4
3
π a 3 dg
La force descendante résultante :
W res =
4 3
π a g (ρ − d )
3
Où r et d sont, respectivement, la densité de l’huile et de l’air.
Maintenant, à vitesse terminale, la force descendante résultante est la force
d’attraction
4
3
π a 3 g ( ρ − d ) = 6πη av
.1
African Virtual University 45
1
⎛
⎞2
9η v
=> a = ⎜
⎜ 2 ( ρ − d ) g ⎟⎟
⎝
⎠ 2.2
Source: http://www.phys.ufl.edu/~hill/teaching/2005/2061/
links/Millikan.pdf
Source : http://www.phys.ufl.edu/~hill/teaching/2005/2061/links/Millikan.pdf
Fig. 2.1 Schematic diagram of the Millikan oil-drop
Figure 2.1 apparatus.
Schéma de l’appareil de la goutte d’huile de Millikan.
Source: http://www.phys.ufl.edu/~hill/teaching/2005/2061/
links/Millikan.pdf
Fig. 2.1 Schematic diagram of the Millikan oil-drop
apparatus.
Figure 2.2 Une goutte d’huile dans le nuage transportant un ion de charge e,
tombant à vitesse terminale, c’est-à-dire mg = bv.
Si q est la charge de la goutte et E est le champ électrique entre les plaques de
sorte que la goutte se déplace vers le haut avec une vitesse uniforme v1, alors
La résultante de la force montante = Eq =
Donc
4
3
π a 3 (p − d )g
4
Eq − πa 3 (p − d )g = 6πηav1
3
De l’équation 2.1 nous avons :
E q = 6πη a (v + v1 )
2.3
D’après l’équation 2.1 et 2.2, l’équation 2.3 devient :
1
6πη
q=
E
⎡
⎤2
9vη
⎢
⎥ (v + v1 )
2
ρ
−
d
g
(
)
⎣
⎦
2.4
1. Expliquez comment la foudre est formée.
2. En utilisant seulement le champ magnétique, comment peut-on savoir
que les rayons cathodiques ont une charge négative?
3. Un électron entre dans un champ magnétique d’une densité de flux B =
1 T avec une vitesse de 1x106 m/s à un angle de 450 dans le champ. Déterminez la magnitude et la direction de la force agissant sur l’électron
dans le champ.
4. Comment Thompson a-t-il pu déterminer que les rayons cathodiques
étaient les mêmes indépendamment du matériel cathodique et du gaz dans
le tube?
5. Qu’est-ce que Robert Millikan a-t-il découvert grâce à sa célèbre expérience.
Tâche 2.1 Discussion de groupe
Consultez le lien suivant et discutez ce dont traite l’article. http://www1.umn.
edu/ships/ethics/millikan.htm
Y-a-t-il des leçons de vie à en tirer ?
Tâche 2.2 L’installation expérimentale e/m de Thompson
Source : http://schools.cbe.ab.ca/b858/dept/sci/teacher/zubot/Phys30notes/investnurays/investnurays.htm
Un schéma de l’appareil de Thompson utilisé pour déterminer le rapport chargemasse d’un électron est montré ci-dessus. (a) Décrivez comment la trajectoire
des rayons cathodiques est affectée par (i) un champ électrique entre des bobines
de déflexion dirigé dans la direction z négative, (ii) un champ magnétique entre
la bobine magnétique dirigée dans la direction y. (b) Expliquez les principes
physiques applicables dans a(i) et a(ii). (c) Repérez deux appareils utiles qui sont
dérivés de l’appareil de Thompson.
Devoir 2.1
1. La charge d’un électron est d’environ 1.6x10-19 C. En supposant qu’un
champ électrique de 3x104 Vm-1, estimez le rayon d’une goutte d’huile dont
le poids pourrait être équilibré par les forces électriques sur l’électron.
2. Dans l’expérience de rapport charge-masse de Thompson, il est fait en sorte
que l’électron passe à travers une région dans laquelle les champs électriques et magnétiques sont perpendiculaires l’un à l’autre. (a) Démontrez
que
e
v
, où v est la vitesse de l’électron, r est le rayon d’un trajet
=
m rB
circulaire et B est le champ magnétique. (b) En tenant compte du fait que
pour que l’électron se déplace circulairement et non en trajet hélicoïdal,
les forces électriques et magnétiques doivent être égales, démontrez que
e
E
, où E est le champ électrique.
=
m
rB 2
Le matériel appris dans cette activité peut être enseigné dans les écoles secondaires
avec des modifications minimes.
Activité 3 : Le spectre atomique
Cette activité vous prendra 40 heures. Dans cette activité vous serez amené à
faire une série de lectures, à regarder des vidéos multimédias, à consulter des
exemples et à répondre à des questions et à des problèmes d’autoévaluation. Il
est fortement recommandé de faire toutes les activités, de consulter toutes les
références obligatoires et le plus de liens utiles possibles.
Objectifs spécifiques aux objectifs d’enseignement et d’apprentissage
•
•
•
Résoudre des problèmes à l’aide de la loi de Moseley
Utiliser le modèle vectoriel de l’atome pour résoudre des problèmes et
expliquer des propriétés
Expliquer la fine structure du spectre
Dans l’activité d’apprentissage 3, vous apprendrez l’unicité des émissions des
différents éléments. Chaque élément possède sa propre empreinte de spectre
caractéristique. Ce phénomène a beaucoup d’importance en sciences et en technologies.
Lecture 1
Référence : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hyde.html
Résumé : Cette lecture traite en profondeur, et avec maintes illustrations, de la
physique de l’atome d’hydrogène, des niveaux d’énergie, de la transition
des électrons et des structures fines et hyperfines.
Justification : Cet article traite de sujets liés à l’activité.
Lecture 2 : Emission Spectrum of Hydrogen
Référence : http://chemed.chem.purdue.edu/genchem/topicreview/bp/ch6/
bohr.html
Résumé : Cet article traite le spectre d’émission de l’hydrogène et inclut des
problèmes pratiques résolus.
Justification : Cet article couvre des sujets importants en relation avec ce
module et les problèmes pratiques en font une lecture très importante.
Lecture 3 : Hydrogen Atom
Référence : An Introduction to the Electronic Structure of Atoms and Molecules
URL: http://www.chemistry.mcmaster.ca/esam/Chapter_3/intro.html
Résumé : C’est la troisième section d’un article du Pr. Richard F.W. Bader,
professeur de Chimie à l’Université McMaster, Hamilton, Ontario. On y
traite l’Atome d’hydrogène, l’évolution des densités de probabilité, donc
les orbitales, et finalement le modèle vectoriel de l’atome d’hydrogène.
Justification : Le matériel présenté dans cet article est bon et pertinent pour
cette activité.
Lecture 4 : Mathematical Solution of the Hydrogen Atom
Référence: http://www.mark-fox.staff.shef.ac.uk./PHY332/atomic_physics2.
pdf
Résumé : Cet article donne une méthodologie pour résoudre les problèmes de
l’Atome d’hydrogène en tant que problème de mécanique quantique.
Justification : Cet article est pertinent pour le cours puisque vous verrez comment les trois nombres quantiques n, l et m vont de soi.
Lecture 5 : Fine Structure of Hydrogen Atom
Référence : http://farside.ph.utexas.edu/teaching/qmech/lectures/node107.
html
Résumé : Cet article fait partie d’une série de notes de conférence en mécanique quantique non relativiste.
Justification : Le matériel présenté est bon, mais nécessite une bonne connaissance de la mécanique quantique.
Référence : http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/BohrModel/Flash/BohrModel.html
Résumé : On y simule l’excitation d’un atome d’hydrogène. L’électron excité
retourne à l’état fondamental accompagné d’une émission de photon.
L’énergie du photon projectile varie entre 10,2 eV et 13,2 eV, juste avant
l’énergie d’ionisation de 13,6 eV. La couleur de la ligne émise dépend de
l’énergie d’excitation; par exemple, une énergie d’excitation de 10,2 eV
excite l’électron de n = 1 à n = 2, la désexcitation est accompagnée de
l’émission d’une ligne rouge. Une énergie d’excitation de 13,2 eV excite
l’électron de n = 1 à n = 6 et donne lieu à une série de lignes : une ligne
violette pour une désexcitation de n = 6 à n = 1, une ligne bleue pour une
désexcitation de n = 6 à n = 3 et une ligne bleue pour une désexcitation
de n = 3 à n = 1.
Liens utiles
Ressource #1
Titre : Modification of the Bohr model
URL : http://theory.uwinnipeg.ca/physics/bohr/node5.html#SECTION0028
40000000000000000
Résumé : Malgré le succès du modèle de Bohr, il y avait toujours certaines
lacunes. Par exemple, du côté expérimental, des analyses détaillées du
spectre d’émission de l’hydrogène n’ont révélé qu’une seule ligne d’émission était parfois composée de deux, ou plus, lignes très rapprochées, ce
qui n’était pas présent dans le modèle de Bohr. On a donc cherché une
meilleure base théorique de l’atome d’hydrogène.
Justification : Cet article fait partie d’une série de notes de conférences en
physique atomique. Le matériel présenté est pertinent pour le module.
Ressource #2
Titre : Bohr’s model of the Hydrogen Atom
URL: http://www.ux1.eiu.edu/~cfadd/1160/Ch29Atm/Bohr.html
Capture d’écran:
Résumé : Après
avoir été convaincu de la validité générale du modèle nucléaire de l’atome de
Rutherford, Niels Bohr a proposé un modèle planétaire qui a pu expliquer en
grande partie le spectre observé de l’hydrogène.
Justification : Cet article fait partie d’une série de notes de conférence sur la
physique atomique. Suivez les liens pour plus d’informations.
Ressource #3
Titre : Emission Line Spectrum, Absorption Line Spectrum and a Continous
Spectrum
URL : http://www.physics.brown.edu/physics/demopages/Demo/modern/demo/
7b1010.htm
Capture d’écran
Résumé : On montre dans cet article les spectres de lignes d’émission de différents
tubes de spectre gazeux, les lignes de spectre d’absorption de gaz de sodium à
basse pression et le spectre continu d’une source de lumière blanche.
Justification : Cet article fait partie d’une série de notes de conférence sur la
physique atomique. Suivez les liens pour plus d’informations.
Ressource #4
Titre : Spectra of Gas Discharges
URL: http://laserstars.org/data/elements/index.html
Hydrogen
Helium
Résumé : Cet article montre le spectre d’éléments sous une décharge électrique.
Trente-six spectres atomiques sont montrés en couleur. Vous aurez assurément
du plaisir à observer ces spectres.
Justification : Le matériel qui y est présenté est pertinent pour l’activité d’apprentissage.
(éléments théoriques principaux)
Une solution en résumé de l’équation de Schrödinger de l’atome d’hydrogène
Réduction d’un problème à deux corps en problème à un corps
L’atome d’hydrogène est un système à deux corps interagissant par la loi de
Coulomb. Il peut être réduit en un système à un corps de masse réduite :
μ=
M p me
M p + me
Où Mp est la masse du proton et me est la masse de l’électron.
L’équation de Schrödinger pour l’Atome H est donc :
⎡− h2 2
∇ + V(r)
⎢
2
μ
⎣
⎤
⎥ψ (r ) = E ψ (r ) ⎦
3.1
Nous généralisons le problème pour inclure le cas d’un atome semblable à l’hydrogène qui contient un électron se déplaçant autour d’un noyau de charge +Ze
pour que son potentiel devienne :
V (r ) =
− Ze 2
4π ε o r
L’opérateur laplacien dans des coordonnées sphériques
À cause de la symétrie sphérique de la fonction potentielle, l’équation 3.1 se
manipule plus facilement dans des coordonnées sphériques r, θ et φ..
Les coordonnées sphériques sont définies par les transformations données dans
l’équation 3.2.
Ζ
(r, θ,φ )
z
θ
x
r
y
Y
φ
X
Figure 3.1 La position d’une particule dans un système à deux coordonnées
x = rsinθ cosφ
(3.2.1)
y = rsinθ sinφ
(3.2.2)
z = rcos θ
(3.2.3)
r = x 2 + y 2 + z 2 (3.2.4)
⎛ z⎞
θ = cos −1 ⎜ ⎟ ⎝r ⎠
(3.2.5)
⎛ y⎞
φ = tan −1 ⎜ ⎟ ⎝ x⎠
(3.2.6)
Et la transformation de coordonnées cartésiennes dans des coordonnées sphériques
est facilitée par le théorème de dérivation des fonctions composées :
∂r ∂
∂θ ∂
∂φ ∂
∂
=
+
+
∂ xi ∂ xi ∂ r ∂ xi ∂ θ ∂ xi ∂ φ
Où xi représente x, y ou z.
Donc finalement, l’opérateur laplacien dans des coordonnées sphériques polaires
peut être montré comme :
⎛∂2 2∂ ⎞ 1 ⎡ 1 ∂ ⎛
∂ ⎞
1 ∂ 2 ⎤ 3.3
⎟+
∇ = ⎜⎜ 2 +
⎜ sin θ
⎟+
⎢
⎥
r ∂r ⎟⎠ r 2 ⎣ sin θ ∂θ ⎝
∂θ ⎠ sin 2 θ ∂φ 2 ⎦
⎝ ∂r
2
En indiquant la partie angulaire de l’opérateur laplacien par L2 et la partie radiale
par
ℜ , l’opérateur laplacien devient :
∇2 = ℜ +
1
2
L2
Et donc l’équation de Schrödinger pour l’atome d’hydrogène devient :
⎡ h2 ⎛
1
⎞
ℜ + 2 L 2 ⎟ +V ( r
⎢−
⎜
r
⎠
⎢⎣ 2μ ⎝
⎤
) ⎥ψ ( r ,θ , φ ) = E ψ ( r ,θ , φ ) ⎥⎦
3.4
La méthode de séparation des variables ψ ( r , θ , φ ) = R ( r )Y ( θ , φ )
Mène à une équation différentielle radiale et à une équation différentielle dépendante :
ℜ R( r )+
2μ
h
2
[E
− V (r ) ] R ( r ) =
Λ
r2
R( r )
L 2 Y ( θ , φ ) = − Λ Y ( θ , φ ) 3.5
3.6
La méthode de séparation des variables peut être répétée à l’équation angulaire
dépendante par application de la solution fondamentale :
Y (θ , φ ) = P (θ )Φ (φ )
Qui mène à deux équations différentielles additionnelles dans q et f. L’équation
différentielle dépendante q est donnée par :
1 d ⎛
dP ⎞
m2 P
sin
θ
+
Λ
P
−
=0
sin θ dθ ⎜⎝
dθ ⎟⎠
sin2 θ
3.7
Où Λ = l (l + 1 )
Et l’équation différentielle dépendante f est donnée par
d 2Φ
dφ
2
+ m 2Φ = 0
3.8
3.9
L’équation 3.8 peut être résolue pour donner
Φ (φ ) = A e i m φ
La solution fondamentale Y (θ , φ ) = P (θ )Φ (φ ) prend la forme fonctionnelle :
Y l (η , φ ) = C e
m
m
l
i mφ
m
2
⎛ 1 ⎞ ⎛ d ⎞
⎜⎜
⎟ ⎜
⎟
2 ⎟
d
η
1
−
η
⎠
⎝
⎠ ⎝
l −m
(η
2
)
−1
l
3.10
Qui peut être écrite en termes des fonctions associées de Legendre définies
comme suit :
⎛ 1 ⎞
⎟
Pl (η ) = (− 1) ⎜⎜
2 ⎟
⎝1−η ⎠
m
m/2
m
⎛ d ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ dη ⎠
l −m
(η
2
− 1)
l
3.11
De manière à ce que l’équation 3.10 devienne
m
Y l m (η , φ ) = (− 1) C lm P l m (η )e imφ
3.12
Les fonctions normalisées d’harmonique sphérique prennent la forme :
(−1) m
Y l (η , φ ) = l
2 l!
m
2l + 1
.
4π
(l + m)! m
P l (η )e i mφ (l − m)!
3.13
Et devient en somme :
(l + m)! imφ ⎛⎜ 1 ⎞⎟
e
(l − m)! ⎜⎝ 1 − η 2 ⎟⎠
1 2l + 1
Y l (η , φ ) = l
2 l ! 4π
m
m/2
⎛ d ⎞
⎜⎜
⎟⎟
d
η
⎝
⎠
l −m
(η
2
)
−1
l
Nombres quantiques
Deux nombres quantiques ressortent de l’équation angulaire dépendante, soit le
nombre quantique orbital l et le nombre magnétique quantique m.
Le nombre magnétique quantique spécifie l’orientation du vecteur du moment
angulaire quant à l’axe de rotation choisi et le nombre angulaire quantique spécifie
la forme de la densité de probabilité ou de l’orbitale.
La solution de l’équation radiale différentielle mène à une solution radiale normalisée
⎛ Z ⎞
R nl ( r ) = −2 ⎜
⎟
⎝ nao ⎠
3/2
l
( n − l − 1 )! ⎛ 2 Zr ⎞ − Zr / nao 2l +1 ⎛ 2 Zr ⎞
L n+ l ⎜
⎟ e
⎟
3 ⎜
n [( n + l )! ] ⎝ nao ⎠
⎝ nao ⎠
Où n est le nombre quantique principal, a0 est le rayon de Bohr et Z est le
nombre atomique.
Les solutions radiales sont les fonctions propres de l’énergie de l’atome d’hydrogène. Les valeurs propres sont obtenues par la définition du nombre quantique
principal n.
n2 =
μ 2 k 2 Z 2e4
h 2 2μ E
∴En =−
kZ 2 e 2
2a o n 2
a0 =
où
h2
μ ke 2
⎛ 2 Zr ⎞
L 2nl++l1 ⎜
⎟ est le polynôme de Laguerre associé défini par :
⎝ na0 ⎠
L 2nl++l1 (
⎛ d ⎞
ρ)=⎜
⎟
⎝ dρ ⎠
2 l +1 ⎡
⎛ d ⎞
⎢e ⎜
⎟
⎢⎣ ⎝ d ρ ⎠
ρ
n+ l
⎤
(ρ n+ l e− ρ )⎥⎥ où ρ = 2naZ r
⎦
0
Exemples de solutions radiales normalisées
1. Pour n=1, l=0
⎛ Z
R10 = −2⎜⎜
⎝ nao
⎞
⎟⎟
⎠
3/ 2
⎛ 2 Zr ⎞
⎟⎟
1.1.e− Zr / nao L11 ⎜⎜
⎝ nao ⎠
⎛ 2 Zr ⎞
d ⎡
d
(
)⎤
ρ
−ρ
⎟⎟ =
Et maintenant L11 ⎜⎜
⎢e dρ ρe ⎥ = 1
na
d
ρ
⎣
⎦
⎝ o⎠
⎛ Z ⎞
⎟⎟
=> R10 = −2⎜⎜
⎝ nao ⎠
⎛Z⎞
∴R10 =2⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ao ⎠
3/ 2
e− Zr / nao x (−1)
3/ 2
e− Zr / ao
2. Pour n=2, l=0
⎛ Z
R 20 (r ) = −2⎜⎜
⎝ 2a o
⎞
⎟⎟
⎠
3/ 2
⎛ 2 Zr ⎞
0
1 ⎛ 2 Zr ⎞ − Zr / 2 ao 1 ⎛ 2 Zr ⎞
⎜
⎟ e
⎟⎟
L 2 ⎜⎜
2.8 ⎜⎝ 2a o ⎟⎠
⎝ 2a o ⎠
d ⎡
d2
⎤
ρ
⎟⎟ =
Et maintenant L12 ⎜⎜
ρ 2 e− ρ ⎥
⎢e
2
⎦
⎝ 2a o ⎠ dρ ⎣ dρ
⎛ 2 Zr ⎞
2 Zr
2 Zr
⎟⎟ = 2.
−4 =
−4
2a o
ao
⎝ 2a o ⎠
==> L12 ⎜⎜
⎛ Z ⎞
⎟⎟
R 20 (r ) = −2⎜⎜
⎝ 2 ao ⎠
⎛ Z ⎞
⎟⎟
∴R 20 (r ) = ⎜⎜
2
a
⎝ o⎠
3/ 2
3/ 2
⎛ 2 Zr
⎞
1
.1.e−Zr / 2 ao ⎜⎜
− 4 ⎟⎟
4
⎝ ao
⎠
⎛
Zr ⎞
⎜⎜ 2 − ⎟⎟e− Zr / 2 ao
ao ⎠
⎝
3. Pour n=2, l=1
⎛ Z
R 21 (r ) = −2⎜⎜
⎝ 2a o
⎛ Z
= −2⎜⎜
⎝ 2a o
⎞
⎟⎟
⎠
3/ 2
⎞
⎟⎟
⎠
3/ 2
1 ⎛ 2 Zr ⎞ − Zr / 2 ao 3 ⎛ 2 Zr ⎞
⎟⎟
⎜
⎟e
L 3 ⎜⎜
2
a
2(3!) 3 ⎜⎝ 2a o ⎟⎠
⎝ o⎠
1 1 ⎛ 2 Zr ⎞ − Zr / 2 ao 3 ⎛ 2 Zr ⎞
⎜
⎟e
⎟⎟
L 3 ⎜⎜
6 2.6 ⎜⎝ 2a o ⎟⎠
⎝ 2a o ⎠
⎛ d ⎞
⎟⎟
Et maintenant L (ρ ) = ⎜⎜
⎝ dρ ⎠
3
3
⎛ Z ⎞
⎟⎟
==> R 21 (r ) = −2⎜⎜
⎝ 2 ao ⎠
⎛ Z ⎞
⎟⎟
∴R 21 (r ) = ⎜⎜
⎝ 2 ao ⎠
3/ 2
3/ 2
3
⎡ ρ ⎛ d ⎞3 3 −ρ ⎤
⎟⎟ (ρ e )⎥ = 6
⎢e ⎜⎜
⎢⎣ ⎝ dρ ⎠
⎥⎦
1 1 ⎛ 2 Zr ⎞ −Zr / 2 ao
⎜
⎟e
(− 6)
6 12 ⎜⎝ 2ao ⎟⎠
1 ⎛ Zr ⎞ − Zr / 2 a o
⎜ ⎟e
3 ⎜⎝ ao ⎟⎠
Dégénérescence des niveaux d’énergie de l’hydrogène
Les fonctions propres appartenant à la même valeur propre sont dites dégénérées.
L’énergie En n’est dépendante que du nombre quantique principal n. Cependant,
pour chaque valeur de n, il y a des valeurs n de l, l = 0, 1, …, n -1. Pour chaque
valeur de l il y a (2l + 1) valeurs de m. La dégénérescence totale de chaque niveau
d’énergie est donc la somme
n −1
∑ (2 l + 1 ) = n 2
l =0
La fonction d’onde totale de l’hydrogène
La fonction d’onde totale de l’hydrogène, excepté pour le temps, est la fonction
de produit :
ψ nlm ( r ,θ , φ ) = R nl ( r )Y lm ( θ , φ )
On peut noter que là où la forme des fonctions propres dépend des valeurs des
trois nombres quantiques n, l et m, les valeurs propres de l’énergie ne dépendant
que du nombre quantique principal n.
Exemples de fonctions d’ondes spatiales normalisées de l’hydrogène :
ψ 100 = R 10 ( r )Y00 ( θ , φ ) =
ψ 200 = R 20Y00 =
ψ 210 = R 21Y10 =
ψ 211 = R 21Y11 =
1
1
1
π ao
3/2
e− r / a o
1
⎛
r ⎞ − r / 2a o
2
−
⎜
⎟e
ao ⎠
4 2π ao3 / 2 ⎝
1
1
4 2π ao
1
1
8 π ao
3/2
3/2
r − r / 2a o
e
cos θ
ao
r − r / 2a o
e
sin θ eiφ
ao
, etc.
La densité de probabilité radiale
Par définition, la densité de probabilité d’un électron dans un état propre est
donnée par le produit :
ψ
*
n l mψ n l m
*
= R *n l Pl*mΦ m
R n l Pl mΦ m
Donc, dans sa forme brute, la densité de probabilité est une fonction de trois
variables qui sont plutôt difficile à représenter graphiquement directement. Il
est par conséquent pratique courante de traiter de la densité de probabilité sur
chaque variable séparément.
La densité de probabilité radiale est définie par :
π 2π
Pnl ( r )dr = ∫
*
∫ ψ nlmψ nlmr
sin θ drdθ dφ
0 0
π 2π
2
= r 2 R *nl ( r )R nl ( r )dr ∫
∫
*
*
Plm
PlmΦ m
Φ m sin θ dθ dφ
0 0
Les intégrales au dessus de θ et de φ sont égales à l’unité puisque chacune des
fonctions P et Φ (ainsi que R) sont normalisées séparément.
La densité de probabilité radiale est donc donnée par :
P nl (r )dr = r 2 R nl* (r ) R nl (r )dr 3.14
*
ψ nlm r 2 sin θ drd θ dφ donne la probabilité de trouver un électron dans le
Là oùψ nlm
volume élémentaire dt = r sin θdrdθdφ , l’équation 3.14 donne la probabilité de
trouver l’électron n’importe où avec une coordonnée radiale entre r et r + dr.
2
Visualisation des orbites d’électrons de l’hydrogène
Figure 3.2 Densités de probabilité d’électrons à différents nombres quantiques
Source : http://en.wikipedia.org/wiki/Image:HAtomOrbitals.png
Dans la figure 3.2, l’image à droite montre les premières orbites de l’atome d’hydrogène (les fonctions propres d’énergie). Ce sont des coupes transversales de la
densité de probabilité qui sont codées en couleur (noir=aucune densité, blanc=la
plus haute densité). Le nombre quantique l du moment angulaire est indiqué dans
chaque colonne, en utilisant l’habituel code de lettres spectroscopique (« s » veut
dire l = 0; « p » : 1 =1; « d » : 1=2). Le nombre quantique principal n (=1, 2, 3, …)
est indiqué à la droite de chaque rangée. Pour chaque image, le nombre quantique
magnétique a été réglé à 0, et le plan de la coupe transversale est le plan x z (z
est l’axe vertical). La densité de probabilité dans un espace à trois dimensions
est obtenue en effectuant une rotation autour de l’axe z.
L’état fondamental, c’est-à-dire l’état d’énergie minimal, dans lequel un électron
est habituellement trouvé est le premier, l’état « 1s » (n = 1, l = 0).
Une image avec plus d’orbites est également disponible (avec des nombres n et
l plus élevés).
Remarquez les lignes noires qui sont présentes dans chacune des orbites sauf la
première. Ce sont les « lignes nodales » (qui sont des surfaces nodales en trois
dimensions). Leur nombre total est toujours égal à n-l, qui est la somme du nombre
de nœuds radiaux (égal à n – l – 1) et le nombre de nœuds angulaires (égal à l).
Exemple 3.1 :
Montrez que la fonction d’onde décrivant un électron 1s et un électron 2s est
orthogonale.
Solution :
Électron 1s n=1, l=0 :
⎛Z⎞
ψ 1s = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ a0 ⎠
3/ 2
1 −Zr / a0
e
π
Électron 2s n=2, l=0 :
ψ 2s
⎛Z⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ a0 ⎠
3/ 2
1
4 π
⎛
Zr ⎞
⎜⎜ 2 − ⎟⎟e−Zr / 2 a0
a0 ⎠
⎝
Le produit scalaire devient
*
⎡⎛ Z ⎞3 / 2 1
⎤
− Zr / a0
*
⎜
⎟
⎢
⎥
ψ
ψ
d
τ
=
e
∫ 1s 2 s ∫0 ∫0 ∫0 ⎢⎜⎝ a0 ⎟⎠ π
⎥⎦
all space
⎣
⎡⎛ Z ⎞3 / 2 1 ⎛
⎤
Zr ⎞
⎜⎜ 2 − ⎟⎟e−Zr / 2 a0 ⎥ r 2 sin θdφdθdr
⎢⎜⎜ ⎟⎟
a0 ⎠
⎢⎣⎝ a0 ⎠ 4 2π ⎝
⎥⎦
∞ π 2π
2
(où l’élément sphérique du volume dτ = r sin θdθdφ
=>
∫ψ
*
1s
ψ 2 s dτ
all space
3
∞ π 2π
⎛Z⎞
⎛
1
Zr ⎞
⎜⎜ 2 − ⎟⎟e−3 Zr / 2 a0 r 2 sin θdφdθdr
= ⎜⎜ ⎟⎟
∫
∫
∫
a0 ⎠
⎝ a0 ⎠ 4π 2 0 0 0 ⎝
3
∞π
2π
⎛Z⎞
⎛
1
Zr ⎞ 2 −3 Zr / 2 a0
⎜
⎟
⎜
⎟
=⎜ ⎟
sin θdθdr ∫ dφ
∫ ∫ ⎜ 2 − a0 ⎟⎠r e
⎝ a0 ⎠ 4π 2 0 0 ⎝
0
3
π
⎛ Z ⎞ 1 ∞⎛
Zr ⎞ 2 −3 Zr / 2 a0
⎜
⎟
= ⎜⎜ ⎟⎟
2
−
r
e
dr
sin θdθ
∫
∫
⎜
⎟
a
a
2
2
0 ⎠
⎝ 0⎠
0⎝
0
⎛ Z ⎞ 1 ∞⎛
Zr ⎞
π
⎜⎜ 2 − ⎟⎟r 2 e−3 Zr / 2 a0 dr (− cosθ )0
= ⎜⎜ ⎟⎟
∫
a0 ⎠
⎝ a0 ⎠ 2 2 0 ⎝
∞
⎛ Z ⎞ 1 ⎡ ∞ 2 −3 Zr / 2 a0
Z 3 −3 Zr / 2 a0 ⎤
= ⎜⎜ ⎟⎟
2
r
e
dr
−
r e
dr ⎥
⎢ ∫
a0 ∫0
⎝ a0 ⎠ 2 ⎣ 0
⎦
⎞⎤
⎛Z⎞ 1 ⎡
2!
Z ⎛
3!
⎟
= ⎜⎜ ⎟⎟
− ⎜⎜
⎢2
3
4 ⎟⎥
a
a
(
)
(
)
3
Z
/
2
a
3
Z
/
2
a
2
⎢
0 ⎝
⎝ 0⎠
0
0
⎠⎥⎦
⎣
3
3
3
Donc,
∫ψ
*
1s
ψ 2 s dτ = 0
all space
Exemple 3.2 :
Une forme alternative pour déterminer les polynômes de Laguerre associés
est :
L2nl++l1 ( x) =
[(n + l )!]2
n−l −1
i +1
∑ (− 1)
i =0
xi
(n − l − 1 − i )(
! 2l + 1 + i )!i!
Utilisez cette relation pour trouver le polynomial de Laguerre pour n=2 et l=1 et
vérifiez la constance avec un calcul précédent pour les mêmes valeurs.
Solution :
En substituant n=2 et l=1., nous obtenons
0
i +1
L ( x) = ∑ (− 1)
3
3
i =0
[(3)!]2
(3!) 2
x = (−1)
= −6
(0 − i )(
! 3 + i )!i!
0!3!0!
i
Qui s’accorde avec un résultat précédent pour le même polynôme.
Exemple 3.3 :
La fonction de l’onde radiale décrivant un électron dans un atome semblable à
l’hydrogène est donnée par :
1/ 2
⎛ (2Z / na0 )3 (n − l − 1)! ⎞
⎟
R nl (r ) = −⎜⎜
3
⎟
2n[(n + l )!]
⎝
⎠
e− ρ / 2 ρ l L2nl++l1 (ρ )
Où ρ = (2 Z / na 0 )r et a0 = 4πε 0 h 2 / μe2
Quelle est la probabilité de trouver un électron 1s à r> a0?
Solution :
Pour un électron 1s n=1, l=0 et Z=1, nous obtenons
r=
na0
1
ρ = a0 ρ
2Z
2
⎛1⎞
Et la fonction d’onde R10 (r ) = 2⎜⎜ ⎟⎟
⎝ a0 ⎠
3/ 2
−
e
ρ
2
∞
La probabilité sera donnée par P =
∫ R (r ) R (r )r
*
2
dr
a0
⎡ ⎛ 1 ⎞3 / 2
⎤
= ∫ ⎢2⎜⎜ ⎟⎟ e− ρ / 2 ⎥
a
⎥⎦
2⎢
⎣ ⎝ 0⎠
∞
=
1
*
⎡ ⎛ 1 ⎞3 / 2
⎤⎛ a ⎞ 2 ⎛ a ⎞
⎢2⎜⎜ ⎟⎟ e− ρ / 2 ⎥⎜ 0 ρ ⎟ d⎜ 0 ρ ⎟
⎢⎣ ⎝ a0 ⎠
⎥⎦⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
∞
2 ∫2
ρ 2 e − ρ dρ
∞
=
1 −ρ
1
[
e (− ρ 2 − 2 ρ − 2 )] = [0 − e−2 (− 4 − 4 − 2 )]= 5e−2
2
2
2
➡ P = 0.6767.
Exemple 3.4
Déterminez < r > pour une fonction d’onde 2p.
Solution
De ρ = (2 Z / na 0 )r , pour n=2 et Z=1, nous avons r=ra0.
Donc,
∞
0
⎡
1 ⎛ 1
⎜⎜
= ∫⎢
⎢
a
0 2 6 ⎝ 0
⎣⎢
∞
*
r = ∫ R 21 (r ) rR 21 (r )r 2 dr
3
⎡
ρ ⎤
−
⎞2
1 ⎛ 1
2 ⎥
⎟⎟ ρe
⎜
(
ρa 0 )⎢
⎥
⎢ 2 6 ⎜⎝ a 0
⎠
⎦⎥
⎣⎢
3
ρ ⎤
⎞2 −2 ⎥
⎟⎟ ρe (ρa 0 )2 d (ρa 0 )
⎥
⎠
⎦⎥
∞
=
a0
a
ρ 5e− ρ dρ = 0 (5!) = 5a0
∫
24 0
24
Représentation vectorielle du moment angulaire d’orbite permise
Le problème de valeur propre pour la fonction dépendante f est :
L̂ zΦ (φ ) = h mΦ (φ ) où le nombre quantique m=0, l-1, l-2,…
Le problème de valeur propre pour la fonction dépendante (θ , φ ) est :
L̂ 2Y (θ , φ ) = Λ h 2Y (θ , φ ) où Λ = l (l + 1 ) et le nombre quantique orbital l=0,
1, 2, 3, …n-1.
Pour une valeur donnée de l, la magnitude du moment angulaire orbital :
r
L = l( l + 1 )h
Les valeurs possibles de la composante Lz peuvent être représentées schématiquement en tant que projections d’un vecteur de longueur L = l (l + 1)h sur
l’axe z.
Nous illustrons dans la figure 3.3 les projections permises pour le moment angulaire orbital pour les cas de l=1, 2 et 3.
Figure 3.3 Projections de vecteur permises pour l=1, 2 et 3
Le vecteur représentant le moment angulaire orbital total prend n’importe laquelle
des orientations distinctes (2l+1) selon l’axe z choisi. Il est permis d’avoir des
r
composantes quantifiées le long de l’axe choisi. La propriété du vecteur L de
ne faire qu’un nombre fini d’inclinaisons distinctes avec un axe donné est parfois
appelée la quantification de l’espace.
r
Le vecteur L devrait être perçu comme couvrant un cône avec l’angle du vecteur
donné par
m = L cos θ ⇒ cos θ =
m
l (l + 1)
Le spin
Définition du spin
Chaque particule élémentaire, c’est-à-dire les protons, les neutrons, les électrons,
etc. possèdent un moment angulaire intrinsèque appelé spin, symbole S.
Il n’y a pas d’analogue classique qui permettrait une définition du spin comme :
r r r
S = r ∧ ps
D’une manière similaire à la définition du moment angulaire orbital :
r r r
L=r ∧p
La magnitude de S est
1
h . Le spin est une propriété interne d’une particule,
2
comme la masse ou la charge. Il constitue une coordonnée additionnelle ou un
degré de liberté dans les formulations de mécanique quantique.
Règles de commutation
Ce sont exactement les mêmes que celles du moment angulaire orbital, c’est-àdire :
∧
⎡∧ ∧ ⎤
S
x ,S y = i h S z , etc.
⎢⎣
⎥⎦
⎡ ∧2 ∧ ⎤
⎢ S ,S z ⎥ =0 , etc.
⎣
⎦
∧
⎡∧ ∧ ⎤
S
=
h
S
z ,S +
+ , etc.
⎢⎣
⎥⎦
Les fonctions d’onde du spin ou spineurs
Ils sont dénotés par s μ où s=1/2 et m = ±1/2
De façon à ce qu’un état de spin « up » sera dénoté par
⎛1 ⎞ 1 1
χ up = ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝0⎠ 2 2
Et un état de spin « down » par
⎛0⎞ 1 1
χ down = ⎜⎜ ⎟⎟ = ,−
⎝1 ⎠ 2 2
∧
Les spineurs sont des fonctions propres simultanées des opérateurs de spin S
∧
et S z , c’est-à-dire
2
11
1⎛1 ⎞ 1 1
3
11
= ⎜ + 1⎟h 2
= h2
22
2⎝2 ⎠ 2 2
4
22
S2
➡ S2
Sz
1 1
3
1 1
,−
= h 2 ,−
2 2
4
2 2
11
1 11
= h
22
2 22
Et S z
1 1
1 1 1
,−
= − h ,−
2 2
2 2 2
Donc, l’algèbre des opérateurs de moments angulaires orbitaux peut être appliquée
directement à ceux des opérateurs de spin.
Le vrai atome d’hydrogène
Dans ce dont nous avons discuté jusqu’à présent, nous avons adopté une approche
simplifiée. Seule l’interaction de Coulomb a été prise en compte dans l’Hamiltonien. Cependant, dans un traitement plus réaliste, plusieurs corrections doivent
être prises en compte. Ceci inclut l’interaction de spin et d’orbite, les corrections
relativistes, et l’interaction nucléaire hyperfine.
Nous considérerons maintenant ces effets en détail.
L’interaction entre le spin et l’orbite
Le moment angulaire et les moments magnétiques (semi-classique)
Une boucle de courant est associée à un moment magnétique
r
r
μ = IA
r
Où I est le courant et A est la région vectorielle dont la direction est perpendiculaire au plan de la boucle en accord avec la règle de la main droite.
Où A = π r 2
Et 1 = charge de l’électron nombre de fois que l’électron passe par un point
donné = ef
Où f est la fréquence de rotation de l’électron.
La magnitude du moment du dipôle magnétique
( ) (π r 2 )
r
μ = I A = ef
r
Dont la direction est opposée au moment angulaire orbital L puisque l’électron
a une charge négative.
(
)
Maintenant L = mvr = m 2π rf r = 2mf π r 2 =
r
Donc, μ = −
2m
μ
e
e r
L . 2m
3.15
Puisque le moment angulaire est quantifié, nous avons :
∧
r
l = ml h l
Dans le premier rayon de Bohr, ml = 1 et l’équation 3.15 devient donc :
∧
∧
r
−eh l
μl =
= −μ B l 2m
3.16
Où mB est appelé le magnéton de Bohr et sa valeur est donnée par :
μB =
eh
2m
On peut observer dans l’équation 3.16 que ml est dirigé antiparallèlement au
moment angulaire orbital.
Le rapport du moment magnétique au moment angulaire orbital est appelé rapport
gyromagnétique classique.
r
μl
μ
e
γl = r =
= B l
2m
h
3.17
Le moment du spin angulaire possède également un moment magnétique qui
lui est associé. Son rapport gyromagnétique est environ le double de la valeur
classique pour les moments orbitaux.
r
μs
e
γs = r =
s
m
3.18
Ceci signifie que le spin est deux fois plus efficace que le moment angulaire
orbital pour produire un moment magnétique.
Les équations 3.17 et 3.18 sont souvent combinées en écrivant :
γ =
ge
2m
Où g est appelé le facteur de division spectroscopique.
Pour un moment angulaire orbital g=1, pour le spin seulement g 2 (quoique expérimentalement g=2,004)
Pour les états qui sont un mélange de moments angulaire orbital et de spin, g
n’est pas intégrale.
Puisque s =
1
h
2
Le moment magnétique dû au spin de l’électron est
e h
r
μs = γ s s = . = μB
m 2
Donc, la plus petite unité du moment magnétique pour l’électron est le magnéton
de Bohr, que l’on y associe le moment angulaire orbital ou de spin.
La fréquence de Larmor et l’effet Zeeman normal
(Traitement classique)
Nous considérons l’effet d’un champ magnétique faible sur un électron effectuant
un mouvement circulaire dans une orbite planaire. Nous supposons que le champ
magnétique est appliqué le long de l’axe z et que le moment angulaire est orienté
à un angle q par rapport à l’axe z, comme le montre la figure 3.4 ci-dessous.
Figure 3.4 La précession du vecteur de moment angulaire dans un champ magnétique
r
Le couple sur l est donné par
r
r r
τ l = μl ∧ B 3.19
Ceci est dirigé dans le plan de la page, dans la direction φ.
Le couple est aussi égal au taux de changement du moment angulaire, nous avons
donc :
r
r r
r
r
r
dl
τl =
= μ l ∧ B = γ l l ∧ B dt
Mais,
r
dl = l sinθ dφ
3.20
De façon à ce que la forme scalaire de l’équation 3.20 devient :
l sinθ .
dφ
= γ l lB sinθ dt
3.21
Nous définissons la vélocité précessive par
ωL =
dφ
dt
De manière à ce que l’équation 3.21 devienne
ωL = γ lB =
e
B 2m
3.22
La vélocité angulaire wL est appelée la fréquence de Larmor.
Donc, le vecteur du moment angulaire précède environ l’axe z à la fréquence de
Larmor en résultat du couple produit par l’action d’un champ magnétique sur
son moment magnétique associé.
En utilisant la relation de Planck, l’énergie associée à la fréquence de Larmor
est :
ΔE = ±ω L h = ±
ehB
= ±μ B B
2m
3.23
Où les signes se réfèrent au sens de la rotation. On peut observer que cette différence d’énergie est l’énergie potentielle dans un dipôle magnétique où le moment
est un magnéton de Bohr.
Souvenez-vous que l’énergie dipolaire est donnée par
r r
ΔE = − μ .B
Dans l’équation 3.23, le signe positif correspond à l’alignement antiparallèle tandis
que le signe négatif (énergie plus basse) indique l’alignement parallèle.
L’effet général de cette énergie associée à la fréquence de Larmor est que, si
l’énergie d’un électron possédant un moment mB est E0 en l’absence d’un champ
appliqué, alors il peut prendre l’une des énergies
E 0 ± μB B
Dans un champ magnétique B.
Donc, dans un ensemble de particules atomiques identiques du type discuté, un
champ magnétique produit un triplet de niveaux, appelé triplet de Lorentz dont
l’énergie est E0 et E 0 ± μ B B .
Ce phénomène est connu sous le nom d’effet Zeeman normal.
L’effet Zeeman est en fait beaucoup plus complexe tel que présenté dans le traitement classique. Le spin de l’électron est exclu du modèle classique.
Donc, lorsqu’un champ magnétique est appliqué, les moments angulaires orbitaux et de spin vont précéder. Les divisions de niveau d’énergie résultantes ne
peuvent être expliquées de façon classique et requièrent donc un traitement de
mécanique quantique. En conséquence de ce comportement inexplicable, l’effet
Zeeman plus général qui inclut le spin a été historiquement nommé de façon
erronée l’effet Zeeman anomal.
(a) Transition simple sans champ magnétique appliqué
(b) Cinq transitions avec un champ magnétique externe appliqué
Figure 3.5 Transitions avec et sans champ magnétique
L’interaction entre le spin et l’orbite (traitement de mécanique quantique)
Dans l’inclusion introductive du spin dans la fonction d’onde de Schrödinger, il
est présupposé que les coordonnées du spin sont indépendantes des coordonnées
dans l’espace de configuration. Donc, la fonction d’onde totale est écrite comme
une fonction de produit :
− iE n t / h
Ψ total = ψ nlm (r ,θ,φ).χ(spin).e
− iE n t / h
Ψ total = R nl .e
l, ml s, ms
3.24
La supposition faite ci-haut implique qu’il n’y a aucune interaction entre L et
S,
⎡∧
∧⎤
C’est-à-dire ⎢ L , S ⎥ = 0
⎢⎣
⎥⎦
Dans ce cas, Ytotal est une fonction propre de Lz comme de Sz et donc ml et ms sont
r
r
de bons nombres quantiques, en d’autres mots, les projections de L et de S sont
des constantes de mouvement.
r
r
En réalité, il y a une interaction par L et S appelée l’interaction entre le spin et
r r
l’orbite, exprimée en terme de la quantité L . S .
r r
r
r
Puisque L . S ne commute ni avec L , ni avec S , l’équation 3.24 n’est plus correcte et ml comme ms cessent d’être de bons nombres quantiques.
Nous imaginons l’interaction entre le spin et l’orbite comme le moment de spin
magnétique stationnaire interagissant avec le champ magnétique produit par les
noyaux orbitant.
Dans le couple de repos de l’électron, il y a un champ électrique.
r Ze ∧
ε= 2r
r (cgs)
r ∧
r
j ∧r
H e = 2 r
(cgs)
Et un champ magnétique
∧
Où r est dirigé du noyau vers l’électron.
r
En supposant que v est la vélocité de l’électron dans le couple de repos du noyau,
le courant produit par le mouvement du noyau est :
r
Ze r
j =− v
c
dans le couple de repos de l’électron.
Ensuite,
r ∧
r
Ze v ∧ r
1r r
He = −
= − v∧ε
2
c r
c
Le moment de spin de l’électron précède dans ce champ à la fréquence de Larmor
r
r
e r r
ωe = γ H e = −
v∧ε
m0 c 2
3.25
r v
r r
E e = − μs .H e = −ω e .S 3.26
Avec l’énergie potentielle
Les équations 3.25 et 3.26 sont valides avec le couple de repos de l’électron.
La transformation vers le couple de repos du noyau introduit un facteur de ½,
appelé facteur de Thomas. [Ceci peut être démontré en calculant la dilatation du
temps entre les deux couples de repos.]
Donc, un observateur dans le couple de repos du noyau observerait l’électron
précéder avec une vitesse angulaire de :
r
ωL = −
e r r
v ∧ ε 2m0 c 2
3.27
Et par une énergie additionnelle donnée par
1r r
ΔE = − ω e .S 2
3.28
Les équations 3.27 et 3.28 peuvent être mises sous une forme plus générale en restreignant V à être n’importe quel potentiel central avec une symétrie sphérique.
De sorte que
∧
r
r
∂V
F = −r
= −eε
∂r
Et donc
1 1 ∂V r
r r 1 ∂V r ∧ 1 1 ∂V r r
v∧ε =
v∧r =
v∧r =−
L
e ∂r
e r ∂r
em0 r ∂ r
L’équation 3.27 devient
r
ωL = +
1 1 ∂V r
L
2m02 c 2 r ∂ r
Et l’énergie additionnelle
ΔE = +
1 1 ∂V r r
L.S
2m02 c 2 r ∂ r
Le produit scalaire
rr
L.S = ml hs
Pour le spin = ½
rr
1
1
L.S = ml h. h = = ml h 2
2
2
3.29
La division de l’énergie devient
ΔE =
h 2 ml 1 ∂V
4m02 c 2 r ∂ r
Pour le potentiel de Coulomb, la division de l’énergie peut être donnée approximativement par
D 2c ml Ze2
ΔE =
r3
3.30
Où
λc =
h
est la longueur d’onde de Compton et
m0 c
Dc =
h
m0 c
ou
λc
2π
.
Un résultat utile en calcul est cité sans preuve. La valeur moyenne de 1/r3
C’est-à-dire
1
Z2
=
r3
a02 n2 l(l + 1 / 2)(l + 1)
Pour l 0.
De sorte que la division d’énergie devient :
ΔE =
D 2c ml Z 3e
a02 n2l( l + 1 / 2 )( l + 1 )
Pour l 0.
3.31
Schéma de couplage de moments angulaires
Nous n’avons jusqu’à présent que le couplage du spin et du moment orbital d’un
seul électron par moyen d’une interaction entre le spin et l’orbite. Nous considérons maintenant le cas de deux électrons pour lesquels il y a quatre moments
constituants.
Le modèle de couplage j-j
Le modèle suppose que l’interaction entre le spin et l’orbite domine les interactions électrostatiques entre les particules.
Nous écrivons donc, pour chaque particule :
r
r r
J 1 = L1 + S1
r
r
r
Et J 2 = L2 + S 2
r
r
Le moment angulaire total est obtenu en combinant J 1 et J 2 :
r r r
J = J1 + J 2
Et
j = j1 + j2 , j1 + j2 − 1 ,......., j1 − j2
Nous illustrons le couplage j-j en l’appliquant à deux électrons p qui ne sont pas
équivalents.
Pour chaque électron
j1 = j2 =
1
3
or
2
2
Les différentes façons possibles de les combiner sont montrées dans le tableau
3.1.
Tableau 3.1 : Couplage j-j de deux électrons p qui ne sont pas équivalents
j1
j2
j
3/2
3/2
3,2,1,0
3/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
2,1
1,0
2,1
Termes spectraux
Nombre d’états dans un
champ magnétique
⎛ 3 3⎞
⎜⎝ 2 , 2 ⎟⎠
16
⎛ 3 1⎞
⎜⎝ 2 , 2 ⎟⎠
⎛ 1 1⎞
⎜⎝ 2 , 2 ⎟⎠
⎛ 1 3⎞
⎜⎝ 2 , 2 ⎟⎠
3, 2 ,1,0
8
2 ,1
4
1,0
8
2 ,1
36 états
Dans un champ magnétique faible, chaque état d’un j donné se divisera en (2j+1)
correspondant aux valeurs permises de mj.
Bien que le couplage j-j est très utilisé pour décrire les états nucléaires observés
en spectroscopie nucléaire, il n’est pas approprié pour beaucoup de systèmes
atomiques à cause de l’électrostatique très forte et des autres interactions entre
les deux électrons.
Le schéma de couplage Russel-Saunders
Le modèle Russel-Saunders a eu plus de succès à rendre compte des spectres
atomiques pour tous les atomes sauf les plus lourds. Ce modèle suppose que les
interactions électrostatiques, incluant les forces d’échange, entre les deux électrons
dominent les interactions de spin et d’orbite. Dans ce cas, le moment orbital et
les spins des deux électrons se couplent séparément pour former :
r r r
L = L1 + L2
r r r
Et S = S1 + S 2
Le moment angulaire total est donné, comme avant, par :
r r r
J = L+S
Pour deux électrons p qui ne sont pas équivalents nous avons : l=2, 1 ou 0, et
s=1 ou 0.
Pour chaque l et s, les valeurs j sont :
l + s , l + s − 1 ,........, l − s
Et pour chaque valeur j, il y des valeurs (2j+1) de mj. Les combinaisons sont
données dans le tableau ci-dessous.
On peut observer que, même si le nombre d’états est une fois de plus 36 dans un
champ magnétique faible, leurs énergies ne sont pas les mêmes que celles dans
le schéma de couplage j-j.
Tableau 3.2 : Le couplage Russel-Saunders de deux électrons p qui ne sont
pas équivalents
Nombre d’états dans un
champ magnétique
l
s
j
Termes spectraux
2
1
3,2,1
3
D1, 2 ,3
15
2
0
2
1
D2
5
1
1
2,1,0
3
P0 ,1, 2
9
1
0
1
1
P1
3
0
1
1
3
S1
3
0
0
0
1
S0
1
36 états
Le facteur de Landé et l’Effet Zeeman
Les contributions orbitales et de spin au moment magnétique sont données par
Et
∧
gl e r
r
μl = −
L = − gl μ B l l + 1 l
2m0
(
)
∧
gs e r
r
μs = −
S = − gs μ B s s + 1 s
2m0
(
)
Où gl = 1 et gs = 2.004 2.
Maintenant, quand
r r r
J = L+S
r
L
r
et S sont couplés, nous obtenons :
r
r
r
Et μ = μ l + μ s
r
r μ r
3.32
μ = B L + 2S
h
r
r
Il est évident à partir des expressions de J et de μ que le moment magnétique
(
)
total n’est pas en colinéarité générale avec le moment angulaire total, tel qu’illustré dans la figure 3.6.
Figure 3.6 Le moment magnétique total n’est pas colinéaire avec le moment
total angulaire
Puisque
r
L
r
r
r
et S précèdent aux environs de J , il est apparent que μ précède
r
également aux environs de J . Cependant, le moment magnétique effectif, c’est-
r
r
à-dire la composante de μ le long de J , maintient la valeur constante,
r r
r r r
r r
r r r
r r
μ B L.J + 2 S.J
μ B L.( L + S ) + 2 S.( L + S )
μ.J
r
r
μj = r = −
=−
h
h
J
J
J
rr
μ B L2 + 2S 2 + 3L.S
r
=−
h
J
3 2
2
2
L
+
2S
+
J − L2 − S 2
μB
2r
=−
h
J
(
)
(
r
r
(où J 2 = L + S
)
2
rr
= L2 + 2 L.S + S 2 )
μ B (L2 + 4S 2 + 3J 2 − 3L2 − 3S 2
r
➡ μj = −
h
2J
μj = −
μj = −
=−
μ B r ⎛ 3J 2 + S 2 − L2 ⎞
J ⎜
⎟
h
2J 2
⎝
⎠
μB r ⎛
J 2 + S 2 − L2 ⎞
J ⎜1 +
⎟
h
2J 2
⎝
⎠
μB
⎡
j( j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1) ⎤
h j( j + 1). ⎢1 +
⎥
h
2 j( j + 1)
⎣
⎦
∴ μ j = −μ B
⎡
j( j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1) ⎤
j( j + 1). ⎢1 +
⎥
2 j( j + 1)
⎣
⎦
Nous définissons le facteur de Landé comme :
g = 1+
j( j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)
2 j( j + 1)
3.33
Et le moment magnétique effectif devient :
μ j = gμ B
j( j + 1) 3.34
Pour un spin de zéro, l’équation 3.33 se réduit au cas classique de g=1 et pour
l=0, g=2.
Nous sommes maintenant en position de rendre compte du soi-disant effet Zeeman anomal.
r
Dans un champ magnétique faible, le moment angulaire J précèdera aux environs
r
r
de B de façon à ce que la projection de J le long de la direction du champ sera
l’une des valeurs permises de m j h .
Le moment magnétique correspondant le long de la direction du champ, en supposant que ce soit la direction z, sera alors :
μ z = − gμ B m j
Ayant un champ magnétique dipolaire de
E = gmj μ B B 3.35
Dans le cas classique, g=1. Mais dans l’équation 3.35, g dépend du nombre
quantique l, s et j.
Nous l’illustrons dans le tableau 3.3, en calculant le facteur g pour un électron
dans un état p et un état s.
Tableau 3.3 : Les calculs de facteur g
État orbital
p
l
1
j
3/2
g
4/3
p
s
1
0
1/2
1/2
2/3
2
Dans un champ magnétique B, tel que mBB est inférieur à l’énergie du spin et de
l’orbite, j et mj sont de bons nombres quantiques et les énergies des états divisés
comme montré dans le tableau 3.4 et dans la figure 3.7 ci-dessous.
Figure 3.7 La division Zeeman pour les états p et s
Tableau 3.4 : Calculs des divisions Zeeman
État orbital
j
mj
g
p
p
p
p
p
p
s
s
3/2
3/2
3/2
3/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
1/2
-1/2
1/2
-1/2
4/3
4/3
4/3
4/3
2/3
2/3
2
2
ΔE = gmj
En unités de µBB
2
2/3
-2/3
-2
1/3
-1/3
1
-1
Donc, le soi-disant effet Zeeman « anomal » est ce qui normalement attendu pour
un électron ayant un spin à demi intégral et un faible champ magnétique.
L’effet Zeeman « normal » ou classique ne peut se produire pour un seul électron
dans un champ magnétique faible à cause du terme de spin dans l’équation 3.33.
Cependant, dans des atomes dans lesquels les spins sont jumelés de manière à
ce que le spin soit de zéro, la valeur g pour tous les états spectroscopiques est la
valeur classique et seulement trois lignes spectrales sont observées.
Le spectre atomique
Quand la structure fine est ignorée, toutes les longueurs d’ondes de l’hydrogène
atomique sont données par une seule formule empirique, la formule Rydberg :
⎛ 1
1
1 ⎞
= R ⎜ 2 − 2 ⎟ où R = 1. 0967758 × 10−3 Å-1
⎜ n f ni ⎟
λ
⎝
⎠
Où nf = 1 et ni = 2, 3, 4 donnent la série de Lyman (Ultraviolet)
nf = 2 et ni = 3, 4, 5 donnent la série de Balmer (Visible)
nf = 3 et ni = 4, 5, 6 donnent la série de Paschen (Infrarouge)
nf = 4 et ni = 5, 6, 7 donnent la série de Brackett (Infrarouge lointain)
etc.
Figure 3.8 Le spectre d’hydrogène
Source : http://www2.kutl.kyushu.ac.jp/seminar/MicroWorld1_E/Part4_E/P43_E/
Bohr_theory_E.htm
Figure 3.9 Le spectre d’émission et d’absorption continu
Source : http://csep10.phys.utk.edu/astr162/lect/light/absorption.html
On obtient un spectre continu quand la pression du gaz est si haute que le gaz
émet de la lumière à toutes les longueurs d’onde.
On obtient un spectre d’absorption quand la lumière passe à travers un gaz froid
et raréfié.
Un spectre d’absorption est essentiellement un spectre d’émission renversé du
même élément qui a produit le spectre d’émission.
Les spectres d’absorption et d’émission de l’hydrogène sont particulièrement
utiles en astrophysique parce que l’hydrogène est un élément très répandu dans
l’univers.
Pour expliquer certains aspects du spectre atomique, Wolfgang Pauli a déterminé
qu’on ne peut avoir deux électrons avec les mêmes quatre nombres quantiques.
C’est ce qui est appelé le principe d’exclusion de Pauli.
Le principe d’exclusion de Pauli suggère que seuls deux électrons avec des
spins opposés peuvent occuper une orbite atomique. Dit d’une autre façon, deux
électrons ne peuvent avoir les mêmes quatre nombres quantiques n, l, m et s.
Le principe d’exclusion de Pauli peut être exprimé d’autres façons, mais l’idée
est que les états d’énergie ont un espace limité pour loger des électrons. Un état
accepte deux électrons de différents spins.
Dans des orbites complètes (des orbites contenant deux électrons de spins opposés)
un électron doit être de spin « up » et l’autre de spin « down », et on dira d’eux
qu’ils forment une paire.
La configuration électronique pour des atomes de plus d’un électron
L’équation d’onde de Schrödinger a été conçue initialement pour l’hydrogène,
un atome d’un seul électron.
Dans un tel cas, toutes les orbites de chaque niveau d’énergie ont la même énergie
et sont dites dégénérées.
Dans les atomes de plus d’un électron, les électrons se repoussent, la charge
nucléaire effective varie avec le nombre atomique et les électrons de l’orbitale
interne font écran devant ceux des orbitales externes.
Les énergies orbitales sont alors décalées comme dans la figure ci-dessous.
Variation of energy levels for atomic orbitals of some elements
H
Li
Be
B
C
N
O
F
_2s_ _ _2p
_ _ _ 2p
_ 1s
_ 2s
_ _ _ 2p
_ _ _ 2p
_ 2s
_ _ _ 2p
_ 1s
_ _ _ 2p
_ 2s
_ _ _ 2p
_
_ 1s
_ 2s
_
_
_ 2s
_ 1s
_ 2s
_ 1s
_ 1s
_ 1s
Source : http://www.science.uwaterloo.ca/~cchieh/cact/c120/eleconfg.html
Les énergies orbitales plus basses sont remplies avant que des électrons soient
ajoutés au niveau supérieur.
La règle de Hund
La règle de Hund suggère que les électrons préfèrent les spins parallèles dans ses
orbites séparées de sous-orbitales. Cette règle nous aide à assigner les électrons
à différents états dans chaque sous-couche des orbites atomiques. En d’autres
mots, les électrons remplissent chacune des orbites dans la sous-couche avant de
se mettre en paire avec des spins opposés.
Le principe d’exclusion de Pauli et la règle de Hund nous aident à déterminer la
configuration des électrons pour chaque élément.
Tâche 3.1
1. Les couplages spin-orbite divisent tous les états en deux excepté l’état s.
Pourquoi ?
2. Expliquez pourquoi le rayon effectif de l’atome d’hélium est moindre que
celui d’un atome d’hydrogène.
Évaluation formative 3.1
1. Déterminez la longueur la plus longue et celle la plus courte de la série
de Lyman de l’hydrogène.
2. L’étude du spectre atomique était une sorte d’industrie vers la fin du 19e
siècle et au début du 20e siècle. Élaborez.
3. La longueur d’onde la plus longue dans la série de Lyman pour l’hydrogène est 1215 Å. Calculez la constante de Rydberg.
4. Des électrons d’énergie 12.2 eV sont tirés sur des atomes d’hydrogène
dans un tube à décharge gazeuse. Déterminez la longueur d’onde des
lignes qui peuvent être émises par l’hydrogène.
5. Déterminez le moment magnétique d’un électron se déplaçant dans une
orbite circulaire de rayon r près d’un proton.
6. Utilisez les résultats de la mécanique quantique pour calculer les moments
magnétiques possibles pour n=3.
7. Déterminez la division Zeeman normale des lignes rouges de cadmium
de 6438 Å quand les atomes sont placés dans un champ magnétique de
0,009 T.
8. Exprimez L.S. en termes de J, L et S. Supposant que L=1 et S=½, calculez
les valeurs possibles de L.S.
9. Un faisceau d’électrons entre un champ magnétique uniforme B=1,2T.
Trouvez la différence d’énergie entre les électrons dont le spin est parallèle
et ceux dont le spin est antiparallèle au champ magnétique.
Devoir 3.1
1. La fonction d’onde normalise pour l’état fondamental d’un atome semblable
à l’hydrogène avec une charge nucléaire Ze a la forme u(r ) = Aexp(−βr )
où A et b sont des constantes et r est la distance entre l’électron et le noyau.
Démontrez ce qui suit :
(a)
A2 =
β2
Z
h 2 4π ε 0
(b) β =
où a0 =
π
a0
me e2
m ⎛ e2 ⎞
(b) L’énergie E = −Z 2 E 0 où E 0 = e2 ⎜
2h ⎝ 4π ε 0 ⎟⎠
2
(c) Les valeurs d’attente des énergies potentielles et cinétiques sont 2E et
–E, respectivement,
(d) La valeur d’attente r =
3a 0
et (f) la valeur la plus probable de r est
2Z
a0
Z
2. Pour l’état y210 de l’atome d’hydrogène, calculez les valeurs d’attente <
r >, <1/r> et <p2> et ensuite trouvez les valeurs d’attente des énergies
potentielles et cinétiques.
3. Déterminez les longueurs d’onde les plus courtes et les plus longues de
la série de Lyman de l’atome d’hydrogène (Rép. lmax = 1215 Å et lmin =
912 Å)
4. Déterminez la deuxième ligne de la série de Paschen pour l’hydrogène
(Rép. 12,820 Å)
5. Des électrons d’énergie 12,2 eV sont tirés sur des atomes d’hydrogène
dans un tube à décharge gazeuse. Déterminez les longueurs d’onde des
lignes qui peuvent être émises par l’hydrogène. (Rép. 6563 Å, 1215 Å
1026 Å)
r r
1
⎡ J (J + 1) − L ( L + 1) − S ( S + 1)⎤⎦ h 2
2⎣
r r
7. Calculez les valeurs possibles de L.S pour L=1 et S=½.
6. Démontrez que L .S =
8. Calculez la différence d’énergie entre les électrons qui sont parallèles
et ceux qui sont antiparallèles avec un champ magnétique uniforme
b=0,8T quand un faisceau d’électrons se déplace perpendiculairement
au champ (Indice : ΔE = B
eh
Δms )
m
Activité 4 : Les rayons X
Cette activité vous prendra 20 heures à compléter. Dans cette activité vous serez
amené à faire une série de lectures, à regarder des vidéos multimédia, à consulter
des exemples et à répondre à des questions et à des problèmes d’autoévaluation.
Il est fortement recommandé de faire toutes les activités, de consulter toutes les
références obligatoires et le plus de liens utiles possible.
Objectifs spécifiques aux activités d’enseignement et d’apprentissage
•
•
•
Expliquer l’origine atomique des rayons X
Distinguer les rayons X caractéristiques des rayonnements Bremsstrahlung
Rappeler la relation de Moseley et son utilité dans la résolution de problèmes
Résumé des activités d’apprentissage
Dans l’activité d’apprentissage 4, vous commencerez par apprendre l’origine
des rayons X d’une perspective historique. Vous apprendrez ensuite que chaque
élément possède son propre spectre de rayons X. Cette propriété est semblable à
une propriété similaire que vous avez apprise dans l’unité précédente et a donc
des implications scientifiques et technologies similaires.
Lecture 1 : X-Ray Production
Référence complète : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/
xtube.html
Résumé : Cet article fait partie d’une série d’articles détaillés sur la physique
des rayons X, couvrant tous les objectifs de cette activité d’apprentissage.
L’article d’ouverture traite de la production de rayons X et les liens traitent
des rayonnements Bremsstrahlung , des rayons X caractéristiques, de la
loi de Moseley et de la diffraction des rayons X.
Justification : Cette présentation par Hyperphysics est comme toujours, claire
et précise. C’est une lecture essentielle.
Lecture 2 : The Origin Characteristic of X-Rays
Référence complète : http://www4.nau.edu/microanalysis/Microprobe/XrayCharacteristic.html
Résumé : Cet article traite de la production de rayons X caractéristiques.
Les liens à cette page traitent des rayons X de continuum, des orbitales
électroniques, des transitions d’électrons, de la loi de Moseley et d’autres
sujets en dehors des exigences du cours.
Justification : Il s’agit d’une bonne référence qui est pertinente au cours.
Lecture 3 : X-Ray Diffraction
Référence complète : http://www.physics.upenn.edu/~heiney/talks/hires/whatis.html#SECTION00011000000000000000
Résumé : On y présente de manière concise les rayons X.
Justification : Cet article couvre le contenu de cette activité.
Lecture 4: X-Ray Diffraction
Lien de référence: http://e-collection.ethbib.ethz.ch/ecol-pool/lehr/lehr_54_
folie2.pdf
Référence complète : http://www.google.com/search?q=cache:qLs7iI81agwJ:
e-collection.ethbib.ethz.ch/ecol-pool/lehr/lehr_54_folie2.pdf+XRAY+MOSLEY’S+LAW
Résumé : Cet article contient une présentation Power Point sur des aspects
pratiques de la diffraction, des tubes à rayons X, des spectres de rayons
X et sur la loi de Moseley. Pour accéder aux articles, commencez avec la
référence complète puis continuez avec le lien de référence.
Justification : Cette lecture est pertinente pour l’activité, prenez le soin
de bien la lire.
Référence : http://ie.lbl.gov/xray/mainpage.htm
Description : On y trouve le spectre de rayons X des éléments sur le tableau
périodique, les spectres sont dessinés à l’aide d’un applet Java.
Référence : http://www.eserc.stonybrook.edu/ProjectJava/Bragg/
Description : Ce site contient un applet Java à propos de la loi de Bragg et de
la diffraction. Vous devriez alterner entre la longueur d’onde de rayons X, l, l’angle de Bragg q et la distance interplanaire d et pour chaque variation
d’un paramètre, étudier l’effet produit.
Référence : http://www.mineralogie.uni-wuerzburg.de/crystal/teaching/iinter_
bragg.html
Description : Ce site contient un tutoriel interactif à propos de la diffraction
de Bragg. Répondez aux questions pour chaque interaction.
Liens utiles
Ressource #1
Titre : A Historical Ovrview of the Discovery of X-rays
URL: http://www.yale.edu/ynhti/curriculum/units/1983/7/83.07.01.x.html
THE DISCOVERY OF X-RAYS
In october of 1895, Wilhelm Conrad Ršntgen (1845-1923) who was professor of
physics and the director of the Physical Institute of the University of Wurburg,
became interested in the work of Hillorf, Crookes, Hertz, and Lenard. The
previous June, he had obtained a Lenard tube from Muller and had already
repeated some of the original experiments that Lenard had created. He had
observed the effects Lenard had as he produced cathode rays in free air. He
became so fascinated that he decided to forego his other studies and concentrate
solely on the production of cathode rays.
Résumé : Cet article fait une présentation historique des événements qui ont
mené à la découverte des rayons X. On commence avec les travaux du Dr William
Gilbert sur le magnétisme en 1600 pour terminer avec la découverte des rayons
X en 1895 par Röntgen.
Justification : Le matériel présenté est facile à lire, mais pertinent. Cela vous
sera très utile.
Ressource #2
Titre : Notes on the X-Ray Tube
URL : http://en.wikipedia.org/wiki/X-ray_tube
Schéma de principe d’un tube de Coolidge à fenêtre latérale
Résumé : Cet article est une présentation encyclopédique des tubes à rayons X
et de la création de rayons X.
Justification : Le matériel présenté est très pertinent à cette activité d’apprentissage.
Ressource #3
Titre : X-ray spectra of some elements on the Periodic Table
URL: http://ie.lbl.gov/xray/mainpage.htm
Capture d’écran : Le spectre de rayons X du germanium
Justification : Dans cette ressource, on expose interactivement le spectre de
rayons X de plus de 60 éléments. Choisissez tout élément en italique dans le tableau périodique, puis suivez les instructions pour analyser le spectre de rayons
X.
Justification : Le matériel présenté est très utile et pertinent à cette activité
d’apprentissage.
Ressource #4
Titre : Basic Diffraction Physics
URL : http://www-structmed.cimr.cam.ac.uk/Course/Basic_diffraction/Diffraction.html#diffraction
Résumé : Le principe de base de la diffraction des rayons X est exposé d’un
angle différent.
Justification : Le matériel est utile et pertinent.
Ressource #5
Titre :
URL : http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/x-ray.htm
Résumé : Cet article offre un exposé détaillé sur les rayons X et leur production,
les spectres caractéristiques, la diffraction des rayons X et la loi de Bragg.
Justification : Cet article fait partie d’une série de conférences sur la Terre et
les sciences environnementales, données par le professeur Stephen A. Nelson de
l’Université de Toronto, Canada. Le matériel présenté est utile et pertinent.
Description de l’activité (éléments théoriques principaux)
Introduction
4.1Les tubes à rayons X
Adaptation de Wikipédia, l’encyclopédie libre : http://en.wikipedia.org/wiki/Xray_tube
Un tube à rayons X est un tube sous vide destiné à produire des photons de rayons
X. Le tube à rayons X a été inventé par Sir William Crookes. Le tube de Crookes
et aussi appelé un tube à décharge ou un tube à cathode froide. Une schématisation
du tube à rayons X est montrée ci-dessous.
Figure 4.1 Schéma d’un tube à rayons X.
Le tube de verre est évacué à la pression de l’air, environ 100 pascals (souvenezvous que la pression atmosphérique est de 10 ×105 pascals. L’anode est une cible
métallique épaisse pour qu’elle puisse dissiper rapidement l’énergie thermique
qui résulte des bombardements de rayons cathodiques. Un voltage élevé, entre
30 et 150 kV, est appliqué entre les électrodes; ceci crée une ionisation de l’air
résiduelle, et crée donc un faisceau d’électrons de la cathode et de l’anode. Quand
ces électrons atteignent la cible, ils sont ralentis, produisant des rayons X. L’effet
de production de ces photons de rayons X est généralement appelé l’effet Bremsstrahlung, une contraction de l’allemand « brems » qui veut dire « freiner », et de
« Strahlung » pour « rayonnement ».
L’énergie de rayonnement d’un tube à rayons X est composée d’énergies discrètes constituant un spectre en ligne et un spectre continu fournissant un fond au
spectre en ligne.
Figure 4.2 Un tube à rayons X plus détaillé contenant deux types de rayons X
Les électrons peuvent interagir avec les atomes de la cible de différentes façons.
Spectre continu
Quand les électrons accélérés (rayons cathodiques) frappent la cible de métal, ils
se heurtent avec les électrons dans la cible. Dans une telle collision, une partie
de la quantité de mouvement des électrons est transférée à l’atome de la cible,
perdant par conséquent de son énergie, ΔK . Cette interaction augmente la température de la cible.
Les électrons projectiles peuvent éviter les électrons orbitaux de la cible, mais
peuvent arriver suffisamment près du noyau pour que l’électron tombe sous
son influence. L’électron projectile que nous suivons est maintenant au-delà de
l’orbitale K et sous influence du noyau. L’électron est donc soumis à deux forces, la force d’attraction de Coulomb et une force nucléaire bien plus puissante.
L’effet des deux forces sur l’électron est de le ralentir. L’électron quitte la région
d’influence du noyau avec une énergie cinétique bien moindre et s’envole vers
une autre direction, puisque le vecteur de vitesse a changé. La perte en énergie
cinétique se retrouve sous forme de photons de rayons X, tel qu’illustré dans
la figure 4.3. Durant la décélération, l’électron émet un photon de rayons X
d’énergie hv = ΔK = K i − K f . L’énergie perdue par les électrons n’est pas la
même pour chaque électron et les photons de rayons X émis n’ont pas la même
longueur d’onde. Ce processus d’émission de photons de rayons X à travers la
décélération est appelé Bremsstrahlung et le spectre résultant est continu, mais
avec une longueur d’onde de coupure. La longueur d’onde minimale correspond
à un électron perdant toute son énergie dans une seule collision et l’émettant sous
forme d’un seul photon.
hc
Si K est l’énergie cinétique de l’électron, alors K = hν =
. La longueur
λ min
d’onde de coupure dépend uniquement du voltage d’accélération.
hvmax =
hc
= eV où V est le voltage d’accélération.
λ min
Figure 4.3 Décélération d’un électron par un noyau à charge positive
Spectres caractéristiques de rayons X
Dû au voltage accélérant élevé, les électrons incidents peuvent (i) exciter les
électrons dans les atomes de la cible (ii) éjecter des électrons étroitement liés du
cœur des atomes.
L’excitation des atomes donnera lieu à une émission de photons dans la région
optique du spectre électromagnétique. Cependant, quand les électrons de cœur
sont éjectés, le remplissage subséquent des états vacants donne lieu à un rayonnement dans la région des rayons X du spectre électromagnétique. Les électrons
de cœur peuvent être de la couche K, L, ou M.
Si les électrons de l’orbitale K (n=1) sont enlevés, les électrons des états d’énergie
supérieurs tombant dans les états vacants de l’orbitale K produisent une série de
lignes dénotées Kα , Kβ , ... comme on peut le voir dans la Fig.4.4.
Les transitions à l’orbitale L produisent la série L et celles vers l’orbitale M
donnent la série M, et ainsi de suite.
Puisque les électrons orbitaux ont des niveaux d’énergie définis, les photons de
rayons X émis ont aussi des énergies bien définies. Le spectre d’émission possède
des lignes nettes, caractéristiques de l’élément cible.
Après avoir bien examiné les lignes de rayons X, les séries L, M et au-delà montrent que les lignes sont composées d’un nombre de lignes rapprochées, comme
on peut le voir dans la figure 4.5, divisées par l’interaction spin orbite.
Figure 4.4 Transitions de rayons X sans la structure fine
Figure 4.5 Transitions de rayons X avec la structure fine
Ce n’est pas toutes les transitions qui sont permises. Seules les transitions qui
remplissent les conditions suivantes sont permises : Dl = ±1.
Figure 4.6 Émissions caractéristiques de rayons X utilisant une cible de molybdène
La relation de Moseley
D’après ses expériences, Moseley fut en mesure de démontrer que les fréquences
de rayons X caractéristiques augmentent régulièrement avec le nombre atomique
Z, selon la relation
(
ν1/ 2 = A Z − Z0
) 4.1
où Z est le nombre atomique du matériau cible et A et Z0 sont des constantes qui
dépendent de la transition particulière en observation. Le terme (Z- Z0) est nommé
charge nucléaire effective telle que vue par les électrons effectuant la transition
à une couche donnée.
La fréquence de la ligne Ka peut être calculée approximativement en utilisant la
théorie atomique de Bohr. La longueur d’onde des lignes émises par les atomes
d’hydrogène est donnée par la formule de Rydberg.
⎛
1
1 ⎞
= RZ 2 ⎜
⎟
⎜⎝ n2 − n2 ⎟⎠
λ
l
u
4.2
où nu et nl sont les nombres quantiques principaux des états supérieurs et inférieurs
de la transition, Z est le nombre atomique d’un atome d’un seul électron.
Pour la ligne Ka la charge nucléaire effective est (Z-1), nl = 1 et nu = 2, de façon
à ce que l’équation 4.2 devienne
νKα =
2⎛ 1
c
1⎞
= cR Z − 1 ⎜ − ⎟
λ
⎝ 12 22 ⎠
νKα =
(
)
2
3cR
Z −1
4
(
)
4.3
/2
En pointant � 1K�
contre Z, on obtient une ligne droite. L’équation 4.3 est une
autre façon d’exprimer la relation de Moseley.
La diffraction de rayons X
Un plan d’atomes dans un cristal, aussi appelé plan de Bragg, reflète les rayonnements de rayons X de la même manière que la lumière est reflétée d’un miroir
plat, comme on peut l’observer dans la figure 4.7.
Figure 4.7 La réflexion de rayons X d’un plan de Bragg
La réflexion de différents plans successifs peut interférer si la différence de tracé
entre deux rayons est égale à un nombre intégral de longueurs d’onde. Cet énoncé
est appelé la loi de Bragg.
Figure 4.8 Diffraction de rayons X de plans atomiques
De la figure 4.8, AB = 2dsinq de façon à obtenir par la loi de Bragg
2dsinq = nl
4.4
quand en pratique, il est normal de supposer la diffraction de premier ordre pour
que n=1.
Un ensemble donné de plans atomiques produit une réflexion à un angle perçu
comme une tache ou un anneau dans un patron de diffraction aussi appelé un
diffractogramme.
En modifiant l’angle thêta, les conditions de la loi de Bragg sont remplies par
différents espacements d dans les matériaux polycristallins. Lorsque l’on pointe
les intensités et les positions angulaires des pics de rayonnement diffractés résultants produisent un patron qui est caractéristique de l’échantillon. Lorsqu’on
est en présence d’un mélange de différentes phases, le diffractogramme résultant
est formé par l’addition des patrons individuels.
Selon le principe de la diffraction des rayons X, une quantité de renseignements
structurels, physiques et chimiques peuvent être obtenus. Nombre de techniques
d’application pour les différentes classes de matériaux sont disponibles, chacune
révélant ses détails spécifiques à propos de l’échantillon étudié.
J’illustre la technique de diffraction de rayons X en utilisant une partie de nos
propres travaux sur l’étude minéralogique des différents minéraux locaux. Je
présente des diffractogrammes de rayons X d’échantillons choisis de pyrite de
la mine d’or du Lac Victoria, en Tanzanie. La technique utilisée ici est celle de
la « Power Method » où un échantillon est réduit en poudre et tourné dans un
faisceau de rayons X. À n’importe quelle orientation, seuls les plans dont les
rayons X réfléchis interfèrent de manière constructive produiront un signal dans
le détecteur. En tournant l’échantillon dans le faisceau de rayons X une gamme
complète de plans de cristaux seront exposés.
La diffraction de rayons X de l’échantillon de Nyamlilima, Fig.4.9., révèle que
l’échantillon comprend les phases minérales quartz, pyrrhotite monoclinique et
pyrite alors que l’échantillon de Mwamela, Nzega, Fig.4.10., ne possède que les
phases minérales pyrrhotite hexagonale et quartz. Il faut noter que l’analyse de
l’échantillon de Nyamlilima est incomplète; il y a une réflexion intense, mais
inconnue à 2θ ≈ 30°.
La chimie des phases minérales mentionnée ci-haut va comme suit : le quartz est
SiO2, la pyrite est FeS2 (ce minéral est célèbre pour tromper les chercheurs d’or
inexpérimentés et possède donc le surnom d’or du pauvre), la pyrrhotite qui est
aussi connue sous le nom de pyrite magnétique possède une composition chimique
variant entre FeS et Fe0,8S, où la phase monoclinique est la plus ordonnée est la
phase hexagonale la moins ordonnée.
Figure 4.9 Diffractogramme d’un échantillon de pyrite de Nyamlilima, Geita,
Tanzanie
Figure 4.10 Diffractogramme d’un échantillon de pyrite de Mwamela, Nzega,
Tanzanie
1. Dans l’article sur la découverte des rayons X, on dit que « Röntgen remplaça
l’écran avec une plaque photographique puis sa femme plaça sa main sur la
plaque sur laquelle Röntgen dirigea les rayons X pendant quinze minutes.
Madame Röntgen fut surprise et même effrayée par la première radiographie
d’un patient humain ce qui lui permit de voir son propre squelette. » Discutez.
2. Un tube de télévision fonctionne avec un voltage accélérant de 24 kV, quel est
l’énergie maximale pour les rayons X d’un ensemble de télévision? Calculez
la longueur d’onde λmin f pour le spectre continu de rayons X émis lorsque
des électrons de 35 keV tombent sur une cible de molybdène.
3. Déterminez la longueur d’onde de la ligne Ka pour le molybdène, Z=42.
4. Déterminez la configuration électronique pour un atome de Z=20.
5. Trouvez les états fondamentaux de He et Li.
6. Dans un cristal cubique, en utilisant des rayons X de λ = 1.5 Å, une réflexion
de plans (100) de premier ordre est observée à un angle de Bragg de 18°.
Quelle est la distance entre les (100) plans.
Devoir 4
1. Un tube de télévision fonctionne avec un potentiel d’accélération de 20 kV.
Quelle est l’énergie maximale des rayons X produits ?
2. Le voltage accélérant d’un tube à rayons X est 60 kV. Calculez la longueur
d’onde minimale des rayons X produits par le tube.
3. Déterminez la longueur d’ondes de la ligne Ka pour une cible de molybdène
Z=42.
(Rép. l = 0.721 Å)
4. Une expérience mesurant les lignes Ka pour le fer et le cuivre donnent les
données suivantes: Fe: 1,94 Å et Cu : 1,54 Å. Calculez le nombre atomique
de chacun des éléments.
5. Dans les figures 4.9 et 4.10, en supposant une longueur d’onde de rayons X
l = 1.54 Å et n=1, calculez les valeurs d pour les plans responsables de la
réflexion la ligne la plus intense (100%)de la pyrrhotite et du quartz.
6. Un faisceau de neutrons o,083 eV se diffuse d’un échantillon inconnu et un
pic de réflexion de Bragg inconnu est observé à 22°. Calculez l’espacement
interplanaire.
Le matériel de cette activité d’apprentissage peut aisément être adapté et enseigné
aux élèves des écoles secondaires.
XI.
Concepts-clés (glossaire)
Diffusion de Coulomb (diffusion Rutherford) : Une collision entre deux
particules chargées dans laquelle la force Coulomb est l’interaction dominante.
Source: http://www.answers.com/topic/coulomb-scattering
Paramètre d’impact : La distance la plus courte de la trajectoire d’une particule du vertex primaire dans le plan transversal au point où la particule
se désintègre.
Source: http://hep.uchicago.edu/cdf/cdfglossary.html
Section efficace de diffusion : La région d’un cercle de rayon b, le paramètre
d’impact.
Section efficace différentielle de diffusion : est définie par la probabilité
d’observer une particule diffusée dans un état quantique donné par unité
d’angle solide, comme dans un cône d’observation donné.
Source: http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_section_(physics)
Orbite planétaire : Le trajet que suit une planète autour du soleil sous l’influence de forces gravitationnelles.
Source http://en.wikipedia.org/wiki/Orbit.
Orbitale atomique : Un arrangement d’électrons dans un atome en accord
avec les lois de la physique appropriées.
Rayon de Bohr : La taille de l’état fondamental d’un atome d’hydrogène tel
que calculé par Niels Bohr, utilisant un mélange de physique classique
et de mécanique quantique.
Source: http://education.jlab.org/glossary/bohrradius.html
Constante de Rydberg : Une constante qui met en relation le spectre atomique
au spectre de l’hydrogène. Sa valeur est de 1,0977 × 107 par mètre.
Source: http://www.tiscali.co.uk/reference/encyclopaedia/hutchinson/
m0025952.html
Formule de Rydberg : C’est une relation empirique qui donne toutes les
longueurs d’onde de l’atome d’hydrogène.
Nombre quantique : Un nombre quantique est n’importe quel nombre d’un
ensemble utilisé pour spécifier l’état quantique total de n’importe quel
système en mécanique quantique. Chaque nombre quantique spécifie la
valeur d’une quantité conservée dans les dynamiques du système quantique.
Source: en.wikipedia.org/wiki/Quantum_number
Quantification du moment angulaire : Le nombre quantique du moment
angulaire ne peut prendre que certaines valeurs en multiples de h . Ce
phénomène est aussi appelé quantification de l’espace.
Couplage de moment angulaire : Le moment angulaire orbital et de spin
d’une particule peut interagir à travers une interaction spin-orbite. La
procédure pour construire les états propres de moments angulaires totaux
à partir d’états propres de moment angulaire séparé est appelée couplage
de moment angulaire.
Source: http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum_coupling
La loi de Stoke : Une expression des forces frictionnelles exercées sur des
objets sphériques à petit nombre Reynolds (ex. de très petites particules)
r
r
r
dans un fluide visqueux continu; F = −6π rηv où F est la force fricr
tionnelle, r est le rayon de la particule, η est la viscosité du fluide et v
est la vélocité de la particule.
Source: http://en.wikipedia.org/wiki/Stokes’_law
Rayonnement Bremsstrahlung : Le rayonnement (rayons X) produit par des
électrons énergétiques ralentissant (de n’importe quelle particule chargée)
sur impact sur une cible (ou un absorbant).
Source: http://www.ionactive.co.uk/glossary/Bremsstrahlung.html
La loi de Bragg : Le résultat d’expériences de la diffraction de rayons X ou
de neutrons de surfaces de cristal à certains angles.
Source: http://en.wikipedia.org/wiki/Bragg’s_law
XII. Lectures obligatoires
Lecture 1 : Atomic Models
Référence complète :
De : Wikipedia
URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_physics
Consulté le 20 avril 2007
Résumé: Cette lecture est une compilation de l’article Wikipédia indiqué
ci-haut et des différents liens disponibles sur la page. Les sections sur le
modèle atomique de Dalton, le modèle plum pudding de Thompson, l’expérience de diffusion alpha de Rutherford qui mena au modèle planétaire
de l’atome et la physique quantique sont traitées.
Justification : Le matériel de cette compilation est essentiel à la première
activité de ce module.
Lecture 2 : Bohr Model of Hydrogen Atom
Référence complète : http://musr.physics.ubc.ca/~jess/hr/skept/QM1D/node2.
html
Résumé : Le modèle de l’atome d’hydrogène de Bohr est présenté de
façon concise en trois pages Web. Il est suggéré de commencer par la page
mise en référence puis d’utiliser le lien next pour aller aux dérivations du
rayon de Bohr, et cliquer next une nouvelle fois pour le calcul des niveaux
d’énergie.
Justification : Le matériel est présenté de sorte qu’il soit facile de comprendre.
Lecture 3 : Theory of Rutherford Scattering
Référence complète : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rutcon.
html#c1
Résumé : La physique de diffusion en relation avec le modèle atomique
de Rutherford est très bien présentée. Vous aurez à suivre l’organisation
présentée dans la page de référence et cliquer sur chaque lien tel que
présenté dans l’organisation.
Justification : Le matériel présenté dans ce lien est essentiel et pertinent
au cours.
Lecture 4 : A Look Inside the Atom
Référence: http://www.aip.org/history/electron/jjhome.htm
Résumé : Cet article traite des travaux de J.J. Thompson sur les rayons
cathodiques, qui ont culminé en la découverte de l’électron comme partie
fondamentale de l’Atome. Suivez les liens en cliquant sur next.
Lecture 5 : Nobel Prize Lecture on Cathode Rays
Référence : http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1905/
lenard-lecture.html
Résumé : Dans le contexte de vos connaissances actuelles, ceci est une
lecture assez légère, mais informative sur les rayons cathodiques et les
opinions fausses de l’époque.
Justification : C’est un exposé du prix Nobel de physique de 1905, Philipp
Lenard. Cette lecture sera très motivante.
Lecture 6 : The Millikan Oil Drop Experiment
Référence: http://hep.wisc.edu/~prepost/407/millikan/millikan.pdf
Résumé : C’est un bon article sur les aspects pratiques de l’expérience
de la goutte d’huile de Millikan.
Justification : Le matériel présenté est bon et pertinent pour le cours.
Lecture 7
Référence : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hyde.html
Résumé : On traite en profondeur, et avec maintes illustrations, de la
physique de l’atome d’hydrogène, des niveaux d’énergie, de la transition
des électrons et des structures fines et hyperfines.
Justification : Cet article traite de sujets liés à l’activité.
Lecture 8 : Emission Spectrum of Hydrogen
Référence : http://chemed.chem.purdue.edu/genchem/topicreview/bp/
ch6/bohr.html
Résumé : Cet article traite le spectre d’émission de l’hydrogène et inclut
des problèmes pratiques résolus.
Justification : Cet article couvre des sujets importants en relation avec ce
module et les problèmes pratiques en font une lecture très importante.
Lecture 9 : Hydrogen Atom
Référence : An Introduction to the Electronic Structure of Atoms and
Molecules
URL: http://www.chemistry.mcmaster.ca/esam/Chapter_3/intro.html
Résumé: C’est la troisième section d’un article du Pr. Richard F.W. Bader,
professeur de Chimie à l’Université McMaster, Hamilton, Ontario. On y
traite l’Atome d’hydrogène, l’évolution des densités de probabilité, donc
les orbitales, et finalement le modèle vectoriel de l’atome d’hydrogène.
Justification : Le matériel couvert dans cet article est bon et pertinent
pour cette activité.
Lecture 10 : Mathematical Solution of the Hydrogen Atom
Référence : http://www.mark-fox.staff.shef.ac.uk./PHY332/atomic_physics2.pdf
Résumé : Cet article donne une méthodologie pour résoudre les problèmes
de l’Atome d’hydrogène en tant que problème de mécanique quantique.
Justification : Cet article est pertinent au cours puisque vous verrez
comment les trois nombres quantiques n, l et m vont de soi.
Lecture 11 : Fine Structure of Hydrogen Atom
Référence : http://farside.ph.utexas.edu/teaching/qmech/lectures/
node107. html
Résumé : Cet article fait partie d’une série de notes de conférence en
mécanique quantique non relativiste.
Justification : Le matériel présenté est bon, mais nécessite une bonne
connaissance de la mécanique quantique.
Lecture 12 : X-Ray Production
Référence : : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/xtube.
html
Résumé : Cet article fait partie d’une série d’articles détaillés sur la
physique des rayons X, couvrant tous les objectifs de cette activité
d’apprentissage. L’article d’ouverture traite de la production de rayons
X et les liens traitent des rayonnements Bremsstrahlung , des rayons X
caractéristiques, de la loi de Moseley et de la diffraction des rayons X.
Justification : Cette présentation par Hyperphysics est comme toujours,
claire et précise. C’est une lecture essentielle.
Lecture 13 : The Origin Characteristic of X-Rays
Référence complète : http://www4.nau.edu/microanalysis/Microprobe/
Xray-Characteristic.html
Résumé : Cet article traite de la production de rayons X caractéristiques.
Les liens à cette page traitent des rayons X de continuum, des orbitales
électroniques, des transitions d’électrons, de la loi de Moseley et d’autres
sujets en dehors des exigences du cours.
Justification : Il s’agit d’une bonne référence qui est pertinente au
cours.
Lecture 14 : X-Ray Diffraction
Référence complète : http://www.physics.upenn.edu/~heiney/talks/hires/whatis.
html#SECTION00011000000000000000
Résumé : On y présente de manière concise les rayons X.
Justification : Cet article couvre le contenu de cette activité.
Lecture 15: X-Ray Diffraction
Lien de référence: http://e-collection.ethbib.ethz.ch/ecol-pool/lehr/
lehr_54_folie2.pdf
Référence complète : http://www.google.com/search?q=cache:qLs7iI81agwJ:e-collection.
ethbib.ethz.ch/ecol-pool/lehr/lehr_54_folie2.pdf+XRAY+MOSLEY’S+LAW
Résumé : Cet article contient une présentation Power Point sur des aspects
pratiques de la diffraction, des tubes à rayons X, des spectres de rayons
X et sur la loi de Moseley. Pour accéder aux articles, commencez avec la
référence complète puis continuez avec le lien de référence.
Justification : Cette lecture est pertinente pour l’activité, prenez le soin
de bien la lire.
XIII.Ressources multimédias (optionnelles)
Référence : http://www.colorado.edu/physics/2000/index.pl
Consulté en décembre 2006
Description : Il s’agit d’un merveilleux applet où l’on crée son propre
atome. En accédant à la page Accueil de Physics 2000, cliquez sur la table
des matières, puis allez sur Science Trek et cliquez sur Electric Force.
Placez votre curseur à environ cinq centimètres du proton. Cliquez et
déplacez l’électron ainsi créé à 45° ou plus du noyau et relâchez-le. Regardez ensuite l’électron effectuer une orbite elliptique autour du proton.
Vous serez surpris du nombre d’ « atomes orbitaux » qui n’entrent pas en
collision que vous pouvez créer autour du noyau.
Référence : http://www.weaowen.screaming.net/revision/nuclear/rsanim.htm
Description : Il s’agit d’une simulation de l’expérience de diffusion des
particules alpha contre une cible en or. Dans cette simulation, le noyau est
représenté par un point jaune et la particule alpha par un point rouge qui
est plus petit. Une diffusion effectuée par l’étudiant en suivant la marche
à suivre concernant le choix d’énergie de la particule alpha, le déplacement du point rouge puis en cliquant sur le bouton « fire ». Vous devez
effacer les traces avant la diffusion suivante. Si rien ne se passe lorsque
vous cliquez sur « fire », essayez de nouveau. Implémentation d’une série
de la marche à suivre constitue une expérience. L’expérience suivante
commence en cliquant sur le bouton « next » pour rétablir la position de
la particule alpha. Après plusieurs diffusions vous devez effacer les traces.
L’énergie de la particule alpha est restreinte entre 8 et 25 eV.
Référence : http://www.physics.brown.edu/physics/demopages/Demo/modern/demo/7d5010.htm
Résumé : Une animation du dispositif expérimental de la diffusion alpha
de Rutherford est exposée. 400 particules alpha sont lancées contre une
mince feuille d’or.
Référence : http://www.control.co.kr/java1/masong/absorb.html
Description : Il s’agit d’un applet Java démontrant le spectre d’absorption
d’un atome de Bohr.
Référence : http://www.eserc.stonybrook.edu/ProjectJava/Bragg/index.html
Description : Cet applet montre deux rayons incidents sur deux couches
atomiques d’un cristal, ex. atomes, ions et molécules séparés par la distance d. Les couches ressemblent à des rangées parce que les couches
sont projetées sur deux dimensions et vous avez un point de vue parallèle
aux couches. L’applet commence avec les rayons diffusés en phase et
interférant constructivement. La loi de Bragg est satisfaite et on obtient
une diffraction. Le compteur indique à quel point les phases des deux
rayons s’accordent. La petite lumière sur le compteur est verte lorsque
l’équation de Bragg est satisfaite et rouge lorsqu’elle ne l’est pas. On peut
observer le compteur alors que les trois variables de Bragg sont modifiées
en cliquant sur les flèches de défilement et en entrant les valeurs dans les
boîtes prévues à cet effet. Les variables d et q peuvent être modifiées en
utilisant les flèches sur les couches de cristal et le faisceau diffusé, respectivement.
XIV.Liens utiles
Lien utile #1
Titre : Atomic Model
URL : http://mhsweb.ci.manchester.ct.us/Library/webquests/atomicmodels.
htm
Capture d’écran:
Description: On y donne une description bien illustrée des théories atomiques
à travers le temps.
Justification : Complète le contenu de l’activité 1.
Lien utile #2
Titre : Atomic Spectra of Hydrogen
URL: http://physics.gmu.edu/~mary/Phys246/10Spectrophotometer.pdf
Capture d’écran:
Description: Dans ce lien on trouve une bonne description du spectre de l’hydrogène.
Consulté en mai 2007
Lien utile #3
Titre : Hydrogen Atom
URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_atom
Capture d’écran:
Description: On décrit dans cet article la physique de l’atome d’hydrogène.
Justification : L’atome d’hydrogène est un bon point de départ pour la description du spectre atomique en général, par conséquent, il est essentiel d’avoir les
connaissances fondamentales de la physique et donc de telles lectures additionnelles sont nécessaires.
Consulté en mai 2007
Lien utile #4
Titre : How light is made from the ordered motion of electrons in atoms and
molecules
URL: http://zebu.uoregon.edu/~soper/Light/atomspectra.html
Capture d’écran:
Description: On donne ici la façon dont le mouvement des électrons donne
naissance à des niveaux d’énergie discrets et donc à de la lumière.
Justification : Ceci est pertinent pour l’activité 3 du module.
Consulté le 28 mai 2007
Lien utile #5
Titre : NIST Atomic spectra Database
URL : http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/index.html
Description : Cette base de données donne accès à des données sur les niveaux
d’énergie, les longueurs d’onde et les probabilités de transition évaluées de façon
critique par le NIST et qui sont relativement à jour. Un tableau de niveaux fondamentaux et d’énergies d’ionisation pour les atomes neutres est donné. Vous pouvez
également trouver ici les liens vers d’autres bases de données de la NIST.
Consulté le 19 mai 2007
XV. Synthèse du module
Physique atomique
Dans ce module vous avez appris des choses relatives à un sujet de physique,
soit la physique atomique. Le sujet du module est une composante principale de
ce que l’on nomme la physique moderne, une discipline qui a vu le jour entre
la fin du 19e siècle et le début du 20e siècle. On vous a guidé à travers les développements historiques des théories atomiques, soit les théories de Dalton, de
Thompson, de Rutherford et de Bohr. Ces quatre scientifiques ont une place très
spéciale dans le développement de la physique atomique. Les travaux de Dalton
et de Thompson ont établi les fondations sur lesquelles Rutherford et Bohr ont
bâti leurs théories, au point que les modèles développés par ces derniers sont,
dans une certaine mesure, toujours en usage. Vous avez donc acquis les habiletés nécessaires pour résoudre des problèmes reliés aux modèles atomiques de
Rutherford et de Bohr.
Dans l’activité d’apprentissage 2 de ce module, vous avez appris des choses relatives au phénomène de décharge gazeuse et des débuts des rayons cathodiques
Ce phénomène a été un véritable casse-tête pour les scientifiques de l’époque,
mais a contribué à l’importante découverte de l’électron, la première particule
subatomique à avoir été découverte. Vers la fin de l’activité d’apprentissage, vous
avez fait l’expérience de la goutte d’huile de Millikan qui mena à la découverte
que la charge électrique est corpusculaire ou quantifiée.
Dans l’activité d’apprentissage 3, vous avez appris des choses relatives à l’évolution du spectre atomique et de l’unicité du spectre atomique pour chaque élément.
Cette unicité a des implications scientifiques et technologiques.
Dans l’Activité d’apprentissage 4, vous avez appris des choses relatives à l’origine des rayons X, au développement du spectre des rayons X et à l’unicité du
spectre de rayons X de chaque élément. Vers la fin de l’unité, nous avons résolu
des problèmes à l’aide de la loi de Moseley et nous verrons finalement les applications des rayons X comme outil d’analyse.
XVI. Évaluation sommative
1. (a) Le modèle atomique de Bohr se base sur quatre postulats. Énumérez-les
et donnez leur représentation mathématique. (b) Dérivez une expression pour
le rayon de la nième orbite de l’électron dans un atome d’hydrogène de nombre
atomique Z, où n dénote un nombre quantique principal. (c) Calculez le rayon
de l’orbite d’état fondamental de l’hydrogène.
2. Décrivez comment J.J.Tompson a mesuré le rapport de charge à masse de
q
E
l’électron et déduisez l’expression
où les symboles ont leur sens
=
m B2 R
usuel.
3. (a) Donnez la différence entre le moment d’orbite angulaire et le moment de
spin angulaire. Ensuite, définissez le moment angulaire total d’un électron
r
dans un atome. (b) Considérez les deux façons par lesquels les vecteurs L et
r
r
S s’additionnent pour former le vecteur J quand l=1 et s=½. Si l’angle entre
r
r
j( j + 1 ) − l( l + 1 ) − s( s + 1 )
L et S est q, démontrez que cosθ =
2 l( l + 1 )s( s + 1 )
4. On sait qu’un état d’atome d’hydrogène a le nombre quantique l=3. (a) Quels
sont les nombres quantiques n, ml, ms possible? (b) Quels sont les nombres
quantiques n, l, ml, ms pour les deux électrons de l’atome d’hélium dans son
état fondamental ? (c) Énoncez le principe d’Exclusion de Pauli. Utilisez son
principe pour déterminer l’état quantique de l’électron extérieur dans l’atome
de magnésium (Z=12).
5. (a) Distinguez le potentiel d’excitation d’énergie de celui d’ionisation. Démontrez votre réponse en vous référant à l’atome d’hydrogène. (b) Supposez
qu’un électron d’une couche intérieure est complètement enlevé d’un atome.
Comment l’énergie requise se compare-t-elle avec le potentiel d’ionisation
de l’atome ? Expliquez. (c) Un ion de sodium est neutralisé en capturant un
électron d’énergie 1eV. Quelle est la longueur d’onde du rayonnement émis
si le potentiel d’ionisation du sodium est 5,4 volts ?
6. (a) Dans ses travaux sur la structure de l’atome, Rutherford a réalisé une
expérience importante. Décrivez brièvement cette expérience. Quelle a été
la principale conclusion tirée de cette expérience ? (b) Quelle est la distance
d’approche la plus proche qu’une particule alpha de r 5 MeV peut parcourir
avec un noyau d’or initialement stationnaire. (ZAU=79)
7. Un faisceau d’électrons de 100 KeV incident sur une cible de Mo (Z=42).
Les énergies de liaison des électrons de cœur pour les couches K et L dans
Mo sont données dans le tableau suivant :
Couche
K
LI
LII
LIII
Orbitale
1s
2s
2p
2p
Énergie de liaison , keV
20.000
2.866
2.625
2.520
Calculez les longueurs d’onde des rayons X Ka émis.
Charte des réponses :
1. (a) Postulats de Bohr : Postulat 1 : La force Coulomb est équilibrée par la
force centripète.
Postulat 2 : L = n h ; postulat 3 : E n = −
meqe4 1
8h2ε 02 n2
Postulat 4: ΔE = E i − E f
(b)Rayon de Bohr rn =
ε 0 nh2
π me Ze2
(c) Dans l’état fondamental n=1, de façon à
ce que le rayon de Bohr soit r1.
2. Dans le tube de Thompson, la force électrique est équilibrée par la force
magnétique.
r
3. (a) Le moment orbital angulaire L est causé par la rotation de l’électron dans
r
son orbite. Le moment de spin angulaire S n’a pas d’analogue classique. Le
r
r
moment angulaire total est la somme de L et de S .
r
r
(b)La somme des vecteurs L et S
En appliquant la règle du cosinus au triangle formé par les vecteurs J, L et S,
nous obtenons :
cosθ =
J 2 − L2 − S 2
2L S
Mais L =
l( l + 1 )h ; S = s( s + 1 )h et J =
Après substitution nous avons cosθ =
j( j + 1 )h
j( j + 1 ) − l( l + 1 ) − s( s + 1 )
2 l( l + 1 )s( s + 1 )
4. (a) Si l=3, alors ms=±1/2, ml=0, ±1, ±2, ±3, n = 4.
(b)
Nombre quantique
n
l
ml
ms
(c)
Electron 1
Electron 2
1
0
0
+1/2
1
0
0
-1/2
Deux électrons ne peuvent occuper le même état d’énergie défini par le même
nombre quantique.
Électrons extérieurs
Nombre quantique
n
l
ml
ms
Electron 1
Electron 2
3
0
0
+1/2
3
0
0
-1/2
5. (a) L’énergie d’excitation est l’énergie requise pour élever un électron d’un
atome d’un état d’énergie inférieur à un niveau supérieur, alors que le potentiel d’ionisation est l’énergie requise pour enlever complètement un électron
extérieur de l’atome.
(b) Le potentiel d’ionisation est moindre. L’énergie requise est plus grande pour
enlever un électron d’une couche intérieure.
(c) L’énergie du rayonnement émis = (5,41 - 1) eV, donc l = hc/E = 2,82 x10-7
m.
(
)
6. (b) En utilisant cot θ / 2 =
=> b =
connu.
3.795
cot θ / 2
ε0
(
)
4πε 0T
2Ze2
b où T=5,3 MeV et Z=79.
cette expression est adéquate puisque q est in-
7. Les transitions sont sujettes à la règle de sélection Dl = ±1.
o
λ=
c hc
hc
=
=
ν hν E i − E
=
f
12.4 keV . A
Ei − E
f
où Ei est l’énergie initiale et Ef
est l’énergie finale.
Évaluation du module
Le total des résultats dans les tâches, devoirs et dans les quatre activités d’apprentissage devraient constituer environ 40% du total et l’évaluation sommative,
quant à elle, environ 60%.
XVII.Références
Foot C.J.(2005) Atomic Physics, Oxford University Press, Chapitres 1 et 2.Willmont, J.C. (1975), Atomic Physics, Wiley.
Beiser A., (2004) Applied Physics, 4ième éd., Tata McGraw_Hill edition, New
Delhi, Inde.
Bernstein, J.Fishbane, P.M. and Gasiorowicz, Modern Physics, Prentice Hall.
Anderson, E.E. 1971, Modern Physics and Quantum Mechanics, W.B.Saunders
Co. Philadelphie.
Cohen-Tannoudji,C., Diu, B., Laloe, F. 1977, Quantum Mechanics, John Wiley
and Sons Inc., Paris.
Gasiorowicz, S. 1974, Quantum Physics, John Wiley and Sons Inc., New York.
Liboff, R.L. 1980, Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley Publishing
Co. Inc., New York.
Landau, L.D. and Lifshiftz, E.M., 1958, Quantum Mechanics Non-RelativisticTheory, Addison-Wesley Publishing Co. Inc., Londre.
Merzbacher,E., 1961, Quantum Mechanics, John Wiley and Sons Inc., New
York
Rae, A.I.M., 1986, Quantum Mechanics, Adam Hilger/English Language Book
Society, Bristol.
XVIII.Auteur du module
À propos de l’auteur de ce module
Christopher Amelye KIWANGA
Professeur de physique associé
L’Université ouverte de Tanzanie
Boîte postale 23409
DAR ES SALAAM
TANZANIE
Courriel : [email protected] , [email protected]
Brève biographie
Je suis gradué de l’Université de Lancaster, R-U, où j’ai obtenu ma maîtrise et
mon doctorat en physique, et j’ai obtenu mon baccalauréat à l’Université de Dar
en Salaam, Tanzanie.
Pour mon doctorat et ma maîtrise, j’ai travaillé sur la physique électronique. J’ai
écrit une thèse sur les émissions d’électrons de champ sur les surfaces recouvertes de sélénium et une dissertation sur la diffusion du chrome dans l’arséniure
de gallium.
À mon retour en Tanzanie, j’ai travaillé sur les applications des radiations pour
l’analyse des sulphides de la mine d’or du lac Victoria.
J’ai enseigné 29 ans à l’Université de Dar es Salaam et six ans à l’Université
ouverte de Tanzanie.
Vous êtes bienvenus à communiquer avec l’auteur pour toute question, opinion,
suggestion, etc. concernant ce module.
XIX.Structure du fichier
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Résumé : Les sept lectures obligatoires du module sont regroupées dans
un seul fichier PDF.
PHYSIQUES DE L’ATOME
Lectures Obligatoires
Source: Wikipedia.org
1
Table des matières
Modèle de Bohr ........................................................................................................................................... 4
Principe ................................................................................................................................................... 4
Théorie .................................................................................................................................................... 4
L'énergie mécanique .......................................................................................................................... 4
Quantification ..................................................................................................................................... 5
Résultats .............................................................................................................................................. 5
Note historique ....................................................................................................................................... 6
Remarques et conséquences .............................................................................................................. 7
Atome d'hydrogène ..................................................................................................................................... 8
Note d'histoire : la période 1913-1925 .................................................................................................. 8
L'équation de Schrödinger d'évolution ou dépendant du temps ................................................... 8
Equation de Schrödinger stationnaire ou indépendante du temps .............................................. 10
État fondamental .................................................................................................................................. 10
Vérification ....................................................................................................................................... 11
Densité de probabilité de présence ................................................................................................. 12
Orbitale 1s ......................................................................................................................................... 12
Note : espace des impulsions ........................................................................................................... 13
Conclusion ........................................................................................................................................ 14
Orbitales ............................................................................................................................................... 14
Résonance acoustique ...................................................................................................................... 14
Résonance de l'atome ....................................................................................................................... 14
Couche K ........................................................................................................................................... 15
Couche L ........................................................................................................................................... 16
Couche M .......................................................................................................................................... 16
Récapitulatif des couches K, L, M .................................................................................................. 17
Spectre électromagnétique ....................................................................................................................... 18
Histoire .................................................................................................................................................. 19
Unités de mesures ................................................................................................................................. 20
Spectre lumineux .................................................................................................................................. 20
Usages et classification ......................................................................................................................... 21
Spectre d'émission ................................................................................................................................ 24
2
Spectre d'absorption ............................................................................................................................ 24
Diffractométrie de rayons X ............................................................................................................. 25
Présentation générale ................................................................................................................. 25
Champ d'application ................................................................................................................ 26
Méthode ................................................................................................................................. 26
Applications ............................................................................................................................ 26
Interaction rayons X-matière ....................................................................................................... 26
Applications de la DRX ................................................................................................................. 27
Identification de phases cristallines .......................................................................................... 27
Analyse quantitative ................................................................................................................ 30
Mesure de contraintes ............................................................................................................. 33
Mesure de la texture ................................................................................................................ 33
Détermination de structures cristallographiques ...................................................................... 33
Effet Zeeman ............................................................................................................................................. 35
Histoire .................................................................................................................................................. 35
Phénomène ............................................................................................................................................ 35
Effet Zeeman normal ........................................................................................................................... 35
Applications en astrophysique ............................................................................................................ 36
Principe d'exclusion de Pauli ................................................................................................................... 37
Énoncé en mécanique quantique ........................................................................................................ 37
Dérivation des principes de la mécanique quantique ....................................................................... 38
Utilisation en astrophysique ................................................................................................................ 39
Énoncé relativiste ................................................................................................................................. 39
Particules échappant au principe d'exclusion ................................................................................... 39
Atome à N électrons .................................................................................................................................. 39
Classification rationnelle ..................................................................................................................... 40
3
Modèle de Bohr
Le modèle de Bohr est une théorie physique, basée sur le modèle planétaire de Rutherford,
cherchant à comprendre la constitution d'un atome, et plus particulièrement, celui de l'hydrogène
et des ions hydrogénoïdes (ions ne possédant qu'un seul électron).
Principe []
Schématisation des orbites circulaires dans le modèle de Bohr.
Ce modèle est un complément du modèle planétaire d'Ernest Rutherford qui décrit l'atome
d'hydrogène comme un noyau massif et chargé positivement, autour duquel se déplace un
électron chargé négativement.
Le problème posé par ce modèle est que l'électron, charge électrique accélérée, devrait selon la
physique classique, rayonner de l'énergie et donc finir par s'écraser sur le noyau.
Niels Bohr propose d'ajouter deux contraintes :
1. L'électron ne rayonne aucune énergie lorsqu'il se trouve sur une orbite stable (ou orbite
stationnaire). Ces orbites stables sont différenciées, quantifiées. Ce sont les seules orbites
sur lesquelles l'électron peut tourner.
2. L'électron ne rayonne ou n'absorbe de l'énergie que lors d'un changement d'orbite.
Pour commodité de lecture, les orbites possibles de l'électron sont représentées dans la littérature
comme des cercles de diamètres quantifiés (Dans la réalité, il n'existe pas de position ni de
vitesse précise d'un électron, et il ne peut donc parcourir un « cercle » ; son orbitale peut en
revanche être parfois sphérique).
Théorie []
L'atome d'hydrogène est modélisé par un électron de masse m tournant autour du proton.
L'énergie mécanique []
4
L'interaction entre ces deux particules est électrostatique: la force intervenant est la force de
Coulomb. Ceci nous permet donc d'écrire l'énergie potentielle de l'électron à une distance r du
noyau :


ε0 est la permittivité du vide
qe est la charge de l'électron

, par souci de simplification d'écriture ( cf système d'unités atomiques ).
D'autre part, comme il est question d'un mouvement à force centrale, l'accélération de cet
électron vaut
où v est la vitesse de l'électron, et est le vecteur unitaire
centrifuge. Le principe fondamental de la dynamique implique alors :
On peut alors calculer l'énergie cinétique :
Finalement, on obtient l'énergie mécanique :
Quantification []
Ici intervient alors la quantification du moment cinétique : selon l'hypothèse de Bohr :
où n est un entier positif non nul, et est la constante de Planck "réduite" ( d'un facteur
2 π).
: seules les orbites ayant ce moment cinétique ne rayonnent pas : les orbites sont donc
"quantifiées" par le nombre entier n positif. Cette relation s'écrit :
Cette quantification a été confirmée par l'expérience de Franck et Hertz. L'intérêt de cette
expérience est de montrer que la quantification n'est pas seulement due à la quantification de la
lumière, mais bien à la quantification de l'orbite des électrons présents dans l'atome.
Résultats []

Les deux équations précédentes:
5
et
permettent de calculer la distance entre le noyau et l'électron, r ( ainsi que la vitesse v ):
où

est le rayon de Bohr, soit environ 53 pm.
L'énergie totale de l'électron est aussi quantifiée :
avec
E1 est une unité d'énergie, appelée énergie de Rydberg (cf constante de Rydberg), et vaut
environ -13.6 eV.
Néanmoins cette théorie, même modifiée par Sommerfeld pour tenir compte des orbites
elliptiques, ne survivra pas à la révolution de la mécanique quantique en 1926.
Note historique []
Durant les XVIIIe et XIXe siècles, on mesure, par spectroscopie, des spectres de différentes
sources lumineuses comme le soleil ou la lampe à hydrogène. Depuis Thomas Melvill (17261753) en 1750, on a observé que ces spectres sont formés de raies.
La spectroscopie théorique naît avec les lois de Bunsen (1811-1899) et de Kirchhoff (1824-1887)
publiées en 1859. Niels Bohr (1885-1962) est le premier à pouvoir expliquer ce phénomène de
quantification en 1913.
6
Il avait été guidé par l'expression simple d'une formule (dite de Balmer), qui associe les
fréquences des raies composant le spectre de l'hydrogène, à la différence entre deux termes
d'énergie. En effet, Balmer (1825-1898) trouva empiriquement la relation donnant les longueurs
d'onde des raies :
en accord avec les raies trouvées dans le visible par
Ångström et dans l'ultra-violet par Huggins. Cela a permis de décrire l'atome comme émettant ou
absorbant une certaine quantité d'énergie quantifiée (le photon).
Or la théorie planétaire de Rutherford de 1911 se heurtait à la théorie du rayonnement de
l'électron accéléré. En effet, cet électron émettait de l'énergie et devait s'écraser sur le noyau au
bout de quelques millions de révolutions, ce qui correspond à une nanoseconde.
En 1913, Bohr a introduit ses deux postulats pour rendre le modèle compatible avec ces
observations. Il suppose que l'électron parcourt différentes orbites circulaires quantifiées autour
du noyau : lorsque l'électron change d'orbite, un photon transportant de l'énergie est émis. Les
orbites deviennent donc niveaux d'énergie. Le spectre atomique de l'hydrogène, et le problème
du modèle de Rutherford étaient ainsi expliqués.
Niels Bohr publia alors en juillet 1913 son article : On the constitution of atoms and molecules,
Philosophical Magazine, series 6, vol. 26, July 1913,p 1-25. Dans celui-ci, il explique pourquoi,
après les expériences de Geiger (1913), il opte pour l'atome planétaire de Rutherford (1911)
contre l'atome de Thomson (1904). Il indique qu'il est redevable à Planck de la notion de quanta
et de la constante de Planck. Il reconnaît à l'astronome Nicholson (1912) l'idée de considérer le
moment cinétique.
Remarques et conséquences []
La formule de Balmer ne satisfait pas Bohr dans la mesure où cette longueur d'onde est
monochromatique, et ne correspond à aucune oscillation de l'électron : il n'y a pas de résonance.
D'autre part, il n'y a pas de référence à la masse réduite dans cet article, alors qu'elle est souvent
présentée comme un succès pour expliquer le passage de la constante de Rydberg théorique R∞ à
la constante de Rydberg pour l'atome d'hydrogène RH.
Toutefois, l'énigme de l'hydrogène de Pickering, moins citée, a pu être résolue : l'astronome
Pickering publie des séries de raies qui s'accordent avec la théorie de Rydberg, mais en prenant n
et m demi-entiers (1895). Fowler le confirme (Décembre 1912) dans une expérience terrestre
avec un tube contenant de l'hydrogène et de l'hélium. Bohr a alors l'idée de la réaction suivante:
H + He → H– + He+, et déclare que l'on voit le spectre de l'ion hydrogénoïde He+ (avec une
constante de Rydberg quadruple) et que l'hydrogène de Pickering n'existe pas. De plus, il
interprète alors les raies des alcalins avec des modifications légères des termes de Ritz par des
entiers effectifs.
Néanmoins sa théorie ne permet d'interpréter ni le spectre des autres atomes ni celui des
molécules.
7
Pour la théorie de l'état s de l'hydrogène, il faudra attendre 1926 et l'apparition du principe
d'incertitude.
Atome d'hydrogène
L'atome d'hydrogène est un atome composé d'un proton et d'un électron. C'est l'atome le plus
simple qui existe et le premier élément de la classification périodique. L'électron et le proton sont
liés par la force de Coulomb, étant donné que leurs charges sont opposées.
La compréhension de la théorie quantique de cet atome fut très importante car elle a notamment
permis de développer la théorie des atomes à N électrons, mais aussi de valider les théories de la
physique quantique au fur et à mesure des progrès accomplis : d'abord l'ancienne théorie des
quanta[1], la mécanique quantique non relativiste, puis la mécanique quantique relativiste de
Dirac, et enfin la théorie quantique des champs.
Dans le cadre de la mécanique quantique, l'atome d'hydrogène est modélisé comme un problème
à deux corps, et est soluble analytiquement. Il est ainsi possible d'en déduire les niveaux
d'énergie, et de les comparer aux mesures des raies spectrales.
Note d'histoire : la période 1913-1925 []
L'étude du spectre de l'atome d'hydrogène avait déjà été effectuée de façon empirique par Balmer
(1825-1898) au 19e siècle. La mise en évidence de régularités dans le spectre, inexplicable par la
théorie classique, fut longtemps une énigme. En 1913, la théorie de l'atome de Bohr ne put pas
expliquer le cas du moment cinétique nul, mais elle introduit une hypothèse ad hoc selon laquelle
les orbites était quantifiées, ce qui était inconciliable avec la théorie classique.
Ce modèle n'était pas satisfaisant, car il ne permettait pas d'expliquer la spectroscopie des
éléments, comme l'hélium[2], bien que très vite, Bohr put expliquer la spectroscopie des ions He+
et Li++.
On savait qu'il existait, en spectroscopie, deux « sortes » d'hélium, mais l'énigme restait entière,
et ne relevait pas du tout de l'astuce de l'hydrogène de Pickering[3]. L'apport de Sommerfeld en
introduisant la théorie des ellipses de Rutherford permit bien d'introduire la notion de moment
cinétique orbital, mais fut une impasse. La théorie de Bohr fut contredite par l'effet Zeeman, et
par la théorie du moment cinétique quantique de Pauli. Il était impossible d'expliquer le spectre
de l'atome d'hydrogène pour les raies très voisines, correspondant à la structure fine. Dès 1924,
Pauli comprend la notion de spin de l'électron et introduit son incompréhensible principe
d'exclusion de Pauli qui ne deviendra un théorème que dans la théorie quantique relativiste.
Grâce à ce principe et à l'« Aufbau-prinzip », la classification périodique commence à recevoir
un statut plus théorique.
L'équation de Schrödinger d'évolution ou dépendant du temps []
8
L'observable position est réduite, ici, à la distance au noyau. Et l'observable impulsion est
, d'après l'explication magistrale (postérieure) de Dirac. Et on rappelle que d'après
Born, Ψ(r,t) est l'amplitude de probabilité de présence de l'électron (1927). Cela lui donnera le
prix Nobel en 1954.
Cette théorie avait pour fondement la notion mathématique des opérateurs linéaires dits
observables (de l'opérateur hermitien, complet) dans un espace vectoriel abstrait, muni de la
structure d'espace de Hilbert;
de ce fait la théorie fut autrefois appelée : mécanique des matrices, inventée dès 1925 par
Heisenberg et utilisée brillamment par Pauli pour trouver le spectre de l'hydrogène, dès 1925.
Mais cette théorie de Pauli était trop en avance sur son temps.

Schrödinger, dès 1926, montra que la théorie d'Heisenberg se réduisait à la sienne, et que
sa théorie donnait, grâce à sa fameuse fonction d'onde Ψ(r,t),(encore incomprise en
1926), TOUT sur l'état stationnaire de l'électron « autour du noyau », SANS
TRAJECTOIRE (mais ceci ne fut compris qu'en 1929/1930 grâce à Born, Jordan et Von
Neumann, puis Dirac).

On se doit de noter, ici, l'absence de deux grands physiciens : Einstein et Bohr. Leurs
correspondances de 1926 à 1935 montrent qu'ils auraient tellement voulu que cette
théorie soit pleinement compréhensible !

Cela étant, la Théorie de Pauli de l'atome d'hydrogène était pourtant vraiment la plus
profonde, et cela est maintenant reconnu par tous les récents ouvrages (environ depuis
1964).
Complètement acquise au XXIe siècle, via le vecteur de Runge-Lenz quantique, la théorie de
Pauli est ENFIN en pleine lumière, après plus de quatre-vingt ans ! C'est dire que le progrès de
l'interdisciplinarité (ici théorie mathématique de l'intégrabilité et symétrie en chimie) est lent.
Ainsi, Schrödinger put donc déduire en 1926 le spectre de l'hydrogène à partir des valeurs
propres de l'opérateur linéaire , appelé « hamiltonien » :

ses valeurs propres redonnaient exactement les valeurs de l'énergie trouvées dans
l'ancienne théorie de l'atome de Bohr (1913),
mais il obtint bien plus :
9

les fonctions d'onde de chaque valeur propre, c’est-à-dire la probabilité de trouver
l'électron à telle ou telle position en régime stationnaire (cf orbitale de l'atome
d'hydrogène).
Cela dit, résoudre l'équation précédente est un effort mathématique très difficile pour tout
physicien non rompu à la pratique des équations aux dérivées partielles. Mais plus encore, la
disparition de la notion de trajectoire et le concept d'électronde remplaçant celui d'un
électron fut TRÈS difficile à admettre (cf mécanique quantique). C'est CELA qui explique la
"réticence" d'Einstein. Et, c'est une heureuse chance que l'équation pour l'atome d'hydrogène fût
intégrable !
Equation de Schrödinger stationnaire ou indépendante du temps []
Cette équation, la plus utilisée en pratique, ne découle pas de façon évidente de la précédente,
nous ne la démontrerons donc pas ici. L'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du
temps est
où est le laplacien. V est le potentiel coulombien du proton, indépendant du temps et E-V
l'énergie cinétique de l'électron :
Le laplacien, en coordonnées sphériques, s'écrit:
La résolution complète de l'équation de Schrödinger de l'atome d'hydrogène est compliquée mais
on peut la simplifier sachant que les niveaux d'énergie de type s, de symétrie sphérique, sont les
mêmes que ceux qu'on obtient avec la théorie de Bohr. La théorie de Schrödinger la complète en
faisant apparaître les modes de vibration angulaires en plus des modes radiaux: ce sont les
harmoniques sphériques. On en trouvera la résolution chez Feynman[4].
État fondamental []
En fait, dans le cas de l'atome d'hydrogène, on peut trouver la solution de l'état fondamental
(c'est-à-dire de plus basse énergie) rigoureusement, en s'aidant uniquement du principe
d'incertitude d'Heisenberg. C'est une façon très élégante de procéder, sans beaucoup de
mathématiques.
10
En effet, très vite, (en 1929), Werner Heisenberg fait comprendre un des points-clefs de la
mécanique quantique : Les grandeurs physiques ne sont plus des fonctions
de l'espace
de la position et de la vitesse (appelé en mécanique classique hamiltonienne, l'espace des
phases) : cet espace n'est pas pertinent en mécanique quantique. Les grandeurs physiques
doivent être remplacées par des opérateurs linéaires observables sur un espace vectoriel
(de Hilbert) et les valeurs propres, réelles, de ces matrices seront les valeurs expérimentalement
mesurées. Comme l'opérateur position et l'opérateur impulsion ne commutent pas, il en
résulte le théorème d'inégalité de Heisenberg) :
=> variance (p) . variance (x) (>ou égal)
.
Alors, dans le cas d'égalité stricte - on dit que l'inégalité a été saturée à sa limite - la saturation
des inégalités d'Heisenberg donne un moyen rigoureux de calculer la fonction d'onde,Ψ1s(x,y,z),
de l'état fondamental de l'atome d'hydrogène.
Ce problème de valeur propre et de vecteur propre est donc résolu, dans l'article Saturation des
inégalités d'Heisenberg, pour la plus basse énergie (cf. atome de Bohr) ; et cela donne:
N' étant la constante, réelle, dite de normalisation de la probabilité.
Vérification []
On va se contenter, ici, de vérifier que ceci est vrai en insérant directement cette solution dans
l'équation de Schrödinger.
Premièrement, dans cette équation, la variable temps se sépare immédiatement :
dans ce cas dit stationnaire, cela amène à trouver les valeurs propres de l'opérateur linéaire H
dans l'espace L2 des fonctions des trois variables ƒ(x, y, z) à valeur complexe, de carré
sommable :
11
.
Or, dans ce cas, cette fonction uniquement de r a pour Laplacien, la valeur usuelle
.
De plus, on se sert évidemment des unités atomiques, qui a été introduit à cet usage. Cela revient
à faire
coulombiennes :
dans les calculs ; Landau (p142) appelle ce système d'unités
ƒ = ƒ, ƒ' = - ƒ ;
donc il s'agit de vérifier si :
-1/2·(ƒ + 2/r·(-ƒ)) + 1/r·ƒ = -1/2·ƒ
qui est vrai.
Densité de probabilité de présence []
0n en déduit aussitôt la probabilité dp de trouver l'électron à une distance du noyau comprise
entre r et r+dr : elle est donnée par dp = P(r)·dr :
.
Sur le graphique de la densité de probabilité, la distance au noyau est donnée en multiple du
premier rayon de Bohr, on voit immédiatement que la probabilité est maximale au premier rayon
de Bohr :
Orbitale 1s []
Cette solution s'appelle en chimie l'orbitale 1s.
On pourra vérifier le théorème du viriel :
moyenne de 1/r = 1/a0
et le théorème d'Ehrenfest :
moyenne de 1/r² = 2/a²
12
La moyenne de r n'est pas a, mais (3/2)·a ; [de manière générale, l'inverse de la moyenne n'est
pas la moyenne de l'inverse ].
Et la moyenne de r² vaut : 3a², donc la variance de r vaut (3-9/4)·a² = 0,75·a² ; soit un écart-type
= 0,866·a², ce qui est très grand.
L'électronde est dite délocalisée dans un espace, qui malgré tout reste de volume fini, au sens
physique : au bout de 3a, la probabilité de détecter l'électronde est très faible (on parle d'orbitale
sphérique), typiquement en chimie quantique, on convient formellement de tracer la méridienne
de la surface qui englobe en gros 98 % de chance d'y trouver l'électron :
ici r = 3/2 + 1,732 ~ 3,2·a. Ceci est très conventionnel.
Note : espace des impulsions []
L'opérateur impulsion a évidemment une moyenne nulle (symétrie sphérique), mais l'opérateur
P² vaut 2m·Ec, dont la valeur moyenne est par le théorème du viriel
<P²> = -2m·Ec, soit en unités atomiques +2·1/2 = 1.
Donc la variance de P vaut
.
On retrouve bien (heureusement!) ce dont on était parti dans l'article Saturation des inégalités
d'Heisenberg.
Mais, on peut aller un peu plus loin [ ne jamais perdre de vue que l'espace des impulsions joue
un rôle égal à celui des positions, bien qu'il soit moins étudié en chimie] :
Remarque : représentation dite des impulsions
La transformée de Fourier de
est
, avec la même règle de Born bien sûr :
donne la densité de probabilité dans l'espace des impulsions. Le calcul de la
transformée de Fourier de exp-r donne 1/(1+p²)² et donc on peut calculer de même la
distribution des impulsions et retrouver la variance de p, et la valeur moyenne de l'énergie
cinétique : il est très important de faire ces calculs pour bien comprendre que l'électronde,
bien que dans un état stationnaire, ne cesse de « bouger » : il est aussi délocalisé en
impulsion.
En fait, ce n'est pas une particule, ce n'est pas une onde, c'est une entité nouvelle, la
« particlonde », qui ne satisfait plus les équations de la mécanique classique (dans la
version dite d'Hamilton), ni l'équation des ondes de l'optique, ni l'équation de la diffusion,
mais cette drôle d'équation, l'équation de Schrödinger qui ne se laisse appréhender
concrètement que dans la vision lagrangienne de Dirac et Feynman(on parle d'intégrale
de chemins ( et parfois l'équation de Schrödinger est appelée équation de cheminement)).
13
Si bien que l'énergie cinétique n'est pas du tout négligeable, puisqu'égale à 50% de
l'énergie potentielle en module.
Remarque : Kleinert, élève de Feynman, a réussi à donner l'interprétation du « cheminement »
dans le cas de l'atome d'hydrogène, mais cela reste une prouesse. En ce sens , pour les chimistes,
le seul vrai progrès notable depuis Hartree-Fock et Clementi a été (pour l'atome à N électrons), la
notion de densité fonctionnelle de Kohn (Nobel de chimie 1998).
Conclusion []
Il faut garder en mémoire toujours ces deux aspects, le couple [Ψ(r),Φ(p)], pour bien
comprendre l'aspect non statique, mais stationnaire de cette délocalisation de l'électronde.
Beaucoup de livres proposent comme règle empirique : si l'électronde est localisé dans une
région de l'ordre de r = a, lui donner une énergie cinétique de l'ordre de
présent, cela, donne une énergie totale
est le rayon de Bohr :
. Dans le cas
dont le minimum est bien
, où a
.
C'est une façon simple et élégante d'introduire les OdG ( ordre de grandeur)de l'atome, souvent
reprise dans les bons ouvrages.
Orbitales []
Résonance acoustique []
Nous allons obtenir la structure de l'atome d'hydrogène en dénombrant les modes de vibration de
la sphère. Le mode de vibration fondamental, dont la fréquence est la plus élevée, est toujours
sphérique. Lorsque la vitesse des ondes est constante, il correspond à une longueur d'onde égale
à deux fois le diamètre, comme pour une corde vibrante où le fondamental a une longueur d'onde
double de la longueur de la corde lorsqu'elle est encastrée ou libre à chacune de ses extrémités.
Dans un cube, les résonances apparaissent lorsque les demi-longueurs d'onde sont des fractions
entières du côté du cube avec un ventre au centre du cube. Le premier harmonique du cube
présente un nœud au milieu, comme pour la corde vibrante. Son nombre quantique principal est
n=2. Il y a trois façons de le placer, selon les trois directions de l'espace, ce qui donne trois
modes de vibration de même énergie, autrement dit dégénérés. Il peut aussi y avoir un noeud au
centre du cube. Il y a donc 4 possibilités.
Résonance de l'atome []
14
Il en est de même pour la sphère qui aura un nœud au centre soit un nombre quantique
secondaire l=1. Comme pour le cube, il y a trois façons de le placer, selon les trois directions de
l'espace, ce qui donne trois modes de vibration de même énergie, autrement dit dégénérés. Il peut
aussi y avoir un noeud de symétrie sphérique, en son centre. Il y a donc 4 possibilités comme
pour le cube.
Lorsqu'on augmente la fréquence de vibration, c'est-à-dire l'énergie de vibration, le nombre de
nœuds augmente d'une unité à chaque fois. On obtient ainsi les harmoniques successifs qui ne
sont généralement pas des harmoniques au sens musical du terme. Les harmoniques, au sens
mathématique, du tambour, par exemple, ne sont pas des harmoniques au sens musical car ils ne
sont pas des multiples entiers du fondamental. Il en est de même dans l'atome.
Dans l'atome d'hydrogène où la vitesse des ondes de de Broglie est fonction du potentiel
électrostatique du noyau, le mode fondamental correspond au nombre quantique principal n=1.
La théorie de Schrödinger fait apparaître deux nombres quantiques supplémentaires, le nombre
quantique secondaire l et le nombre quantique magnétique m, nuls pour le mode fondamental
n=1.
On n'utilise pas les coordonnées cartésiennes pour la sphère, mais la colatitude θ et la longitude
. On peut se passer de la variable r grâce à Bohr car la théorie de Schrödinger prévoit les
mêmes niveaux d'énergie. L'axe principal est vertical, celui pour lequel θ = 0. Pour le premier
harmonique, n = 2, on a trois orientations possibles pour le nœud, un nœud selon l'équateur, les
deux autres des méridiens. On pourrait prendre des méridiens perpendiculaires, mais il revient au
même de n'en prendre qu'un seul et de le faire tourner dans un sens ou dans l'autre, ce qui
correspond au nombre quantique magnétique m = ± 1. On fait donc varier m entre - 1 et + 1.
En résumé, le nombre quantique principal n donne le nombre de nœuds. Le nombre quantique
secondaire l < n donne le nombre de configurations possibles pour les nœuds et m les numérote
de - (l - 1) à l - 1.
Les orbitales sont d'abord représentées de façon simplifiée avec les nœuds des harmoniques
sphériques sans les ventres (les « larmes »). La représentation est polaire, comme la Terre, en
coordonnées sphériques. On donne ensuite une représentation sous forme de « larmes » puis un
tableau récapitulatif. Il y a deux fois plus d'états quantiques que de modes de vibration en vertu
du principe d'exclusion de Pauli.
Couche K []
1 orbitale sphérique (1s) []
C'est l'état fondamental, de symétrie sphérique 1s, un nœud de vibration sphérique, qu'on peut
placer soit sur la périphérie, à l'infini, soit sur le noyau. Les nombres quantiques correspondants
sont :
15
Il n'y a qu'un mode de vibration car les valeurs m = + 0 = m = - 0. En vertu du principe
d'exclusion de Pauli, la couche K n'a qu'une seule orbitale et ne peut contenir que deux électrons
au maximum. Avec un électron, on a l'hydrogène. Avec deux, on a l'hélium.
Couche L []
1 orbitale sphérique (2s) []
Elle comprend une orbitale sphérique 2s, soit un nœud de vibration sphérique et deux états
quantiques, donc deux éléments (Li et Be) :
3 orbitales (2p) []
Une orbitale de symétrie de révolution et deux autres avec un méridien, de symétrie axiale. Le
méridien pouvant tourner dans un sens ou dans l'autre,il y a deux valeurs du nombre quantique
magnétique m :
En additionnant les orbitales des couches K et L, on a 5 orbitales soit, en vertu du principe de
Pauli, 10 électrons et un numéro atomique N=10 correspondant au néon. Cela permet non
seulement de comprendre l'atome d'hydrogène mais aussi de construire la table de Mendeleiev.
Couche M []
1 orbitale (3s) sphérique []
3 orbitales (3p) []
Comme pour la couche L sauf qu'il y a un nœud sphérique en plus.
16
5 orbitales (3d) []
Les orbitales m ≠ 0 sont doubles.
(
symétrie de révolution)
(trèfle à quatre lobes dxy et
)
(trèfle à quatre lobes dxz et dyz)
On peut aussi représenter les orbitales d de la couche M, en larmes d'eau :
Pour plus de détails voir harmoniques sphériques. On remarquera l'anneau sur l'orbitale
révolution qu'on retrouve sur les atomes hydrogénoïdes ou atome de Rydberg.
de
Récapitulatif des couches K, L, M []
17
Cette figure résume les modes de vibration qu'on rencontre dans les trois couches K, L, M.
Chaque couche reprend la couche précédente avec un nœud de plus.
Les orbitales de gauche, sphériques, sont simples. Les orbitales p sont triples avec un nœud plan
et les orbitales d quintuples avec deux nœuds plans.
Chaque couche contient les couches inférieures, par exemple en dessous de la sous-couche 3p,
on a les sous-couches 1s,2s,2p et 3s. D'après le principe d'exclusion de Pauli, le nombre maximal
d'électrons dans une sous-couche doit être pair. Considérons le cas du sodium Na. Toutes les
couches seront remplies jusqu'à la sous-couche 3s avec un électron célibataire. Sa structure
électronique s'écrit 1s22s22p63s1 ou [Ne]s1, ce qui fait un total de Z = 11 électrons, numéro
atomique du sodium Na qui suit immédiatement Ne. On marie l'électron célibataire du sodium
pour obtenir le magnésium. On remplit la couche 3p avec six électrons pour obtenir l'argon Ar.
Tous les gaz rares ont une sous-couche externe de type p sauf l'hélium avec une sous-couche s.
Au-delà de l'argon, il y a une anomalie due à la répulsion électrostatique entre les électrons : le
mode 4s se met à la place de 3d. Le modèle de l'atome d'hydrogène ne s'applique donc que
jusqu'à l'argon. Au-delà, l'ordre des sous-couches diffère de celui prévu par le modèle de la
cavité sphérique comme de celui de Schrödinger. Pour prévoir l'ordre réel on a des règles
empiriques (Aufbau, Hund, Klechkowski ou Madelung). Connaissant ces anomalies, on peut
construire la Table périodique des éléments ou [1]
Spectre électromagnétique
18
Le spectre électromagnétique est la décomposition du rayonnement électromagnétique selon
ses différentes composantes en termes de fréquence (ou période), d'énergie des photons ou
encore de longueur d’onde associée, les quatre grandeurs ν (fréquence), T (période), E (énergie)
et λ (longueur d’onde) étant liées deux à deux par :


la constante de Planck (approx. 6,626069×10-34 J⋅s ≈ 4,13567 feV/Hz)
et la vitesse de la lumière (exactement 299 792 458 m/s),
selon les formules :
pour l’énergie transportée par le photon,


pour le déplacement dans le vide (relativiste dans tous les référentiels)
du photon,
d’où aussi :

.
[Enrouler]
v·d·m
Spectre électromagnétique
Spectre électromagnétique : Radioélectricité · Spectre radiofréquence · Bandes VHF-UHF ·
Spectre micro-ondes
Fréqu
ence
Longu
eur
d’onde
Band
e
9k
Hz
33 k
m
1 GH
3 TH
300 G
z
z
Hz
30 c
100 µ
1 mm
m
m
ond
es
radi
o
405 T
Hz
745 n
m
480 T 508 T 530 T 577 T 612 T 690 T
Hz
Hz
Hz
Hz
Hz
Hz
625 n 590 n 565 n 520 n 490 n 435 n
m
m
m
m
m
m
micr
o- térahe
orang
rouge
jaune vert cyan
onde rtz
e
infraro
s
uge
rayonnemen
ts
lumière visible
pénétrants
750 T
Hz
400 n
m
bleu violet
30 P
Hz
10 n
m
30 EH
z
5 pm
ultravi rayo rayo
olet ns X ns γ
rayonnements
ionisants
Histoire []
19
Le terme spectre fut employé pour la première fois en 1666 par Isaac Newton pour se référer au
phénomène par lequel un prisme de verre peut séparer les couleurs contenues dans la lumière du
Soleil.
Unités de mesures []
Pour les ondes radio et la lumière, on utilise habituellement la longueur d'onde. À partir des
rayons X, les longueurs d'ondes sont rarement utilisées : comme on a affaire à des particules très
énergétiques, l'énergie correspondant au photon X ou γ détecté est plus utile. Cette énergie est
exprimée en électron-volt (eV), soit l'énergie d'un électron accéléré par un potentiel de 1 volt.
Le domaine visible du spectre électromagnétique
Spectre lumineux []
Article détaillé : Spectroscopie.
Domaines du spectre électromagnétique en fonction de la longueur d'onde, de la fréquence ou de
l'énergie des photons
La lumière blanche peut se décomposer en arc-en-ciel à l'aide d'un prisme ou d'un réseau de
diffraction. Chaque « couleur spectrale » de cette décomposition correspond à une longueur
d’onde précise ; cependant, la physiologie de la perception des couleurs fait qu'une couleur vue
ne correspond pas nécessairement à une radiation de longueur d’onde unique mais peut être une
20
superposition de radiations monochromatiques. La spectrométrie étudie les procédés de
décomposition, d’observation et de mesure des radiations en ondes monochromatiques.
Les photons de lumière visible les plus énergétiques (violet) sont à 3 eV. Les rayons X couvrent
la gamme 100 eV à 100 keV. Les rayons γ sont au-delà de 100 keV. Des photons γ de plus de
100 MeV (100 000 000 eV) émis par un quasar ont été détectés.
Usages et classification []
Les définitions des bandes mentionnées dans le tableau sont les suivantes (normalisation
internationale effectuée par l’UIT) ; elles sont aussi communément désignées par leur catégorie
de longueur d’onde métrique (dans le tableau ci-dessous, les longueurs d'onde sont calculées
avec l'approximation courante
sauf pour la bande THF)
Bandes
Fréquences
Ondes TLF
(Tremendously
0 Hz à 3 Hz
Low
Frequency)
Ondes ELF
(Extremely
3 Hz à 30
Low
Hz
Frequency)
Ondes SLF
(Super Low
Frequency)
30 Hz à 300
Hz
Ondes ULF
(Ultra Low
Frequency)
300 Hz à 3
kHz
Ondes VLF
(Very Low
Frequency)
3 kHz à 30
kHz
Ondes LF
(Low
Frequency)
30 kHz à
300 kHz
Ondes MF
300 kHz à 3
Longueur
d’onde
100 000
km à ∞
Usages
Champs magnétiques, ondes et bruits
électromagnétiques naturels, ondes gravitationnelles
Ondes électromagnétiques naturelles, résonance
10 000 km
terrestre de Schumann, ondes du cerveau humain,
à 100 000
recherches en géophysique, raies spectrales
km
moléculaires
Ondes électromagnétiques naturelles, résonance
1 000 km terrestre de Schumann, ondes physiologiques humaines,
à 10 000 ondes des lignes électriques, usages inductifs
km
industriels, télécommandes EDF Pulsadis, harmoniques
ondes électriques
Ondes électromagnétiques naturelles notamment des
orages solaires, ondes physiologiques humaines, ondes
100 km à
électriques des réseaux téléphoniques et ADSL,
1 000 km
harmoniques ondes électriques, signalisation TVM des
TGV
Ondes électromagnétiques naturelles,
10 km à radiocommunications submaritimes militaires,
100 km
transmissions par CPL, systèmes de radionavigation,
émetteurs de signaux horaires
Ondes électromagnétiques naturelles des orages
terrestres, radiocommunications maritimes et
1 km à 10
submaritimes, transmissions par CPL, radiodiffusion en
km
OL, émetteurs de signaux horaires, systèmes de
radionavigation
100 m à 1 Systèmes de radionavigation, radiodiffusion en OM,
21
(Medium
Frequency)
Ondes HF
(High
Frequency)
Ondes VHF
(Very High
Frequency)
Ondes UHF
(Ultra High
Frequency)
Ondes SHF
(Super High
Frequency)
Ondes EHF
(Extremely
High
Frequency)
MHz
km
radiocommunications maritimes et aéronautiques,
radioamateurs, signaux horaires
Radiodiffusion internationale, radioamateurs,
radiocommunications maritimes et aéronautiques,
3 MHz à 30 10 m à
radiocommunications militaires et d’ambassades, aide
MHz
100 m
humanitaire, transmissions gouvernementales,
applications inductives autorisées, signaux horaires, CB
en 27 MHz, radar Nostradamus
Radiodiffusion et télédiffusion, radiocommunications
professionnelles, transmissions militaires, liaisons des
30 MHz à 1 m à 10
secours publics, radionavigation et
300 MHz
m
radiocommunications aéronautiques, radioamateurs,
satellites météo, radioastronomie, recherches spatiales
Télédiffusion, radiodiffusion numérique, radioamateurs,
radiocommunications professionnelles, transmissions
militaires y compris aéronautiques, liaisons
300 MHz à 10 cm à 1 gouvernementales, liaisons satellites, FH terrestres,
3 GHz
m
radiolocalisation et radionavigation, services de la
DGAC, usages spatiaux, satellites météo, téléphonie
GSM et UMTS, liaisons Wi-Fi et Bluetooth, systèmes
radar
FH terrestres et par satellite, systèmes radar, liaisons et
3 GHz à 30 1 cm à 10 FH militaires divers, systèmes BLR, radioastronomie et
GHz
cm
usages spatiaux, radiodiffusion et télédiffusion par
satellite, liaisons Wi-Fi, fours à micro-ondes
FH terrestres et par satellite, recherches spatiales,
radioastronomie, satellites divers, liaisons et FH
30 GHz à
1 mm à 1
militaires, radioamateurs, systèmes radar, raies
300 GHz
cm
spectrales moléculaires, expérimentations et recherches
scientifiques
* Ondes infrarouges C (300 GHz à 100 THz)

o
Ondes THF
300 GHz à
(Tremendously
0,99 pm à
300 000 000
High
999,3 µm
THz
Frequency)

Infrarouges extrêmes (300 GHz à 19,986
THz)
o Infrarouges lointains (19,986 à 49,965
THz)
o Infrarouges moyens (49,965 à 99,930
THz)
Infrarouges proches (99,930 à 399,723 THz)
o Ondes infrarouges B (100 à 214 THz)
o Ondes infrarouges A (214 à 374,740
THz)
o Transition vers le rouge (374,740 à
384,349 THz)
22



Lumière visible par l’homme (couleurs
« spectrales ») :
o Ondes visibles rouges (391,885 à
483,536 THz soit 765 à 620 nm)
o Ondes visibles rouges orangées (483,536
à 503,007 THz soit 620 à 596 nm)
o Ondes visibles jaunes orangées (503,007
à 510,719 THz soit 596 à 587 nm)
o Ondes visibles jaunes (510,719 à 516,883
THz soit 587 à 580 nm)
o Ondes visibles jaunes verdâtres (516,883
à 521,378 THz soit 580 à 575 nm)
o Ondes visibles vertes jaunâtres (521,378
à 535,343 THz soit 575 à 560 nm)
o Ondes visibles vertes (535,343 à 565,646
o Ondes visibles vertes bleutées (565,646 à
609,334 THz soit 530 à 492 nm)
o Ondes visibles cyanes (609,334 à
615,590 THz soit 492 à 487 nm)
o Ondes visibles bleues verdâtres (615,590
à 621,976 THz soit 487 à 482 nm)
o Ondes visibles bleues (621,976 à 644,714
o Ondes visibles indigos (644,714 à
689,178 THz soit 465 à 435 nm)
o Ondes visibles violettes (689,178 à
788,927 THz soit 435 à 380 nm)
Transition vers les ultraviolets (788,927 THz à
749,481 THz)
Rayonnements dits « ionisants » :
o Ultraviolet :
 Ultraviolets UV-A (749,481 THz
à 951,722 THz)
 Ultraviolets UV-B (951,722 THz
à 1070,687 THz)
 Ultraviolets UV-C (1070,687
THz à 1498,962 THz)
 Ultraviolets V-UV (1498,962
THz à 3 PHz)
 Ultraviolets X-UV, transition vers
les rayons X (3 PHz à 300 PHz)
o Rayons X :
 Rayons X mous (300 PHz à 3
EHz)
 Rayons X durs (3 EHz à 30 EHz)
23
o
Rayons gamma :
 Rayons gamma mous (30 EHz à
300 EHz)
 Rayons gamma durs (au-delà de
300 EHz) (au-delà de la bande
THF)
Spectre d'émission []
Article détaillé : spectre d'émission.
Des atomes ou molécules excités (par exemple par chocs) se désexcitent en émettant une onde
électromagnétique. Celle-ci peut se décomposer en une superposition d'ondes sinusoïdales
(monochromatiques) caractérisées par leurs longueurs d'onde. Le spectre est constitué par
l'ensemble des longueurs d'ondes présentes. On peut le matérialiser à l'aide d'un prisme de
décomposition de la lumière en un ensemble de lignes, les raies spectrales, qui correspondent aux
différentes longueurs d'ondes émises. Pour plus de précision, on peut également représenter ce
spectre comme un graphe de l'intensité lumineuse en fonction de la longueur d'onde.
L'observation du spectre d'émission de l'hydrogène se fait au moyen d'un tube Geissler qui
comporte deux électrodes et de l'hydrogène sous faible pression. Les électrodes sont soumises à
une différence de potentiel de 1000 V. L'important champ électrique accélère les ions présents
qui, par chocs, excitent les atomes d'hydrogène. Lors de leur désexcitation, ils émettent de la
lumière qui est analysée par un spectroscope. Dans tous les cas on observe (dans le visible) le
même spectre composé de 4 raies (spectres de raies) aux longueurs d'ondes : 410 nm, 434 nm,
486 nm, 656 nm.
Niels Bohr interprétera alors l'émission de lumière par l'émission d'un photon lorsque l'atome
passe d'un niveau d'énergie à un autre. Le spectre d'émission de n'importe quel élément peut être
obtenu en chauffant cet élément, puis en analysant le rayonnement émis par la matière. Ce
spectre est caractéristique de l'élément.
Spectre d'absorption []
Article détaillé : spectre d'absorption.
Le principe est exactement le même que celui du spectre d'émission : à un niveau d'énergie
donné correspond une longueur d'onde. Mais au lieu d'exciter de la matière (par exemple en la
chauffant) pour qu'elle émette de la lumière, on l'éclaire avec de la lumière blanche (donc
contenant toutes les longueurs d'ondes) pour voir quelles longueurs d'ondes sont absorbées. Les
niveaux d'énergie étant caractéristiques de chaque élément, le spectre d'absorption d'un élément
est exactement le complémentaire du spectre d'émission. On s'en sert notamment en
astrophysique : par exemple, pour déterminer la composition de nuages gazeux, on étudie leur
spectre d'absorption en se servant des étoiles se situant en arrière-plan comme source de lumière.
24
C'est d'une manière générale le but de la spectrographie d'absorption : identifier des éléments
inconnus (ou des mélanges) par leur spectre.
Diffractométrie de rayons X
Cliché de laue d'une molécule cristallisée
La diffractométrie de rayons X (DRX, on utilise aussi souvent l'abréviation anglaise XRD pour
X-ray diffraction) est une technique d'analyse fondée sur la diffraction des rayons X sur la
matière. La diffraction n'ayant lieu que sur la matière cristalline, on parle aussi de
radiocristallographie. Pour les matériaux non-cristallins, on parle de diffusion.
L'appareil de mesure s'appelle un diffractomètre. Les données collectées forment le diagramme
de diffraction ou diffractogramme.
Exemple de diffractogramme de poudre
Présentation générale []
25
Champ d'application []
La diffractométrie de rayons X est une méthode d'analyse physico-chimique. Elle ne fonctionne
que sur la matière cristallisée (minéraux, métaux, céramiques, produits organiques cristallisés),
mais pas sur la matière amorphe (liquides, polymères, verres) ; toutefois, la matière amorphe
diffuse les rayons X, et elle peut être partiellement cristallisée, la technique peut donc se révéler
utile dans ces cas-là. Par contre, elle permet de reconnaître des produits ayant la même
composition chimique brute, mais une forme de cristallisation différente, par exemple de
distinguer les différentes silices (qui ont toutes la même formule brute SiO2 : quartz,
cristobalite…), les différents aciers (acier ferritique, austénite…) ou les différentes alumines (qui
ont toutes la même formule brute Al2O3 : corindon/alumine α, γ, δ, θ…).
Méthode []
On prépare l'échantillon sous la forme d'une poudre aplanie dans une coupelle, ou bien sous la
forme d'une plaquette solide plate. On envoie des rayons X sur cet échantillon, et un détecteur
fait le tour de l'échantillon pour mesurer l'intensité des rayons X selon la direction. Pour des
raisons pratiques, on fait tourner l'échantillon en même temps, ou éventuellement on fait tourner
le tube produisant les rayons X.
Applications []
La technique est utilisée pour caractériser la matière. Cela concerne :



la recherche : lorsque l'on crée un nouveau matériau (souvent des céramiques), que l'on veut
connaître le résultat d'une réaction chimique ou physique (par exemple en métallurgie, pour
reconnaître les produits de corrosion ou savoir quel type d'acier on a fabriqué), en géologie
(géochimie) pour reconnaître la roche prélevée à un endroit ;
pour le suivi de production dans une usine (contrôle de la qualité du produit) : dans les
cimenteries, les fabriques de céramiques…
l'industrie pharmaceutique :
o en recherche : les nouvelles molécules sont cristallisées, et les cristaux sont étudiés par
diffractométrie de rayons X ;
o en production : cela sert notamment à vérifier que l'on n'a pas fabriqué une autre
molécule de même formule, mais de forme différente (on parle de polymorphisme)
Interaction rayons X-matière []
Les rayons X, comme toutes les ondes électromagnétiques, provoquent un déplacement du nuage
électronique par rapport au noyau dans les atomes ; ces oscillations induites provoquent une
réémission d'ondes électromagnétiques de même fréquence ; ce phénomène est appelé diffusion
Rayleigh.
Article détaillé : Interaction rayonnement-matière.
26
La longueur d'onde des rayons X étant de l'ordre de grandeur des distances interatomiques
(quelques angström), les interférences des rayons diffusés vont être alternativement constructives
ou destructives. Selon la direction de l'espace, on va donc avoir un flux important de photons X,
ou au contraire très faible ; ces variations selon les directions forment le phénomène de
diffraction X.
Ce phénomène a été découvert par Max von Laue (Prix Nobel en 1914), et longuement étudié
par sir William Henry Bragg et son fils sir William Lawrence Bragg (prix Nobel commun en
1915),
Les directions dans lesquelles les interférences sont constructives, appelées « pics de
diffraction », peuvent être déterminées très simplement par la formule suivante, dite loi de
Bragg :
avec




d = distance interréticulaire, c'est-à-dire distance entre deux plans cristallographiques ;
θ = demi-angle de déviation (moitié de l'angle entre le faisceau incident et la direction du
détecteur) ;
n = ordre de réflexion (nombre entier) ;
λ = longueur d'onde des rayons X.
Comme les plans cristallographiques peuvent être repérés par les indices de Miller {hkl}, on peut
indexer les pics de diffraction selon ces indices.
Article détaillé : Théorie de la diffraction sur un cristal.
Applications de la DRX []
Identification de phases cristallines []
Principes de l'identification des phases []
L'idée d'utiliser la diffraction des rayons X pour identifier une phase fut développée au début du
XXe siècle de manière indépendante par Albert Hull[1],[2] en 1919 d'une part, et par Peter Debye
et Paul Scherrer d'autre part[3]. En raison de la guerre, la publication et la diffusion des journaux
scientifiques était difficile ; chronologiquement, c'est Hull qui publia le premier ses travaux ,
mais la méthode porte le nom de Debye et Scherrer.
Une poudre formée d'une phase cristalline donnée va toujours donner lieu à des pics de
diffraction dans les mêmes directions, avec des hauteurs relatives à peu près constantes. Ce
diagramme de diffraction forme ainsi une véritable signature de la phase cristalline. Il est donc
possible de déterminer la nature de chaque phase cristalline au sein d'un mélange (mélange de
27
poudre ou échantillon massif polyphasique), à condition d'avoir auparavant déterminé la
signature de chaque phase.
La détermination de cette signature peut se faire soit de manière expérimentale (mesure d'un
produit pur dans des conditions idéales), soit par simulation numérique à partir de la structure
cristallographique connue — structure ayant elle-même pu être déterminée par diffraction X (cf.
ci-dessous). Cette signature est consignée dans une fiche sous la forme d'une liste de pics ; la
position en 2θ est convertie en distance interréticulaire d par la loi de Bragg, afin d'avoir une
valeur indépendante de la longueur d'onde des rayons X (et donc du type de source de rayons X
utilisée). L'intensité I de chaque pic est exprimée en pourcent %, parfois en pourmille ‰, 100 %
(ou 1 000 ‰) étant la hauteur du pic le plus intense. Cette liste de pics est souvent désignée par
le terme « liste de d—I » . On constitue ainsi des bases de données, et le diagramme mesuré sur
le produit inconnu est comparé de manière informatique à toutes les fiches de la base de données.
La base de données la plus complète à l'heure actuelle (2004) est la Powder diffraction file (PDF)
de l'ICDD (ex-JCPDS : Joint committee on powder diffraction standards, ex- comité E4 de
l'ASTM), avec plus de 150 000 fiches (dont cependant de nombreuses redondances).
L'intérêt de cette méthode est qu'elle permet de distinguer les différentes formes de cristallisation
d'un même composé (par exemple pour la silice, distinguer le quartz de la cristobalite).
Cependant, elle ne peut généralement pas permettre d'identifier des composés amorphes. Cette
technique est donc complémentaire de l'analyse élémentaire.
La procédure d'identification des phases se fait en deux étapes : une étape de recherche dans une
base (search), puis une confrontation des fiches probables avec ce qui est possible chimiquement
(match) ; on parle donc fréquemment de search/match pour désigner cette procédure.
Au final, c'est l'utilisateur qui détermine si un produit est présent ou pas : en raison des
possibilités de confusion (plusieurs produits très différents pouvant avoir des signatures très
proches), un algorithme automatisé ne peut pas prendre seul la décision. C'est en dernier ressort
la compétence de l'utilisateur, son habileté et sa connaissance de l'échantillon qui interviennent.
Dans certains domaines, on veut simplement savoir si l'on n'a que la ou les phases prévues et pas
d'autre (— notamment, problème des polymorphes) dans le suivi de la production
pharmaceutique. Dans ce contexte, il suffit d'établir une liste de pics sur le diffractogramme du
produit inconnu, que l'on compare à une liste de pics établie sur le diffractogramme d'un produit
étalon (c'est-à-dire dont la composition chimique est maîtrisée).
Problèmes rencontrés []
Dans le cas d'un produit réellement inconnu et dont on cherche à identifier toutes les phases, on
est confronté principalement à trois problèmes :

l'écart de la signature d'un produit par rapport à sa signature théorique ou idéale :
o la position en 2θ des pics d'une phase peuvent être décalés :
 problème d'alignement du diffractomètre,
 problème de hauteur de la surface de l'échantillon ;
28



problème de variation des paramètres de la maille cristalline, en raison des
contraintes ou de la solution solide — produit non pur,
o les hauteurs relatives des pics ne sont que rarement respectées :
 orientation préférentielle,
 nombre de cristallites insuffisants pour avoir une bonne statistique,
 superposition de pics ;
le mélange des pics est parfois complexe, avec des superpositions ;
il faut comparer le diffractogramme avec plusieurs centaines de milliers de fiches de référence.
Algorithmes manuels d'identification des phases []
Méthode d'Hanawalt []
Le premier algorithme fut inventé par Hanawalt en 1936[4],[5],[6]. À l'époque, les fiches de
référence étaient sous forme papier. Hanawalt regroupa les fiches dont le pic principal (dit « pic
à 100 % ») étaient au même endroit (ou plus précisément dans une même zone 2θ restreinte), les
catégories ainsi crées étant classées par ordre croissant de position 2θ ; puis, dans une catégorie
de fiches, il regroupa les fiches dont le second pic le plus intense étaient au même endroit,
classant de même les sous-catégories, et dans une sous-catégorie, il classa les fiches par ordre de
position du troisième pics le plus intense. Pour dépouiller un diffractogramme, il procédait donc
ainsi :


on déterminait les trois pics les plus intenses, et on recherchait dans la liste d'Hanawalt la ou les
fiches pouvant correspondre ;
le premier produit étant identifié, on éliminait les trois pics considérés et on recommençait.
Cette méthode porte aussi le nom de « méthode ASTM »[7].
Cependant, il fallait aussi prendre en compte les possibles superpositions de pics, donc la
possibilité qu'un pic appartenant à une phase déjà identifiée appartienne également à une autre
phase. De fait, l'identification devenait extrêmement complexe au-delà d'un mélange de trois
phases, et était peu performante pour détecter les phases présentes en faible quantité, c'est-à-dire
générant des pics de faible hauteur.
Méthode Fink []
La méthode Fink[8] fut développée par W. Bigelow et J. V. Smith de l'ASTM au début des
années 1960, qui lui donnèrent le nom de William Fink, un référent du JCPDS. L'idée est de
considérer les quatre pics les plus intenses d'une fiche, d'appliquer toutes les permutations
possibles, puis de classer toutes ces solutions par ordre de d croissant. Lors d'une recherche,
l'opérateur prend la première valeur de d rencontrée sur le diffractogramme, puis cherche dans
l'index les fiches auxquelles ce pic pourrait appartenir. Les autres pics de chaque fiche sont
ensuite confrontés au diffractogramme.
Algorithmes informatiques d'identification des phases []
29
L'informatique a permis d'automatiser les procédures manuelles, notamment avec des
algorithmes de recherche automatique de pics et des comparaisons avec les fiches sous formes
électroniques. Elle a aussi permis d'améliorer l'algorithme, en multipliant les comparaisons
possibles au lieu de se contenter des trois pics les plus intenses. Elle a aussi permis de croiser les
informations sur les pics avec des informations sur la composition chimique (recherche dite
« booléenne » car elle utilise des opérations logiques du type « et », « non » et « ou »).
Les premiers programmes sont apparus au milieu des années 1960, avec des limitations
inhérentes à la qualité des diffractogrammes et aux capacités de calcul des ordinateurs : les
programmes devaient considérer des possibilités d'erreur importantes sur les valeurs de d et de I.
M. C. Nichols[9],[10] adapte ainsi l'algorithme d'Hanawalt en 1966. G. G. Johnson Jr. et V. Vand
adoptent quant à eux une approche résolument nouvelle en 1965[9],[11] : ils comparent de manière
systématique toutes les fiches de la base de donnée avec la liste de d–I extraite du
diffractogramme, et donnent une note à la fiche (FOM, figure of merit). Les fiches de la base de
données sont donc classées par ordre de note de correspondance, puis les « meilleurs élèves »
sont affichés (typiquement, on affiche les 50 premiers), classés selon le nombre de pics communs
à la fiche et à la liste de d–I extraite du diffractogramme, puis selon la note.
En 1982, le fabricant Philips développe un algorithme propriétaire (non publié) construité sur la
méthode des moindres carrés[12] : la note pour chaque fiche est calculée en fonction de l'écart
entre les pics de la fiche de référence et la liste de d–I extraite du diffractogramme.
L'amélioration récente la plus importante a eu lieu en 1986[13],[14],[15], avec le programme
commercial Eva (suite logicielle DIFFRAC-AT, puis DIFFRACplus) de la société Socabim, une
PME française travaillant essentiellement pour le fabricant Siemens. Cet algorithme propriétaire
(non publié) reprend la logique de Johnson et Vand ; cependant, il ne se contente pas d'extraire
une liste de pics du diffractogramme, mais compare chaque fiche avec le diffractogramme luimême pour donner une note à la fiche (mieux la fiche correspond au diffractogramme, plus la
note est basse). Les fiches de la base de données sont donc classées par ordre de correspondance,
puis les « meilleurs élèves » sont affichés (typiquement, on affiche les 50 premiers) ; l'utilisateur
superpose ensuite les fiches (représentées sous la forme de bâtons) au diffractogramme pour
déterminer les fiches qu'il retient. Ainsi, l'algorithme utilise la totalité des points mesurés, et
notamment la ligne de fond, au lieu de se contenter d'une liste restreinte de sommet de pics ; il
prend en compte la superposition des pics (si le bâton d'une fiche se trouve dans une zone où le
signal est au-dessus de la ligne de fond, peu importe qu'il soit seul ou qu'il y ait d'autres bâtons)
et permet de détecter les phases minoritaires. D'autres sociétés ont par la suite développé des
algorithmes similaires.
Analyse quantitative []
Méthode des surfaces de pic []
La théorie indique que dans un mélange, la surface nette des pics d'une phase (dite aussi
« intensité intégrale ») est proportionnelle à la concentration de la phase moyennant un terme
30
d'absorption : les rayons X sont absorbés par la matière selon une loi de Beer-Lambert, donc 1 %
d'un matériau donné ne donne pas le même signal selon les 99 % restant.
On peut donc écrire une loi de la forme :
où




ci est la concentration de la phase i ;
Ii est l'intensité intégrale d'un pic donné de i ;
mi est un coefficient d'étalonnage, une constante de du couple appareil/phase ;
A est le terme d'absorption, qui est le même pour toutes les phases (puisque l'on travaille en
rayonnement monochromatique).
Le coefficient d'étalonnage évolue avec l'âge de l'appareil, et notamment le vieillissement du
tube à rayons X.
On peut s'abstraire de l'absorption de deux manières (méthodes de Chung) :

en introduisant un étalon interne : si l'échantillon est sous forme de poudre, on peut mélanger
une quantité donnée et connue d'une phase de stable r, et l'on travaille alors en rapport
d'intensité et de concentration :

en utilisant une équation supplémentaire : si toutes les phases soient mesurables et mesurées,
la somme des concentrations est égale à 100 %, on a alors autant d'équations que d'inconnues.
Ces deux méthodes permettent également de s'abstraire du vieillissement du tube.
Si les échantillons sont quasiment identiques, on peut considérer que le terme d'absorption est
toujours le même et se contenter d'intégrer celui-ci dans le coefficient d'étalonnage. Cependant,
cette méthode devient erronée si l'on sort d'une gamme de concentrations restreinte, et il faut
refaire l'étalonnage régulièrement pour prendre en compte le vieillissement du tube, ou bien
déterminer la variation d'intensité pour la corriger, méthode dite de « correction de dérive » (drift
correction).
Rapport d'intensité de référence []
Si l'on choisit une méthode de préparation de référence avec un étalon interne donné, il est
possible d'établir un coefficient d'étalonnage par défaut ; c'est la méthode dite RIR, pour
« rapport d'intensité de référence » (reference intensity ratio).
La méthode qui fait référence est la suivante :
31



on prépare l'échantillon sous forme de poudre ;
on le mélange avec 50 % de corindon (alumine α-Al2O3) et on le mesure ;
on fait le rapport entre le pic le plus grand de la phase et le pic le plus grand de corindon.
Ce rapport d'intensité est appelé I/Icor, et constitue le coefficient d'étalonnage de référence.
Si maintenant on considère les équations ci-dessus, on a, comme ci = ccor :
soit
Dans le cas général ci ≠ ccor, on a donc :
En faisant le rapport pour deux phases i et j, on obtient :
On voit alors que les concentration et intensité du corindon disparaissent des formules. On peut
donc mesurer l'échantillon inconnu sans ajouter de corindon et utiliser tout de même les
coefficients d'étalonnage établis avec le corindon.
Cette méthode est dite « semi-quantitative » car il n'est pas possible de définir l'erreur commise
sur la mesure. En effet, comme les échantillons de référence n'ont pas la même nature que
l'échantillon inconnu et n'ont pas subit la même préparation, il n'est pas possible d'utiliser l'écart
type obtenu sur l'étalonnage pour avoir une estimation de l'erreur. Par ailleurs, l'écart type sur
l'étalonnage n'est en général pas fourni.
Méthode de Rietveld []
On peut également faire de la quantification par la méthode de Rietveld : on part de
concentrations arbitraires, et on simule le diffractogramme que l'on obtiendrait, en utilisant la
théorie de la diffraction. Puis, on ajuste les concentrations afin de rapprocher le diffractogramme
simulé du diffractogramme mesuré (méthode des moindres carrés).
32
La méthode de Rietveld est une méthode sans étalon, mais elle nécessite d'acquérir un
diffractogramme sur une grande plage angulaire avec une bonne précision (donc une mesure
longue), alors que la méthode de l'intensité intégrale permet de ne mesurer que des plages de
quelques degrés autour des pics intéressants. Mais la méthode de Rietveld est la seule exploitable
si l'on ne peut pas utiliser de pic isolés (problèmes de superposition de pics).
Pour obtenir informatiquement le spectre théorique voulu, l'expérimentateur peut affiner
plusieurs paramètres :







Les paramètres de maille
Le taux de cristallinité
La forme des pics (Gaussien ou Lorentzien) et ajustant le coefficient eta.
La forme du pied des pics (Coefficients de Caglioti)
Le bruit de fond (polynôme de degré 5 en général)
Le décalage d'origine
Le facteur d'échelle
Mesure de contraintes []
Si le cristal est comprimé ou étiré, les distances interréticulaires varient. Ceci entraîne une
variation de la position des pics.
En mesurant les déplacement des pics, on peut en déduire la déformation de la maille, et donc, à
partir des coefficients élastiques, la contrainte résiduelle dans le matériau.
En faisant varier l'orientation de l'échantillon par rapport au vecteur de diffraction (bissectrice
entre faisceau incident et faisceau détecté), on peut mesurer la variation de cette contrainte selon
l'orientation de l'échantillon, et donc déterminer le tenseur des contraintes.
Article détaillé : Détermination du tenseur des contraintes par diffraction de rayons X.
Mesure de la texture []
Une des hypothèses de la diffraction de poudre avec géométrie de Bragg-Brentano est que toutes
les orientations cristallines doivent être respectées. En effet, comme le vecteur de diffraction est
toujours perpendiculaire à la surface de l'échantillon, un plan (hkl) ne peut donner un pic que s'il
existe des cristallites dont le plan (hkl) est parallèle à la surface.
Si l'échantillon n'est pas isotrope, alors certains plans donneront des pics moins élevés, d'autres
plus élevés qu'une poudre isotrope. Par ailleurs, si l'on incline l'échantillon, le nombre de
cristallites dont le plan (hkl) diffracte va varier ; ainsi, en mesurant la hauteur de deux pics pour
plusieurs orientations de l'échantillon, on peut déterminer l'orientation globale des cristallites,
c'est-à-dire la texture.
Détermination de structures cristallographiques []
33
À partir des intensités diffractées et de la relation inverse (réseau réciproque—réseau réel), il est
possible, à partir d'une série d'images de diffraction, de déterminer l'arrangement tridimensionnel
des atomes d'une structure cristalline. Cette méthode a pris une importance considérables ces
dernières années pour la détermination de la structure des protéines biologiques.
On part de figure de diffraction sur monocristal (clichés de Laue). À l'aide d'un logiciel (par
exemple Denzo), il est possible de déterminer les axes et centres de symétrie d'un cristal et de
proposer le système cristallin le plus probable parmi les sept existants (triclinique, monoclinique,
orthorhombique, trigonal, tétragonal=quadratique, hexagonal, cubique). C'est ensuite à
l'utilisateur de choisir le groupe d'espace le plus approprié : le système choisi est généralement
celui qui a la plus haute symétrie afin d'avoir la meilleure résolution (c'est généralement à la fin
de l'analyse, lorsque toutes les positions atomiques sont déterminées que peut être précisé le
groupe d'espace). Des paramètres de maille sont alors proposés.
Le facteur de fiabilité R (reliability) permet de calculer le degré de fiabilité de la maille proposée
par rapport à la structure cristalline réelle. Quand il atteint une valeur suffisamment faible cela
signifie que le modèle de maille est acceptable ; on peut alors passer à l'étape suivante c'est-àdire l'intégration des intensités diffractées et l'affinement des paramètres de maille.
Les amplitudes diffractées sont caractéristiques de la nature et de la position des atomes, en fait
de la densité électronique en tout point de la maille. Plus exactement, espace réel (de la structure
cristalline) et réciproque (des directions de diffraction) sont liés par transformation de Fourier.
Malheureusement, une partie importante de l'information est perdue lors de la collection des
images de diffraction, puisque seule la norme des intensités complexes est mesurable par les
détecteurs. Les phases, qui portent une part très importante de l'information structurale, sont
perdues et doivent êtres déterminées (expérimentalement et/ou informatiquement). Il est
nécessaire d'intégrer un grand nombre de « taches », correspondant à l'intensité des réflexions sur
le réseau cristallin.
Pour les petits composés (mailles contenant peu d'atomes), des procédures ab initio ont été mises
au point. Par contre, pour des composés de masse molaire (ou poids moléculaire) plus
importante, on utilise des méthodes :



de dérivation aux atomes lourds ;
anomales ;
ou bien de remplacement moléculaire, quand la structure (de l'unité asymétrique) est
partiellement connue.
Par itérations successives, il est alors possible de déterminer les phases manquantes, et par là
même d'affiner la structure cristallographique du composé.
Dans certains cas, on peut utiliser la méthode de Rietveld sur des diffractogrammes de poudre.
La préparation est bien moins contraignante — il n'est pas nécessaire d'obtenir un « gros »
monocristal —, mais le diffractogramme de poudres contient moins d'informations qu'un cliché
de Laue, puisque l'on perd la répartition de l'intensité autour du vecteur de diffraction.
34
Effet Zeeman
L'effet Zeeman est un phénomène physique, découvert par Pieter Zeeman, physicien néerlandais
qui reçut le prix Nobel de physique en 1902.
Histoire []
Michael Faraday sentait l'influence des champs magnétiques sur le rayonnement lumineux, mais
les faibles moyens de l'époque l'empêchèrent de le montrer. En 1896, Zeeman découvrit que les
raies spectrales d'une source de lumière soumise à un champ magnétique possèdent plusieurs
composantes, chacune d'elles présentant une certaine polarisation. Ce phénomène, appelé par la
suite effet Zeeman, confirma la théorie électromagnétique de la lumière.
Phénomène []
L'effet a pour origine la subdivision des niveaux d'énergie des atomes ou des molécules plongés
dans un champ magnétique. Selon les conditions, les raies spectrales se divisent en un nombre
impair de composantes (et l'effet est dit « normal », tel qu'il a été prévu par Zeeman et Lorentz)
ou bien en un nombre pair (et l'effet est dit « anomal » — et non « anormal »). Le plus souvent,
le champ magnétique n'est pas assez intense pour que les raies se subdivisent et alors on observe
seulement leur élargissement.
Par ailleurs, le clivage des niveaux d'énergie atomiques ou moléculaires s'accompagne d'une
polarisation de la lumière émise (ou absorbée) lors des transitions entre niveaux différents. La
nature et l'intensité de cette polarisation dépend de l'orientation du champ magnétique par rapport
à l'observateur. Dans le cas d'un champ magnétique perpendiculaire à la ligne de visée, toutes les
composantes sont polarisées linéairement, tandis que pour un champ magnétique orienté
parallèlement à la ligne de visée la polarisation observée est circulaire. Alors que la mesure de
l'élargissement des raies spectrales renseigne sur l'intensité du champ, l'analyse de la polarisation
apporte donc des informations sur l'orientation du vecteur champ magnétique.
Effet Zeeman normal []
L'effet Zeeman normal peut être décrit à l'aide d'un modèle semi-classique. Cela signifie que l'on
considère l'électron comme une particule, orbitant de façon classique autour du noyau. Par
contre, le moment angulaire est quantifié.
L'électron sur son orbite de rayon r et de vitesse v représente donc un courant électrique I
exprimé par :
35
.
Ce courant génère un moment magnétique :
.
Le vecteur est perpendiculaire à l'aire comprise par l'électron sur son orbite. Le moment
magnétique peut aussi être exprimé à l'aide du moment angulaire de l'électron :
.
En effectuant une comparaison avec la définition du moment angulaire :
.
L'équation pour l'énergie potentielle dans un champ magnétique donne (
):
ce qui donne déjà la décomposition des raies spectrales.
Supposant que le champ magnétique pointe vers l'axe z, la quantification du moment angulaire (
) permet de simplifier l'équation :
où m est le nombre quantique magnétique et μB le magnéton de Bohr. Pour les niveaux d'énergie
à l'intérieur de l'atome on a donc :
La décomposition ne dépend donc que du nombre magnétique.
Applications en astrophysique []
36
Magnetogramme du Soleil lors de la tempête solaire du 23 novembre 2004 prise avec
l'instrument Michelson-Doppler-Imager (MDI) du satellite SoHO.
En astrophysique, une des premières applications de l'effet Zeeman a été la découverte, par
George Ellery Hale en 1908, des champs magnétiques intenses associés aux taches solaires.
Horace W. Babcock est parvenu en 1947 à étendre ce type de mesure sur des étoiles autres que le
Soleil. Aujourd'hui, la mesure du champ magnétique solaire est effectuée quotidiennement, via
l'effet Zeeman, par des instruments embarqués sur satellite (par exemple le satellite SoHO). En
physique stellaire, des mesures similaires sont réalisées par les spectropolarimètres ESPaDOnS
[1]
au Télescope Canada-France-Hawaii, et NARVAL [2] au Télescope Bernard Lyot du Pic du
Midi de Bigorre.
Par ailleurs, la mesure de l'effet Zeeman permet de calculer l'intensité des champs magnétiques
de notre Galaxie.
Principe d'exclusion de Pauli
En 1925[1], Wolfgang Pauli proposa un principe selon lequel les fermions (particules de spin
semi-entier telles que les électrons, protons ou neutrons), ne peuvent pas se trouver au même
endroit dans le même état quantique.
Ce principe devint un théorème en mécanique quantique relativiste, inventée par Dirac en 1930 :
les particules de spin demi-entiers sont des fermions et obéissent à la statistique de Fermi-Dirac,
donc au principe d'exclusion de Pauli.
Énoncé en mécanique quantique []
L'état quantique d'une particule est défini par des « nombres quantiques ». Le principe
d'exclusion interdit à tout fermion appartenant à un système de fermions d'avoir les mêmes
nombres quantiques qu'un autre fermion du système.
Par exemple, dans l'atome, les électrons sont caractérisés par les nombres correspondant aux
lettres n, l, ml et ms : si un électron présente la combinaison (1, 0, 0, ½), il est nécessairement le
seul.
Cela limite donc le nombre d'électrons par couche : dans la première couche caractérisée par n =
1, (l = 0, donc ml= 0), il n'y a que deux possibilités, correspondant aux états ms=±½. Cette couche
ne peut donc accepter que deux électrons.
37
De même, dans la seconde couche caractérisée par n = 2, l vaut 0 ou 1 :


pour l = 0, ml = 0 ;
pour l = 1, ml = -1, 0 ou 1 ;
on a alors 4 possibilités et pour chacune, ms=±½, donc la seconde couche peut accepter huit
électrons (deux pour l = 0 et six pour l = 1); et ainsi de suite. La n-ième couche accepte 2n²
configurations.
Dérivation des principes de la mécanique quantique []
Lorsque Pauli a proposé le principe d'exclusion (1925), les principes fondamentaux de la
mécanique quantique n'étaient pas encore bien établis. En fait, il apparait que le principe
d'exclusion n'est pas un principe fondamental et peut se dériver des principes fondamentaux de la
mécanique quantique.
Voici une dérivation du principe d'exclusion de Pauli[2] :
Soit un hamiltonien total, représentant l'état de 2 particules (l'extension à N particules est
immédiate) :
.
Si p1 et p2 sont deux particules indiscernables, alors
. On dit alors que
le hamiltonien est invariant par permutation, et si l'on considère
qui est l'opérateur de
permutation de la particule p1 et p2, alors le commutateur de ces deux opérateurs est nul :
.
Le commutateur étant nul, il est possible de trouver une base dans laquelle ces deux opérateurs
sont diagonaux : les solutions de
sont donc les vecteurs propres de
.
Comme
, les valeurs propres de cet opérateur sont +1 ou -1. Il y a donc deux familles
de solution possibles du hamiltonien total :
Les solutions symétriques : ψ(x1,x2) = ψ(x2,x1) ; x1 et x2 étant les coordonnées (position ainsi que
spin) des particules 1 et 2[3]. C'est le cas pour les bosons ou particules de spin entier.
Les solutions antisymétriques : ψ(x1,x2) = − ψ(x2,x1). C'est le cas pour les fermions ou particules
de spin demi-entier, et donc pour le principe d'exclusion de Pauli.
Si on décompose la fonction d'onde totale des deux particules ψ(x1,x2) en intrication des états
propres φa(xi) et φb(xi) de chaque particule, les solutions antisymétriques sont alors de la forme :
ψ(x1,x2) = φa(x1)φb(x2) − φb(x1)φa(x2).
38
Si les particules 1 et 2 sont dans le même état quantique, alors φa = φb. La probabilité de trouver
deux fermions identiques dans le même état quantique avec le même spin est nulle.
Ceci est le principe d'exclusion de Pauli : deux fermions identiques ne peuvent être dans le même
état quantique avec le même spin.
Une autre conséquence de cette antisymétrie fait que la probabilité de trouver deux électrons de
même spin à une même position instantanée est nulle, même sans supposer qu'ils occupent un
même état quantique. Pour voir ceci on remarque que ψ(x1,x2) tend vers 0 quand x1 tend vers x2.
Utilisation en astrophysique []
En astrophysique, l'effondrement d'étoiles à neutrons, qui demande aux neutrons un même
mouvement, donc une même énergie, est limité par le principe d'exclusion qui explique en partie
la cohésion de ces étoiles mortes extrêmement massives, qui autrement devraient s'effondrer sous
l'effet de la gravitation.
Cependant, lorsque l'étoile est trop massive, le principe d'exclusion ne tient plus et alors l'étoile
devient un trou noir.
Énoncé relativiste []
La version relativiste de la physique quantique prévoit l'existence de niveaux d'énergie négatifs :
le principe d'exclusion permet d'expliquer pourquoi toutes les particules ne disparaissent pas
dans ces niveaux-là — en effet, toute particule tend à aller vers l'état d'énergie le plus bas
possible, donc devrait s'y précipiter. Si l'on considère comme le fit Dirac que tous les états
d'énergie sont occupés, ils ne peuvent pas être habités par d'autres fermions identiques.
Particules échappant au principe d'exclusion []
Seuls les fermions sont soumis à ce principe. Les particules indiscernables, de spin entier,
satisfont à la statistique de Bose-Einstein et ne satisfont pas le principe d'exclusion de Pauli. Au
contraire, on observera même un comportement « grégaire. »
Enfin, il existe des situations (particulièrement à deux dimensions), où l'on peut introduire des
anyons, qui ne sont ni des fermions, ni des bosons.
D'autre part la supersymétrie quantique associe à tout boson son supersymétrique fermion : ainsi
au graviton, boson de spin 2, devrait être associé un gravitino de spin 3/2. En 2006, il n'existe
aucune trace expérimentale de cette supersymétrie.
Atome à N électrons
39
En mécanique quantique et physique atomique, on appelle atome à N électrons, l'équation de
Schrödinger considérant N électrons "gravitant" autour d'un noyau de charge Z . Si Z = N , il
s'agit d'un atome. Si Z= N-k, il s'agit d'un anion de charge -k . Si Z = N+k, il s'agit d'un cation de
charge +k. La série s'appelle isoélectronique.
On constate que le spectre de telles séries sont similaires. Ainsi l'ion hydrure, l'hélium, le cation
Li+ et le cation Be++ sont comparables.
D'autre part , le comportement chimique d'un chlorure Cl-, de l'argon, et du cation potassium K+,
nonobstant leur charge est similaire : très stables, ils sont quasi-inertes chimiquement. Aussi bien
dans un cristal de chlorure de potassium, la liaison dans le cristal se réduit-elle à une attraction
électrostatique de "boules quasi-impénétrables" (ceci résultant du principe d'exclusion de Pauli).
Classification rationnelle []
Le tableau ci-après[1] montre la structure vibratoire des éléments chimiques. Cette présentation
est celle de Bohr, Sommerfeld, Pauli et d’autres moins connus, appelée classification rationnelle
des éléments. Elle est basée sur la théorie de Schrödinger de l'atome d'hydrogène, en ne tenant
compte que de façon limitée de la répulsion électrostatique des électrons responsables des
permutations de sous-couches.
La sous-couche électronique 3d (3 est le nombre quantique principal n et d correspond au
nombre quantique azimutal ou secondaire l=2) ne suit pas immédiatement 3p car 4s s'intercale
entre elles. Des sous-couches d, puis f, s'intercalent entre les sous-couches s et p de même
nombre quantique principal n. Les sous-couches d et f, en grisé, ont des propriétés physiques et
chimiques particulières dues à leur structure électronique.
Chaque élément contient, en plus de sous-couches de sa ligne, toutes les couches qui se trouvent
au-dessus. Ces couches internes n'ont généralement d'influence sur la chimie mais peuvent jouer
un rôle dans les propriétés physiques (magnétisme, rayons X). Par exemple le numéro atomique
du néon Ne est Z=2+2+6=10 électrons obtenus en additionnant les électrons des lignes
supérieures. La sous-couche 3p du phosphore de configuration électronique [Ne]3s23p3 contient,
dans la sous-couche 3p deux électrons m=0 et un électron m=1. Son numéro atomique est
Z=2+2+6+2+3+1=10+2+3, soit celui du néon (Z=10) plus 2 électrons s plus 3 électrons p.
40
41
Dans chaque sous-couche, le nombre total de nœuds est égal au n de la sous-couche. En effet le
nombre quantique principal n (celui qui détermine le nom, K,L,M,N,P ou Q, de la couche) ne
coïncide plus, au-delà de l'argon, avec le n de la sous-couche.
L’hydrogène et l’hélium sont dans la même case car ils ont le même mode de vibration, s, l’un
avec un électron et l’autre, deux. Les autres gaz rares ou gaz nobles (ils ne sont plus inertes
depuis 1962) ont le mode de vibration p, rempli avec six électrons. Le lutécium et le lawrencium
sont dans le bloc d et non dans f. En effet, d’après la théorie de Schrödinger, il y a 7 orbitales soit
14 électrons possibles en vertu du principe d'exclusion de Pauli. On ne peut donc y mettre que 14
éléments et non 15 comme présenté habituellement.
On voit sur la version étendue du tableau périodique des éléments que H et He sont voisins et
que Lu et Lw sont bien dans le bloc d.
42

Physique Atomique - OER@AVU - African Virtual University

Transcription

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