Exercice 2.26. Soit (ξ n, n ≥ 1)

Exercice 2.26. Soit (ξn , n ≥ 1) une suite de variables aléatoires i.i.d. telle que
P(ξ1 = 1) = P(ξ1 = −1) = 1/2. La variable aléatoire ξn s’interprète comme un pari
qui est gagné si ξn = 1 et qui est perdu si ξn = −1. A l’étape n du jeu, un joueur
mise une certaine somme Sn > 0, il remporte 2Sn (en faisant ainsi un gain de Sn )
si ξn = 1 (il gagne le pari) et perd sa mise si ξn = −1 (il perd le pari). On pose
X0 = S0 = 0 et F0 = {∅, Ω} et pour tout n ≥ 1, on pose
Xn = S1 ξ1 + · · · + Sn ξn
et Fn = σ(ξ1 , · · · , ξn ) .
La variable aléatoire Xn représente le gain algébrique du joueur après la n-ième
partie. Comme le joueur ne devine pas l’avenir, Sn ne dépend que de (ξ1 , · · · , ξn−1 ),
c’est-à-dire que (Sn , n ≥ 1) est (Fn )-prévisible. On suppose que pour tout n ≥ 1,
Sn est intégrable.
1. Montrer que (Xn , n ≥ 0) est une (Fn )-martingale.
2. Le joueur adopte la stratégie suivante : à chaque pari qu’il perd, le joueur
double la mise pour le pari suivant. Il arrête de jouer lorsqu’il gagne au moins
une fois. On suppose qu’il part d’une mise initiale de deux euros. On a alors
Sn = 2n . On note T la première fois où le joueur gagne.
T = inf{n ≥ 1 : ξn = 1}.
Montrer que P(T < ∞) = 1. Calculer le gain moyen du joueur, c’est-à-dire
E[XT ]. Si cela vous semble merveilleux, calculez E[XT −1 ] qui est la perte
moyenne du joueur juste avant qu’il ne gagne. Que pensez-vous de cette
stratégie ?
3. On suppose que le joueur ne dispose que d’une réserve d’argent égale à 2n0
euros (avec n0 ≥ 2) et que les mises doivent être payées comptant, ce qui force
le joueur à quitter le jeu (éventuellemment avec des dettes) lorsqu’il n’a plus
d’argent. Il choisit prudemment de s’arrêter la première fois qu’il gagne. Quelle
est la probabilité qu’il termine le jeu avec des dettes ? Si on ne joue qu’une
fois à ce jeu dans sa vie, faut-il jouer ? Quelle est le gain (algébrique) moyen ?
Solution
1. Comme le processus (Sn ) est (Fn )-prévisible,Ple processus (Xn , n ≥ 0) est
(Fn )-adapté. Par ailleurs, comme E(|Xn |) ≤ nk=1 E(|Sk |) < ∞, la variable
aléatoire Xn est intégrable pour tout n. Donc pour voir que (Xn , n ≥ 0) est
une (Fn )-martingale, il suffit d’écrire
E(Xn+1 | Fn ) = Xn + E(Sn+1 ξn+1 | Fn ) = Xn + Sn+1 E(ξn+1 ) = Xn
p.s.
k−1 1
= 21k . D’où P(T < ∞) =
2. P
Pour tout k P
≥ 1, on a P(T = k) = 21
2
1
1
1
k≥1 2k = 2
k≥0 2k = 1, i.e., T est fini presque sûrement.
1
Calculons maintenant le gain moyen E(XT ). Comme on a {T = k} = {ξ1 =
· · · = ξk−1 = −1} ∩ {ξk = 1}, on peut écrire
X
E(XT ) =
E(Xk 1{T =k} ) =
k≥1
=
X
=
X
X
E((−
k−1
X
k≥1
(−2
k−2
X
Si + Sk ) 1{T =k} )
i=1
2i + 2k )P(T = k) + 2P(T = 1)
i=0
k≥2
(2(1 − 2k−1 ) + 2k )2−k + 1 = 1 + 2
k≥2
X
2−k = 2.
k≥2
Le gain moyen est donc égal à 2 euros. Pour calculer la perte moyenne juste
avant que le joueur ne gagne, remarquons que, par définition du jeu, la variable
aléatoire XT −1 est négative. On a alors
E(−XT −1 ) =
X
E(−Xk−1 1{T =k} ) =
X
k≥2
=
X
k≥2
k−1
X
E((
Si ) 1{T =k} )
k≥2
(2
k−2
X
2i )P(T = k) =
i=0
X
i=1
2(2k−1 − 1)2−k = ∞,
k≥2
dont on déduit que E(XT −1 ) = −∞, c’est-à-dire que la perte moyenne juste
avant que le joueur ne gagne est infinie.
3. Tant que
perd, le gain (algébrique) du joueur après la n-ième partie
Pn le joueur
k
est − k=1 2 = −(2n+1 −2). Donc avec un apport initial de 2n0 euros, il perdra
au plus n0 fois (car 2n0 − 2 < 2n0 < 2n0 +1 − 2) et après la n0 -ième partie il
n’aura plus d’argent (en fait il aura même des dettes égales à 2n0 +1 − 2n0 − 2).
Le joueur finira donc avec des
P dettes sur l’évènement {T > n0 } et on voit
facilement que P(T > n0 ) = k>n0 2−k = 2−n0 .
En utilisant ce qui précède, on obtient le gain (algébrique) moyen donné par
le calcul suivant
n0
X
=
=
=
k=1
n0
X
k=2
n0
X
E((−
Si + Sk ) 1{T =k} ) − (2n0 +1 − 2)P(T > n0 )
i=1
(−2
k−2
X
2i + 2k )P(T = k) + 2P(T = 1) − (2n0 +1 − 2)P(T > n0 )
i=0
(2(1 − 2k−1 ) + 2k )2−k + 1 − (2n0 +1 − 2)2−n0
k=2
nX
0 −2
1
2
k−1
X
2−k − 1 + 2−(n0 −1) = 1 − 2−(n0 −1) − 1 + 2−(n0 −1) = 0.
k=0
2