Exos probas

EXERCICES DE PROBABILITÉS
MP
EXERCICE 1. Rappels de sup : retrouver espérance et variance d’une loi uniforme sur
oo {1, 2 . . . n}. Idem avec une loi de Bernouilli (pile ou face, i.e. 0 ou 1) de probabilité p,
oo
oo avec la loi binomiale B(n, p) i.e. P(X = k) = nk pk (1 − p)n−k .
o On refera cet exercice une fois acquise la notion de fonction génératrice.
EXERCICE 2. Rappels de sup : on dispose 8 tours sur un échiquier. Probabilité pour
oo qu’aucune tour ne puisse en capturer une autre ? (bien préciser l’espace probabilisé
oo
que vous considérez)
EXERCICE 3. Rappels de sup : on se pose la question, étant données n personnes dans
oo une pièce, de savoir combien d’entre elles ont la même date d’anniversaire. On
oo
oo considère que chaque année a 365 jours distincts (on ignore les années bissextiles
oo etc). Décrire un espace probabilisable adéquat. Montrer que la probabilité pour que
oo
365!
oo les n personnes aient des dates d’anniversaire différentes est
.
n
oo
365 (365 − n)!
oo
oo En déduire que si 23 personnes sont réunies alors il y a plus d’une chance sur 2
oo pour que deux d’entre elles partagent la même date d’anniversaire. Quelle est la
o probabilité pour que deux étudiants de MP aient la même date d’anniversaire ?
EXERCICE 4. Rappels de sup : Deux enfants d’un même couple ont environ 1 chance sur
oo 2 1010 d’avoir des gênes tous différents. Si on estime qu’il y a eu (indépendamment)
oo
oo 1010 fois une telle expérience, quelle est la probabilité pour qu’il n’y ait JAMAIS eu
o deux frères/sœurs ayant des gênes tous différents ?
EXERCICE 5. (* Cet exercice n’est pas pour les noobs !)
oo
oo Tous les soirs, au lieu de réviser ses cours de prépa, Kevin va rusher Stratholme
oo dans l’espoir de looter la monture du Baron Vaillefendre.
oo
oo 1) Étant donné que WoW est un programme informatique (considéré comme une
oo constante, on négligera les MÀJ), par quelle loi modéliseriez-vous cette expérience ?
oo
oo (rappel de Sup)
oo 2) Il semblerait que la probabilité de dropper la monture soit de 0,3%. Au bout de
oo
oo combien de jours Kevin peut-il espérer frimer sur le destrier de la mort ? Au fait, d’où
oo peut provenir ce chiffre de 0,3% (à part JudgeHype) ?
oo
oo Quelle est la probabilité d’arriver à la dropper en moins de 210 jours (entre le début
oo et la fin des cours) ? (utiliser la calculatrice)
oo
oo 3) question subsidiaire : que pensez-vous des chances de réussite aux concours de
Kevin ?
EXERCICE 6. Est-il possible d’avoir une tribu sur Z, telle que la probabilité de tout entier
o soit nulle ? (∀n ∈ Z P({n}) = 0)
T
EXERCICE 7. Proposer une probabilité sur l’ensemble Q ]0, 1[ des rationnels compris
entre 0 et 1.
EXERCICE 8. En sortant de l’école, Renaud achète toujours un Mistral à l’épicier du coin
oo de la rue. La probabilité que ce soit un Mistral gagnant est de p. Soit X la vaoo
oo riable aléatoire égale au nombre de Mistrals qu’il achète jusqu’à en avoir un gagnant.
o Reconnaı̂tre la loi de X. Si p = 1/200, quelle est l’espérance de X ?
EXERCICE 9. Les chasseurs du Bouchonnois tuent en moyenne 5 vaches par an. Le
oo nombre de ces vaches prises pour des lapins suivant une loi de Poisson, calculer
oo
oo la probabilité pour que le nombre de vaches tuées par Gérard Frugier, Nemrod du
oo Bouchonnois, ne dépasse pas 7. Calculer aussi la probabilité pour qu’il ne sacrifie
o
aucun bovin dans l’année.
EXERCICE 10. Quand B.H.L. donne une conférence en Belgique, il est victime de l’entaroo teur, une fois – sur dix. Combien de fois doit-il se rendre au plat pays qui n’est pas
oo
oo le sien pour avoir plus de 90% de chances de se prendre 5 tartes dans la figure ?
4
P
oo
n k
n−k et
oo (faire un programme à la calculatrice pour évaluer la somme
k p (1 − p)
k=0
terminer avec une boucle sur n.)
EXERCICE 11. Au royaume de Taupe O’ Lotchi, la consanguinité de la famille royale fait
oo augmenter drastiquement le risque de stérilité. On considère qu’à partir du règne de
oo
oo Clotaire eπ , indexé à 0, le nombre de générations avant l’extinction de la lignée suit
oo une v.a. X vérifiant la relation
oo
oo
∀n > 1 3P(X = n + 1) = 4P(X = n) − P(X = n − 1)
oo
oo (heuristiquement, si la lignée s’est éteinte au rang n − 1 ça diminue les chances qu’on
oo
oo ait à faire le calcul au rang n + 1. . .)
oo Compte tenu de ce que P est une probabilité, calculer pn = P(X = n). En déduire
oo
oo que la loi de Y = X + 1 (i.e. P(Y = n) = P(X = n + 1) est géométrique et calculer son
espérance.
EXERCICE 12. Le problème du collectionneur de vignettes (coupon collector problem).
oo
oo Ron Weasley collectionne les vignettes de magiciens célèbres. Il y a n vignettes
oo différentes, on considère que chacune a une probabilité 1/n de se trouver dans l’emoo ballage d’une grenouille au chocolat (lesquelles sont en stock inépuisable – c’est
oo
oo magique !). Après quelques années, Ron possède k vignettes distinctes. S’il trouve
oo une vignette qu’il possède déjà, il la rejettera. On note Xk la v.a. égale au nombre de
oo
oo chocolate frogs qu’il achète avant de trouver une nouvelle vignette, la k + 1ème .
oo
oo a) Justifier que la loi de Xk est une loi géométrique de raison n − k . Quelle est la
oo
n
oo probabilité qn de compléter la collection avec seulement n grenouilles ? (on n’utilisera
oo
oo pas de Felix Felicis, qui est interdite pour les jeux de hasard).
oo Montrer que qn décroı̂t exponentiellement, i.e. plus précisément que qn+1 /qn → e−1 .
oo
oo b) Même si, psychologiquement, cela ne semble pas être le cas, les variables Xk sont
oo indépendantes. En déduire l’espérance E(T ) de la v.a. T = X + . . . X , c’est à dire le
1
n−1
oo
oo nombre total moyen de grenouilles à acheter pour compléter la collection. On posera
oo
1
1
oo Hn = 1 + + . . . .
2
n
oo
oo c) Montrer que E(T ) ∼ n ln n. Que peut-on en déduire quant à la probabilité pour Ron
oo
oo de faire une crise de foie ? (Remarque : visage jaune et cheveux rouges, il deviendrait alors
oo facilement mascotte de l’USAP)
oo
d) Exprimer et donner une majoration de V(T ).
EXERCICE 13. La poêle contient N nuggets de poulet. À chaque fois que le cuisinier donne
oo
oo un coup de poignet, chaque nugget a la probabilité p ∈]0, 1[ d’être retourné. On
oo considère que les retournements des nuggets sont indépendants. Le cuisinier fait
oo sauter la poêle k fois. Quelle est la probabilité qu’un nugget donné ait été retourné
oo
oo au moins une fois ? Jamais ? Quelle est la probabilité que tous les nuggets soient saioo sis des deux côtés ? Donner la valeur de k pour que cette probabilité soit supérieure
o
à 9/10.
2
EXERCICE 14. Le nombre de petits engendrés par un couple de vautours fauves durant
oo leur vie suit une loi de Poisson. On observe sur 200 couples vivant dans les Pyrénées
oo
oo qu’il y en a 26 n’ayant pas de progéniture. Estimez le paramètre de la loi, et en
déduire la probabilité pour qu’un couple ait 3 enfants durant son existence.
EXERCICE 15. Josep arpente les rives du lac des Bouillouses avec sa canne à mouche.
oo En moyenne il prend 5 truites en une journée. Je vous laisse deviner quelle loi suit
oo
oo X = (le nombre de poissons pris). Son permis lui donne droit à 10 prises maximum.
oo Quelle est la probabilité d’atteindre cette limite ?
oo
oo Question subsidiaire. Josep pêche 50 jours par an. Quelle est la probabilité pour
o qu’il atteigne au moins une fois la limite des dix truites ?
EXERCICE 16. Rafael a la probabilité p ∈]0.5, 1[ de gagner le point quand il sert. On
oo considère que tous ses services sont des v.a. indépendantes. Quelle est la probaoo
oo bilité d’arriver à égalité après 6 services ? Quelle est la probabilité qu’il remporte le
o jeu ?
EXERCICE 17. S est une v.a. à valeurs dans N, ` ∈ R+ . Montrer que
oo
P(S 6 `) 6 E(exp(` − S))
oo
oo
oo Indication : au lieu de exp on peut prendre toute fonction f telle que f(x) > 1 pour
x > 0 (ENS 2016, I3a)).
EXERCICE 18. La nuit de la Saint Sylvestre, le nombre d’hommes arrivant aux urgences
oo avec un œil au beurre noir pour cause de bouchon de champagne mal contrôlé est
oo
oo une v.a. Y, et le nombre de femmes ayant connu le même sort est de X. On sait que
oo X + Y suit une loi de Poisson de paramètre 42.
oo
oo Sauf à se faire accuser de sexisme, on suppose que les lois de X et Y sont identiques
oo et indépendantes. Exprimer la fonction génératrice de X + Y et sa relation à celle de
oo
oo X, en déduire cette dernière.
oo
1
o Adapter ce résultat si il s’avère que E(X) = E(Y).
2
EXERCICE 19. La v.a. X suit une loi de Poisson de paramètre m. Majorer P(X > 2m) par
oo l’inégalité de Bienaymé-Cebychev, puis par une estimation numérique de la valeur
oo
exacte (pour m = 1, 2, 10, 20).
EXERCICE 20. La v.a. X suit une loi géométrique de paramètre 1/10. On sait que l’espérance
oo de la première réussite (modélisée par la X) est 10. Quelle est la probabilité que
oo
oo X ∈ {1, 2, 3 . . . , 10} c’est à dire que l’on réussisse au plus tard avant le nombre moyen
oo d’essais (inclus) ? Et avec 100 ? 1000 ? Limite quand p → 0 de P(X 6 1/p) ? * Trouver
oo
oo un équivalent du seuil m tel que P(X 6 m) soit égal à (ou le plus proche possible de)
1/2.
EXERCICE 21. La v.a. X prend ses valeurs dans N. On pose pk = P(X = k). Montrer que
oo la famille (u )
u`,k = pk si 1 6 ` 6 k et 0 sinon est sommable ⇐⇒
`,k k,`>1 définie par P
oo
X
admet
une
espérance
⇐⇒
P(X > k) converge et en déduire une expression de
oo
o l’espérance.
EXERCICE 22. On suppose, naı̈vement peut-être, que la probabilité biologique qu’un nouveauoo né soit un garçon est égale à 1/2. Dans un village reculé de Cerdagne, tous les
oo
oo couples font leur devoir conjugal jusqu’à obtenir un garçon. Soit X la v.a. du nombre
oo d’enfants engendrés pas un couple, et pg la proportion de garçons. Calculer pg en
o
fonction de X, reconnaı̂tre la loi de X et en déduire E(pg ). Commentaire ?
3
EXERCICE 23. ( Mines-Ponts 2015, Maths A) On va démontrer le théorème d’approximaoo tion polynomiale de Weierstrass (le même problème, avec la même méthode, a été
oo
oo donné à CCP mais cette version est mieux faite).
oo Soient n un entier strictement positif, x ∈ [0, 1] et f : [0, 1] → R une fonction contioo
oo nue. On note X1 , X2 , . . . , Xn des variables aléatoires mutuellement indépendantes et
oo distribuées selon la loi de Bernoulli de paramètre x.
oo
oo On note également Sn = X1 + X2 + . . . Xn , Zn = Sn et Bn (f)(x) = E f(Zn) .
n
oo
oo
(1) Rappeler, sans démonstration, la loi de Sn ( !). En déduire, avec démonstration,
oo
oo
les valeurs de l’espérance et de la variance de Sn en fonction de n et de x.
oo
(2) En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que pour tout α > 0 :
oo
oo
X n
1
oo
xk (1 − x)k = P(|Sn − nx| > nα) 6
oo
k
4nα2
oo
06k6n
k
oo
|>α
|x− n
oo
oo
(3) Montrer que :
oo
oo
n k
X
n k
oo
k
B
(f)(x)
−
f(x)
=
x
(1
−
x)
f(
)
−
f(x)
n
oo
k
n
oo
k=0
oo
et en déduire que la suite (Bn (f))n∈N converge uniformément vers f sur [0,1]. On
oo
oo
pourra utiliser le résultat de la question précédente [découper et majorer. . .]
oo
ainsi que le théorème de Heine [rappel : pour ε > 0 donné, il existe α > 0 tel
oo
oo
que pour tous x, y ∈ [0, 1] vérifiant |x − y| 6 α on ait f(x) − f(y) 6 ε. Ça peut aider
o
à deviner comment découper la somme, non ?. . .].
1
.
EXERCICE
24. On définit un espace probabilisé sur Ω = N∗ par P(n) =
oo
ζ(s)ns
oo
P 1
oo
. . .)
oo 1) Montrer que c’est bien une probabilité (on rappelle que ζ(s) =
s
oo
n>1 n
oo 2) Soit An l’évènement être un multiple de n . Montrer que les évènements Ap ,
oo
oo pour tous les p premiers, sont indépendants dans leur ensemble.
oo 3) Exprimer l’évènement E n’être multiple d’aucun nombre premier en fonction
oo
oo des Ap . À l’aide de leur indépendance et avec le théorème de continuité décroissante
n
oo
T
oo appliqué aux En =
Apk (où p1 < p2 < . . . pk < . . . est une numérotation des nombres
oo
k=1
oo premiers), en déduire que
oo
Y
Y oo
1
1
puis la magnifique formule
ζ(s) =
.
P({1}) =
1− s
oo
1
p
oo
p premier 1 −
p premier
o
ps
EXERCICE 25. Le nombre de truites (resp. de perches) pêchées par Donald Knuth suit
oo une loi de Poisson X de paramètre λ (resp. Y de paramètre µ). Il n’y a pas d’autres
oo
oo poissons (avec un p minuscule), et la besace du pêcheur contient donc X + Y victimes
oo en fin de journée.
oo
oo a) Retrouver la loi de X + Y en supposant X et Y indépendantes, par un calcul direct
oo ou par les fonctions génératrices.
oo
b) Calculer P(X = k | X + Y = n) (utiliser P(X + Y = n | X = k))
4
EXERCICE 26. L’usine . . . produit des vigatanes sur deux chaı̂nes de montage indépendantes,
oo A et B. A produit 60% des objets et B le reste.
oo
oo Les vigatanes produites sur A ont 1 chance sur 10 d’être défectueuses, celles prooo duites sur B en ont le double.
oo
oo a) (révision de Sup) On achète une paire de vigatanes qui sort de l’usine. Pas de
oo chance, la semelle se décolle. Probabilité qu’elles sortent de la chaı̂ne A ?
oo
oo b) Le nombre de paires de vigatanes produites en une heure sur A suit une loi
oo
oo de Poisson Y de paramètre 20. Soit X le nombre de celles qui sont défectueuses.
oo Exprimer la probabilité conditionnelle P(X = k | Y = n) (c’est une loi très connue. . .).
oo En déduire, à l’aide du système complet (exhaustif) (Y = i) , que X suit une loi de
i∈N
oo
Poisson dont on donnera le paramètre.
EXERCICE 27. (D’après CCP 2016 MP I)
oo
2
oo a) Préliminaire : calculer P n et P n . En déduire que la famille i + j
n−1
n−1
oo
2i+j (i,j)∈N2
n>1 2
n>0 2
oo
oo est sommable et calculer sa somme.
oo b) On considère deux v.a. X, Y sur un même espace probabilisé à valeurs dans N.
oo
oo Vérifier que l’on définit bien une loi conjointe pour le couple (X, Y) par
oo
i+j
oo
∀(i, j) ∈ N2 P (X, Y) = (i, j) = i+j+3
oo
2
oo
c)
Montrer
que
X
et
Y
ont
même
loi.
oo
o d) X et Y sont-elles indépendantes ?
EXERCICE 28. Soit N ∈ N∗ .
oo Soit p ∈ ]0, 1[. On pose q = 1 − p.
oo
oo On considère N variables aléatoires X1 , X2 , · · · , XN définies sur un même espace prooo babilisé (Ω, A, P), mutuellement indépendantes et de même loi géométrique de paoo
oo ramètre p.
oo
(1) Soit i ∈ [[1, N]]. Soit n ∈ N∗ .
oo
oo
Déterminer P(Xi 6 n), puis P(Xi > n).
oo
oo
(2) On considère la variable aléatoire Y définie par Y = Min (Xi ).
16i6N
oo
oo
c’est à dire ∀ω ∈ Ω, Y(ω) = Min (X1 (ω), · · · , Xn (ω)), Min désignant le plus
oo
petit élément de .
oo
oo
(a) Soit n ∈ N∗ . Calculer P(Y > n).
oo
En déduire P(Y 6 n), puis P(Y = n).
oo
oo
(b) Reconnaı̂tre la loi de Y. En déduire E(Y).
o
EXERCICE 29. Calculer la fonction génératrice de la loi uniforme sur {1, . . . , n} :
oo P(X = k) = 1/n. Retrouver à l’aide de cette fonction espérance et variance de cette loi.
o
Même exercice avec la loi binomiale.
X11 − 1
oo
ne peut
EXERCICE
30. * Montrer que dans R[X] le polynôme 1 + X + X2 + . . . X10 =
X−1
oo
oo s’écrire comme produit de deux polynômes de degrés 5 (commencer par le factoriser
oo dans C[X]).
oo
oo On considère deux dés pipés (lois pas forcément uniformes, éventuellement disoo tinctes pour les deux dés), on note X, Y les v.a. exprimant le jet de l’un et l’autre
oo
oo dé. Montrer, en considérant leurs fonctions génératrices, qu’il est impossible que
X + Y ait une loi uniforme.
5
EXERCICE 31. La fonction génératrice d’une loi binomiale B(n, p) est gn,p : t 7→ (1 − p + pt)n .
oo On fait tendre n vers l’infini et on suppose que p varie avec n de telle sorte que np → λ,
oo
oo i.e. p ∼ λ . Quelle est la limite simple de la suite de fonctions g ? La convergence
n,p
oo
n
o est-elle uniforme
sur [0, 1] ? De quelle loi reconnaissez-vous la fonction génératrice ?
EXERCICE 32. On considère une v.a. réelle bornée. Montrer qu’elle admet des moments
de tous ordres.
EXERCICE 33. On considère une v.a. réelle qui prend trois valeurs distinctes seulement.
oo Montrer qu’elle est déterminée par son espérance et sa variance. Généralisation à n
o
valeurs distinctes ?
EXERCICE 34. * (ENS) On considère une v.a. à valeurs dans N X et deux v.a. Y, Z de même
oo loi, indépendantes. Montrer que Y + Z ∼ 2X si et seulement si X est (p.s.) constante
oo
(utiliser les fonctions génératrices).
EXERCICE 35. Soit (En ) une suite d’évènements. On définit la limite supérieure de cette
oo suite par
oo
\ [
e = lim sup En =
oo
E
Ek .
oo
n→∞
n>1
k>n
oo
oo a) (pour comprendre) Montrer que ω ∈ E
e ⇐⇒ {k | ω ∈ Ek } est infini (i.e. E
e est
oo
d’évènements Ek se réalisent).
oo l’ensemble des cas où une infinité
oo b) On suppose dorénavant que P P(E ) converge. Justifier que l’on peut supposer la
k
oo
oo suite (P(Ek ))k décroissante.
P
oo
e = 0.
Inf k>N P(Ek ) = 0, en déduire par majoration que P(E)
oo c) Montrer que N>1
oo
oo C’est le Lemme de Borel-Cantelli : il est presque sûr que dans la suite d’évènements,
seul un nombre fini vont se réaliser.
EXERCICE 36. Le deuxième Lemme de Borel-Cantelli est une réciproque partielle, qui
oo prouve que une équipe de chimpanzés tape au hasard sur des claviers d’ordinateurs
oo
oo pendant un temps infini, il est certain ( presque sûr ) qu’ils vont retrouver l’œuvre
oo complète de Shakespeare (et le présent cours de probabilités).
oo
P
P(En ) =
oo Enoncé : on considère une suite d’évènements indépendants En telle que
oo +∞. Alors
\ [ oo
e = P(lim sup En ) = P
Ek = 1
P(E)
oo
n→∞
oo
n>1 k>n
oo
oo (il est presque sûr qu’une infinité d’évènements se réalisent).
T
oo
e
oo a) Montrer que 1 − P(E) = P n En où En est le complémentaire de En .
oo b) Justifier que 1−P(En ) 6 exp(−P(En )), et conclure grâce à l’hypothèse d’indépendance.
oo
oo c) Démontrer en corollaire le théorème des chimpanzés.
oo En composant avec le premier lemme, on a que P(lim sup E ) vaut soit 0, soit 1 pour
n
P
oo
P(En ). Il existe
oo des évènements indépendants – selon la convergence de la série
oo beaucoup de résultats en probabilités ou en théorie de la mesure qui prennent cette
o
forme de tout ou rien .
6