Terminale STAE 2004-2005

Exercices de probabilités
Fiche méthode
Exercice résolu 1
Un bassin contient 30 poissons : 5 carpes, 10 tanches et 15 gardons. On pêche 4 poissons par
un heureux coup de filet. Si l'on admet que chaque poisson a la même probabilité d'être pris
dans le filet, calculer la probabilité des événements suivants :
A : « aucun des 4 poissons n'est un gardon »
B : « Il y a au moins un gardon dans le filet »
C : « le filet contient une carpe, une tanche et 2 gardons »
L'expérience consiste à pêcher « en vrac », simultanément 4 poissons parmi 30. L'univers Ω
 30 
est donc l'ensemble des combinaisons de 4 poissons pris parmi 30. Card Ω =  
 4
L'événement A est réalisé si et seulement si les 4 poissons sont des carpes ou des tanches.
Cela revient à choisir 4 poissons parmi les 15 poissons qui ne sont pas des gardons. Nous
sommes sous l'hypothèse d'équiprobabilité, donc :
 15 
 
 15 
 4
Card A =   . D’où p ( A) =
.
 30 
 4
 
 4
L’événement B est l’événement contraire de l’événement A. On en déduit que
 15 
 
 4
p ( B ) = 1 − p ( A) , soit p ( B ) = 1 −
.
 30 
 
 4
L’événement C consiste à choisir 1 carpe parmi les 5 du bassin et 1 tanche parmi les 10 et 2
 15 
gardons parmi les 15, ce qui se fait de 5 × 10 ×   façons. On en déduit que
 2
 15 
5 × 10 ×  
 2
p( C ) =
.
 30 
 
 4
Exercice résolu 2
Une urne contient 12 boules blanches et 8 boules noires indiscernables au toucher. On
effectue des tirages dans cette urne, chacune des 20 boules ayant la même probabilité d’être
tirée.
1. On tire simultanément 5 boules. Quelle est la probabilité d’obtenir :
• 3 boules blanches et 2 boules noires ?
L’expérience consiste à prélever simultanément 5 boules parmi 20. L'univers Ω est donc
 20 
l'ensemble des combinaisons de 5 boules prises parmi 20. Card Ω =   .
 5 
Appelons A l’événement « obtenir 3 boules blanches et 2 boules noires ». On choisit les 3
boules blanches parmi les 12 de l’urne et les 2 boules noires parmi les 8 de l’urne, ce qui se
 12   8 
   
 12   8 
 3   2
fait de     façons. D’où p ( A) =
. (l’hypothèse d’équiprobabilité est vérifiée)
 20 
 3   2
 
 5 
•
Des boules de couleur différentes ?
Appelons B l’événement « obtenir des boules de couleurs différentes ».
B est réalisé si l’on obtient : (1 boule blanche et 4 boules noires) ou (2 boules blanches et 3
boules noires) ou (3 boules blanches et 2 boules noires) ou (4 boules blanches et 1 boule
noire). Il semble donc plus raisonnable de considérer l’événement contraire de B.
B = « obtenir des boules de même couleur ».
B peut s’écrire comme la réunion disjointe des 2 événements suivants :
C = « n’obtenir que des boules blanches »
D = « n’obtenir que des boules noires »
 12   8 
  +  
 5   5
p ( B ) = p( C ) + p ( D ) =
.
 20 
 
 5 
 12   8 
  +  
916
 5   5
D’où p ( B ) = 1 −
, soit p ( B ) =
.
 20 
969
 
 5 
2. On tire successivement 5 boules, la boule tirée étant remise dans l’urne après chaque
tirage. Quelle est la probabilité d’obtenir :
• 3 boules blanches et 2 boules noires dans cet ordre ?
Appelons A l’événement « obtenir 3 boules blanches et 2 boules noires dans cet ordre ».
12
La probabilité d’amener la première boule blanche est de
. Le tirage s’effectuant
20
11
successivement et sans remise, la probabilité d’amener la seconde boule blanche est de
, et
19
10
la probabilité d’amener la 3ème boule blanche est de
. Il ne reste plus que 17 boules dans
18
8
l’urne à ce moment. La probabilité d’amener la 1ère boule noire est donc de
et celle
17
7
d’amener la seconde boule noire de
.
16
12 11 10 8 7
77
×
×
×
×
On en déduit que p ( A) =
, soit p ( A) =
.
20 19 18 17 16
1938
•
3 boules blanches et 2 boules noires dans un ordre quelconque ?
Appelons B l’événement « obtenir 3 boules blanches et 2 boules noires ».
La probabilité d’obtenir 3 boules blanches et 2 boules noires dans un ordre fixé est de
77
1938
5!
échantillons distincts composés de 3 boules blanches et 2 boules noires
3!2!
(revoir le cours sur le dénombrement). On en déduit que la probabilité de l’événement B est
5! 77
385
égale à
, soit p ( B ) =
.
3!2! 1938
1938
(exo). Il y a