Exercices 1 et 2 de la composition n°2 2015

Première ES-L
Composition de mathématiques n°2
2014-2015
Exercice 1 : (1,5 points)
Reporter sur votre copie le numéro de la question avec la (ou les) bonne(s) réponse(s).
Exemple : Question 3 : C et D
Sur le graphique ci-contre est construite la
courbe représentative f d’une fonction f et les
tangentes à cette courbe aux points O, A et B
d’abscisses respectives 0,-2 et 2.
N°
A
B
C
D
1
Les égalités vraies sont
f’(-2) = -3
f’(2) = 2
f’(0) = 0
f’(0) = -1
2
Une équation de la tangente
à Cf au point B est
y = -4x - 7
y = 4x + 7
y = 4x - 7
y = 4x - 2
1
Première ES-L
Composition de mathématiques n°2
2014-2015
Exercice 2 : (2,5 points)
Reporter sur votre copie le numéro de la question avec la (ou les) bonne(s) réponse(s).
N°
A
B
C
D
y = -4x - 1
y = 3x - 1
y = -4x + 1
y = -4x - 8
g(2) = -3
g’(2) = -4
g’(2) = -3
g(2) = 4
9x² - 2x + 3
(x² + 1)²
3
2x
g est dérivable en -1.
g(-1) = 3 et g’(-1) = -4.
1 La tangente à la représentation
graphique Cg de g au point
d’abscisse -1 a pour équation
Au point A d’abscisse 2 de Cg,
2 si la tangente a pour équation y
= -3x + 2, alors
3x – 1
3 Si f(x) = x² + 1 alors f’(x) =
4
Si f(x) = x +
Exercice 3 :
1
alors f’(x)
x
1–
1
x²
1+
1
x²
-3x² + 2x + 3 -9x² + 2x – 3
(x² + 1)²
(x² + 1)²
2
x² - 1
x²
(8 points)
Dans le Périgord, un producteur de truffes noires cultive, ramasse et conditionne de 0 à 45
kilogrammes de ce produit par semaine durant la période de production de la truffe.
On désigne par x le nombre de kilogrammes de truffes traités chaque semaine et par f(x) le
coût total pour la production de x kilogrammes de truffes.
Pour ce producteur f(x) = x3 - 60x2 + 975x.
De plus, chaque kilogramme de truffes conditionné est vendu 450 euros.
1. Exprimer le bénéfice B(x) réalisé par le fabricant pour x kilogrammes de truffes
conditionnés et vendus.
2. Étudier le sens de variation de la fonction B et établir le sens de variation de B.
3. Pour quelle quantité de truffes le bénéfice du fabricant est-il maximal ?
4. Quel est alors ce bénéfice maximal ?
5. Proposer les paramètres de la fenêtre graphique pour la calculatrice permettant de
représenter la courbe associée à la fonction f sur l’intervalle [0 ;45].
2
Première ES-L
Composition de mathématiques n°2
2014-2015
Exercice 4 : (3,5 points)
Reporter sur votre copie le numéro de la question avec la (ou les) bonne(s) réponse(s).
Exemple : Question 3 : C et D
N°
A
B
C
D
1
La suite définie par
un = 3n² - 1 vérifie
un+1 = 3n²
un+1 = 3n² + 6n + 2
u2n = 12n² - 1
u2n = 6n² - 2
2
La suite définie par
u0 = 4
vérifie

u
=
2u
3
 n+1
n
u15 = 215 - 3
u15 = 32 771
u15 = 27
u15 = 215 - 315
3
La suite (un) définie de
la manière suivante est
arithmétique
u0 = 3

un+1 = 5 - un
5
un = - n + 1
3
un = n² - 1
4
Soit (un) la suite
arithmétique de raison 5 et
de premier terme u0 = -3.
Alors pour tout entier
naturel n
un = -35n
un = 5 – 3n
un = -15n
un = 5n - 3
n’est pas
arithmétique.
est arithmétique de
raison -2 et de
premier terme 3.
est
arithmétique
de raison 3et
de premier
terme -2.
est arithmétique
de raison -2 et
de septième
terme -9.
5
La suite définie sur par
un = -2n + 3
u0 = 3

un+1 = un
+n
3
Première ES-L
Exercice 5 :
Composition de mathématiques n°2
2014-2015
(4,5 points)
La direction d'un parc zoologique s'inquiète de la diminution des lémuriens à tête noire
vivants dans le parc.
En effet, un recensement au 1er janvier des trois dernières années a permis de constater la
diminution annuelle de 6 individus.
Au 1er janvier 2012, le parc compte 104 lémuriens à tête noire.
On suppose que l'évolution linéaire des trois dernières années se poursuit.
On note u0 = 104 et pour tout entier naturel n non nul un désigne l'estimation du nombre de
lémuriens à tête noire au premier janvier de l'année 2012 + n.
1. Calculer l'estimation que l'on obtient pour le 1er janvier 2013.
2. Déterminer la nature de la suite (un) et en déduire l'expression de son terme général.
3. À combien peut-on estimer le nombre de lémuriens à tête noire au 1er janvier 2020 avec
ce modèle ?
4. Si rien n'est fait pour sauver les lémuriens à tête noire de ce parc, en quelle année peuton estimer qu'il restera moins de 30 individus ?
4
Première ES-L
Exercice 1 : (1,5 points)
Composition de mathématiques n°2
2014-2015
Reporter sur votre copie le numéro de la question avec la (ou les) bonne(s) réponse(s).
Exemple : Question 3 : C et D
Sur le graphique ci-contre est construite la
courbe représentative f d’une fonction f et les
tangentes à cette courbe aux points O, A et B
d’abscisses respectives 0,-2 et 2.
N°
A
B
C
D
1
Les égalités vraies sont
f’(-2) = -3
f’(2) = 2
f’(0) = 0
f’(0) = -1
2
Une équation de la tangente
à Cf au point B est
y = -4x - 7
y = 4x + 7
y = 4x - 7
y = 4x - 2
5
Première ES-L
Composition de mathématiques n°2
Exercice 2 : (2,5 points)
2014-2015
Reporter sur votre copie le numéro de la question avec la (ou les) bonne(s) réponse(s).
N°
A
B
C
D
y = -4x - 1
y = 3x - 1
y = -4x + 1
y = -4x - 8
g(2) = -3
g’(2) = -4
g’(2) = -3
g(2) = 4
9x² - 2x + 3
(x² + 1)²
3
2x
g est dérivable en -1.
g(-1) = 3 et g’(-1) = -4.
1 La tangente à la représentation
graphique Cg de g au point
d’abscisse -1 a pour équation
Au point A d’abscisse 2 de Cg,
2 si la tangente a pour équation y
= -3x + 2, alors
3x – 1
3 Si f(x) = x² + 1 alors f’(x) =
4
Si f(x) = x +
1
alors f’(x)
x
Exercice 3 :
1–
1
x²
1+
1
x²
-3x² + 2x + 3 -9x² + 2x – 3
(x² + 1)²
(x² + 1)²
2
x² - 1
x²
(7 points)
Dans le Périgord, un producteur de truffes noires cultive, ramasse et conditionne de 0 à 45
kilogrammes de ce produit par semaine durant la période de production de la truffe.
On désigne par x le nombre de kilogrammes de truffes traités chaque semaine et par f(x) le
coût total pour la production de x kilogrammes de truffes.
Pour ce producteur f(x) = x3 - 60x2 + 975x.
De plus, chaque kilogramme de truffes conditionné est vendu 450 euros.
1. Exprimer le bénéfice B(x) réalisé par le fabricant pour x kilogrammes de truffes
conditionnés et vendus.
2. Étudier le sens de variation de la fonction B et établir le sens de variation de B.
3. Pour quelle quantité de truffes le bénéfice du fabricant est-il maximal ?
4. Quel est alors ce bénéfice maximal ?
5. Proposer les paramètres de la fenêtre graphique pour la calculatrice permettant de
représenter la courbe associée à la fonction f sur l’intervalle [0 ;45].
1) B(x) = 450x – f(x) = 450x – (x3 – 60x² + 975x)
B(x) = -x3 + 60x² + 450x – 975x
B(x) = -x3 + 60x² - 525x
6
Première ES-L
Composition de mathématiques n°2
2) B’(x) = -3x² + 602x – 525 = -3x² + 120x – 525
2014-2015
Etudier le sens de variation de B revient à étudier le signe de sa dérivée B’.
B’(x) est un polynôme du second degré de discriminant  = b² - 4ac = 120² - 4(-3)(-525)
Soit  = 8100 = 90²
Les racines de B’(x) = 0 sont donc :
x1 =
-b +  -120+90
-b -  -120 – 90
=
= 5 et x2 =
=
= 35
2a
-6
2a
-6
On en déduit les variations de B sur l’intervalle [0 ;45].
x 0
B'
0
B(x)
-
5
+
35
12250
-1250
45
-
6750
3) Le bénéfice est maximal pour 35 kg de truffes traitées.
4) Le bénéfice maximal est alors de 12 250 €.
5) Xmin = 0 XMax = 45
YMin = -1500
YMax = 13000
Vérification graphique : tracé de la courbe représentative de B sur [0 ;45]
7
Première ES-L
Composition de mathématiques n°2
Exercice 4 : (3,5 points)
2014-2015
Reporter sur votre copie le numéro de la question avec la (ou les) bonne(s) réponse(s).
Exemple : Question 3 : C et D
N°
A
B
C
D
1
La suite définie par
un = 3n² - 1 vérifie
un+1 = 3n²
un+1 = 3n² + 6n + 2
u2n = 12n² - 1
u2n = 6n² - 2
2
La suite définie par
u0 = 4
vérifie

un+1 = 2un - 3
u15 = 215 - 3
u15 = 32 771
u15 = 27
u15 = 215 - 315
3
La suite (un) définie de
la manière suivante est
arithmétique
u0 = 3

un+1 = 5 - un
5
un = - n + 1
3
un = n² - 1
4
Soit (un) la suite
arithmétique de raison 5 et
de premier terme u0 = -3.
Alors pour tout entier
naturel n
un = -35n
un = 5 – 3n
un = -15n
un = 5n - 3
n’est pas
arithmétique.
est arithmétique de
raison -2 et de
premier terme 3.
est
arithmétique
de raison 3et
de premier
terme -2.
est arithmétique
de raison -2 et
de septième
terme -9.
5
La suite définie sur par
un = -2n + 3
u0 = 3

un+1 = un
+n
8
Première ES-L
Exercice 5 :
Composition de mathématiques n°2
CORRECTION
(5,5 points)
2014-2015
La direction d'un parc zoologique s'inquiète de la diminution des lémuriens à tête noire
vivants dans le parc.
En effet, un recensement au 1er janvier des trois dernières années a permis de constater la
diminution annuelle de 6 individus.
Au 1er janvier 2012, le parc compte 104 lémuriens à tête noire.
On suppose que l'évolution linéaire des trois dernières années se poursuit.
On note u0 = 104 et pour tout entier naturel n non nul un désigne l'estimation du nombre de
lémuriens à tête noire au premier janvier de l'année 2012 + n.
1. Calculer l'estimation que l'on obtient pour le 1er janvier 2013.
2. Déterminer la nature de la suite (un) et en déduire l'expression de son terme général.
3. À combien peut-on estimer le nombre de lémuriens à tête noire au 1er janvier 2020 avec
ce modèle ?
4. Si rien n'est fait pour sauver les lémuriens à tête noire de ce parc, en quelle année peuton estimer qu'il restera moins de 30 individus ?
1) u1 = u0 – 6 = 104 – 6 = 98
L’estimation pour le 1er janvier 2013 est de 98 lémuriens.
2) L’évolution annuelle étant linéaire la suite (un) est arithmétique de premier terme u0 =
104 et de raison r = -6.
On a un = u0 - nr = 104 – 6n
3) 2020 = 2012 + 8
u8 = 104 - 68 = 56.
On peut estimer qu’il y aura 56 lémuriens à tête noire au 1er janvier 2020.
4) On résout l’inéquation un < 30
un < 30
Or

104 – 6n < 30

-6n < 30 – 104

n>
74
6
74
 12,3
6
On prend donc n = 13 et 2012 + 13 = 2025.
On peut estimer qu’il restera moins de 30 individus en 2025.
(Vérification : en 2024, u12 = 104 - 612 = 32 > 30 et en 2025, u13 = 104 - 613 = 26 <
30)
9