Devoir maison n°4 - RallyMaths

Mathématiques
Devoir maison n°4
À rendre le
24 novembre 2016
TS6
Exercice
1
Élevage de poissons
Deux éleveurs produisent une race de poissons d’ornement qui ne prennent leur couleur
définitive qu’à l’âge de trois mois :
• pour les alevins du premier élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 10 %
n’ont pas survécu, 85 % deviennent rouges et les 5 % restant deviennent gris.
• pour les alevins du deuxième élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 20 %
n’ont pas survécu, 65 % deviennent rouges et les 15 % restant deviennent gris.
Une animalerie achète les alevins, à l’âge de deux mois : 70 % au premier éleveur, 30 % au
second.
On notera les événements :
E : "le poisson provient du premier élevage",
M : "le poisson n’a pas survécu",
R : "le poisson est devenu rouge",
et G : "le poisson est devenu gris.
1. Construire l’arbre pondéré modélisant la situation :
2. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l’animalerie, c’est-à-dire à l’âge
de deux mois.
a) Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est
de 0, 87.
b) Déterminer la probabilité qu’un mois plus tard le poisson soit rouge.
c) Sachant que le poisson est gris à l’âge de trois mois, quelle est la probabilité qu’il
provienne du premier élevage ?
3. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante 10 alevins de deux mois. Quelle
est la probabilité qu’un mois plus tard, seulement huit soient en vie ? On donnera une
valeur approchée à 10−2 près.
4. L’animalerie décide de garder les alevins jusqu’à l’âge de trois mois, afin qu’ils soient
vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne 2 euro si le poisson est rouge, 0, 5 euro s’il
est gris et perd 0, 10 euro s’il ne survit pas.
Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique de l’animalerie par poisson acheté.
a) Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique, arrondie au
centime.
b) L’animalerie possède 200 poissons de ce type, ce qui lui a coûté 50 euros. Quel bénéfice
peut-elle espérer réaliser en les vendant tous à l’âge de trois mois ?
Exercice
2
On considère la suite de nombres réels (un ) définie sur N par :
u0 = −1 , u1 =
1
1
et, pour tout entier n , un+2 = un+1 − un .
2
4
1. Calculer u2 et en déduire que la suite (un ) n’est ni arithmétique, ni géométrique.
1
2. On définit la suite (vn ) en posant, pour tout entier naturel n, vn = un+1 − un .
2
a) Calculer v0 .
b) Exprimer vn+1 en fonction de vn .
c) En déduire que la suite (vn ) est géométrique de raison
1
.
2
d) Exprimer vn en fonction de n.
3. On définit la suite (wn ) en posant, pour tout entier naturel n, wn =
un
.
vn
a) Cacluler w0 .
1
b) En utilisant l’égalité un+1 = vn + un , exprimer wn+1 en fonction de un et de vn .
2
c) En déduire que pour tout n de N, wn+1 = wn + 2.
d) Exprimer wn en fonction de n.
4. Montrer que pour tout entier naturel n : un =
5. Pour tout entier naturel n, on pose Sn =
k=n
X
2n − 1
.
2n
uk = u0 + u1 + · · · + un .
k=0
Démontrer par récurrence que pour tout n de N : Sn = 2 −
Bonus ! Répondez
à l’énigme de la quinzaine
sur :
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2n + 3
.
2n