Chapitre 1.8c – Le champ électrique d`une tige par intégration : tige

Chapitre 1.8c – Le champ électrique d’une tige par
intégration : tige arquée
Champ électrique au centre d’une tige en arc de cercle
Le module du champ électrique E généré par une tige en
forme d’arc de cercle uniformément chargée de longueur L
au centre de courbure P dépend du rayon R de l’arc de
cercle, de la densité de charge λ et de la moitié de la taille
angulaire α de l’arc de cercle :
E=
où
λ >0
L
α
v
E P
α
2k λ
sin (α )
R
R
E : Module du champ électrique au point P au centre de l’arc de cercle (N/C)
λ : Densité linéaire de charge (C/m)
(λ = Q/ L )
R : Rayon de l’arc de cercle la tige (m)
k : Constante de Coulomb, 9 × 10 9 Nm 2 / C 2
( L = R(2α ) )
α : Moitié de l’angle d’ouverture de l’arc de cercle
Preuve :
Considérons une tige courbée en arc de cercle centré à l’origine d’un système d’axe xy de
longueur L ayant une densité de charge uniforme λ . Évaluons le champ électrique E produit
par cette tige au centre (point P) tel qu’illustré sur le schéma ci-dessous :
y (m )
Charge sur la tige :
λ>0
L
P α
Q=λL
x(m )
α
et
R
L = R (2α )
Découpons notre tige en morceau de tige infinitésimale de largeur dL et représentons le
v
champ électrique infinitésimal dE généré par cette charge infinitésimale dQ :
Champ électrique infinitésimal :
v
dQ
dE = k 2 rˆ
r
et
dQ = λ dL
r=R
v
v
rˆ = − cos(θ ) i − sin (θ ) j
y (m )
λ>0
dQ
P
α
α
v
dE
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
v
− cos (θ )i
θ
L
r̂
v
− sin (θ ) j
r̂
x(m )
r=R
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Utilisons le système d’axe θ et le rayon de l’arc de cercle pour mesurer la taille de l’arc
infinitésimal dL. Utilisons la relation existant entre un arc de cercle et une longueur d’arc
de cercle :
L = Rθ
⇒
dL = d(Rθ )
(Appliquer la différentielle de chaque côté)
⇒
dL = R dθ
(Factoriser la constante R)
Évaluons à l’aide d’une sommation
continue de champs
électriques
v
dE
le
champ
infinitésimaux
électrique total au point P en se basant
sur le schéma ci-contre :
•
dQ = λ dL
•
dL = R dθ
•
•
r=R
v
v
rˆ = − cos(θ ) i − sin (θ ) j
y(m)
λ >0
dQ
r̂
P
α θ
α
v
dE
r=R
v
− cos (θ )i
v
− sin (θ ) j
θ
L
x(m )
r̂
+
− θ (rad)
Ainsi :
v
v
E = ∫ dE
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
v
dQ
E = ∫ k 2 rˆ
r
v
(λ dL ) rˆ
E = ∫k
( R )2
v kλ
E = 2 ∫ dL rˆ
R
v kλ
E = 2 ∫ (R dθ ) rˆ
R
v kλ
E=
dθ rˆ
R ∫
v kλ
v
v
E=
d
θ
(
−
cos
(
θ
)
i
−
sin
(
θ
)
j)
R ∫
v
v
v
kλ
E=−
cos
(
θ
)
d
θ
i
+
sin
(
θ
)
d
θ
j
R ∫
v
kλ
E=−
R
[ ∫ cos(θ )dθ iv + ∫ sin(θ )dθ vj ]
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
v
dQ
(Champ infinitésimal : dE = k 2 rˆ )
r
(Remplacer dQ et r)
(Factoriser constantes)
(Remplacer dL)
(Factoriser constantes)
(Remplacer r̂ )
(Factoriser et distribuer dθ )
(Somme des intégrales)
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Déterminons maintenant les bornes afin de compléter l’intégrale :
v
kλ
E=−
R
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
[ ∫ cos(θ )dθ iv + ∫ sin(θ )dθ vj ]
α
v
v α
v
kλ 
E=−
 ∫ cos(θ )dθ i + ∫ sin (θ )dθ j 
R  θ = −α
θ = −α

(Borne : θ = −α → α )
v
v
v
kλ
E=−
[sin (θ )]α−α i + [− cos(θ )]α−α j
(Résoudre l’intégrale)
R
v
v
v
kλ
E = − [ (sin (α ) − sin (− α ))i + (− cos(α ) − − cos(− α )) j ] (Évaluer l’intégrale)
R
[
]
v
v
v
kλ
E = − [ (sin (α ) − sin (− α ))i + (− cos(α ) + cos(− α )) j ]
R
v
v
v
kλ
E = − [ (sin (α ) − sin (− α ))i + (− cos(α ) + cos(α )) j ]
R
v
v
kλ
E = − ( sin (α ) − sin (− α ) )i
R
v
v
kλ
E = − ( sin (α ) + sin (α ) )i
R
v
v
kλ
E = −2 sin (α ) i
R
E=2
kλ
sin (α )
R
(Simplifier les négatifs)
(Identité : cos(− θ ) = cos(θ ) )
(Simplifier terme cos)
(Identité : sin (− θ ) = − sin (θ ) )
(Simplifier terme sin)
v
(Évaluer module de E )
■
Exercice A : La tige arquée dans le plan xy.
À compléter …
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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