Exercices : Couples et suites de VAR discr`etes

Exercices : Couples et suites de VAR discrètes
Exercice 1:
Une urne contient 2 boules blanches et n − 2 boules rouges. On effectue n tirages sans remise de cette
urne. On appelle X le rang de sortie de la première boule blanche et Z le rang de sortie de la deuxième
boule blanche.
1. Déterminer la loi du couple (X, Z).
2. En déduire la loi de Z.
Exercice 2:
Soit un dé équilibré comprenant 1 face blanche et 5 faces rouges. On lance ce dé indéfiniment et on
s’intéresse aux longueurs des séries successives de B ou R : par exemple si les lancers donnent les résultats
BBRRRRRRBBBRR . . . alors la première série (BB) est de longueur 2 et la deuxième (RRRRRR) est
de longueur 6.
Soient X1 et X2 les variables aléatoires égales aux longueurs de la première et deuxième série.
1. Déterminer la loi de X1 . Montrer que X1 admet une espérance et la calculer.
2. Déterminer la loi du couple (X1 , X2 ).
3. En déduire la loi de X2 .
4. En considérant P ([X1 = 1] ∩ [X2 = 1]) montrer que X1 et X2 ne sont pas indépendantes.
Exercice 3:
On dispose de n boı̂tes numérotées de 1 à n. La boı̂te k contient k boules numérotées de 1 à k.
On choisit au hasard une boı̂te puis une boule dans cette boı̂te.
Soit X le numéro de la boı̂te et Y le numéro de la boule.
1. Déterminer la loi du couple (X, Y )
2. Calculer P (X = Y )
3. Déterminer la loi de Y et E(Y ).
Exercice 4:
Un individu joue avec une pièce truquée, pour laquelle la probabilité d’obtenir pile est p ∈]0; 1[, de la
façon suivante :
- Il lance la pièce jusqu’à obtenir pile pour la première fois. On note N la variable aléatoire égale au
nombre de lancers nécessaires.
- Si n lancers ont été nécessaires pour obtenir pour la première fois pile alors il relance n fois sa pièce.
On appelle alors X le nombre de pile obtenu au cours de ces n lancers.
+∞ X
xk
n n
x =
On admet que
et on pourra noter q = 1 − p.
k
(1 − x)k+1
n=k
1. Déterminer la loi de N.
2. Pour tout n ∈ N∗ déterminer la loi conditionnelle à [N = n] de X.
3. En déduire la loi de X.
4. On considère B et G deux VAR indépendantes suivant respectivement une loi de Bernouilli B(1, p′ )
et une loi géométrique G(p′ ).
a) Déterminer la loi de la VAR BG.
b) Montrer qu’il existe p′ (à déterminer) tel que X a la même loi que la variable BG.
c) En déduire E(X).
Probabilités : Chapitre 3 Exercices
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Couples et suites de VAR discrètes
Exercice 5:
Soit X une VAR discrète dont la loi est donnée par :
xi
P (X = xi )
-2 -1
0
1
2
1
6
1
6
1
4
1
6
1
4
On considère la variable Y = X 2 .
1. Déterminer la loi de Y ainsi que celle du couple (X, Y ).
2. X et Y sont-elle indépendantes ?
3. Calculer cov(X, Y ) et faire une remarque sur ce résultat.
Exercice 6:
Andy est un ivrogne : quand il n’a pas bu la veille, il s’enivre le jour même ; et s’il a bu la veille, il y a
une chance sur trois pour qu’il reste sobre. On relève son état d’ivresse pendant 400 jours sachant qu’au
jour 0 il était ivre. On note X le nombre de jours où il était sobre, et Xi la variable qui vaut 1 si Andy est
sobre le i-ème jour et 0 sinon.
1. Exprimer X en fonction des Xi
1
1
2. Soit pi = P (Xi = 1). Montrer la relation pi = − pi−1 + .
3
3
3. En déduire la loi des Xi puis calculer E(X).
Exercice 7:
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère une urne contenant :
– 1 boule numéroté 1
– 2 boules numéroté 2
– ...
– n boules numérotés n.
1. On tire une boule de cette urne, on note X le numéro obtenu. Déterminer la loi de X et calculer
n
X
n(n + 1)(2n + 1)
E(X). On rappelle que
k2 =
6
k=1
2. On effectue dans cette urne deux tirages successifs sans remise. On note T1 le numéro de la première
boule obtenue et T2 le numéro de la deuxième boule.
a) Déterminer la loi du couple (T1 , T2 ).
b) En déduire la loi des variables T1 et T2 .
c) Les variables aléatoires T1 et T2 sont-elles indépendantes ?
d) Déterminer E(T1 + T2 ).
Exercice 8:
Soit (Xi )i∈N une suite de VAR de Bernoulli de paramètre p, indépendantes. Soit Yi = Xi Xi+1
1. Quelle est la loi de Yi ?
n
X
2. Soit Sn =
Yi . Calculer E(Sn ) et V (Sn ).
i=1
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Exercice 9:
Soucieux d’améliorer le flux de sa clientèle lors du passage en caisse, un gérant de magasin a réalisé les
observations suivantes :
1. L’étude du mode de paiement en fonction du montant des achats a permis d’établir les probabilités
suivantes :
P ([S = 0] ∩ [U = 0]) = 0, 4
P ([S = 0] ∩ [U = 1]) = 0, 3
P ([S = 1] ∩ [U = 0]) = 0, 2
P ([S = 1] ∩ [U = 1]) = 0, 1
où S représente la variable aléatoire prenant la valeur 0 si le montant des achats est inférieur ou égal
à 50 euros, prenant la valeur 1 sinon, et U la variable aléatoire prenant la valeur 0 si la somme est
réglée par carte bancaire, prenant la valeur 1 sinon.
a) Déterminer les lois de S et U et vérifier que la probabilité que le client règle par carte bancaire
3
est égale à p = .
5
b) Calculer la covariance du couple (S, U). Les variables S et U sont-elles indépendantes ?
c) Quelle est la probabilité que la somme réglée soit supérieure strictement à 50 euros sachant que
le client utilise un autre moyen de paiement que la carte bancaire ?
2. On suppose que les modes de règlement sont indépendants entre les individus.
Une caissière reçoit n clients dans sa journée (n > 2).
On définit trois variables aléatoires Cn , L1 , L2 par :
-Cn comptabilise le nombre de clients qui paient par carte bancaire.
-L1 (resp.L2 ) est égale au rang du 1er (resp.du 2ème ) client utilisant la carte bancaire comme moyen
de paiement, s’il y en a au moins un (resp.au moins deux) et à zéro sinon.
a) Reconnaı̂tre la loi de Cn , rappeler la valeur de l’espérance et de la variance de cette variable
aléatoire.
b) Déterminer la loi de L1 et vérifier que :
n
X
P (L1 = k) = 1
k=0
c) Déterminer la loi de L2 .
Exercice 10:
Une urne contient une boule blanche et une boule noire, les boules étant indiscernables au toucher.
On y prélève une boule, chaque boule ayant la même probabilité d’être tirée, on note sa couleur, et
on la remet dans l’urne avec c (c 6= 0) boules de la couleur de la boule tirée. On répète cette épreuve, on
réalise ainsi une succession de n tirages (n > 2).
On considère les variables aléatoires (Xi )16i6n définies par :
(
Xi = 1 si on obtient une boule blanche au ième tirage.
Xi = 0 sinon.
On définit alors, pour 2 6 p 6 n, la variable aléatoire Zp , par : Zp =
p
X
Xi .
i=1
1. Que représente la variable Zp ?
2. Donner la loi de X1 et l’espérance E(X1 ) de X1 .
Probabilités : Chapitre 3 Exercices
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3. Déterminer la loi du couple (X1 , X2 ). En déduire la loi de X2 puis l’espérance E(X2 ).
4. Déterminer la loi de probabilité de Z2 .
5. Déterminer l’univers image Zp (Ω) de Zp .
6. Soit p 6 n − 1.
a) Déterminer P[Zp =k] (Xp+1 = 1) pour k ∈ Zp (Ω).
b) En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que :
P (Xp+1 = 1) =
1 + cE(Zp )
.
2 + pc
1
.
2
(On raisonnera par récurrence sur p : les variables X1 , X2 , ...., Xp étant supposées suivre une loi
1
de de Bernoulli de paramètre , et on calculera E(Zp )).
2
c) En déduire que Xp est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre
Exercice 11:
Soit (X, Y ) un couple de VAR discrètes à valeurs dans N2 , de loi conjointe :
P ([X = i] ∩ [Y = j]) =
a
2i+1 j!
1. Déterminer toutes les valeurs possibles de a.
2. Déterminer les lois marginales.
3. X et Y sont-elle indépendantes ?
Probabilités : Chapitre 3 Exercices
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Correction
Exercice 1:
1. On a ici X(Ω) = [[1; n − 1]] et Z(Ω) = [[2; n]]. Soit k ∈ X(Ω) et j ∈ Z(Ω).
• Si k > j alors P ([X = k] ∩ [Z = j]) = 0.
• Si k < j alors on peut écrire [X = k] ∩ [Z = j] = R1 ∩ · · · Rk−1 ∩ Bk ∩ Rk+1 ∩ · · · ∩ Rj−1 ∩ Bj et
donc d’après la formule des probabilités composées :
n−2 n−3
n − 2 − (k − 2)
2
×
×···×
×
n
n−1
n − (k − 2)
n − (k − 1)
n − 2 − (j − 3)
1
n − 2 − (k − 1)
×···×
×
×
n−k
n − (j − 2)
n − (j − 1)
(n − 2)(n − 3) · · · (n − k) × 2 × (n − k − 1) · · · (n − j + 1)
=
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − j + 1)
2
=
n(n − 1)
P ([X = k] ∩ [Z = j]) =
2. D’après la formule des probabilités totales utilisée avec le système complet d’événements
([X = k])k∈X(Ω) , on a pour tout j ∈ Z(Ω) :
P (Z = j) =
n−1
X
P ([X = k] ∩ [Z = j])
k=1
j−1
=
X
P ([X = k] ∩ [Z = j] +
k=1
=
j−1
X
n−1
X
P ([X = k] ∩ [Z = j])
k=j
n−1
X
2
2(j − 1)
+
0=
n(n − 1) k=j
n(n − 1)
k=1
Exercice 2:
1. On a X1 (Ω) = N∗ car on lance le dé indéfiniment donc la première série peut être de n’importe quelle
longueur non nulle.
De plus soit k ∈ N∗ , on a [X1 = k] = (B1 ∩ · · · ∩ Bk ∩ Rk+1 ) ∪ (R1 ∩ · · · ∩ Rk ∩ Bk+1 ) donc comme
on a une union d’événements incompatibles et que les lancers sont indépendants, on a
k
k
1
5
5
1
P (X1 = k) =
× +
×
6
6
6
6
Si la série
X
kP (X1 = k) est absolument convergente, X1 admettra une espérance. En cas de
convergence on aura :
+∞
X
k X
k
+∞
5
1
1
5
E(X1 ) =
k× ×
+
k× ×
6
6
6
6
k=1
k=1
k−1
+∞
+∞
k−1
1
5
5 1X
1 5X
k
k
= ×
+ ×
6 6 k=1
6
6 6 k=1
6
5
1
On voit ici deux séries dérivées premières de série géométrique de raison et donc ce sont deux
6
6
séries convergentes.
Probabilités : Chapitre 3 Exercices
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Couples et suites de VAR discrètes
Ainsi X1 admet une espérance et
E(X1 ) =
5 1
1 5
26
1
1
×
+ ×
=
2
2
6 6 (1 − 1/6)
6 6 (1 − 5/6)
5
2. On a X2 (Ω) = N∗ . Soit k ∈ X1 (Ω) et j ∈ X2 (Ω). On peut écrire :
[X1 = k] ∩ [X2 = j] = (B1 ∩ · · · ∩ Bk ∩ Rk+1 ∩ · · · ∩ Rk+j ∩ Bk+j+1)
∪ (R1 ∩ · · · ∩ Rk ∩ Bk+1 ∩ · · · ∩ Bk+j ∩ Rk+j+1)
donc comme on a une union d’événements incompatibles et que les lancers sont indépendants :
k+1 j k+1 j
5
1
5j
1 5k
1
5
1
5
1
+
P ([X1 = k] ∩ [X2 = j]) = k × j × + k × j × =
6
6
6 6
6
6
6
6
6
6
3. D’après la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements ([X1 = k])k∈N∗ on
a:
+∞
X
P ([X1 = k] ∩ [X2 = j])
P (X2 = j) =
k=1
j
j X
+∞ k
+∞ k
5
5
1X 1
5
1
=
×
+ ×
6
6 k=1 6
6
6 k=1 6
j
j
1/6
5
1
1
5/6
5
+ ×
× ×
×
=
6
6 1 − 1/6 6
6
1 − 5/6
j−1
j−1
5
25
1
1
=
+
×
×
6
36 36
6
5
5
13
65
30
et P (X1 = 1) × P (X2 = 1) =
×
=
.
4. On a P ([X1 = 1] ∩ [X2 = 1]) = 3 =
6
36
18 18
324
On a donc P ([X1 = 1] ∩ [X2 = 1]) 6= P (X1 = 1) × P (X2 = 1) donc les variables ne sont pas
indépendantes.
Exercice 3: Difficile
1. On a X(Ω) = [[1; n]] et Y (Ω) = [[1; n]]. Soit k ∈ X(Ω) et j ∈ Y (Ω).
• Si j > k alors P ([X = k] ∩ [Y = j]) = 0 car il est impossible de tirer une boule numérotée j dans
l’urne k lorsque j > k.
1 1
1
• Si j 6 k alors P ([X = k] ∩ [Y = j]) = P (X = k)P[X=k] (Y = j) = × =
.
n k
nk
n
n
n
X
X
1X1
1
=
.
2. P (X = Y ) =
P ([X = k] ∩ [Y = k]) =
nk
n
k
k=1
k=1
k=1
3. D’après la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements ([X = k])k∈[[1;n]] on
a:
n
n
n
X
X
1
1X1
P (Y = j) =
P ([X = k] ∩ [Y = j]) =
=
nk
n
k
k=1
k=j
k=j
Y est une VAR discrète finie donc elle admet une espérance et on a :
n
X
n X
n
n X
k
n
X
X
X
j
j
1
k(k + 1)
E(Y ) =
jP (Y = j) =
=
=
×
kn k=1 j=1 kn k=1 kn
2
j=1
j=1 k=j
n
1
n+3
(n + 1)(n + 2)
1X
(k + 1) =
×
−1 =
=
2n k=1
2n
2
4
Probabilités : Chapitre 3 Exercices
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Exercice 4:
1. La variable aléatoire N correspond au rang d’apparition pour la première fois de l’événement ≪ obtenir pile ≫ , qui est de probabilité p, au cours d’une succession d’épreuves identiques. N suit donc
la loi géométrique de paramètre p :
N(Ω) = N∗
∀n ∈ N∗
P (N = n) = (1 − p)n−1 p
2. On a X(Ω) = N et on chercher à calculer pour tout entier k P[N =n] (X = k).
Lorsqu’on sait que [N = n] cela signifie que X compte le nombre de réalisation de l’événement
≪ obtenir pile ≫ , qui est de probabilité p, au cours de n réalisations identiques d’une épreuve. La loi
conditionnelle de X à [N = n] est donc la loi binomiale de paramètres n et p :
( n k n−k
p q
si k 6 n
k
∀k ∈ N P[N =n] (X = k) =
0
sinon
3. D’après la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements ([N = n])n∈N∗ on
a pour tout entier k > 0 :
+∞ +∞
X
X
n
n k n−k
k+1 −k−1
n−1
(q 2 )n
p q
=p q
P (X = k) =
P (N = n)P[N =n] (X = k) =
q p
k
k
n=1
n=k
n=k
+∞
X
=
et P (X = 0) =
pk+1
q 2k
pk+1 q k−1
q k−1
×
=
=
q k+1 (1 − q 2 )k+1
(1 − q)k+1(1 + q)k+1
(1 + q)k+1
+∞
X
+∞
pq
q
pq 2
pX 2 n
=
(q ) =
q =
2
q n=1
q(1 − q )
1+q
n−1 n
n=1
4. a) On a BG(Ω) = N.
• P (BG = 0) = P (B = 0) = 1 − p′
• Soit k ∈ N∗ ,
P (BG = k) = P ([B = 1] ∩ [G = k]) = P (B = 1)P (G = k) = p′ × (1 − p′ )k−1 p′ = p′2 (1 − p′ )k−1
q
1
=
. On a bien alors P (X = 0) = P (BG = 0) et de plus
q+1
1+q
q k−1
q k−1
1
×
=
donc P (X = k) = P (BG = k).
p′2 (1 − p′ )k−1 =
(1 + q)2 (1 + q)k−1
(1 + q)k+1
c) Comme X et BG ont la même loi, elles ont la même espérance. On a donc E(X) = E(BG). Or
B et G sont indépendantes donc
b) On choisit p′ = 1 −
E(BG) = E(B)E(G) = p′ ×
1
=1
p′
et donc E(X) = 1.
Probabilités : Chapitre 3 Exercices
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Couples et suites de VAR discrètes
Exercice 5:
1.
yi
0
1
4
P (Y = yi ) 1/6 1/2 1/3
H
HH Y
X HHH
0
1
4
-2
0
0
1/6
-1
0
1/4
0
0
1/6
0
0
1
0
1/4
0
2
0
0
1/6
2. P ([X = 1] ∩ [Y = 0]) = 0 et P (X = 1)P (Y = 0) 6= 0 donc les variables ne sont pas indépendantes.
X
11
3. E(X) = 0, E(Y ) =
et E(XY ) =
xyP ([X = x] ∩ [Y = y]) = 0 donc cov(X, Y ) = 0.
6
Les VAR ne sont pas indépendantes et pourtant elles ont une covariance nulle.
Exercice 6:
1. X =
400
X
Xi car si on ajoute 1 à chaque fois que Andy et sobre et 0 s’il est ivre on obtiendra bien le
i=1
nombre de jours où il a été sobre.
2. Avec le système complet d’événement ([Xi−1 = 0], [Xi−1 = 1]), d’après la formule des probabilités
totales, on a
P (Xi = 1) = P (Xi−1 = 0)P[Xi−1 =0] (Xi = 1) + P (Xi−1 = 1)P[Xi−1 =1] (Xi = 1)
1
Or d’après l’énoncé P[Xi−1 =0] (Xi = 1) = et P[Xi−1 =1] (Xi = 1) = 0 et de plus P (Xi−1 = 0) = 1−pi−1 .
3
On a donc
1
1
pi = − pi−1 +
3
3
3. On sait que p0 = 0 et (pi ) est une suite arithmético-géométrique. On pose qi = pi + k où k est un
1
1
1
1
1
4
1
réel à choisir. On a alors qi = − pi−1 + + k = − (qi−1 − k) + + k = − qi−1 + k + . On choisit
3
3
3
3
3
3
3 i
1
1
1
1
1
−
et on en déduit donc que
alors k = − et on a qi = − qi−1 et q0 = − donc qi = −
4
3
4
4
3
i !
1
1
pi =
1− −
4
3
i !
1
1
1
1− −
et P (Xi = 0) =
En conclusion on a Xi (Ω) = {0; 1} et P (Xi = 1) =
4
3
4
!
i
1
1
On en déduit que E(Xi ) =
1− −
et donc
4
3
i !
1
3+ −
3
i !
1
1
1 1 − (−1/3)400
E(X) =
E(Xi ) =
1− −
=
400 +
4
3
4
3
1 + 1/3
i=1
i=1
400 !
1
1
1− −
≈ 100
= 100 +
16
3
400
X
Probabilités : Chapitre 3 Exercices
400
X
1
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Exercice 7:
n(n + 1)
boules dans l’urne en tout, pour tout
1. On a X(Ω) = [[1; n]] et comme il y a 1 + 2 + · · · + n =
2
k
2k
k ∈ X(Ω) on a P (X = k) =
=
.
n(n + 1)/2
n(n + 1)
X est une VAR discrète finie donc elle admet un espérance et
E(X) =
n
X
kP (X = k) =
k=1
n
X
2
2n + 1
n(n + 1)(2n + 1)
2k 2
=
=
n(n + 1)
n(n + 1)
6
3
k=1
2. a) On a T1 (Ω) = T2 (Ω) = [[1; n]]. Soit k et j deux éléments de [[1; n]].
• Si k 6= j, on a
P ([T1 = k] ∩ [T2 = j]) = P (T1 = k)P[T1 =k] (T2 = j) =
=
2k
j
×
n(n + 1) n(n + 1)/2 − 1
4kj
n(n + 1)(n − 1)(n + 2)
• Si k = j, on a
P ([T1 = k] ∩ [T2 = k]) = P (T1 = k)P[T1 =k] (T2 = k) =
=
k−1
2k
×
n(n + 1) n(n + 1)/2 − 1
4k(k − 1)
n(n + 1)(n − 1)(n + 2)
b) T1 suit la même loi que X.
Soit j ∈ T2 (Ω). D’après la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements
([T1 = k])k∈[1;n]] on a
P (T2 = j) =
n
X
P ([T1 = k] ∩ [T2 = j])
k=1
n
X
4kj
4j(j − 1)
+
n(n + 1)(n − 1)(n + 2) n(n + 1)(n − 1)(n + 2)
k=1,k6=j
n(n + 1)
4j(j − 1)
4j
−j +
=
n(n + 1)(n − 1)(n + 2)
2
n(n + 1)(n − 1)(n + 2)
4j
n(n + 1)
=
−j+j−1
n(n + 1)(n − 1)(n + 2)
2
2j
=
n(n + 1)
=
c) On a P ([T1 = 1] ∩ [T2 = 1]) = 0 et P (T1 = 1) × P (T2 = 1) =
n2 (n
4
donc les variables T1 et
+ 1)2
T2 ne sont pas indépendantes.
d) E(T1 + T2 ) = E(T1 ) + E(T2 ) = 2E(X) =
2(2n + 1)
3
Exercice 8:
1. On a Yi (Ω) = {0; 1} et P (Yi = 1) = P ([Xi = 1] ∩ [Xi+1 = 1]) = p × p = p2 car les variables Xi sont
indépendantes. Donc on a P (Yi = 0) = 1 − p2 .
Yi suit une loi de Bernoulli de paramètre p2 .
Probabilités : Chapitre 3 Exercices
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Couples et suites de VAR discrètes
2. D’après la linéarité de l’espérance, E(Sn ) =
n
X
E(Yi ) = np2 .
i=1
On sait aussi que V (Sn ) =
n
X
V (Yi ) + 2
X
cov(Yi , Yj ).
16i<j6n
i=1
Or E(Yi Yj ) = P (Yi Yj = 1) = P ([Xi = 1] ∩ [Xi+1 = 1] ∩ [Xj = 1] ∩ [Xj+1 = 1]).
Si j 6= i + 1 alors E(Yi Yj ) = p4 et si j = i + 1, E(Yi Yj ) = p3 .
Donc si j 6= i + 1 alors cov(Yi , Yj ) = 0 et si j = i + 1, cov(Yi , Yi+1 ) = p3 (1 − p).
On a donc V (Sn ) = np2 (1 − p2 ) + 2(n − 1)p3 (1 − p) = p2 (1 − p)(n + 3np − 2p).
Exercice 9: ECRICOME 2007
1. a) Par définition de S, on sait que S(Ω) = {0; 1} et U(Ω) = {0; 1}. Donc les événements [U = 0]
et [U = 1] forment un système complet d’événements et donc d’après la formule des probabilités
totales :
P (S = 0) = P ([S = 0] ∩ [U = 0]) + P ([S = 0] ∩ [U = 1]) = 0, 7
P (S = 1) = P ([S = 1] ∩ [U = 0]) + P ([S = 1] ∩ [U = 1]) = 0, 3
De même avec le système complet d’événements [S = 0] et [S = 1], on obtient
P (U = 0) = 0, 6
et
P (U = 1) = 0, 4
Donc S suit une loi de Bernoulli de paramètre 0, 3 et U suit une loi de Bernoulli de paramètre
0, 4.
La probabilité que le client règle par carte bancaire est le probabilité de l’événement [U = 0] c’est
3
à dire 0, 6 = .
5
b) Par définition cov(S, U) = E(SU) − E(S)E(U). De plus on a E(S) = 0, 3, E(U) = 0, 4 et
E(SU) = 1 × 1 × P ([S = 1] ∩ [U = 1]) = 0, 1. Donc cov(S, U) = 0, 1 − 0, 12 = −0, 02.
Comme la covariance n’est pas nulle on peut affirmer que les variables S et U ne sont pas
indépendantes.
c) On cherche dans cette question à calculer P[U =1] (S = 1). On a donc :
P[U =1] (S = 1) =
P ([S = 1] ∩ [U = 1])
0, 1
1
=
=
P (U = 1)
0, 4
4
2. a) Cn compte le nombre de réalisations de l’événements ≪ le client paye par carte bancaire ≫, qui est
3
de probabilité , pour n clients se présentant à la caisse, chaque clients étant indépendants des
5
3
autres. Donc Cn suit une loi binomiale de paramètre n,
. On a donc
5
E(Cn ) =
3n
5
et
V (Cn ) =
6n
25
n
2
car l’événement [L1 = 0]
b) Par définition de L1 , on a L1 (Ω) = [[0; n]]. De plus P (L1 = 0) =
5
signifie qu’aucun de client n’a payé par carte bancaire.
Pour tout entier k compris entre 1 et n, l’événement [L1 = k] signifie que les k − 1 premiers client
n’ont pas payé par carte bancaire mais que le k-ième client a payé par carte bancaire. On a donc
k−1
2
3
P (L1 = k) =
5
5
Probabilités : Chapitre 3 Exercices
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Couples et suites de VAR discrètes
On a donc
n
X
n X
k−1
n
2
3 2
P (L1 = k) =
+
5
5 5
k=0
k=1
n
n
3 1 − 52
2
+ ×
=
5
5
1 − 52
n
n
2
2
+1−
=1
=
5
5
c) Par définition de L2 , on a L2 (Ω) = {0, 2, 3, · · · , n}.
L’événement [L2 = 0] signifie qu’aucun client n’a payé en carte bancaire ou alors qu’un seul
client à payé en carte bancaire, donc [L2 = 0] = [Cn = 0] ∪ [Cn = 1]. Ces événements étant
incompatibles :
n−1
n
3 2
2
P (L2 = 0) =
+n
5
5 5
Soit k un entier compris entre 2 et n. L’événement [L2 = k] signifie que parmi les k − 1 premiers
clients, un seul a payé en carte bancaire, et le k-ième client a payé en carte bancaire.
Donc [L2 = k] = [Ck−1 = 1] ∩ [Uk = 0] où Uk prend la valeur 0 si le k-ième client paye par carte
bancaire et 1 sinon. On a donc, par indépendance des événements :
3
P (L2 = k) = (k − 1)
5
On a donc bien obtenu la loi de L2 .
k−2
k−2 2
2
3
3
2
× = (k − 1)
5
5
5
5
Exercice 10: ECRICOME 2002
1. Zp compte le nombre de boules blanches tirées au cours des p premiers tirages.
2. X1 vaut 1 lorsque la boule tirées est blanche et 0 sinon. Donc X1 suit une loi de Bernoulli de paramètre
1
1
. Donc on a E(X1 ) =
2
2
3. • Pour déterminer la loi d’un couple il faut calculer les différents P ([X1 = i] ∩ [X2 = j]). On peut
présenter les résultats sous forme d’un tableau :
HH
HHX2
X1
HH
0
1
0
1
1 c+1
×
2 c+2
1
1
×
2 c+2
1
1
×
2 c+2
1 c+1
×
2 c+2
Pour calculer par exemple P ([X1 = 0] ∩ [X2 = 0]) on a utilisé la formule des probabilités composées
P (X1 = 0)P[X1 =0] (X2 = 0) et on a remarqué que, sachant que l’on a obtenu une boule noire au
premier tirage ([X1 = 0]), il y a avant le deuxième tirage c + 2 boules dans l’urne dont c + 1 qui sont
c+1
noires donc P[X1 =0] (X2 = 0) =
.
c+2
On a raisonné de même pour les autres probabilités.
• D’après la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements
([X1 = 0], [X1 = 1]) on a
P (X2 = 1) = P ([X1 = 0] ∩ [X − 2 = 1]) + P ([X1 = 1] ∩ [X − 2 = 1]) =
Et donc X2 suit une loi de Bernoulli de paramètre
Probabilités : Chapitre 3 Exercices
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1
1
c+1
+
=
2(c + 2) 2(c + 2)
2
1
1
et ainsi E(X2 ) = .
2
2
Couples et suites de VAR discrètes
4. Z2 = X1 + X2 . Donc Z(Ω) = {0; 1; 2}. On a :
1 c+1
– P (Z2 = 0) = P ([X1 = 0] ∩ [X2 = 0]) = ×
.
2 c+2
1
1
1
1
1
– P (Z2 = 1) = P ([X1 = 0] ∩ [X2 = 1]) + P ([X1 = 1] ∩ [X2 = 0]) = ×
+ ×
=
.
2 c+2 2 c+2
c+2
1 c+1
.
– P (Z2 = 2) = P ([X1 = 1] ∩ [X2 = 1]) = ×
2 c+2
k
0
1
2
P (Z2 = k)
1 c+1
×
2 c+2
1
c+2
1 c+1
×
2 c+2
5. On ajoute p chiffres qui valent chacun 0 ou 1 donc Zp (Ω) = [[0; p]]
6. a) L’événement [Zp = k] signifie qu’au cours des p premiers tirages, on a tiré k boules blanches et
donc p − k boules noires. On a donc mis dans l’urne kc boules blanches et (p − k)c boules noires
supplémentaires. Il y a donc avant le tirage p + 1, pc + 2 boules dans l’urne dont kc + 1 blanches :
P[Zp =k] (Xp+1 = 1) =
kc + 1
pc + 2
b) A l’aide de la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements
[Zp = 0], · · · , [Zp = p] on a :
P (Xp+1 = 1) =
p
X
P (Zp = k)P[Zp =k] (Xp+1 = 1)
k=0
p
=
X
P (Zp = k)
k=0
1
=
pc + 2
kc + 1
pc + 2
p
p
X
X
P (Zp = k)
c kP (Zp = k) +
k=0
k=0
!
cE(Zp ) + 1
=
pc + 2
c) Montrons par récurrence que la propriété ≪ P(p) : X1 , ..., Xp suivent des lois de Bernoulli de
1
paramètre ≫ est vraie pour tout p ∈ {1, · · · , n}.
2
• Pour p = 1 la propriété est vraie d’après la question 2.
p
p
X
X
1
p
E(Xi ) =
=
• Supposons P(p) vraie. Alors E(Zp ) =
2
2
i=1
k=1
On obtient donc P (Xp+1 = 1) =
1
. P(p + 1) est donc vraie.
2
pc/2 + 1
1
= et donc Xp+1 suit une loi de Bernoulli de paramètre
pc + 2
2
Ainsi pour tout p ∈ {1, · · · , n}, Xp suit une loi de Bernoulli de paramètre
Probabilités : Chapitre 3 Exercices
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1
.
2
Couples et suites de VAR discrètes
Exercice 11:
1. Il faut choisir a pour que
X
P ([X = i] ∩ [Y = j]) = 1.
i,j
X
P ([X = i] ∩ [Y = j]) =
+∞ X
+∞
X
j=0 i=0
(i,j)∈N2
a
2i+1 j!
+∞
X
+∞
a X1
=
2j! i=0 2i
j=0
+∞ X
a
×2
=
2j!
j=0
=
+∞
X
a
j!
j=0
!
= a × e1
Donc il faut prendre a = e−1 .
1
2. • ∀i ∈ N, P (X = i) = i+1
2
e−1
• ∀j ∈ N, P (Y = j) =
j!
3. On a P ([X = i] ∩ [Y = j]) = P (X = i)P (Y = j) donc les variables sont indépendantes.
Probabilités : Chapitre 3 Exercices
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Couples et suites de VAR discrètes