Parties totalement bornées de L

ANNEXE
PARTIES TOTALEMENT BORNEES DE L1
Soit V un espace de Banach .
Définition : Une partie de V est bornée ssi elle est incluse à une boule de V.
Définition : Une partie de V est totalement bornée ssi ∀ > 0 elle est incluse à une
réunion finie de boules de V de rayon .
Une partie totalement bornée est évidemment bornée .
Théorème fondamental : Une partie bornée A de L1 est totalement bornée ssi
∀ > 0 il existe δ > 0 tel que
∀ f˜ ∈ A
◦
1 )
Z
a + δ
f˜ (x) d x ≤ ∀ f˜ ∈ A
et
Z
∀ f˜ ∈ A ∀ h ∈ E ∀ u ∈ [ − δ , δ ] 2 )
b
f˜ (x) d x ≤ b −δ
a
◦
Z
b −δ
a+δ
h(x + u) − h(x) f˜(x) d x ≤ khk .
Dém :
a) ⇒ : Soient f˜ ∈ L1 et h ∈ E ; soit > 0 et soit g ∈ C tel que f˜− g 1 ≤ ;
on a ∀ u ∈ [ − δ , δ ]
Z b −δ
Z b −δ
˜(x) d x −
f
h(x
+
u)
−
h(x)
g
(x)
d
x
h(x
+
u)
−
h(x)
a+δ
a+δ
Z b −δ
˜
=
h(x + u) − h(x) f (x) − g (x) d x ≤ 2 khk f˜− g 1 ≤ 2 khk ; de plus
a+δ
Z b −δ + u
Z b −δ
h(x + u) − h(x) g (x) d x = h(x) g (x − u) d x −
h(x) g (x) d x a+δ
a+δ
a+δ+u
Z b −δ
Z a + δ + u
= h(x) g (x − u) − g (x) d x + h(x) g (x − u) d x Z
b − δ
a+δ
Z
+ b −δ
a+δ
Z
h(x) g (x − u) d x ≤ khk
b −δ + u
b − δ
g (x − u) − g (x) d x + 2 δ kg kkhk ;
a+δ
i
tel que |x1 − x 2 | ≤ δ ⇒ g (x1 ) − g (x 2 ) ≤
;
soit 0 < δ <
kg k
b−a
Z b −δ
alors ∀ u ∈ [ − δ , δ ] h(x + u) − h(x) g (x) d x ≤ 3 khk ,
h
a+δ
Z
donc ∀ u ∈ [ − δ , δ ] b − δ
a+δ
h(x + u) − h(x) f˜(x) d x ≤ 5 khk .
A-1
Choisissons dans L1 un ensemble fini de boules , de centres f˜1 , f˜1 . . . f˜n et de rayon ,
recouvrant A ; on peut choisir en vertu de ce qui précède δ > 0 tel que
Z b −δ
∀ i ∈ [[1, n ]] ∀ h ∈ E ∀ u ∈ [ − δ , δ ] h(x + u) − h(x) f˜i (x) d x ≤ khk ;
a+δ
en réduisant éventuellement δ on peut exiger en outre
Z b
Z a+δ
f˜i (x) d x ≤ .
f˜i (x) d x ≤ et
∀ i ∈ [[1, n ]]
b −δ
a
Soit f˜ ∈ A et soit i ∈ [[1, n ]] tel que k f˜ − f˜i k1 ≤ ;
Z b −δ
˜
alors ∀ h ∈ E ∀ u ∈ [ − δ , δ ] h(x + u) − h(x) f (x) d x a+δ
Z
≤ b − δ
a+δ
b − δ
Z
h(x + u) − h(x) f˜i (x) d x + a+δ
≤ khk + 2 khk = 3 khk .
Z
Z a+δ
˜
f (x) d x ≤
De plus on a
h(x + u) − h(x) f˜(x) − f˜i (x) d x a + δ
f˜i (x) d x +
a + δ
f˜ − f˜i (x) d x ≤ 2 .
a
a
a
Z
b) ⇐ : Soit φ la fonction R → R+ dont le graphe est un triangle isocèle
Z δ
de base [− δ , δ ] et de hauteur 1/δ ; on a donc
φ (u) d u = 1 .
−δ
∀ f˜ ∈ L1 définissons la fonction de C
f˜ ∗ φ : [ a , b ] → R : x 7→
Z
b
φ (x − u) f˜(u) d u .
a
Z
On a ∀ h ∈ E
b
(f˜ ∗ φ)(x) h(x) d x =
b −δ
b
Z
a+δ
a+δ
Z
φ (x − u) h(x) d x f˜(u) d u =
a+δ
Z b
˜
[. . .] f (u) d u +
[. . .] f˜(u) d u .
{z
} | b − δ {z
}
K1
φ (v) h(v + u) d v f˜(u) d u =
Z
−δ
δ
Z
−δ
On a aussi
Z b
Z
˜
h(x) f (x) d x =
b −δ
a+δ
h(x) f˜(x) d x +
a+δ
Z
L1
φ (x − u) h(x) d x f˜(u) d u
u−δ
a+δ
=
a
Z
b − δ Z u + δ
Z
a
φ (x − u) h(x) d x f˜(u) d u
|a
b
b − δ Z δ
a+δ
a
De plus
Z b − δ Z
b
a
φ (x − u) h(x) d x f˜(u) d u +
=
Z
a
a
Z
b
Z
|a
A-2
b −δ
h(u + v) f˜(u) d u φ (v) d v
a+δ
Z b
˜
h(x) f (x) d x +
h(x) f˜(x) d x .
{z
} | b − δ {z
}
K2
L2
−δ
a+δ
Z
b
˜
˜
h(x) (f ∗ φ)(x) − f (x) d x a
Z δ Z b − δ
Z b −δ
h(u + v) f˜(u) d u φ (v) d v −
h(x) f˜(x) d x + M
≤ On peut donc écrire ∀ f˜ ∈ A ∀ h ∈ E
a+δ
avec M = |K1 | + |L 1 | + |K2 | + |L 2 | .
Z δ Z b − δ
Z b −δ
˜
˜
h(u + v) f (u) d u φ (v) d v −
h(x) f (x) d x Or on a −δ
a+δ
a+δ
Z δ Z b − δ
Z δ Z b − δ
h(x) f˜(x) d x φ (v) d v h(u + v) f˜(u) d u φ (v) d v −
= −δ
−δ
a+δ
a+δ
Z δ Z b − δ
˜
=
h(x + v) − h(x) f (x) d x φ (v) d v −δ
a+δ
Z δ Z b −δ
˜(x) d x φ (v) d v ≤ khk en vertu de la condition 2 ◦ ) .
h(x
+
v)
−
h(x)
f
≤
−δ
a+δ
Par ailleurs en vertu de la condition 1◦ ) on a clairement M ≤ 4 khk ; on en déduit
Z b
∀ f˜ ∈ A h(x) (f˜ ∗ φ)(x) − f˜(x) d x ≤ 5 khk , donc k f˜ ∗ φ − f˜k1 ≤ 5 ;
a
or ∀ f˜ ∈ A f˜ ∗ φ ∈ C ; montrons que A ∗ φ ⊂ C est totalement borné dans C , c-à-d
d’après le théorème d’Ascoli :
Z
* borné : (f˜ ∗ φ)(x) = b
1
φ (x − u) f˜(u) d u ≤ k f˜k1 ,
δ
a
Z b
˜
˜
˜
* équicontinu : (f ∗ φ)(x) − (f ∗ φ)(y) = φ (x − u) − φ (y − u) f (u) d u a
1
≤ 2 k f˜k1 |x − y | .
δ
,
b−a
elles-mêmes incluses aux boules de L1 de même centre et de rayon ; on peut donc
A ∗ φ peut donc être recouvert par un ensemble fini de boules de C de rayon
recouvrir A par l’ensemble des boules de L1 de même centre que les précédentes et
de rayon 6 .
A-3