Composition d`un portefeuille optimal - gregor-iae

1998.02
Composition d’un portefeuille optimal
Dinh Cung Dang
Docteur en gestion de l’IAE de Paris — Ingénieur Conseil
Résumé : Dans ce travail, le risque est défini comme étant la probabilité de réaliser in fine
une rentabilité inférieure à une rentabilité minimale acceptable pour un investisseur ou qui lui
est promise. À partir de cette définition, nous définissons une fonction limite inférieure de la
rentabilité en fonction de l’écart-type. Avec cette fonction et en faisant la distinction entre les
préoccupations d’un investisseur et d’un gestionnaire de portefeuilles, nous pouvons proposer
une procédure de recherche d’un portefeuille optimal pour chacun de ces intervenants sur le
marché boursier.
Mots clés : Gestion de portefeuille, risque d’un portefeuille, portefeuille optimal.
Abstract : In this work, the risk has been defined as being the probability to reach, in fine, a
return lower than the minimal return that can be regarded as acceptable by the investor, or
which was promised to him. Starting with this definition, we define a function of the return lower
limit which depends on the standard deviation. With this function and by distinguishing between
the priorities of an investor and those of a portfolio manager, we can suggest a procedure for
researching an optimal portfolio for each of those stock managers.
Key words : Portfolio management, portfolio risk, optimal portfolio.
Le présent article a pour objet d’établir un modèle et un algorithme de recherche de la composition d’un portefeuille optimal compte tenu du risque qu’accepte de courir un intervenant
donné sur un marché donné.
Il concerne :
- le théoricien en finances de marché,
- l’investisseur qui gère ses propres actifs,
- le gestionnaire de portefeuilles qui gère les actifs de ses clients.
Il ne s’applique qu’aux portefeuilles dont la valeur boursière est importante (SICAV, fonds
de pension,…) et il implique que la méthode gestion des portefeuilles soit la méthode dite passive. En effet, il fait appel à des concepts de probabilité et de statistique qui sont inapplicables
à un petit portefeuille et qui supposent que les paramètres de la distribution statistique des rentabilités restent constants dans le temps.
Dans notre travail, nous supposons que les rentabilités sont distribuées statistiquement suivant des lois normales. Mais notre raisonnement peut aisément être étendu à d’autres lois de distribution.
Un investisseur et un gestionnaire de portefeuilles n’ont pas la même fonction d’utilité. C’est
pourquoi, après avoir rappelé et défini un certain nombre de notions, nous examinons successivement le cas de la composition d’un portefeuille optimal pour chacun de ces deux types d’intervenants. Nous exposerons pour finir l’algorithme permettant de trouver cette composition.
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1
Définitions
1-1
Définition du risque
2
Nous définissons le risque comme étant la probabilité de réaliser in fine de l’actif une rentabilité inférieure à un minimum acceptable. Plus cette probabilité est grande, plus l’actif est risqué.
Représentons graphiquement la distribution statistique de la rentabilité dans un plan dont
l’abscisse représente la rentabilité et l’ordonnée la densité de la distribution de cette rentabilité
(voir figure 1). Plus la rentabilité est aléatoire, plus la courbe représentative de la distribution
est plate. Nous mesurons l’aléa de la rentabilité par l’écart-type de sa distribution.
Figure 1 : Exemple de distribution statistique de la rentabilité
R0
E(R)
La probabilité pour que la rentabilité réelle soit inférieure à R 0 est représentée par la surface
comprise entre
- la courbe représentant la distribution statistique,
- la ligne horizontale correspondant à la distribution nulle,
- et la ligne verticale passant par le point d’abscisse R 0 .
Plus cette surface est grande, plus l’actif est risqué.
1-2
Définition de l’actif efficient et de la frontière efficiente
Sur la figure 2, page 3 nous avons représenté les distributions statistiques de rentabilité de
deux actifs A et B de même moyenne mais l’écart-type de la rentabilité de l’actif A est inférieur
à celui de l’actif B. Graphiquement, nous constatons que la surface représentant la probabilité
pour que la rentabilité réelle de l’actif A soit inférieure à R 0 est plus petite que celle de l’actif B.
Par conséquent, l’actif A est moins risqué que l’actif B. Nous dirons que l’actif A surclasse
l’actif B.
Sur la figure 3, page 3 nous avons représenté les distributions statistiques de rentabilité de
deux actifs C et D de même écart-type mais la moyenne de la rentabilité de l’actif C est supérieure à celle de l’actif D. Graphiquement, nous constatons que la surface représentant la probabilité pour que la rentabilité réelle de l’actif C soit inférieure à R 0 est plus petite que celle de
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Figure 2 : Comparaison de deux actifs : même moyenne et écarts-type différents
A
B
R0
l’actif D. Par conséquent, l’actif C est moins risqué que l’actif D. Nous dirons que l’actif C surclasse l’actif D.
Figure 3 : Comparaison de deux actifs : moyennes différentes et même écart-type
D
C
R0
De ces deux constatations, nous pouvons dire qu’un actif surclasse l’autre quand :
- pour une même moyenne, l’écart-type de sa rentabilité est inférieur,
- ou, pour un même écart-type, la moyenne de sa rentabilité est supérieure.
Sur un marché comportant un ensemble d’actifs, un actif est dit efficient s’il n’est surclassé
par aucun autre actif. L’ensemble des actifs efficients constitue la frontière efficiente de ce marché. Ainsi, dans l’exemple de la figure 2, l’actif B surclasse l’actif A et, dans l’exemple de la
figure 3, l’actif C surclasse l’actif D.
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Nous pouvons représenter chaque actif envisageable par un intervenant sur le marché boursier dans un plan dont l’abscisse représente l’écart-type de la rentabilité et l’ordonnée, la
moyenne. Pour la simplicité du langage, nous désignerons ce plan par "plan moyenne-écart-type" ou plan [ σ ; µ ].
Moyenne
Dans la figure 4, qui représente dans un plan moyenne écart-type un marché comportant six
actifs A, B, C, D, E et F,
- l’actif A surclasse l’actif B,
- l’actif C surclasse l’actif D,
- les actifs A, E et F, ne sont surclassés par aucun autre actif et constituent la frontière efficiente du marché.
Figure 4 : Représentation des portefeuilles dans un plan moyenne - écart-type
E
C
F
D
A
B
Ecart-type
1-3
Différences avec le modèle de Markowitz
Les définitions précédentes diffèrent de celles de Markowitz et de la plupart des auteurs de
la théorie de marché aussi bien sur la mesure de l’aléa de la rentabilité que sur le plan dans lequel
les actifs sont représentés graphiquement.
En effet, ces auteurs (voir par exemple Markowitz [1990] et Jacquillat et Sonik [1990])
- mesurent l’aléa de la rentabilité par la variance de sa distribution statistique,
- représentent les actifs dans un plan moyenne-variance,
- et définissent le risque comme étant l’aléa sur la rentabilité, lequel aléa est mesuré par la
variance de la rentabilité, même si, dans le développement de leurs travaux, ils ne font pas
explicitement référence à cette relation entre risque, aléa et variance de la rentabilité.
Au contraire de ces auteurs,
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- nous mesurons l’aléa de la rentabilité par l’écart-type de sa distribution statistique,
- nous représentons les actifs dans un plan moyenne-écart-type,
- et nous définissons le risque comme étant la probabilité d’avoir in fine une rentabilité à
une rentabilité minimale acceptable.
La variance est le carré de l’écart-type. Ces deux grandeurs sont toutes positives et varient
dans le même sens. Il suffit donc d’effectuer un changement de variables pour passer d’une mesure à l’autre et d’une représentation graphique à l’autre.
Notre choix dans la mesure de l’aléa de la rentabilité et dans la représentation graphique des
actifs reste compatible avec les résultats des travaux de Markowitz et d’autres auteurs. Au contraire, comme nous le verrons plus loin, nous pouvons nous baser sur ces travaux pour développer les nôtres sur la composition d’un portefeuille optimal.
1-4
Fonction limite inférieure de la rentabilité
Soit
- un actif dont la rentabilité a pour moyenne µ et pour écart-type σ ,
- une rentabilité R Min qui est le minimum de rentabilité acceptable par l’intervenant.
Nous pouvons exprimer R Min sous la forme R 0 = µ – t α σ dans laquelle t α est une variable
sans dimension dite coefficient de Fisher.
Il est évident que l’intervenant se satisfait d’une rentabilité qui se trouve dans l’intervalle
[ R Min, +∞ ] . Son souci est de connaître la probabilité P ( R Min ) d’avoir in fine une rentabilité
inférieure à R Min .
La théorie de la statistique dit que :
- R Min est la limite inférieure de l’intervalle de confiance biaisée de la rentabilité avec un
degré de confiance de 1 - P ( R Min ),
- R Min et P ( R Min ) sont des fonctions décroissantes de t α ,
- et t α est une mesure de la probabilité P ( R Min ).
Soit la fonction F ( σ ) , qui donne la moyenne de la rentabilité d’un portefeuille efficient en
fonction de l’écart-type σ de la rentabilité. La limite inférieure de l’intervalle de confiance de
la rentabilité est donnée par la formule G(σ) = F (σ) – t α σ .
La valeur de G ( σ ) peut être interprétée de la façon suivante : avec un portefeuille efficient
dont la rentabilité a pour moyenne F ( σ ) et pour écart-type σ , il y a une probabilité mesurée
par le coefficient de Fisher t α pour que la rentabilité effective du portefeuille soit inférieure à
G ( σ ) . Nous appelons cette fonction G ( σ ) , la fonction limite inférieure de la rentabilité (voir
figure 5, page 6).
1-5
Le portefeuille optimal
Nous définissons le portefeuille optimal comme étant le portefeuille qui maximise la fonction utilité de l’intervenant sur le marché. La recherche du portefeuille optimal consiste donc à
rechercher le portefeuille efficient qui maximise la fonction utilité.
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Moyenne
Figure 5 : Frontière efficiente et limite inférieure de la rentabilité
Frontière efficiente F(σ)
G(σ)=F(σ)-tασ
Ecart-type
2
Le portefeuille optimal de l’investisseur
2-1
Le risque et l’utilité pour l’investisseur
L’investisseur est une personne physique ou morale qui dispose d’une certaine somme à investir dans un portefeuille de valeurs mobilières entre un instant et un autre instant donné.
Connaissant le seuil R Min de rentabilité minimale et le risque mesuré par la valeur de t α de
réaliser in fine une rentabilité inférieure à R Min , la moyenne de la rentabilité du portefeuille
qu’il a composé est R Min + t α σ . Son problème est de trouver le portefeuille qui a la moyenne
de rentabilité maximale. Nous considérons que la valeur de cette moyenne soit son utilité et définir sa fonction utilité par U (σ) = R Min + t α σ .
2-2
Recherche du portefeuille optimal de l’investisseur
Nous pouvons donner deux interprétations à la recherche du portefeuille optimal pour l’investisseur. La première est logique car elle est reliée à l’utilité de l’investisseur alors que la
deuxième nous paraît plus élégante et présente des points communs avec la recherche du portefeuille optimal pour le gestionnaire de portefeuilles.
2-2.1 Première interprétation du portefeuille optimal de l’investisseur
Une solution est acceptable seulement si sa rentabilité a une moyenne supérieure ou égale à
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R Min + t α σ et il n’existe pas de portefeuille dont la rentabilité ait une moyenne supérieure à celle d’un portefeuille efficient.
Par conséquent, connaissant la moyenne et l’écart-type de la rentabilité du portefeuille, un
portefeuille P est une solution acceptable quand la moyenne de sa rentabilité satisfait à la double
inégalité R Min + t α σ ≤ R Inv ≤ F (σ) .
Dans un plan [ σ ; µ ], l’ensemble des portefeuilles faisables est l’intersection de l’ensemble
des points situés au-dessus de la droite représentative de R Min + t α σ et de l’ensemble des
points situés en dessous de la courbe représentative de F ( σ ) .
Le portefeuille optimal est le portefeuille efficient qui, non seulement satisfait à cette double
inégalité, mais qui a aussi une rentabilité dont la moyenne est maximale. Cela veut dire que,
dans un plan [ σ ; µ ], il est représenté par le point le plus à droite de l’intersection d’ensembles
définie ci-dessus (voir figure 6).
Moyenne
Figure 6 : Première interprétation de l’utilité de l’investisseur
RInv
PInv
Frontière efficiente F(σ)
U(σ)=R Min+tασ
RMin
σMin=σ2
σ
Min
σ
1
σMax
Ecart-type
2-2.2 Deuxième interprétation du portefeuille optimal de l’investisseur
Nous avons montré au paragraphe précédent que, finalement, la recherche du portefeuille optimal consiste à sélectionner, si elles existent, parmi les racines de l’équation
R Min + t α σ = F (σ) . celle dont la rentabilité a la plus grande moyenne.
Nous pouvons reprendre le même raisonnement en essayant de rechercher les racines de
l’équation équivalente R Min = F (σ) – t α σ et de choisir parmi ces racines celle pour laquelle
F ( σ ) est maximale.
Pour cela, il nous suffit d’étudier la fonction G(σ) = F (σ) – t α σ . Cette fonction s’interprète
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comme étant la limite inférieure de l’intervalle de confiance des rentabilités dont la moyenne
est F ( σ ) compte tenu d’un risque biaisé mesuré par t α .
L’inégalité R Min + t α σ ≤ F (σ) implique que R Min ≤ G(σ) .
Pour que le problème ait une solution, il faut que la rentabilité minimale acceptable R Min
soit inférieure ou égale à la limite inférieure de l’intervalle de confiance des rentabilités G ( σ ) .
Le portefeuille correspondant est un portefeuille efficient, donc représenté par un point de la
frontière efficiente (voir figure 7).
Moyenne
Figure 7 : Deuxième interprétation de l’utilité de l’investisseur
Frontière efficiente F(σ)
P Inv
RInv
RMin
G(σ)=F(σ)-tασ
σ1
σMin
σMax
σInv=σ2
Ecart-type
Dans un plan [ σ ; µ ],
- R Min est représentée par une droite horizontale,
- la courbe représentative de G ( σ ) est déduite de la courbe représentative de F ( σ ) par une
transformation suivant la droite d’équation y = – t α σ ,
- et le portefeuille optimal est le portefeuille optimal qui a le même écart-type que le portefeuille correspondant à l’intersection la plus à droite de la courbe représentative de G ( σ )
avec la droite représentative de R Min .
2-3
Conditions d’existence du portefeuille optimal de l’investisseur
La fonction F ( σ ) est limitée entre σ Min et σ Max . Il en est donc de même pour la fonction
G(σ) .
Dans ces conditions, nous pouvons nous trouver dans trois situations selon la valeur de
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R Min + t α σ Max par rapport à F ( σ Max ) :
- R Min + t α σ Max est supérieure à F ( σ Max ) ou R Min est supérieure à G ( σ Max )
Les équations R Min + t α σ = F (σ) et R Min = F (σ) n’ont pas de racines dans les limites
de σ comprise entre σ Min et σ Max . Il n’existe pas de portefeuilles faisables qui satisfont
aux critères fixés par l’investisseur en matière de rentabilité minimale et de risque acceptables. La question de la recherche du portefeuille optimal ne se pose donc pas.
Dans ce cas, il est nécessaire que l’investisseur revoie ses critères de gestion qui sont peutêtre inutilement trop contraignants.
- R Min + t α σ Max est égale à F ( σ Max ) ou R Min est égale à G ( σ Max ). Le portefeuille
optimal est le portefeuille efficient dont la rentabilité a pour écart-type σ Max .
- R Min + t α σ Max est inférieure à F ( σ Max ) ou R Min est inférieure à G ( σ Max ). L’investisseur pourrait se satisfaire du portefeuille dont la rentabilité a pour écart-type σ Max et pour
moyenne R Min + t α σ Max qui satisfait ses critères en matière de rentabilité minimale et de
risque acceptables. Mais il doit noter qu’il peut choisir le portefeuille efficient dont la
rentabilité a pour écart-type σ Max et qui dépasse ses espérances car
• soit, pour un même risque mesuré par la valeur de t α , il a une rentabilité minimale
supérieure à R Min ,
• soit, pour une même rentabilité minimale R Min , il court un risque moindre mesuré par
une valeur supérieure de t α ,
• soit il cumule les deux avantages ci-dessus, c’est-à-dire, une rentabilité minimale supérieure à R Min et un risque moindre mesuré par une valeur supérieure de t α .
3
Le portefeuille optimal du gestionnaire de portefeuilles
3-1
Le risque et l’utilité pour le gestionnaire de portefeuilles
Un gestionnaire de portefeuilles gère l’argent des autres. Pour recruter des clients et ensuite
les conserver, il doit leur promettre une certaine rentabilité et, ensuite, tenir parole. Il court le
risque de réaliser in fine une rentabilité inférieure à celle qui a été promise.
Après avoir promis une rentabilité minimale R Lim , son problème est de trouver la composition du portefeuille qui va lui permettre de tenir sa promesse en courant un risque mesuré par
t α . Connaissant la moyenne et l’écart-type de la rentabilité du portefeuille, la rentabilité minimale à promettre R Lim pour un risque donné est la limite inférieure de l’intervalle de confiance
µ – tασ .
Quelle que soit sa clientèle, le problème du gestionnaire de portefeuilles est de trouver le portefeuille qui lui permette de promettre le maximum. Nous pouvons supposer que la valeur de la
limite inférieure de l’intervalle de confiance soit son utilité et définir sa fonction utilité par
U (σ) = µ – t α σ .
3-2
Recherche du portefeuille optimal du gestionnaire de portefeuilles
Le problème revient donc à rechercher la valeur de σ = σ opt qui correspond au maximum
de la fonction G(σ) = F (σ) – t α σ .
Cette fonction s’interprète comme étant la limite inférieure de l’intervalle de confiance des
rentabilités dont la moyenne est F ( σ ) compte tenu d’un risque biaisé mesuré par t α . Son maximum est la rentabilité maximale que le gestionnaire de portefeuilles puisse promettre à sa clientèle compte tenu de son aversion au risque traduite par la probabilité mesurée par le coefficient
t α de ne pouvoir in fine tenir sa promesse. Le portefeuille optimal est le portefeuille efficient
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dont la rentabilité a pour écart-type σ Gest (voir figure 8).
Moyenne
Figure 8 : Utilité du gestionnaire de portefeuilles
Frontière efficiente F(σ)
R Gest
P Inv
RLim
G(σ)=F(σ)-t ασ
σMax
σMin
3-3
σGest
Ecart-type
Conditions d’existence du portefeuille optimal
Tout le problème est de savoir comment ce maximum G ( σ Gest ) est positionné par rapport
à la rentabilité R Lim que peut ou doit promettre le gestionnaire de portefeuilles à son client ou
à sa clientèle.
- R Lim est égale à G ( σ Gest )
La solution est simple et unique : le portefeuille optimal est le portefeuille efficient dont
la rentabilité a pour écart-type σ Gest .
- R Lim est inférieure à G ( σ Gest )
Le gestionnaire de portefeuilles peut promettre une rentabilité supérieure à R Lim et qui
est G ( σ Gest ) ou bien continuer à promettre une rentabilité comprise entre R Lim et G
( σ Gest ) mais, dans ce cas, il court moins de risque de ne pouvoir in fine tenir sa promesse
qu’il était prêt à en accepter.
- R Lim est supérieure à G ( σ Gest )
Il n’y a pas de solution qui satisfasse à la fois au critère fixé par le gestionnaire de portefeuilles en matière de risque acceptable et à celui du client en matière de rentabilité minimale. Il est donc nécessaire que le gestionnaire revoie sa politique commerciale, soit en
changeant de marché, soit en changeant de clientèle, soit en acceptant de courir un risque
supérieur à celui qu’il était prêt à accepter initialement.
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11
Algorithme de recherche de la composition du portefeuille
optimal
Nous avons constaté ci-dessus que :
- Le portefeuille optimal est le portefeuille efficient dont la composition est telle que la
fonction G ( σ ) est maximale pour un gestionnaire de portefeuille et égale ou supérieure
à R Min , pour un investisseur individuel.
- La fonction G ( σ ) est déduite de la fonction de la frontière efficiente F ( σ ) .
- La fonction F ( σ ) est déduite de la fonction de la frontière efficiente F* ( σ 2 ) .
Par conséquent, pour trouver la composition du portefeuille optimal, nous devons procéder
en sens inverse :
- Définir la fonction F* ( σ 2 ) et la composition des portefeuilles efficients qui correspondent à chaque valeur de σ .
Markowitz [1952] (cité par Markowitz [1990]) a démontré un algorithme de recherche
itérative de la fonction F* ( σ 2 ) avec, à chaque itération, la composition du portefeuille
efficient correspondant. Cet algorithme est connu sous le nom de "algorithme de la ligne
critique".
- Calculer σ puis définir la fonction G ( σ ) .
σ est l’écart-type, donc la racine carrée de la variance σ 2 .
Comme F ( σ ) est égale à F* ( σ 2 ) , il suffit d’appliquer, pour chaque valeur de σ de
2
l’étape précédente, la relation G(σ) = F (σ) – t α σ = F ∗(σ ) – t α σ .
- Rechercher sur la fonction G ( σ ) la valeur de σ qui correspond à l’écart-type de la rentabilité du portefeuille optimal.
Comme nous l’avons constaté, l’optimum du gestionnaire de portefeuille n’est pas celui de
l’investisseur individuel. Mais dans les deux cas, nous allons profiter du fait que :
- l’algorithme de la ligne critique commence par la plus grande valeur de σ pour continuer
vers les valeurs de σ décroissantes,
- pendant le déroulement de l’algorithme, la fonction F* ( σ 2 ) , donc la fonction F ( σ ) ,
décroît et la fonction G ( σ ) croît, atteint ou dépasse R Min , atteint ou dépasse un
maximum puis décroît (voir figure 9, page 12).
De cette constatation, nous n’avons pas à définir l’intégralité de la frontière efficiente, car il
nous suffit d’arrêter l’algorithme de la ligne critique quand la fonction G ( σ ) :
- atteint ou dépasse R Min si nous recherchons le portefeuille optimal de l’investisseur individuel,
- atteint ou dépasse un maximum si nous recherchons le portefeuille optimal du gestionnaire de portefeuilles.
5
Conclusion
Dans le présent travail, grâce à notre définition du risque et de la variabilité et notre représentation graphique des portefeuilles dans un plan moyenne-écart-type, nous avons démontré
que nous pouvons trouver un portefeuille optimal pour l’investisseur et un portefeuille optimal
pour le gestionnaire de portefeuille, ces deux portefeuilles optimaux ne sont pas obligatoirement
les mêmes. Comme ces définitions et cette représentation graphique des portefeuilles ne sont
pas en contradiction avec celles adoptées par Markowitz et de nombreux auteurs de la théorie
du marché, nous pouvons envisager de réutiliser les résultats de leurs travaux pour faire avancer
la théorie de marché.
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Moyenne
Figure 9 : Sens de la recherche du portefeuille optimal
(σ
eF
)
ent
re
è
nti
i
ffic
e
Fro
G (σ
)= F(
σ)-t
ασ
Ecart-type
6
Bibliographie
[1]
Jacquillat B. et B. Solnik : Marchés financiers, Gestion de Portefeuille et des Risques,
Dunod, Paris, 1990.
[2]
Markowitz H.M. : Mean-Variance Analysis - Choice and Capital Markets, Basil Blackwell, Oxford, 1990.
1998.02
Composition d’un portefeuille optimal
DANG Dinh Cung
Docteur en gestion de l’IAE de Paris — Ingénieur Conseil
Les papiers de recherche du GREGOR sont accessibles
sur INTERNET à l’adresse suivante :
http://www.univ-paris1.fr/GREGOR/
Secrétariat du GREGOR : Claudine DUCOURTIEUX ([email protected])
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