Correction TD Variables aléatoires

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Correction TD Variables aléatoires
Exercice 1
Soit un entier naturel non nul.
Une urne contient boules noires et 2 boules blanches.
On tire, au hasard, des boules de cette urne, une à une et sans remise, jusqu'à ce que l'on obtienne la dernière boule noire.
On note %& le nombre aléatoire de tirages ainsi effectués.
1) Etude de cas particuliers.
a ) Etudier la loi de %₁ ; calculer son espérance et sa variance.
Déterminer la probabilité de l'évènement . %₁ / 2 )
On se place ici dans le cas où l’urne contient 2 1 boule noire et 2 2 2 boules blanches.
Il y a donc 3 boules dans l’urne.
La boule noire peut être extraite de l’urne au premier, second ou troisième tirage. On a donc
%8 .Ω) 2 :1,2,3;
On a
1
<.%8 2 1) 2 <.=8 ) 2
3
2 1 1
<.%8 2 2) 2 <.>8 ? =@ ) 2 <.>8 )<AB .=@ ) 2 C 2
3 2 3
1 1 1
<.%8 2 3) 2 1 D D 2
3 3 3
La variable %8 suit une loi uniforme sur :1,2,3;
On a
1 1 2
<.%8 / 2) 2 <.%8 2 1) E <.%8 2 2) 2 E 2
3 3 3
b ) Etudier la loi de %₂ ; calculer son espérance et sa variance.
Déterminer la probabilité de l'évènement .%₂ / 4 )
On a cette fois-ci deux boules noires et quatre boules blanches.
La dernière boule noire ne peut sortir qu’au deuxième tirage au mieux.
On a donc
%@ .Ω) 2 :2,3,4,5,6;
On a
1
2 1
<.%@ 2 2) 2 <.=8 ? =@ ) 2 <.=8 )<KB .=@ ) 2 C 2
6 5 15
.
)
.
)
.
< %@ 2 3 2 < =8 ? >@ ? =L E < >8 ? =@ ? =L )
2 <.=8 )<KB .>@ )<KB ?AM .=L ) E < .>8 )<AB .=@ )<AB ?KM .=L )
2 4 1 4 2 1
2 C C E C C
6 5 4 6 5 4
2
2
15
La situation se complique pas mal avec %@ 2 4.
Décrivons néanmoins les évènements permettant la réalisation de % 2 4.
On a .% 2 4) 2 .=8 ? >@ ? >L ? =N ) O .>8 ? =@ ? >L ? =N ) O .>8 ? >@ ? =L ? =N )
On remarque que chacun des évènements correspond à une liste ordonnée de 4 éléments, comprenant
deux boules blanches et une boule noire pour les trois premiers éléments et une noire pour le dernier.
Il faut imaginer que l’on a numérotée les boules blanches de 1 à 4 et les boules noires de 5 à 6 pour
trouver toutes les listes ordonnées de ce type.
On doit d’abord choisir la boule noire : il y a deux façons de le faire, puis placer cette boule, il y a trois
façons de le faire puis compléter les deux places restantes par une liste ordonnée sans répétition de
deux numéros pris parmi quatre : il y a R@N façons de le faire.
N!
Il y a donc 2 C 3 C R@N 2 6 C @! 2 72 listes de ce type.
Il y a RNU listes ordonnées sans répétition de quatre éléments pris dans un ensemble éléments, c’est-àU!
dire @! 2 360.
On a donc
72
1
2
360 5
On retrouve évidemment le même résultat en utilisant les probabilités.
<.% 2 4) 2 <.=8 )<KB .>@ )<KB ?AM .>L )<KB?AM ?AW .=N )
E <.>8 )<AB .=@ )<AB ?KM .>L )<AB?KM?AW .=N )
E <.>8 )<AB .>@ )<AB?AM .=L )<AB ?KM ?KW .=N )
2 4 3 1 4 2 3 1 4 3 2 1
2 C C C E C C C E C C C
6 5 4 3 6 5 4 3 6 5 4 3
1
1
1
2
E
E
15 15 15
3
1
2
2
15 5
<.% 2 4) 2
Raisonnons comme précédemment pour.% 2 5).
L’évènement .% 2 5) est réalisé par les listes ordonnées sans répétitions contenant une noire et trois
blanches et se terminant par une noire.
Il y a deux façons de choisir la première noire, quatre façons de choisir sa place, puis RLN façons de
choisir la liste ordonnée sans répétition des trois blanches prises parmi quatre.
Il y a donc 2 C 4 C RLN 2 8 C 4! 2 8 C 24 2 192 cas favorables.
Les cas possibles sont les listes ordonnées sans répétition de cinq éléments pris parmi six : il y en a
R[U 2 6! 2 720.
On a donc
192
4
<.% 2 5) 2
2
720 15
Un même raisonnement donne pour .% 2 6):
2 C 5 C RNN 10 C 4! 10 1
<.% 2 6) 2
2
2
2
6!
30 3
RUU
On a donc
<.% / 4) 2 <.% 2 2) E <.% 2 3) E <.% 2 4)
1
2
3
6
2
2
E
E
2
2
15 15 15 15 5
2) Etude du cas général.
a ) Quelles sont les valeurs que peut prendre %& ?
Il y a 3 boules dans l’urne : noires et 2 boules blanches. La dernière boule blanche sortira au plus
tôt au _è`a tirage et au plus tard au tirage de rang 3.
On a donc %.Ω) 2 b, 3c.
b) Déterminer la loi de %& .
Pour déterminer la loi de %& , nous allons raisonner comme dans la question précédente.
Commençons par un exemple pour la loi de %L. Nous avons bien entendu %L .Ω) 2 b3,9c.
Soit f g %L .Ω). Prenons f 2 7 par exemple. Comment calcule-t-on <.% 2 7)?
Comme dans la question précédente, on peut considérer que l’on a numéroté les boules blanches de 1
à 6 et les boules noires de 7 à 9.
L’évènement .% 2 7) est réalisé par toute liste ordonnée sans répétition de sept numéros, quatre
numéros sont pris dans l’ensemble :1, 2, 3, 4, 5,6;, et trois dans l’ensemble :7, 8, 9;. Il y a RNU façons de
choisir de façon ordonnée sans répétition les quatre premiers numéros et 3 ! façons de ranger les trois
derniers. Il faut maintenant mélanger ces deux listes de façon à ce que le dernier numéro de la liste
obtenue soit un numéro de la deuxième liste. Pour cela il suffit de choisir 4 places sur les 6 premières
6
pour les numéros de la première liste. Il y a h i façons de le faire.
4
6
On a donc finalement h i C RNU C 3! 2 32400 listes de ce type.
4
k
Il y a Rj 2 181440 listes ordonnées sans répétition de sept nombres pris parmi neuf.
On a donc
32400
5
<.% 2 7) 2
2
181440 28
On applique le même raisonnement au cas général.
Soit f g b, 3c.
Dire que l’évènement .% 2 f) est réalisé signifie que l’on a obtenu la dernière boule noire au f _è`a
tirage. Les .f D 1) tirages précédents ont donc amené . D 1) boules noires et .f D ) boules
blanches.
Il s’agit donc encore une fois de mélanger deux listes ordonnées sans répétition : celle des .f D )
boules blanches : il y a Rlm&
@& listes de ce type, celle des boules noires : il y a ! listes de ce type.
Pour respecter la contrainte que la dernière boule tirée est de la deuxième liste, on choisit .f D )
fD1
places parmi les .f D 1) premiers tirages pour les boules blanches : il y a h
i façons de faire ce
fD
choix.
fD1
On a donc h
i C Rlm&
@& C ! listes de ce type.
Df
Il y a RlL& listes ordonnées sans répétition de f éléments pris parmi 3 éléments.
On a donc
fD1
h
i C Rlm&
@& C !
f
D
<.%& 2 f ) 2
RlL&
.f D 1)!
.2)!
C
C !
.f D )! n.f D 1) D .f D )o! .2 D f E )!
2
.3)!
.3 D f)!
.f D 1)!
.2)!
.3 D f )!
2
C
C ! C
.f D )! . D 1)! .3 D f)!
.3)!
.f D 1)!
.2)! !
2
C
.f D )! . D 1)!
.3)!
fD1
h
i
2 D1
3
h i
c) Soit p un entier.
Démontrer par récurrence que pour tout entier q tel que p / q
`
qE1
f
t
rs t2s
pE1
p
luv
L&
Vérifier alors que r <.% 2 f) 2 1
lu&
On a
v
p
pE1
f
r s t 2 hpi 2 1 et s
t21
p
pE1
luv
Il y a donc bien initialisation.
`
qE1
f
xq y p, montrons que si ∑ s t 2 s
t alors
pE1
p
luv
On a
`{8
`
luv
luv
`{8
∑ sfpt 2 sqp EE 12t.
luv
qE1
qE1
qE1
qE2
f
f
r s t2 rs tEs
t2s
tEs
t2s
t
p
pE1
p
pE1
p
p
.d’après la formule de Pascal)
Il y a hérédité et donc
`
qE1
f
t
xq y p, r s t 2 s
pE1
p
luv
On a
fD1
h
i
r < .% 2 f ) 2 r D 1
3
i
lu&
lu& h
L&
L&
L&
1
fD1
2
rh
i
3
h i lu& D 1
L&m8
1
f
2
r h
i
3
D
1
h i lu&m8
1 3 D 1 E 1
2
h
i
3
h i D1E1
1 3
2
h i21
3 h i
d) Déterminer la probabilité de l'évènement . %& / 2 )
On a
2
@|
h i
1
f
D
1
<.% / 2) 2 r <.% 2 f) 2
rh
i2 3
3
D
1
h i lu&
h i
lu&
@&
Exercice 2
Une urne contient 1 boule blanche et 1 boule noire
A) On effectue une suite de tirages suivant le protocole :
si la boule tirée est blanche on la remet dans l'urne et on ajoute une autre boule blanche
si la boule est noire, on arrête les tirages
On note % la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
1) Déterminer la loi de %. On commencera par calculer <.% 2 1), <.% 2 2), <.% 2 3), <.% 2 4).
On a .% 2 1) 2 =8 , donc
<.% 2 1) 2 <.=8 ) 2
On a .% 2 2) 2 >8 ? =@ , donc
<.% 2 2) 2 <.>8 ? =@ ) 2 <.>8 )<AB .=@ ) 2
On a .% 2 3) 2 >8 ? >@ ? =L , donc
1
2
1 1 1
C 2 .on a rajouté une boule blanche)
2 3 6
<.% 2 3) 2 <.>8 )<AB .>@ )<AB ?AM .=L ) 2
On a enfin .% 2 4) 2 >8 ? >@ ? >L ? =N, donc
1
1 2 1
C C 2
2 3 4 12
<.% 2 4) 2 <.>8 )<AB .>@ )<AB ?AM .>L )<AB ?AM?AW .=N ) 2
On a bien entendu
1 2 3 1
1
C C C 2
2 3 4 5 20
%.Ω) 2 ~
La réalisation de l’évènement .% 2 f) signifie que l’on a extrait une boule blanche lors des .f D 1)
premiers tirages et la boule noire au f è .
Si est un nombre compris entre 1 et f D 1, au moment du è tirage, l’urne contient E 1 boules :
une noire et blanches correspondant à la boule blanche initiale et au D 1 ajoutées lors des tirages
précédents.

La probabilité de tirer une boule blanche lors de ce tirage est donc égale à
.
E1
Au moment du f _è`a tirage, l’urne contient .f E 1) boules : une noire et f blanches. La probabilité de
1
tirer la noire est donc de .
fE1
On a donc
.f D 1)!
1 2

fD1
1
1
<.% 2 f) 2 C C … C
C …C
C
2
2
2 3
E1
f
f E 1 .f E 1)! f.f E 1)
2)
Vérifier que la somme des probabilités est bien égale à 1.
On doit montrer que
&
lim r <.% 2 f) 2 1
&{
On a
lu8
&
&
lu8
lu8
r <.% 2 f) 2 r
1
f .f E 1)
Pour calculer cette somme il y a une astuce qu’il faut connaître.
On montre aisément que
1
1
1
2 D
f.f E 1) f f E 1
On en déduit que
&
&
&
lu8
lu8
lu8
1
1
1
1
1
r
2 rs D
t 2 Drs
D t
f .f E 1)
f fE1
fE1 f
On reconnaît la situation de la formule des dominos.
On a
&
1
1
1
1
1
D t2
D 2
D1
rs
E1 1 E1
fE1 f
lu8
Donc
&
r <.% 2 f) 2 1 D
lu8
Et donc
1
E1
&
lim r <.% 2 f) 2 lim s1 D
&{
3)
&{
lu8
Vérifier que % n'admet pas d'espérance. Commenter.
L’espérance de % si elle existe est égale à
Or
1
t21
E1
&
&
&
lu8
lu8
lu8
f
1
lim r f<.% 2 f) 2 lim r
2 lim r
&{
&{
f.f E 1) &{
fE1
&
&{8
lu8
lu@
1
1
r
2r
fE1
f
Or nous avons vu .voir TD sur les suites écrites sous forme de sommes) que
&
lim r
&{
Donc
lu8
&{8
lim r
&{
Donc l’espérance n’existe pas .elle est infinie).
lu@
1
2 E∞
f
1
2 E∞
f
Moins on extrait rapidement la boule noire, plus il est difficile de l’extraire. A la limite, on ne l’extraira
jamais.
B) On effectue une suite de tirages suivant le protocole :
si la boule tirée est blanche on la remet dans l'urne et on ajoute une boule noire
si la boule est noire, on arrête les tirages
On note la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
1) Déterminer la loi de . On commencera par calculer <. 2 1), <. 2 2), <. 2 3), <. 2 4).
On a . 2 1) 2 =8, donc
On a . 2 2) 2 >8 ? =@ , donc
<. 2 1) 2 <.=8 ) 2
<. 2 2) 2 <.>8 ? =@ ) 2 <.>8 )<AB .=@ ) 2
On a . 2 3) 2 >8 ? >@ ? =L , donc
1
2
1 2 1
C 2 .on a rajouté une boule noire)
2 3 3
<. 2 3) 2 <.>8 )<AB .>@ )<AB?AM .=L ) 2
On a enfin . 2 4) 2 >8 ? >@ ? >L ? =N, donc
1 1 3 1
C C 2
2 3 4 8
<. 2 4) 2 <.>8 )<AB .>@ )<AB ?AM .>L )<AB?AM?AW .=N ) 2
On a bien entendu
1 1 1 4
1
C C C 2
2 3 4 5 30
.Ω) 2 ~
La réalisation de l’évènement . 2 f) signifie que l’on a extrait une boule blanche lors des .f D 1)
premiers tirages et la boule noire au f è .
Si est un nombre compris entre 1 et f D 1, au moment du è tirage, l’urne contient E 1 boules :
une blanche et noires correspondant à la boule noire initiale et au D 1 ajoutées lors des tirages
précédents.
1
.
La probabilité de tirer une boule blanche lors de ce tirage est donc égale à
E1
Au moment du f _è`a tirage, l’urne contient .f E 1) boules : une blanche et f noires. La probabilité de
f
tirer la noire est donc de .
fE1
On a donc
1 1
1
1
f
f
<. 2 f) 2 C C … C
C …C C
2
2 3
E1
f f E 1 .f E 1)!
2)
Montrer que la somme des probabilités est bien égale à 1.
On doit montrer que
&
lim r <. 2 f) 2 1
&{
On a
On peut donc écrire
Donc
lu8
&
&
&{8
&{8
&{8
lu8
lu8
lu@
lu@
lu@
f
fD1
f
1
r <. 2 f) 2 r
2r
2r Dr
.f E 1)!
f!
f!
f!
&
&{8
&{8
&
&{8
lu8
lu@
lu@
lu8
lu@
1
1
1
1
1
r <. 2 f) 2 r
Dr 2 r Dr 21D
. E 1)!
.f D 1)!
f!
f!
f!
&
lim r <. 2 f) 2 lim s1 D
&{
3)
&{
lu8
1
t21
. E 1)!
Calculer . E 1) . En déduire .)
On a sous réserve d’existence de la limite, d’après le théorème du transfert :
&
&
. E 1) 2 lim r.f E 1)<. 2 f) 2 lim r.f E 1)
&{
On a
&{
lu8
lu8
&
&
&m8
lu8
lu8
lu
f
1
1
r.f E 1)
2r
2r
.f E 1)!
.f D 1)!
f!
f
.f E 1)!
Or
&
lim r
&{
Donc
&m8
&
lu
lu
1
1
. E 1) 2 lim r 2 lim r 2
&{
f! &{
f!
On a . E 1) 2 .) E 1 donc
4)
lu
1
2
f!
.) 2 D 1
Calculer E. E 1). D 1) . En déduire .²) puis .).
Sous réserve d’existence de la limite, on a d’après le théorème du transfert :
&
n. E 1). D 1)o 2 lim r.f E 1).f D 1)<.% 2 f)
&{
On a
lu8
&
&
lu8
lu8
&
r.f E 1).f D 1)<.% 2 f) 2 r .f E 1).f D 1)
f
.f E 1)!
2 r .f E 1).f D 1)
f
.f E 1)!
lu@
&
2r
1
.f D 2)!
2r
1
f!
lu@
&m@
On a
Donc
Donc
Or . @ D 1) 2 . @ ) D 1, donc
lu
&m@
&
lu
lu
1
1
lim r 2 lim r 2
&{
f! &{
f!
n. E 1). D 1)o 2
. @ D 1 ) 2
. @ ) 2 E 1
On a .) 2 . @ ) D .)@ , donc
.) 2 E 1 D . D 1)@ 2 E 1 D @ E 2 D 1 2 3 D @