Produit de 2 matrices 2x2

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Produit de 2 matrices 2x2
Exercice. Calculer le produit des matrices
et
.
Entrez votre réponse :
2,12
-2,-6
AB =
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Vous pouvez modifier ou effacer cet exercice de votre classe.
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Norme donnée
Exercice. Trouver un vecteur à composantes entières et non nulles dont la norme vaut
Réponse : u = (
5
,
1
,
1
.
).
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Valeurs et vecteurs propres
Exercice. Soit
l'application linéaire de matrice
dans la base canonique
Cette application a deux valeurs propres réelles distinctes : la plus petite est
Un vecteur propre (non nul) associé à
est u =
.
Un vecteur propre (non nul) associé à
est v =
.
-6
et la plus grande est
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.
-4
.
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Test matrices
Exercice. Soient A et B des matrices carrées d'ordre p. On note I la matrice identité en dimension p.
1. Cocher les égalités qui sont toujours vraies :
AB = BA
AI = IA
A2 A = AA2
aucune
2. Cocher les égalités qui sont toujours vraies :
(2A) B = A(2B)
(2A) B = B(2A)
(2A) 2 = 4A2
3. Cocher les égalités qui sont toujours vraies :
(A + B) B = AB + B2
(A + B) A = A2 + AB
aucune
(A + I) B = AB + B
4. Cocher les égalités qui sont toujours vraies :
(A + B) 2 = A2 + 2AB + B2
(A + I) 2 = A2 + 2A + I
aucune
(A + B) 2 = (B + A) 2
aucune
Soient A une matrice à q lignes et p colonnes, et A' une matrice à q' lignes et p' colonnes.
5. Cocher les conditions nécessaires pour que la somme A + A' soit définie :
q = q'
p = p'
q = p'
p = q'
aucune
6-7. Dans ce cas, la matrice A + A' a
q
lignes et
p
colonnes.
8. Cocher les conditions nécessaires pour que le produit AA' soit défini :
q = q'
p = p'
q = p'
p = q'
aucune
9-10. Dans ce cas, la matrice AA' a
q
lignes et
p'
colonnes.
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Petit formulaire
Exercice. Associer à chaque grandeur géométrique l'expression vectorielle qui permet de la calculer :
longueur d'un segment (dans le plan ou l'espace)
aire d'un triangle (dans le plan)
aire d'un triangle (dans l'espace)
aire d'un parallélogramme (dans le plan)
aire d'un parallélogramme (dans l'espace)
volume d'un parallélépipède (dans l'espace)
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Aire d'un triangle (1)
Exercice. L'unité d'aire étant donnée par le quadrillage, quelle est l'aire du triangle ci-dessous ?
Entrez votre réponse :
a = 43/2
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Matrice 2x2
Exercice. On note
la base canonique du plan
et on considère l'application linéaire f telle que
(respectivement en bleu et en rouge) :
Quelle est la matrice de f ?
Entrez votre réponse :
-3,2
1,-3
A=
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et
sont les deux vecteurs ci-dessous
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Angle entre vecteurs de l'espace
Exercice. Soit a l'angle (non orienté) entre le vecteur bleu et le vecteur rouge ci-dessous :
Quels sont le cosinus et le sinus de cet angle ?
cos(a) = 1/2
sin(a) = sqrt(3)/2
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Equation d'un cercle
Exercice. On cherche l'équation du cercle ci-dessous :
Le centre et certains points du cercle sont à coordonnées entières.
Quelles sont les coordonnées x 0 , y 0 du centre et quel est le rayon r du cercle ?
x0 = 2
y0 = 1
r = sqrt(5)
Exact ! Quels sont les coefficients de l'équation x 2 + y 2 + ax + by = c ?
a = -4
b = -2
c= 0
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Point à distance donnée
Exercice. L'unité de longueur étant donnée par le quadrillage, cliquer sur un point gris à distance
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du point bleu ci-dessous :
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Gauss visuel
Ici vous avez vos matrices de départ. Votre but est de modifier les matrices par des opérations sur les lignes, pour transformer la matrice de gauche
à la matrice identité; dans ce cas la matrice de droite sera l'inverse de la matrice présentée actuellement à gauche.
Matrice
principale
-1 -4 9
-6 -4 -3
-9 4 -5
Matrice de
référence
(1)
(2)
(3)
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Cliquez sur un élément pour le rendre à 0 ou à 1; cliquez sur un numéro de ligne pour l'échanger avec la suivante.
Proposez votre modification (étape 1) :
Echanger
lignes
1
2
fois ligne
Ajouter
Multiplier
et
ligne
1
par
-1
.
1
à ligne
2
.
.
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Auteur de la page: XIAO Gang
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Plan complexe
Exercice. Soit
avec
et
. Donner l'affixe de chaque point rouge.
?
?
?
?
?
-i x
-i y
-x
-y
-z
?
?
ix
iy
x
y
?
z
?
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Rotations du plan
Exercice. On considère ici des rotations autour de l'origine O dans le plan.
Associer à chaque angle la matrice de la rotation correspondante (valeurs approchées).
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Vecteur propre évident
Exercice. Soit
l'application linéaire de matrice
.
Sans faire aucun calcul, donner un vecteur propre (non nul) de f :
1
La valeur propre correspondante est
0
2
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Auteur de la page: Huayi CHEN et Bernadette PERRIN-RIOU (modifié par Yves Lafont)
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Alliage 3 métaux
Exercice. Une usine produit de l'alliage à partir de 3 types de métaux de récupération. Les compositions des 3 métaux récupérés sont comme suit.
type
fer nickel cuivre
métal A 85%
3%
12%
métal B 16%
78%
6%
métal C 11%
6%
83%
L'usine a reçu une commande de 573 tonnes d'alliage avec 31% de fer, 31% de nickel et 38% de cuivre. Combien de tonnes de chaque type de
métal récupéré faut-il prendre pour satisfaire cette commande ?
Entrez votre réponse :
Métal A =
Métal B =
Métal C =
Envoyer la réponse
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Outils en ligne à votre disposition : Solveuse linéaire, Calculatrice de matrices. (Ils apparaitront dans une autre fenêtre de votre navigateur.)
Importer cet exercice dans votre classe (où vous pouvez le modifier).
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Auteur de la page: Gang XIAO
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