Efficient pricing of Asian options by the PDE approach

Efficient pricing of Asian options by the PDE approach

!#"$%'&)(+*, -./0&21 ∗
53 47698:<;>=@?BA!C'DE;>=F? G0H ;>8JILKMONF=@PRQ4M
S'TUOVXWZY\[]^\T_`Y\Wbac]^\_`T7UO]d>eRWfV5ghYX^\V5WZ^Eikjl^\_mWlY\Vfnpoq7orY\sOWbtR]_`Uu^Xv@i]YX^\_`Uwnyx7z{7{7|}np~J]Y\_`Vfny<Y€]U<fW7‚
Sƒ…„
ik†‡S0tpnOƒ.ZT7d`Wba
]^\_`TUy]d`Wˆe<WZV5~>T7Uu^\V5WZ^cS'‰y]s<VXVXjfWfVfnyŠ-‹Œ-g9[Ž‚.~J]VXf]dnx7x’‘uzz/S'‰y]“/”<V‡v•VXs<YXv@i]Y\U<W7n<<Y€]U<fW7‚
ƒ…v•“]_md–J—˜e<sO™ŽT_`V€šcfUy]“‚ —›YœnOd`Wfd`_`Wf[uY\W’šcfWlY\“/_mZVf‚ WZUO”Ž7‚ —Y
ž>698…C0694IŸ9 > 9¡
1
2
1
2
¢B£¤¥¦§¨}¥
«© ªb¬’­<®¯€°˜±Žª²³l´pªµ¶R²€³Z°¶R·p±Ž°›¸9ª²lª®<³Z°¶R·pª¹Oº¶}³l°­R®kµp²Z­Rµ9­<¯lª±¼»O½k¾­R¿<ª²f¯¶}®±ÁÀy´p°°›®Â ÃÄw¶R®±
ªÅyµ·¶R°›®Æ³Z´pªÈÇÁ¶}°®É±Ž°›ÊB¬’ºp·›³l°ª¯rª®w¬’­Rº®<³Zª²Zª±!Ë´pª®É¶}µpµ·›½y°®p¿Ì¯€³Z¶}®w±p¶}²f±!®OºÇkª²l°˜¬¶R·¯Z¬f´pªÇª7¯
­<®L³l´°¯!ÍhÎrÏж<¯Ñ¯lº¬f´…ÒÓ©«ªÔ³l´pª®µp²Z­Rµ9­<¯lªÔ¶Õ¯l¬f´pªÇªÉË´p°˜¬f´°˜¯Æ¶}»p·ª³Z­Õµp²Z­Ž±Žº¬ªÉÖRª²l½
¹Oºp°˜¬f×y·›½Ùؕ°›®Ú·ª¯Z¯³l´w¶}®Û­R®pªÁ¯lª¬­R®±Ô­R®Ú¶!ÍcÜݪ¹Oºp°µpµwª7±«Ë°m³Z´Þ¶ÔßBà-áˆâÁãX®<³Zª·5ͪ®<³Z°›ºÇäã€ãlã
Ç°˜¬’²Z­Rµp²Z­Ž¬’ª¯Z¯l­R²œå¶R¬¬ºp²f¶u³lªÉ²lª7¯€ºp·›³Z¯«Ø•¶}³!·ª¶<¯\³æÞ±Ž°¿R°›³Z¯!­Rçµp²lª7¬’°˜¯€°­R®9åœÒè©ÔªÛ¬’­<ǵ¶}²Zª­Rº²
¶Rµpµp²Z­<¶R¬f´ÑË°m³Z´!³l´pª¯Z¬f´pªÇª7¯
µp²l­<µw­O¯€ª7±B°®!³l´pª/·°m³l³lª²Z¶}³lºp²ZªRÒ
éÆê7ëyìˆíyîœïOðuñròkóœô•õOöÕ÷¼øJùœôûúyö…ó}ü…ý
õOþœùœô•õOÿ kôþ öùœô•õOÿ .õOùœôûúyö5ü .õOþõ ù þœôûóœùœô ù …ú !#"%$'&'()+*,"-
€. ö ùJôûóõOþœùœôÿŽü0/12/rú
Jÿ ÿô435«ù’ú6879øJÿ•õOôö9/:; óœùõOö<…õOþ ù=JöJô>
<uóJú2ö…úyù?;wôÿ õ=@
JþõOù
þuó
Jÿù’óBA‡úyþù<Õó’úyÿ4
Jùœôûúyö úCABù<Ùø.õOþœùœô•õOÿ>ôþöùœô•õOÿ%=>
.õOùœôûúyö+þ
JÿôöED ù<ÞøJþœô=ÙúCAÌõOö ò¼óœô•õOö
úyøJùœôûúyöG‡F ó=HJILKNM8O
σ2 ξ 2 ∂ 2 f
+
−
2 ∂ξ 2
 ∂t
f (T, ξ) = φ(ξ).

 ∂f
1
∂f
+ rξ
= 0,
T
∂ξ
FQPRM
/:< þ
õOö< ù<8>7 øJþu ó’óœôûúyöúCA Eøö<JóÌúyöLù<ø.õ=;púC+úCA-ù<úyøJùœôûúyöSF‡ó=2T=ùœôûúyöVU
0
A‡úyþ?EùξõOôÿû≥óWM8Y
XZ[//ôÿÿAXú>@
…óÆúyö ö
Eφþœô}õOÿ:ù…úJó'\.õyó=úyö ùJôûóÆý0]-_^)ù?
…ó!õOÿûóú`öa
ùœôûúyöó’ú2b úyöùc- õOþœÿûúÙõOøJøJþ’úpõ<uódF‡ó=`HJeLKNM7ühó’úfù…úJó\.õyó,=LúyöõOö.õOÿ4;9ùœô}õOÿrúyþÌó@ôa
õOö.õOÿ4w; ùœô} õOÿó’úyÿ4J
ùœôûúyö…ó‡F ó,=[H4PgpP ühLKN¼M õOö< õOÿûóúÔó’ú õOøJøJþ’úi97 ô4É õOùœôûúyö…ó% ù… úJ óf‡F ó=cHk9j ü#lLKNM8%mn<
õyo õOöwùõCD5 úCrA ù<Æ ý0] õOøJøJþ’úpõ ôûó¼ù. õOùôùôûópD5 ö< þõOÿÿ4;`\A õyóœù þkù. õOöZÕb úyöwù- õOþœÿûúc ù… ú>J ó}ü
õOö<Ù ù. õOùôùŽD ô4o5u ó¼ù<Ñ þu óJ
ÿù’óXA úyþõOÿÿcôöJôùœô•õOÿEøJþœô=u ó XF õOö<6@o5 ö`XA úyþõOÿÿ
óœùœþœô435u ó úyþÁõOÿÿÉ õLa
ùJ
þœôùœôu ó T ôö ó’úq} õyó,u óWM8mn<'> þõ=/:.\ õ,Õ3 ôûó…
ó.
õOÿSÿ4Þ; 0 ù. õOùkù<! ö
E þœô} õOÿ_ ù… úKJ óõOþr úyþ
u ú øJÿô} õOù= ù’ú«ô4 øJÿ@ öùq‡A úyþý0]ü\EJ
ù]/?ŽD ô4o5?< þ õÔö
E þœô} õOÿó<@?/:J ô, ôûóþ} õOÿÿ4;
óœô4 øJÿÁ ù’úfu úEg0mnJ ôûóÈó,<@%. õyó:\= öÞô4 øJÿ@ öwù=Ù ôöÚù<B óúC@A ùs/ õOþÌ ýtu0bYl. òv‡F ó= þ’úJ
ùœôö<
w ïRxy{z êœï5O| ð8}~|g>Ñ
x îfí}ïR€ ê7îð,}N‚ƒ…«
„ ôö†H4P8KN
M õOö<+
ù<Ù
ó’úJ
þ=‡u ú>EÙ
ôûóÔõ=Žo õOôÿ•õCJ\ ÿÙ
úyö ù<Þ
ôöwù þœö< ù6‡F ó=
 ùœùœø)OkˆgˆC= þ ôu ói‰ öJøg ‡A þWˆ ÿ ÿô@wo þR<ˆ þõOøJøúyþœù’óWOˆ òkóœô•õ ùõOþi DgŠLM8
∼
‹
ŒŽ'‘’"%$r”“
XZkõJúyøJùù<kóœùõOö<…õOþ[•ÿ•õ,3ÔõOö<cT,…úyÿuónú>Eÿ”F‡ó=rH –gKNM_//ôùÚõBþœôûó3>;Éõyó’ó,ù/:…úŽó¼øJþœô=kõOù
ùœô4 ôûó õOö<Ù õ!ö…úC\a þœôûóÞ3 õyó’ó ù:/:… úŽó, øJþœô=Ì õOùùœô4 ôûó 0 üJó
<,Þ ù. õOùqO
t
St
t
St
dSt = St (µ dt + σdBt ),
∗
tRsO™<“/_ ^X^\Wœe^\T1—7T7sRY\Uy]d9T—…S'T7“/”OsR^€]^\_`T7UO]dw>_`Uy]U<fW7‚
P
dSt0 = rSt0 dt.
mn</øJþ’ú=uó’ó
ôûóbõóœùõOö<…õOþ•þ’úi//öJô•õOö[úyùœôûúyöBE…ö<=úyöÉõkøJþ’ú\.õC\Jôÿôù ;ó’ø.õ= F, Ft ,Q)
ü
õOö< µ ü r @F ù<BÑtôöwùþuóœùþõOùRM7ü σ > 0 F@ù<ropúyÿ•õOùœôÿôùs;EMõOþ!ùJþ=?uúyö…óœùõOöwù’ói%XZ!ô(Ω,
öùœþ’ú
<=Æùl<
óœù’ú. õyóœùœôÆ øJþ’ú=u ó’ó Wt = Bt + µ−r t ¼ö<EþÁù<!ö<@
JùœþõOÿbþœôûó3ÙøJþ’ú\.õC\Jôÿôùs; IP ü/1?3wö…úR/ù.õOù
ôûó/õÉ õOþœùœôöED õOÿ õOö<Ô ù. õOù Wσ t ôûó-õ• þ’úi// öJô•õOöc úyùœôûúyö)0mn<¼ øJþ’ú=u ó’ó St ôûó-ó’úyÿ4J
ùœôûúyö«úC5A ù<
St /St0
A‡úyÿÿûúR/
/ ôöEÔ
D óœù’ú. õyó’ùœô> ô þ öwùœô•õOÿ=>.
õOùœôûúyö J
ö<E þ O
IP
F U5M
dSt = St (r dt + σdWt ).
XZõOþ rôöù þ uó’ùœôEö DÁô'
ö uúøE
JùœôöEDÁù<røJþœô=-úCAõOö!òkóœô•õOöÆúyøJùœôûúyö'//ôù'ÉõOù
Jþœôù ; ü/:Jô?}õOö…ó
ù.õOù-ù<kúyøJùœôûúyöÛø.õi;púC g(S, A) Eø#ö<Jó/úyöÛù<¼øJþœô= S úCAhù<kþœôûó3;Ôõyó’óù/õOö<TÛúyöÔù<p}õOö
Cú A
ù <ÁøJþœô = O
A
S
T
T
t
At =
1
t
Z
t
Su du.
.€ù/ôûó-/ÿÿa 39ö…úi//öÙù.õOùÈôöÞùJôûó:úEÿ\üJù<ÁøJþœô=BúCA
ù<ÁúyøJùœôûúyöÕõOùùœô4
bÕúyþuúRo5þ}ü.úyö<}õOö ,<=3Úù.õOùôA
ù<ö
0
t
ôûó:DŽô4o5ö
\>;#O
e−r(T −t) IE(g(ST , AT )|Ft ).
V
ôûóÈó’úyÿ4
JùœôûúyöÙúCA
ù<]A‡úyÿÿûúR//ôöEDÉý0]†F‡ó,=H4PiULKNM8O
σ2 S 2 ∂ 2 V
∂V
1
∂V
+ rS
+ (S − A)
− rV = 0,
2
2 ∂S
∂S
t
∂A
 ∂t
V (T, S, A) = g(S, A).

 ∂V
e−rt V (t, St , At )
F h5M
+
ôûóÈõ
IP
a ÉõOþœùœôöEDõOÿÑó’úÆù.õOùù<ÁøJþœô=ÌõOù/ùœô4
t
ôûó:DŽô4o5ö`\;O
e−r(T −t) IE(g(ST , AT )|Ft ) = V (t, St , At ).
mn<ý0] F h5Mˆôûón>ôB@
Jÿù/ù’ú!óúyÿ4o5õyó-ó
<,Úóœôö<=kù<¼ø.õOþõC\úyÿôÁúyøþõOù’úyþôûónE@D5ö<þõOù=Úôö
ù< Aa Žo õOþœô•õCJ\ ÿBF‡ó=fH4PiUKNM8
kúi/@o5
þ}üwõyó5þ@É
õOþ35=r\;tÈúD5þ’ó
õOö<'T>Jôwôö[HJICK€üRAXúyþE7E=Ìóœùœþœô435}õOÿÿ#F
+M
úyþE7E=Ì ó’ùœþœô435ˆ øEJ
ù:F g(S, A) = (K −A)+ 7M üOôùEôûóEø'úŽóóœô4J\ ÿb ù’ú¼þ=
<=pF h55M ù’ú¼ùg(S,
<r
ý0A)
]Ž=FQPR(A−K)
M8_€. ö<E==0 ü
óœø)
M üJù< ö
ôA ôûóó’úyÿ4J
ùœôûúyöÕúCA:FQPRM1// ôù
− @F þu
+7
f
φ(ξ) = max(−ξ, 0) = ξ
φ(ξ) = max(ξ, 0) = ξ
K − tA/T
V (t, S, A) = Sf t,
S
FN–>M
ûô óhó’úyÿ4
Jùœôûúyö!úCAF h5M//ôù g(S, A) = (A−K) F@þuóœø) g(S, A) = (K−A) M8mnJôûóhþ=
<ùœôûúyöúCA)F h5M
ù’údFQPRMrôûóõOÿûó’ú!ø'úŽó’ó’ô4\JÿuAXúyþ
.úpõOùœôöEDóœùœþœô435%}õOÿÿ0F g(S, A) = (S − A) MF@þuó’ø){A‡úyþ
.úpõOùœôöEDÉóœùœþœô435
õOö<
Eø JùF
MM0\;Ôó,ùœùœôöED
F@þuóœø)
g(S, A) = (A − S)
V (t, S, A) = Sf t, −
φ(ξ) = (1 + ξ)
M8…úyþ¼?
õ Eþœ4ô oŽõOùœôûúyöÕCú AbõOö =>
.õOùœôûúyöÙóœ4ô ôÿ•õOþù’`ú FQPRM
…ó’ôöEDÔõOöÚôöùþœøJþùõOùœôûúyö úCA
φ(ξ) = (1 + ξ)
ò¼ó’ô•õOöÞúyøJùœôûúyö…ó¼õyóúyøJùœôûúyö…ó¼úyöÙõÆùœþõ E=Ùõ =uú Jöù}üó =fH4PCK kúyùœô =Úù .õOùÉ0
ý ]’F h5M!ôûfó úyþ dD5<ö þõOÿkóœô<ö =Ûù <Úþ =
<ùœôûúyö+ù’ú FQPRM!ôûóúyöJ4ÿ ; ø'úŽóóœ4ô \Jÿ 2A‡úyþ
óœø =ô !Ñø.iõ ;pCú Ró bÕúyþ uRú o5þ}ü5úy<ö ?}õOöõOÿûó’úÔö…úyùœô =Æù .õOùóúy4ÿ owôEö DZF h5M-A‡úy%þ >ô þ ö%ù ÉõOù Jþœôùœô uó T
J>ú uóbö…úyùb4ô øJ4ÿ ;Ñù’úBþ =uú Eø Jù ù <:/:…úyÿ óúy4ÿ Jùœôûúyö5ü uúyöùœþõOþ ;ù’
ú FQPRM8_.löù <nAXúyÿÿûiú //ôEö D…>ü /nAX>ú @
…ó
úy`ö uú Eø JùœôEö D>ö Eþœô }õOÿcó’úy4ÿ Jùœôûúyö…óÈù’ú FQPRMAXúyþÈ?õ }õOÿÿ O
+
+
+
tA
TS
+
−
+
F e5M
φ(ξ) = ξ − .
¼úyùœô=¼ù.õOùù<¼ó’úyÿ4
Jùœôûúyö2//ôù φ(ξ) = ξ F@øE
JùWM0}õOö2\ù<öÛú\JùõOôö<=[\>;ù<u}õOÿÿa\øE
Jù-ø.õOþœôùs;#O
ýbþœô =BCú Acù <BEø Jù (t = 0, S ) = ýþœô=BúCA
ù<}õOÿÿ (t = 0, S ) − e S e − 1 − K .
+
0
U
0
−rT
0
rT
rT
ŒŽ'v]&'’_*(-“!('0’
mn<:
<uó’ùœôûúyöf/n/õOöwùbù’úBõE>þuó’óôûó
ù<1AXúyÿÿûúi//ôöED<{XS<öúyö<n/õOöwù’óbù’ú%uúøE
Jù/ù<-ó’úyÿ4
Jùœôûúyö
úCcA ù<q ÿ•õyó’óœô} õOÿ)• ÿ•õ3>a T… úyÿu óp=.
õOùœôûúyö)O
σ2 S 2 ∂ 2 P
∂P
+ rS
− rP = 0,
2
2 ∂S
∂S
 ∂t
P (T, S) = ψ(S),

 ∂P
F5M
+
õÆóœô4øJÿ …öJôù>ôþö<=Bó,<@Bÿ}õJó/ù’úo5þ;«óõOùœôûóAXõù’úyþ;«þuó
Jÿùi
÷¼ö«ù<kúyù<þ1.õOö<0ü/:<öÚúyö<u
…óuó/õÑóœô4øJÿ …öJôù>ôþö<=ó<@úyö FQPRM7ü9úyö<ú\JùõOôö…ó
o5þ ;f\.õ Éþuó
Jÿù’ó}ü>uó’ø#=ô•õOÿÿ4;f/:<ö«ù<uopúyÿ•õOùœôÿôùs; ôûóóÉõOÿÿ_F‡ó= cô4Dg
Jþ'PRM8”mn<uó-\.õÔþuó
Jÿù’ó
õOþ u
<¼ù’úBù <uAXõ ùrù .õOù /:<ö ξ ôûó ÿûúŽ,ó ù’ú Šiþ’úJü9σù <kõo5=ùœô4o5¼ùþ + rξ ôûórÿ•õOþD5þrù.õOö
ù<>ô …óœôûúyöÚù þ þ 8A~þ <ö =oyõO4ÿ <
=öù þ =Õó <@
AXúyþù <Bõ o5=ùœôûúyöÕúyø þõOù’úyþ
1
T
σ2 ξ 2
2
σ = 0.3, I = 100, N = 1000
σ = 0.3, I = 600, N = 1000
σ = 0.3, I = 600, N = 500
σ = 0.3, I = 1000, N = 200
σ = 0.05, I = 600, N = 500
jJh 5j
jJh 5j
jJh 5j
jJh 5j
Pggl5j jJUglge
jJh C–h
jJh C–<P
jJh gegl
PgkjIgh
cô4DgJ
þPgOtuu óJ
ÿù’ócúJ\ ùõOôö<='/
/ ôùÆ
õ …öJôù1 ÿ@öwùó<@ŽüŽúyþ}üg=>
Jô4oyõOÿöwùœÿ4;püpõu=öwùþ=Æó<@
A‡úyþˆù<Èõo5=ùœôûúyö«úyøþõOù’úyþi”mn</ö>
Eq\þ’ó õOö<
Eö…úyùþuóœø=ùœô4o5ÿ4;ù</ö>
Eq\þúCA5óœø.õ=
óœù ø…óõOö< ù<Ô ö>
Eq\ þÉúCÈA ùœô4Û óœù ø…ói
ˆ õOIÿ4
<uóúCNAkúyù<þø.õOþõCùþ’óiO S0 = 100 ü K = 100 ü
ü
”E
m õCJ\ ÿ%‡A þ’ú HCK r = 0.02 T = 1
XS.õOù/1¼øJþ’úyøúŽó¼ù’úÆó’úyÿ4o5ÈùJôûóøJþ’ú\Jÿ@ ôûóù’úq
…ó,kõr.õOþõùþœôûóœùœô]ù…ú FN\.õyó=«úyö«ù<
ó’úyÿ4
Jùœôûúyö úCA = 1/T M7ü'ù’úD5ùkþœôÙúCAbù<Ñùþ -mnJôûóp}õOö…ó¼ù.õOù/1ÌøþQAXúyþ ù<'.õOöED5
úCA{oŽõOþœô•Cõ \JÿgO
dx
dt
1
T
÷¼ö<}õOö`}õyóœôÿ4;Ûó…úR/ ù.õOù g ôûóó’úyÿ4
JùœôûúyöÕúCAQO
g(t, x) = f (t, x − t/T ).
∂g
σ 2 (x − t/T )2 ∂ 2 g
− r (x − t/T )
= 0,
2
∂t
2
∂x
∂x

g(T, x) = φ(x − 1) = (1 − x)+ .

 ∂g
+
F jgM
F I5M
n'êY„’í˜ï |mðuíN}…
\í9„’í"!#ûê$€ê%ëZ€ê$ÑîW}Xï í w N>êY|pïê„&~}('yê
€ê7î%ê*)ëLðí+,'i}N>€
|' ï-N>êîœê w íyî’ê.)7뇄’ígJðW}Xïê7î8}…€
dx
1
rt − 1 ƒ0/5í1˜íŽì”}…>€2N>ê
=
rx
+
1/T
h(t,
y)
=
f
t,
ye
ð@dt|Éê3Éê$N> í}ï O| ðêz4!#4|}N' êœï2)ê%˜íŽì65íg'êf„|7N>ê8í8)& |}…9'Oê7î7ëd|rT„„$9îQ|+€êÉî’êð4:íG|f€êœí+ê&‡îW} „
Éêð,<X; ð}ê’ê>=s‚@? w íyî-N> ê ïê& |}(› ðBA5ƒ<BC íD~}~„ ê*N|+3N•} ð‡„@|>€ ê í w 'Ly| î8}~|E)% ê6•} ðd í+F'L| X} ï w íyîdGE1
}…#€ ê7îœê7ð%r
îQ|+€ êRƒ
mn<Bý0] óõOùœôûó !=d\>; ôûóÈó
<,Þù.õOù-/:<öÞù<Ìõo5=ùœô4o5Ìùþ
ôûóÈóÉõOÿÿ\üJù<
g
r (x − t/T )
>ô#
…ó’ôûúyöÚù þ σ2 (x − t/T )2 ôûóõOÿûó’úóÉõOÿÿ ”mn<>þõi/:\.õ3ÚúCAEùJôûóu.õOöED5BúCA{oyõOþœô•õC\Jÿôûó/ù.õOù
ù<Á õo5= ùœô4o5õOö<c>ô2
…óœôûúyöÛùþóö…úi/ Eøö<ÔúyöÛùœô4gO
ùJôûó1}õOö…ó-ù.õOù}ü>úyö<=¼ù<køJþ’ú\Jÿ@
ôûó-> ôûó þ ùœô4Ši=0 ü.ù<]É õOùœþœô=u ó¼õOþu ú øE
Jù=2õOö<Úôöo5þœù=2õOù-}õÙùœô4Áó’ùø)
mn<]\A õ ù/ù. õOùr‡F ó=fHJICKNM
ü
∀ξ ≤ 0
f (t, ξ) =
1
(1 − e−r(T −t) ) − ξe−r(T −t)
rT
h
F l5M
;wôÿJó:A‡úyþ
g
ù.õOù
∀x ≤ t/T
ü
g(t, x) =
FQP5M
1
(1 − e−r(T −t) ) − (x − t/T )e−r(T −t) .
rT
mhúq
Jö<Eþ’óœùõOö<AXúyþq
Jÿ•õ[F l5M{A‡þ’ú,õÁýp øúyôöùúCAo9ô@/Büúyö<}õOöÉö…úyùœô=Èù.õOù ŽD ô4o5öB\>;`F l5M
ôûó
ó’úyÿ4J
ùœôûúyö«ù’ú2FQPRM// ôù φ(ξ) = −ξ ü9õOö<Ô ù. õOù}ü
<Èù’úÑù<uAXõùù.õOùrù<]>ô
…óœôûúyö«f ùþ ôûóö
Jÿÿ+AXúyþ
õOö<Ù ù. õOù¼ù<Ñ õo5= ùœô4o5! ù þ ôûóÈö<@D õOùœô4o5Ž ü'ù<Ì ó’úyÿ4J
ùœôûúyö2ù’ú‡FQPRMn‡A úyþ φ(ξ) = ξ− úyö ξ ≤ 0
ξ=0
ôûó/ù<B óõCB õyóù<B ó’úyÿ4J
ùœôûúyöÞù’ú FQPRMXA úyþ φ(ξ) = −ξ úyö ξ ≤ 0 hm ú9> ôûó þ ùœô4ŠiŽF I57M ü:/1Y…
ó2 õ9r þõOöE3>a Èôu úyÿûó’úyöèùœô42 ó<@Ž üu// ôù õZJ
öJôXA úyþ ùœô4Õ óœù ø
F E ö…úyùu óÞù<Õ
ö>
Eq\ þÙúCÑ
A ùœô4u ó’ù ø…óWM8 XZY/ õOöùÞù’úV…
ó2
ù<Y\A õ ù«ù. õOù ôûó
δt = T /N N
õOö.õOÿ4w; ùœô} õOÿÿ4;993 ö…úi// ö+úyö x ≤ t/T ‡F ó= …úyþqJ
ÿ•õ FQP 5MM8 mn< þ8XA úyþŽ üˆôöÝúyþE þù. õOùÉù<cgu ó
øJþ’úyø# þœÿ4;d> ôûó þ ùœô4Šiu óÈù<%\ úyþE þ x = t/T üE/Ñ õOÿûó’úf…
ó N óœø.õ=B óœù ø…óÈù’úf> ôûó þ ùœô4ŠiB ù<Ì óœø.õ=
ôöù þŽo õOÿ (0, 1) ‡F ó= cô4DgJ
þBU5M8cmn< óœø.õ=É ó’ù øLôûóBù< þ8XA úyþ δx = 1/N BXZÉ ù< öGu ú øJÿ ù
ù<pu óc\# õE> ôöED J ôöù þŽo õOÿûóúyöÛù<k þœô4Dg ùn. õOö<Ú óœôEk úCA x = 1 ü9óúÑù. õOù x ∈ (0, xmax ) // ôù
xmax = (N + J) δx
kúyùœô=
ù. õOù!õOùÁùœô4
ühù< ö
Er\# þÆúCA1J
öE93 ö…úi// ö…óÑôûó (N + J − n) [mnJ ôûó} õOö…ó
tn = nδt
ù. õOùù<B óœô4Šiu óÈúCEA ù<%É õOùœþœô=u óu/%\EJ
ôÿÙ õOö<Þ ôöo5 þœùE ø ö<Þ úyöÚù<Á ùœô4u ó’ù ø)
t
T
N
x max
1
N
x
J
cô4Dg
JþqUO0mn<]A~
Jö<ùœôûúyö g õOö<Úôù’óuJúÉõOôöÕúCA”uúøE
JùõOùœôûúyö)
Twôö<=kù<puó Ûôûó
JöJôAXúyþÞü>ôù-ôûóþ}õOÿÿ4;[}õyó;ù’ú?>ôûóþùœô4Šiù<úyøþõOù’úyþ’ó-ôöopúyÿ4o9ôöEDEþœô4oyõLa
ùœô4o5uóúCA x ”XS.õO:ù /%
…ó Bôûó-ù <]A‡úyÿÿûRú //ôEö D[=>
.õOùœôûúyöÙúyö g Eü =>
J4ô oŽõOÿ öùÈù’ú F I5M8O
∂g
∂g
σ2 ∂
(x − t/T )2
− (r + σ 2 ) (x − t/T )
+
= 0,
2 ∂x
∂x
∂x
 ∂t
g(T, x) = φ(x − 1) = (1 − x)+ .

 ∂g
FQPgPRM
ó’úÆù.õOùÈúyö<}õOöd
…ó,Áù<pA‡úyÿÿûúR//ôöED«õOøJøJþ’úi79ô4ÉõOùœôûúyö…óiO
∂
∂g
(x − t/T )2
(t, xi ) '
∂x
∂x
1
g(t, xi ) − g(t, xi−1 )
g(t, xi+1 ) − g(t, xi )
− (xi−0.5 − t/T )2
(xi+0.5 − t/T )2
,
δx
δx
δx
(x − t/T )
∂g
(t, xi ) '
∂x
1
g(t, xi ) − g(t, xi−1 )
g(t, xi+1 ) − g(t, xi )
+ (xi−0.5 − t/T )
(xi+0.5 − t/T )
,
2
δx
δx
–
//ôù
õOö<
2mn<fÉõOùœþœô=uó!ú\JùõOôö<=õOþùœþœô>ô•õCDpúyö.õOÿ\ücó’úÚù.õOù
ù<@;2}xõOiö`=\#i δxôö>o5þœù= xi+0.5
//ôù`=
^ (i+ù0.5)
…úcδx
//ôùÞÿôö<}õOþuuúøJÿ87>ôù ;5
òkó%\A õOþÑõyó%\ úJ
ö<… õOþ;Zuúyö<>ôùœôûúyö…ó!õOþ[uúyö<=þœö<=0ü/1
…óÔõdkôþœôJÿù'\'ú
Jö<…õOþ;Zuúyö<>ôùœôûúyö
úyö x = t/T …
óœôöED`FQP 5/M õOö<Ù õZõOþœùœô!ô•õOÿŠi þ’ú @
EÉ õOöJö \ úJ
ö<… õOþ;du úyö<> ôùœôûúyöÙúyö x = xmax côö.õOÿÿ4p
; ü/p…
ó
ôöwù þœø'úyÿ•õOùœôûúyöÞúCA{E@ŽD þ=pÌ
h ôö«ó’ø.õ=È
ù’ú'u ú
øEJ
ùk
ù<È
øJþœô=Ž üJõOö<«
úCA E@ŽD þ=]U
ôöÞóœø.õ=Á ù’úu ú øEJ
ùB ù<E ÿùõ0mnJ ôûó->.
õOöùœôùœôu óõOþ]ŽD ô4o5 ö`\>;6‡F ó=pXA úyþqJ
ÿ•õ‡FN–>MM8O
øJþœô=
Eÿùõ
K
= f 0,
S0
K
= S0 f 0,
S0
K
= S0 g 0,
,
S0
K ∂f
K
−
0,
S0 ∂x
S0
K
= g 0,
S0
XZ%/ú
JÿÚÿô435Áù’ú@øE.õyóœô4ŠiBù.õOùÈú
Jþö
Eþœô}õOÿcó<@gO
•
FQPiU5M
K ∂g
K
−
.
0,
S0 ∂x
S0
FQPih5M
}õOö .õOö<>ÿ2ö<@DõOùœô4o52úyþcŠiþ’úôöùþuóœùÛþõOù ü:/:Jôèôûó«ô4øúyþœùõOöùÚôAÌúyö<2ùõC35uó«ôöù’ú
õ=uú
JöwùÈó’ú]>ô4owôEö<ÛþõOù d F‡ó’ôö<=¼ôöÚùJôûó:r}õyó,Žü r ôûóþøJÿ•õ==d\; r − d õOö<BAXúyþq
Jÿ•õyó
FQPiU5/
M õOö<GFQPih5M‡A úyþ/øJþœô=Ñ
õOö< EÿùõõOþ]q
JÿùœôøJÿô=‡\; −dT M7ü
e
õOö<dopúyÿ•õOùœôÿôùs; σ ^)ùc
…óÔøJþ=ôûó2ùJôûóÔÿ•õyó’ùÔøúyôöùi . AÌúyö<‡uúyö…óœôEþ’óÚõùœô48a Eø#<ö EöwùÞôöù þ uó’ù«þõOù
õOö<Žopúyÿ•õOùœôÿôù ; σ(t) üôùôûó}õyó;ù’úó…úR/ ù.õOùÔõ ó’úyÿ4
Jùœôûúyö+ù’ú F U5Mr//ôù r(t) õO<ö σ(t) }õOöŽr(t)
\
ú\JùõOôö<=Ž\;Žuúyö…óœôEþœôöED õó’úyÿ4
Jùœôûúyö ù’ú FQPRMr//ôù r(t) õOö< σ(t) ŽbÕúyþ uRú o5þ}üôöÝù <d}õyóÚúCA
õ }õOÿÿ\ü:A‡úyþ287JõCøJÿŽü'F φ(ξ) = ξ M7ü-/‡.õ=o5õOÿûó’ú õOöèõOö.õOÿ4;9ùœô }õOÿkóúy4ÿ Jùœôûúyö AXúyþ ξ ≤ 0 DŽ4ô o5ö
R
R
R
\;
2mnJôûóÌó …iú /óÑù .õOùÌù <>ö Eþœô }õOÿ
exp(−
r du) ds − ξ exp(−
r ds)
f (t, ξ) =
ù…ú>dEuó,þœô4\#=ÞõC\úio5}õOöd\]}õyóœôÿ4;«õ…õOøJù =Þù’úÆù <%}õyó ÁCú AEùœ4ô 8a Eø <ö Eöù¼ôöù þ uóœùþõOù õOö<copúyÿ•õOùœôÿôùs; σ r
kúyùœô=/ù.õOùˆú
Jþ0ù…ú}õOöJö…úyùrõOøJøJ4ÿ ;Æù’ú
a E#ø <ö Eöwù-ôöù þ uóœùbþõOù ¼õO<ö fopúyÿ•õOùœôÿôù ;pü
(t, S,
A)
F…AXúyþ E7=
87=øJùÁôöù<f}õy,ó Cú A
õO<ö r(t, S, A) = ρ t,
σ(t, S, A) = η t,
óœùœþœô435'}õOÿÿ
õOö<ÕEø JWù M8.lùó =@óÈù .õOùù’Bú .õO<ö >ÿ ÆBõ D5<ö þõOÿ (t, S, A)a Eø <ö E<ö @;pü5úy<ö Ñ<ö ==Jókù’ú
ó’úy4ÿ o5%>ôþ =ùœ4ÿ ;ZF h5M8
•
}õOöÕõOÿûó’ú?.õOö<>ÿÌù<%}õyóBúCA
ùœô48a Eø#ö<EöwùÈôöwùþuóœùÈþõOù
r
−
1
T
T
t
T
s
T
t
u
s
K−tA/T
S
K−tA/T
S
"u’ p&?’_*( u“d# +&r“#
Èò ÿÿ0ù<ö>
Eþœô}õOÿ5þuó
Jÿù’ó/øJþuó,öù=ÙõOö<Úù<%uúøE
JùõOùœôûúyö.õOÿEùœô4uó:.õ=o5\#=öÚú\JùõOôö<= //ôù
õÑøJþ’úDŽþõC //þœôùœùöÚôö`èõOö<Ôþ
JöÞúyöÞõ!ýS=>
JôøJø#=c//ôùÙõ2P Š%.€öwùÿ5ýöwùœô4
E ..._ôþ’úCa
øJþ’ú>=uóó’úyþi
XZf.iõ o5B…úŽ,ó öù <>ö Eq\þ!Cú A/ôöù þ oŽõOÿûó úyö
ôö A~
J<ö ùœôûúyöCú A N üEó <Lù .õOùÑù <
J
x≥1
þuó Jÿù’-ó Júö…úyù .õOEö D5%//ôù Þÿ•õOþ D5þ J ”XZ.=õ o5]AXú J<ö F‡ó = c4ô Dg
Jþ qh5Mrù .õOùù <oyõO4ÿ <
J = N/2
ôûóó
BôöwùÈù’ú?Dg
.õOþõOöùs;Úù<]A\õù/ù.õOùù<ÁøJþœô=Júuó/ö…úyù-Eøö<ÞúyöÞù<ÁøúŽóœôùœôûúyöÞúCA x XZ.iõ o5!õOÿûóúø Qþ A‡úyþ =2õÆþõOù ÑCú A0uúy>ö o5þ D5<ö =ÆõOö.õO4ÿ ;>óœôû'
ó F‡ó =c4ô Dg
Jþ –>M8nXZq.=õ o5qA‡ú
Jö<
ù.õOù \úyù 2ù <ÌøJþœô =ÆõO<ö Ùù <'EÿùBõ oyõO4ÿ <upó uúyö o5þ D5?//ôù õþõOù O umn<qAXõ ùkù.õOù¼ù<
Eÿù%
õ uúyö o5þ D5u1ó //ôù ù <ÈóCõ /þõOù Èõyóù <øJþœô =ôû0ó >
Jôù ó JþœøJþœôûóœôEö DÑóœô<ö =/ù <-Eÿù]õ oŽõO4ÿ <qF‡ó =
A‡úyþ r
Jÿ•õ FQPih5MMquúyöùõOôö…'
ó Eþœ4ô oyõOùœ4ô o5«Cú A ¼úyùœô =ù .õOùÆõÚøJþ =ôûóœôûúyö Cú A:–`>4ô DŽôù’qó \úyù AXúyþBøJþœô =
õO<ö `Eÿù[õ }õO‡ö \Bú \JùõOô<ö =Y//ôù N =g800 #ü /:Jô 6uúyþœþ uóœø'úy<ö Jókù’ú«õùœ4ô !Cú A”uú Eø JùõOùœôûúyöCú A
–Éi
ó
côö.õOÿ4ÿ ;B/1DŽ4ô o5ôö c4ô Dg
Jþ eÑq
õ A @/ uú ø.õOþœôûó’úyö…ó/Cú AEù <kþ uó Jÿù’ó-ú \JùõOô<ö =c//ôù Úú J:þ ù …>ú õO<ö úyù <%þ ù …>ú Jió qmn<ÆøJþœô =u%ó >ôûóœøJÿ•=õ ;5=YAXúyþÁú Jpþ ù …ú LõOþ ?uúyö o5þ D5= F@ù <?>4ô DŽôù’]ó DŽ4ô o5ö
max
e
1
N2
E8A\õC
Jÿù-oyõOÿ4
<uó
T = 0.25
N = 100
K = 110
gP gJl5j=U+ 50
ghC–8
kj ++glgh5j gh
++gIghC–l 5je
lC–<Jh P 5jlgIgh
gP gJl+g=I5j100
Pilgege
kj ++glgh5j ghgI
++gIghC–l 5je
gUgIC–e5jL–hgegegl
gP gJl+g=I5j500
Pilgege
kj ++glgh5j ghgI
++gIghC–l 5je
PieP 5j +gegI5j
gP Jgl+=gI51000
jPilgege
kj ++glgh5j ghgI
++gIghC–l 5je
PieP 5j +gegI5j
cô4Dg
JþhO0úø.õOþœôûó’úyöÛúCAù<þuó
Jÿù’ó0AXúyþ>ôþöù1oyõOÿ4
<uórúCA J ”]8A\õC
Jÿù0oyõOÿ4
<uóúCA0ø.õOþõCùþ’óiO
ü
ü
ü
ü
ü
T = 1 σ = 0.05 r = 0.02 S = 100 K = 100 N = 1000
0
õC\…óúyÿ4
Jùþœþ’úyþÈúyö N = 100 N = 200 N = 400 N = 800
øJþœô =
PilP@–g–
C–8gl5j
PgP gI
gUglP
Eÿùõ
PiIgUghP ghPiU + gh PiUgI
cô4Dg
Jþ–<O t¼õOùC
ú A!uúyö o5þ D5<ö =g ˆõOÿ4
<uó
úCA.ø.õOþõCùþ’óiO T = 1. ü σ = 0.05 ü r = 0.02 ü S = 100 ü
ü
1XZ%DŽ4ô o5Ìù <ÌCõ \…ó’úy4ÿ Jù qþœþ’úyu
þ \#sù /=ö2ùQ<ÌøJþœô=ÌõOö<`Eÿùõú\JùõOôö<=2õOö<
K = 100 J = N/2
ù<Áþ8A þö<=%oyõO4ÿ <uró F N = 20000M8OˆøJþœô = = 1.697058 #ü Eÿùõ = 0.6334899 0
ôö Eô4Dg
JþZeVJú ö…úyùd.õOöED56AXúyþÛÿ•õOþD5þ N M8 XZõOÿûó’ú ôö<>ô}õOù ù< ö>
Eq\þÞúCAÑùœô4 óœùø…ó
ö<==E=«ù’úÑú\JùõOôöÞõOù-ÿ}õyóœùù<%eq>ô4DŽôù’ó/úCAcõ=@
Jþõ@;[DŽô4o5ö)”mn<]uúøE
JùõOùœôûúyö.õOÿ5ùœô4
N ≥ 300
ôûó'DŽô4o5öôö cô4Dg
Jþ> kúyùœô=Ôù.õOù}übõyó?87>ø#=ù=0ü
ù<cuúøE
JùõOùœôûúyö.õOÿ/ùœô4Ôôûó O(N ) F‡óœôö<=
A‡úyþ
ùœ4ô uóœùø…ó}ü_/[
…ó 3N/2 óœø.õ=Ôóœùø…ó!õOö<ù<[ÉõOùœþœô=uó'}õOöG\#Éôöo5þœù=V//ôù ÿôö<}õOþ
uú NøJÿ 879ôsù ;EM8
mn<Bþ uó Jÿù’ó A‡þ’ú +oŽõO‡ö ùõOÿ 1uú uuó A‡þ’ú H4PiUCK1F‡,ó =qmECõ \Jÿ ?UôV
ö H4PiULKNM8Où <quú Eø JùõOùœôûúyö.õOÿ
ùœ4ô ô<ö >ô }õOù =Æôö!ù Jôûó
ø.õOø _þ /õyóbCõ \ú J0ù U ¼ó
úyöpõ ]òÈÿEø .õ _mn<þ uó Jÿù’{ó A‡þ’ú 0=0uú uó
A@þ’ú H4PLKõO<ö õOþ ú \JùõOô<ö =ôö2
õ A @/ó =uúy<ö Jió Bmn<ÿûiú /þõO<ö JøJø þ \ú J<ö JóÑõOþ ú \JùõOô<ö =
//ôù Ñù <rýþ @ô•õ¼ó’Cú A@sù /õOþ AXúyÿÿûiú //ôEö Dkù <ù …ú ÌCú A!mn…ú ø…ó’úyd
ö F‡ó =H4PpLü lLKNM8O0ù <1uú Eø JùõOùœôûúyö.õOÿ
ùœ4ô ÁôûóÈCõ \ú Juù eóúyöÙõÆý =
JôøJø =d//ôù Õcõ P uŠ.löù ÿh{ý öùœ4ô E ...”ô þ’úyøJþ’ú =uó’ó’úyiþ ÷ Juþ ù …>ú +oŽõO`
ö ùÈõOÿ 0= mn…ú ø…ó’úy9
ö F@ÿûiú /M mn…ú ø…ó’úyV
ö FN
Jø+M
σ
K
2
ge
lge
P
Pge
l
Jh P gP P
PgPg glC– gl`F
M
N = 300
kjlC–h`F
M
UkjL–g–g–YF N = 1000 M
P JePiU F N = 3000M
P JU gl F N = 300 M
ekjh C–YF N = 300 M
N = 1000
PgPg glC–
kjlgh
UkjL–I
P JeP@–
PJUP ekjUgl
PgPg glC–
kjlge
UkjL–g–
P JeP PJUPie
ekjh+
PgPg glC– glC–
kjlC–hgeC–
UkjL–g–g– +
P JePiU gUC–
PJU gI5jUC–
ekjUgIP P
PgPg glC– gl+
kjlC–g–8ge
UkjL–g–egIP
P JegUgh5jU PJUP@– gIge
ekjhgeC–IgI
cô4Dg
Jþ'eO-úø.õOþœôûó’úyö…óúCAbù<ÑøJþœô=uó¼ú\JùõOôö<=Y//ôù úyù<þù…úJói ˆõOÿ4
<uóúCAbø.õOþõCùþ’óiO
ü
ü
ü
…úyþÁú J%
þ ù…ú>0ü/1rDŽô4o5Æù<!ö>
Eq\þBúCArùœô4uóœùø…ó
T = 1 r = 0.15 S = 100 J = N/2
<ö ==E=Þù’úú \JùõOôö2õOù/ÿ }õyóœ
ù e?>4ô DŽôù’ó¼Cú AcøJþ =ôûó’ôûúyö)
N ≥ 300
0
÷¼ö<]} õOöÚó=-A‡þ’ú,ùJôûó1uúø.õOþœôûóúyö…ó-ù.õOù-ú
Jþnù…ú«ôûó-õ=@
JþõOùp\úyùBAXúyþ/óÉõOÿÿúyþrÿ•õOþD5
opúyÿ•õOùœôÿôùœôuói …úyþbõOö;royõOÿ4
</úCAù<-ø.õOþõCùþ’óùuóœù=0üŽúyö</ú\JùõOôö…óbõOù
ÿ}õyóœù0ep>ô4DŽôù’óbúCA.øJþ=ôûóœôûúyö
ôö ÿu ó’ókù. õOö úyö<ó,=uúyö<.€ùó=@óBõOÿûó’úÔù.õOùBú
Jþ]ù…ú>2ôûópA\õyóœùþkù.õOö2ù<úyù<þ}ü\E
JùùJôûó
/rúJ
ÿ`. õ=o5Á
ù’úf\%<=,35=`} õOþ8A~J
ÿÿ4Ú
; óœôö<=Á
ôù-E ø ö<J óÈúyöÚù<u ú
øEJ
ù þ…
ó=”XZ%} õOöÕõ þ
ù. õOùôù/ôûóÈõOù/ÿ} õyóœùn\A õyóœù þ/ù. õOöÞù<] ù… úÞ úCA”mn… ú ø…ó’úyöG‡F ó=fHJlLKNM.\ õyó,=Þ úyöÙõOøJøJþ’ú=>7 ô4É õOùœôûúyö…ó}ü
óœôö<=]/q. õ=o5Á ùu ó’ù=d'\ úyùd ù… úJ óÈúyöÚù<Ì óõC%u ú øEJ
ù þi
XZd} õOö õOÿûó’ú u úyö< ÿ4
<Ed@A þ’ú ù<u ó`897 ø þœô4 öù’óù. õOù}ü/õyóf8>7 ø#= ù=0 ürù<Þ
õ=@J
þõ@;V‡A úyþÉõ
DŽô4o5 ö
ôûó-\# ùœù þ:XA úyþóœùœþœô435u ó/ÿu óó/ù. õOö ü…õyó:/1 ÿÿcõyónXA úyþ/ÿ•õOþD5%po úyÿ•õOùœôÿôùœôu ói
N
S0
uúøE
JùõOùœôûúyö.õOÿEùœô4
gÆ
e ó
Je+Æ
ó
eJUó
U5j!ó
N
h
h
P cô4DgJ
þ Op
úøE
JùõOùœôûúyö.õOÿbùœô4uópAXúyþÁú
Jþpù…úYAXúyþkó’ú
õOö<
ÉõEBúyöÕõÆý =
JôøJø=d//ôùÙõdP Š.löùÿhý{öùœô4
E’...M8 N
J = N/2
F~uúøE
JùõOùœôûúyö…ó
"-'({“&F+*"-
.€öŽuúyö<ÿ4
…óœôûúyö5ü/c.õio5dEþœô4o5=Ýõ`o5þ; õ=@
JþõOùÙõOö<GAXõyó’ù!ö>
Eþœô}õOÿ-ù…úù’úóúyÿ4o5Ôù<
tÈúD5 þQa T>J ôrý0]-XZ«
úJ\ ùõOôö5üEôöÿu ó’óÑù.õOöúyö<«ó=uúyö< F‡úyö õÞý =
JôøJø=Z//ôù õZP uŠ
.€öwù ÿÈý{ öùœô4
E ...%
ô þ’úyøJþ’ú=u ó’ó’úyþW7M üõOùÉÿ} õyóœù[e > ô4ŽD ôù’óÔúCAÁõ=@
Jþõ@;Ž\úyùŽAXúyþÿ•õOþD5ÙúyþÉóÉõOÿÿ
opúyÿ•õOùœôÿôùœôu óF
úyþ
ˆM õOö<'‡A úyþ
ôö\a ù<8a úyö<@; úyþbúJ
ùQ€a úCAN\a ù<8a úyö<@;?u ú øEJ
ùõOùœôûúyö…óR
mn<É
þu óJ
ÿù’ó!σõOþ=Û
0.05
õOÿûó’ú o5 þσ; =õ=0.30
@J
þõOù[XA úyþÌù<[E ÿùõ ÷J
þr ù… ú>
ôûór} õyó
; ù’úÞô4
øJÿ@ öùÉõOö<
} õOöB. õOö<> ÿ¼ ùœô48a E ø# ö<E öwù-ôöù þu óœùþõOùu órúyþ1po úyÿ•õOùœôÿôùœôu ói”l. ùrõOÿûó’úqr/ úyþ>3 ó// ôùÔ öJ
ÿÿúyþˆö<@D õOùœô4o5
ôöù þu óœùÈþõOùŽ üE/:J ôÕ ôûóúCcA ôöwù þu óœùôA úyö<Á ùõC35u óôöwù’úÉõ=u úJ
öùkó’ú%> ô49o ôE ö<Ú þõOùg
mn<«Cõ Jù …úyþ’q
ó /ú Jÿ ÿ4ô 35ù’úÞù .õOEö 3 •nþœö.õOþ ^hõOø @;wþ A‡úyþÑóœùœ4ô q
a
ÿ•õOùœôöED«õOö< öJÿô4DgwùöJôöED2>ôûó,@
…ó’óœôûúyö…ó¼õOö<ÕõOÿûó’úÔ÷
.õOÿô`•nö.õOÿÿûú
`A‡úyþ:Jôûóu/rúyþ3ÙõyóÈõó’ù
<Eöù¼úyö
ùJôûóó E\=ùi
1#9
 =_”'(
H4P8KÑýþ@ô•õùœùœø)OkˆgˆC=þôuói‰öJøg A@þWˆ
Jø þ@ô•õ5ˆ<ôö<E87 ùÿ HJULK n?
E\úyôûói kôþö<=uó …öJôuó9}õOþõùþœôûóœùœô>
<uó øú
Jþ ÿuó úyøJùœôûúyö…óÝõyó’ô•õOùœô
<uó}üdU gh
ùœùœø)OkˆgˆL/:/:/`õyó,ô A@þWˆC
E\úyôûóWˆ ’õOö gh5ˆŽ÷¼øJùœôûúyö…ió #ø A
HJhLK ? E
…óõOô ýþœôôöED ò¼óœô•õOö úyøJùœôûúyö…ó owô•õ …ú Jþœô þ2õO<ö ^hõOøJÿ•õ=ùœþõOö…óQAXúyþói"!wí9îW#|Ìí w
# í"!# |+~}Xí+|#/}N+|+„êu!ü U C–<ù’úõOøJø }õOiþ H –Kr? ^hõCr\#þœù’úyö õO<ö •]^hõO#ø @;9þ g%$WG‡îœí}ï E„&~}Xí  |G„|+„$r%ð \ií „8|O%ð ~}'&$…d
ê |4!D!# }'&$)(+*-4|ry-,
+|#„ê@0ÿÿôø…,ó uó})ü Pilgl5j
HJeLKr•]^hõO#ø @;9þ /õO<ö ?-m @ÉCõ +ú ø ùœôùœ4ô o5-b2úyöù --õOþœÿû]
ú ù …>ú J{ó AXúyþcù <røJþœô ôEö DBCú A'ò¼óœô•õOö
w
#
úyøJùœôûúyö…ió .!9í 9Wî +|+Eí í "!# |+~}Xí +|#/}N+|+„êu!ü eEFQPRM7!ü U Pg
HLKrm%
^)ÿ0ô /@o9þ g
ýbþœô ôEö D Euó úyøJùœôûúyö…ó õyóœô•õOùœô >
<uó}ü
U ùœùœ)ø OkˆgˆC=þ ô uRó ‰öJ#ø g A‡Wþ ˆ ÿ ÿô @owþ Rˆ<þõOøJøúyþœù’Wó ˆCtkõOøJø'úyþœù’òkóœô•õ ø…ió ∼
HkjRKr-+^@o>;5ýþœô ôEö Dc”
Jþ’úyø }õOö2=õ o5þCõ D5ÑþõOù @
Jþœþ <ö @;ÞúyøJùœôûúyö…ió 1!ƒí w $WG€êWî +|D~}‡í #|22í 'êë
|ï /}…#|+„êü PgPgO –>jL–43–lPŽü PilglgU
HJILKr^0kp ?gt¼ú D5þ’óõO<ö {5T>Jô Emn<noŽõO4ÿ <-Cú A'õOöò¼óœô•õOöÆúyøJùœôûúy)ö !ƒ
5 !D!#ƒ6îfEí )|8)8}1 } ‡ëŽ>ü hgUO4P5jgj3
PgIgI>)ü Pilglge
HJlLK ? X ý >mn…ú ø…ó’úy)ö .õyóœùrö.õOþœþ’iú / \ú J<ö JóˆúyöÉù <:oyõO4ÿ <¼Cú Aòkóœô•õOöÉúyøJùœôûúyö…Ró 87Æíy4î R}N>€ !|4!Jêî
!DJiï €9ê $W…%ð ~} €+
ê :_ƒ
í w# |+ )Wî }Xiï €êü Pilglgl
∼
j
H4PLK<0 = icòèö<@/èýpÝõOøJøJþ’úpõ,dAXúyþrøJþœôôöEDõOþœôùEùœôBõ=o5þõCD5Áòkóœô•õOöÛúyøJùœôûúyö…ói !wí9îW#|
í w # í"!# |+~}Xí+|#/}N+|+„êüE–!FN–>M8O4Pge 3+PgPih>ü+U Pg
H4PgP8K<‰- +.õOöED</òó@ôalõOö.õOÿ4;wùœô}õOÿù…ú> A‡úyþÈøJþœôôöEDÛõOö<`<=DŽôöED[uúyöùœôö>
…ú
…óœÿ4;>a€óõCøJÿ=
õOþœôùEùœôõ=oŽõOþõCD5ÈþõOù¼úyøJùœôûúyö…ói!wí9î8+|0í w # í"!# |+~}Xí+|/0}N+|#„êü>eEFQPRM8OJegl 3jl>üEU Pg
H4PiULKrtq +oŽõOö5üJý ò' …úyþ’ó;9ù5ü…õOö<f0ùŠRõOÿ ”tÈú\E
…óœù-ö>
Eþœô}õOÿ)ù…ú>Jó:A‡úyþ/ý0]ŽúEÿûó/úCA
òkóœô•õOöÞúyøJùœôûúyö…ói.!9íwî8+|cí w# í"!# |+~}‡íg+|#/}…#|+„êü PgOJhgl 3jI>ü)PilglgI
I