I Vecteurs et translations

2015
Les vecteurs
Seconde 9
I Vecteurs et translations
I.1 Translation
Soit A et B deux points du plan.
À tout point C du plan, on associe le point D tel que [AD] et [BC] ont le même milieu.
B
−−→
AB
b
b
A
b
−−→
CD
b
D
b
−
→
u
C
L’application qui à tout point C du plan associe le point D tel que [AD] et [BC] ont même milieu
est appelé translation qui transforme A en B.
I.2 Vecteurs
I.2.1 Définitions
Concrètement dire que D est l’image de C par la translation qui transforme A en B, cela signifie que le
trajet qui va de A vers B est le même que celui qui va de C vers D. Les notions de segment et de droite ne
suffisant pas à décrire les trajets, il convient d’introduire une nouvelle notion : les vecteurs.
−−→
→
La translation qui transforme A en B est dite de vecteur associée AB. Un vecteur −
u est un donc
objet mathématique caractérisé par : une direction (ou "’inclinaison"), un sens de parcours, et une
→
longueur (ou norme notée ||−
u ||).
A votre avis, combien y-a-t’il de représentants d’un même vecteur ?
La réponse est illustrée dans par cette remarque :
→
Un vecteur −
u n’est pas fixe : on peut le dessiner n’importe où sur une feuille, c’est à dire que l’on
peut choisir son origine où l’on veut.
→
Le vecteur −
u ci-dessous peut se placer n’importe où sur la feuille :
−
→
u
−
→
u
−
→
u
−
→
u
1
by M Visca ...... !
2015
Les vecteurs
Seconde 9
I.2.2 egalité de deux vecteurs
−−→
−−→
La translation de vecteur AB est bien entendu la même que celle de vecteur CD. On dit alors
−−→ −−→
que les vecteurs AB et CD sont égaux, puisqu’ils définissent la même translation. On note alors
−−
→ −−→ −
AB = CD = →
u.
−−→ −−→
➥ Deux vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si ils ont la même direction (donnée
par la droite (AB)), le même sens (celui de A vers B)
et la même norme c’est à dire AB = CD.
−−
→ −−→
➥ Deux vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallèlogramme.
Sur la figure ci-dessous :
−
→
x
−
→
v
−
→
u
−
→
w
→
→
– Les vecteurs −
u et −
x ne sont pas égaux, car ils n’ont pas la même direction.
→
−
→
−
– Les vecteurs u et v ne sont pas égaux, car ils n’ont pas la même norme.
−
→
– Les vecteurs →
u et −
w ne sont pas égaux, car ils n’ont pas le même sens.
Caractérisation des parallèlogrammes :
−−→ −−→
Le quadrilatère ABDC est un parallèlogramme (éventuellement aplati) si et seulement si AB = CD
I.2.3 vecteurs opposée, vecteur nul
−−→ →
−−
→
−
– Si A et B sont deux points tels que AB = −
u .On dit que AB est un représentant du vecteur →
u.
Son origine est A et son extrémité est B.
−−→
−−→
−−→
−−→
– Le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB et l’on note BA = −AB. Il a même direction, même
−−→
norme mais sens opposé à AB ;
−
→
−
−
→
→
−
→
– −
u = AA = BB = · · · est appelé le vecteur nul et est noté 0 . Il n’a ni direction, ni sens.
−−→
→
Ci dessous, on a dessiné les vecteurs −
u et AB ainsi que leurs opposés respectifs.
B
−→
−u
−
→
u
−−→ −
AB = →
v
A
−→
−v
2
by M Visca ...... !
2015
Les vecteurs
Seconde 9
I.2.4 Somme de vecteurs
→
→
→
→
→
Soient −
u et −
v deux vecteurs, on définit le vecteur −
w somme des vecteurs −
u et −
v de la façon
suivante :
→
Soit A un point du plan, on trace le représentant de −
u d’origine A : il a pour extrémité B.
→
−
Puis on trace le représentant de v d’origine B : il a pour extrémité C.
−→
→
→
→
Le vecteur AC est un représentant du vecteur −
w =−
u +−
v . Par ailleurs on peut donc définir la
→
−
→
−
→
−
somme de u et de v comme un vecteur w associé à la translation résultant de l’enchainement
→
→
des translations des vecteurs −
u et −
v
→
→
→
Construction de −
w =−
u +−
v à partir d’un point A donné.
−
→
v
B
−
→
u
−
→
v
−
→
u
A
−
→
w
C
−−→ −−→ −→
Pour tout point A, B et C du plan, on a : AB + BC = AC.
I.2.5 Opérations algèbriques
→
→
→
Quels que soient les vecteurs −
u,−
v et −
w du plan, on a :
→
−
→
−
→
−
→
−
– u + v = v + u (commutativité) ;
→
→
→
→
→
→
– (−
u +−
v)+−
w =−
u + (−
v +−
w ) (transitivité) ;
→ −
−
→
−
→
– u + 0 = u.
I.2.6 Multiplication d’un vecteur par un nombre réel
→
→
→
Soit −
u un vecteur non nul et k un réel non nul, on définit le vecteur −
v = k−
u par :
→
−
→
−
→
−
→
– Si k > 0, v et u ont même direction, même sens et la norme de v vaut k fois celle de −
u;
→
−
→
−
→
−
– Si k < 0, v et u ont même direction, sont de sens opposé et la norme de v est égale à |k| fois
→
celle de −
u.
→
−
→
→
Remarque : Si −
u = 0 ou k = 0 alors k −
u = 0 . Sur la figure ci-dessous :
−
→
→
v = 2−
u
−
→
→
w = −3−
u
−
→
→
y = − 43 −
u
−
→
u
−
→
−
x = 21 →
u
3
by M Visca ...... !
2015
Les vecteurs
Seconde 9
→
→
Quels que soient les vecteurs −
u,−
v et les réels k et l , on a :
→
−
→
−
→
−
→
−
– k( u + v ) = k u + k v (distributivité par rapport aux vecteurs) ;
→
→
→
– (k + l)−
u = k−
u + l−
u (distributivité par rapport aux réels) ;
→
−
→
−
– k(λ u ) = (kλ u ) (transitivité) ;
→
−
→
−
→
→
– k−
u 0 ⇐⇒ k = 0 ou −
u = 0 ;
I.3 Colinéarité
I.3.1 une façon simple de l’expliquer :
→
→
Exprimer −
u en fonction de −
v dans chacun des cas suivants :
−
→
v
−
→
u
−
→
v
−
→
u
−
→
v
−
→
→
→
−
→
u = ...−
v
u = ...−
v
Ces exemples permettent de sentir intuitivement que :
−
→
u
−
→
→
u = ...−
v
→
→
→
→
– Si −
u et −
v ont la même direction, il existe un réel k tel que −
u = k−
v
−
→
→
−
→
→
– Si u et v n’ont pas la même direction, il n’existe pas de réel k tel que −
u = k−
v
Il en découle la définition suivante :
Deux vecteurs sont dits colinéaires si et seulement si ils ont la même direction. Par convention, le
vecteur nul est colinéaire à tout vecteur
et la caractérisation suivante :
−
→
→
→
→
u et −
v sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que −
u = k−
v
Conséquence géométrique :
−−→ −−→
Les droites (AB) et(CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD sont colinéaires.
−−→ −→
Les points A, B et C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires.
Exemple :
−−→
−−→ −−→
−→
ABC est un triangle. M et N sont les points tels que CN = 3AB et AM = − 21 AC
1. Placer les points M et N.
−−→
−−→ −→
2. Exprimer M B en fonction de AB et AC.
−−→
−−→ −→
3. Exprimer M N en fonction de AB et AC.
4. Conclure sur l’alignement des points M,B et N.
4
by M Visca ...... !
2015
Les vecteurs
Seconde 9
1.
b
A
b
C
b
b
b
N
B
M
−−→ −−→ −−→
−→ −−→
2. M B = M B + AB = 12 AC + AB.
−−→ −−→ −→ −−→
−→
−−
→
3. M N = M A + AC + CN = 23 AC + 3AB
−−→
−−→
−−→ −−→
4. De 2. et 3., on conclut que M N = 3M B donc les vecteurs M N et M B sont colinéaires donc les points
M,B et N sont alignés.
II Vecteurs et coordonnées
II.1 Propriété
B
−−→
AB
J
O
A
yB − yA
xB − xA
I
Dans le repère (O, I, J), on considère les points A(xA ; yA ), et B(xB ; yB ).
−−→
−→
−→
−−→
On a : AB = (xB − xA )OI + (yB − yA )OJ . On a décomposé le vecteur AB en utilisant les vecteurs
−→ −
→ −→ −
→
de base OI = i et OJ = j . Le couple (xB − xA , yB − yA ) est appelé couple de coordonnées du
−−
→
vecteur AB dans le repère (O, I, J). On note alors :
−−→ xB − xA
AB
yB − yA
II.2 exemples
Lire les coordoonées des vecteurs de la figure suivante :
5
by M Visca ...... !
2015
Les vecteurs
Seconde 9
3
−
→
u
2
−
→
v
1
−3
−2
−1
1
−1
2
−
→
w
3
−2
−
→
→
u a pour origine A(1; 1) et pour extrémité B(4; 3) donc ses coordonnées sont −
u 4−1
soit
3−1
2
→
→
−
se lire directement sur le graphique. En faisant de même, on trouve −
v −2
et
w
.
3
−1
3
2
, ce qui pouvait
II.3 propriétés
II.3.1 énoncés
→ x′ →
Soient −
u xy , −
v y′ et k un réel
– Egalité de deux vecteurs :
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales
x = x′
→
−
→
−
u = v ⇐⇒
y = y′
– Somme de deux vecteurs :
→
→
→
Le vecteur −
w =−
u +−
v a pour coordonnées :
x + x′
→
−
w
y + y′
– Produit d’un vecteur par un réel :
→
→
Le vecteur −
w = k−
u a pour coordonnées :
kx
−
→
w
ky
II.3.2 exemples
Soient :
1
5
5x
−
→
→
−
→
−
u
, v
et w
−3
3
x+y
→
→
1. représenter −
u et −
v
→
→
2. Déterminer les coordonnées de −
u +−
v ;
→
−
3. Déterminer les coordonnées de − u ;
→
4. Déterminer les coordonnées de 5−
v ;
→
5. Déterminer les coordonnées de −−
u +
→
−
5v ;
J
→
→
6. Déterminer x et y pour que −
v =−
w.
O
6
I
by M Visca ...... !
2015
Les vecteurs
Seconde 9
II.4 colinéarité
II.4.1 propriété
Soient :
′
x
x
−
→
→
−
u
et v
y
y′
−
→
→
u et −
v sont colinéaires si et seulement si :
xy ′ − x′ y = 0
→
→
La quantité xy ′ − yx′ est appellé le déterminant des vecteurs −
u et −
v
II.4.2 exemples
1.
→
(a) Les vecteurs −
u
→
et −
v
→
−
2
−
(b) Les vecteurs →
a −6
et b
6
−9
−8
12
sont-ils colinéaires ?
sont-ils colinéaires ?
!
!
!
5
1
7
2. Dans un repère (O, I, J), on a A(4; 2), B 3;
, C 1;
et D 1;
.
2
2
2
Démontrer que ABCD est un trapèze.
−3
7
3. Dans le repère (O, I, J), on considère les points A(−1; 5), B(0; 3) et C(2; −1).
Montrer que les points A, B et C sont alignés.
7
by M Visca ...... !