Lycée Chateaubriand RENNES

Annexe 05 - Calcul vectoriel
Page 1/4
Calcul vectoriel
1) NOTION DE SCALAIRE. ................................................................................................ 1
2) DÉFINITION D’UN VECTEUR. ....................................................................................... 1
Une direction .................................................................................................................................... 1
Un sens ............................................................................................................................................ 1
Une norme (ou intensité, module). ................................................................................................... 1
3) NOTION DE BASE ET REPÈRE ORTHONORMÉS DIRECTS. ..................................... 2
31) BASE ORTHONORMÉE DIRECTE. ............................................................................................ 2
32) REPÈRE ORTHONORMÉ DIRECT. ........................................................................................... 2
4) COMPOSANTES D’UN VECTEUR. ................................................................................ 2
5) NORME D’UN VECTEUR. .............................................................................................. 2
6) PROJECTION D’UN VECTEUR DANS LE PLAN. ......................................................... 3
7) OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS. ........................................................................... 3
71) SOMME. .............................................................................................................................. 3
72) PRODUIT SCALAIRE. ............................................................................................................. 3
73) PRODUIT VECTORIEL. ........................................................................................................... 3
74) PRODUIT MIXTE. .................................................................................................................. 4
Objectif : La notion de vecteur est omniprésente dans le cours de mécanique, pour modéliser par exemple
les vitesses en cinématique ou les forces en statique. Aussi est-il nécessaire de faire quelques rappels
utiles.
1) Notion de scalaire.
Les scalaires sont des nombres positifs, négatifs ou nul, utilisés pour représenter des quantités diverses :
temps, température, masse, énergie,...
3
Par exemple : une hauteur de 20 m, un volume de 18 m , une puissance de 200 MW,...
2) Définition d’un vecteur.
V
Un vecteur est une grandeur définie par :
Une direction
Un sens
Une norme (ou intensité, module).
MPSI-PCSI
Droite qui porte le vecteur
Orientation origine-extrémité du vecteur, symbolisé par une flèche
Valeur de la grandeur mesurée par le vecteur, notée V
Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
S. Génouël
31/01/2012
Annexe 05 - Calcul vectoriel
Page 2/4
3) Notion de base et repère orthonormés directs.
31) Base orthonormée directe.
Une base orthonormée est constituée de trois vecteurs, perpendiculaires entre eux et de norme (longueur)
unitaire x  y  z  1.
Pour que cette base soit directe, on trace d’abord les deux premiers
ème
vecteurs x et y formant le plan ( x, y ) , puis le 3
vecteur z
perpendiculairement au plan ( x, y ) et dont le sens est déterminé par
la règle :
- des trois doigts de la main droite,
- du tire-bouchon,
- de la vis.
y
On note la base B( x, y, z) et on la représente par
x
z
32) Repère orthonormé direct.
Un repère est constitué :
- d’une base
- d’un point donné, origine du repère.
Notation : R(O, x, y, z)
Remarque : Par défaut, lorsque nous n’explicitons pas la base ou le repère, nous supposons qu’ils
sont orthonormés directs.
4) Composantes d’un vecteur.
Dans une base B( x, y, z) de l’espace vectoriel, il existe 3 réels x, y et z, appelés composantes de V , tels
x
que l’on puisse écrire de façon unique : V  x.x  y .y  z.z 
y.
B
NB : il ne faut pas confondre :
z
• x la composante du vecteur V suivant la direction x ,
• x , le vecteur unitaire de la base B suivant la direction x .
5) Norme d’un vecteur.
x
Dans une base B, la norme (notée V ) d’un vecteur V 
B
MPSI-PCSI
y peut se calculer par : V 
z
Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
S. Génouël
x ²  y ²  z²
31/01/2012
Annexe 05 - Calcul vectoriel
Page 3/4
6) Projection d’un vecteur dans le plan.
1) Les textes des énoncés nous donnent des informations. Mais nous ne tiendrons JAMAIS COMPTE :
- du schéma réalisé dans une position particulière…
- de la valeur algébrique des angles (120°, -36°, 85°…).
2) Nous réaliserons des figures planes avec un angle dans le sens trigonométrique autour de +15°.
Pour réaliser ces figures planes, nous commencerons toujours par tracer le vecteur commun aux 2
bases, puis nous placerons les autres vecteurs de façon à obtenir des trièdres directs.
3) Nous nous retrouverons donc avec une figure de ce type où seulement 4 projections sont à connaître :
y0
y1


x1  cos .x0  sin .y0
x0  cos .x1  sin .y1
y1   sin .x0  cos .y0
y0  sin .x1  cos .y1
x1
x0
z0  z1
Nous pouvons vérifier facilement que nos projections fonctionnent pour toutes les valeurs algébriques de  .
Prenons par exemple les cas particuliers où   0, 90, 180 et  90 .
7) Opérations sur les vecteurs.
Soient deux vecteurs :
A  xA .x  y A .y  zA .z
et
71) Somme.
B  xB .x  yB .y  zB .z ,
A
B
S  A  B  ( xA  xB ).x  ( y A  yB ).y  (zA  zB ).z
S
Définition
72) Produit scalaire.
73) Produit vectoriel.
Le produit scalaire des 2 vecteurs A et B est :
un scalaire, noté A.B , tel que :
Le produit vectoriel des 2 vecteurs A et B est :
un vecteur, noté A  B :
- de direction perpendiculaire au plan ( A, B )
A.B  A . B .cos( A, B)
(Ce nombre peut être positif ou négatif).
- de sens tel que le trièdre ( A, B, A  B) soit
direct (règle des 3 doigts de la main droite)
- de norme A  B  A . B . sin( A, B)
Remarque

soit A  0


A.B  0  
soit B  0


soit cos( A.B )  0  A  B

soit A  0


AB  0  
soit B  0


soit sin( A.B )  0  A / / B
Propriétés
A.B  B.A
A.(B  C )  A.B  AC
.
A  B  B  A
A  (B  C )  A  B  A  C
Autre
Si A et B sont écrits dans la même base,
Alors A.B  xA .xB  y A .yB  zA .zB
Double produit vectoriel (formule de Gibbs) :
A  (B  C )  B  ( AC
. )  C  ( A.B)
MPSI-PCSI
Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
S. Génouël
31/01/2012
Annexe 05 - Calcul vectoriel
Pour déterminer un produit
scalaire ou un produit
vectoriel, 3 cas sont
envisageables :
Page 4/4
Exemples pour le produit scalaire.
Exemples pour le produit vectoriel.
L’ordre des vecteurs dans une base
directe est x, y, z, x, y, z…
x3 .y3  0
re
1 cas : si les 2 vecteurs
sont dans la même base.
Ex : x17 et z17
y3 .z3  0
z3 .x3  0
x3 .x3  y3 .y3  z3 .z3  1
Ainsi dans le sens direct, on a :
x3  y3  z3
y3  z3  x3
z3  x3  y3
Et dans le sens indirect (horaire) :
z3  y3   x3
y3  x3  z3
x3  z3  y3
x3  x3  y3  y3  z3  z3  0
ème
2
cas : si les 2 vecteurs
sont définis dans la même
figure plane.
Ex :
y1
y0


z0  z1
x1
x0
x0 .x1  cos 
x0  x1   sin .z0
x1.x0  cos 
x1  x0   sin .z0

x0 .y1  cos(  )
2

y 0 .x1  cos(  )
2
y0 .y1  cos 

x0  y1   sin(  ).z0
2

y 0  x1   sin(  ).z0
2
y0  y1  sin .z0
ème
3
cas : si les 2 vecteurs
sont :
- ni de la même base ;
- et ni définis dans la même
figure plane.
Ex : x17 et z14
Il faut projeter un des 2 vecteurs pour retomber dans l’un des 2 cas précédents.
NB : C’est la SEULE et UNIQUE fois que l’on projette en Mécanique…
74) Produit mixte.
Définition : Le produit mixte des 3 vecteurs A , B et C est le scalaire, noté ( A, B, C ) , tel que :
( A, B,C )  ( A  B).C  A.(B  C )
Propriétés :
Changement de signe si l’on permute 2 vecteurs : ( A, B,C )  (B, A,C )
Permutation circulaire : ( A, B,C )  (B,C, A)  (C, A, B)
MPSI-PCSI
Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
S. Génouël
31/01/2012