Enoncé et correction du devoir 29/01/2013

Brevet Blanc de Mathématiques
Le soin, l’orthographe et la clarté des raisonnements seront notés sur 4 points Les calculatrices sont autorisées
Exercice 1 : On propose deux programmes de calcul :
Programme A
Choisir un nombre.
Ajouter 5.
Calculer le carré du résultat obtenu.
1.
2.
3.
4.
Programme B
Choisir un nombre.
Soustraire 7.
Calculer le carré du résultat obtenu.
On choisit 5 comme nombre de départ. Montrer que le résultat du programme B est 4.
On choisit 2 comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A ?
Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit 0 ?
Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ?
Exercice 2 :
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.
Un éleveur possède 2 taureaux et 2 vaches : Bubulle, Icare, Caramel et Pâquerette. Il souhaite les présenter à la
foire agricole.
-
Bubulle pèse 1 200 kg et Pâquerette 600 kg.
Bubulle pèse aussi lourd que Caramel et Icare réunis.
Icare pèse aussi lourd que Caramel et Pâquerette réunis.
1. Est-il possible que Caramel pèse 500 kg et Icare 700 kg ? Justifier votre réponse.
2. Sachant que l’éleveur ne peut pas transporter plus de 3,2 tonnes dans son camion, pourra-t-il transporter
les animaux ensemble ? Expliquer votre raisonnement.
Exercice 3:
a. Donner l’écriture scientifique du nombre A =
3 × 105 − 6 × 103
.
3 × 1011
4 2 1 3
b. Soit B = 5 ÷ 3 × 2 −4 . On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

 

Exercice 4:
On donne E = ( 3x − 5 ) ² − 2( 3x − 5 )
a. Développer et réduire E
b. Factoriser E
c. Calculer E pour x = − 2.
d. Résoudre l’équation ( 3x − 5 )( 3x − 7 ) = 0
Exercice 5 : La figure ci-dessous n’est pas en vraie grandeur, elle n’est pas à reproduire.
Les droites (TP) et (YG) sont sécantes en I.
P
On donne les longueurs : IP = 5 cm ; IG = 7 cm ;
Y
I
IY = 1,4 cm, YT = 0,8 cm et TI = 1 cm.
G
1. Montrer que les droites (PG) et (YT) sont parallèles.
2. Calculer le périmètre du triangle IGP.
T
A
Exercice 6 :Le dessin ci-contre représente une figure géométrique dans laquelle on sait que :
 ABC est un triangle rectangle en B.
 CED est un triangle rectangle en E.
 Les points A, C et E sont alignés.
 Les points D, C et B sont alignés.
 AB = CB = 2 cm.
 CD = 6 cm.
Le dessin n’est pas en vraie grandeur.
1. Représenter sur la copie la figure en vraie grandeur.
2. a. Quelle est la mesure de l’angle ACB ?
b. En déduire la mesure de l’angle DCE ?
C
D
B
E
3. Calculer une valeur approchée de DE à 0,1 cm près.
4. Où se situe le centre du cercle circonscrit au triangle DCE ? Tracer ce cercle, que l’on notera (C ) puis
tracer (C ’) le cercle circonscrit au triangle ABC.
5. Les cercles (C ) et (C ’) se coupent en deux points : le point C et un autre point noté M. Les points
D, A et M sont-ils alignés ? Justifier.
Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans
la notation.
Exercice 7 : Ci-dessous est représentée graphiquement une fonction g pour x compris entre 0 et 23.
Par lecture graphique, déterminez :
a. l’image de 10 par g puis l’image de 2 par g
b. g(20) et g(15)
c. l’ordonnée du point de la courbe dont
l’abscisse est 0
d. le(s) nombre(s) dont l’image est 5
e. les antécédents de 0
f. les coordonnées des points de la courbe qui
ont pour ordonnée 7
g. un nombre qui a quatre antécédents
h. deux nombres qui ont un unique antécédent
i. le signe de g(1,9)
j. le signe de g(22,5)
Exercice 8 : Soit la fonction f définie par f : x  f ( x ) =
1
pour x compris entre -3 et 3.
1 + x²
1
par la fonction f (donner le résultat sous forme de faction irréductible)
3
1
2. Montrer qu’un antécédent de 0,8 est .
2
3. Quelle est l’ordonnée du point A d’abscisse 3 qui se trouve sur la courbe représentant la fonction f ?
1. Déterminer l’image de
CORRIGE
Exercice 1 :
Programme B
Choisir un nombre.
Soustraire 7.
Calculer le carré du résultat obtenu.
Programme A
Choisir un nombre.
Ajouter 5.
Calculer le carré du résultat obtenu.
1. 5  7 = 2 puis (2)2 = 4 donc le résultat du programme B est 4.
2. 2 + 5 = 3 puis 32 = 9 donc le résultat du programma A est 9 si le nombre de départ est 2.
3. Si le nombre de départ est désigné par x, le programme A se traduit par (x + 5)2 donc pour que le résultat soit
0, l’égalité suivante doit être vérifiée : (x + 5)2 = 0 donc x = 5.
4. Pour obtenir le même résultat avec les deux programmes, on va choisir le nombre solution de l’équation :
(x + 5)2 = (x  7)2
(x + 5)2  (x  7)2 = 0
[x + 5 + x  7][x + 5  x + 7] = 0
2x  2 = 0
2x = 2
[(x + 5) + (x  7)][(x + 5)  (x  7)] = 0
12(2x  2) = 0
x=1
On doit choisir le nombre 1 pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ?
Exercice 2 : Dans cet exercice, toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte
dans l’évaluation.
Un éleveur possède 2 taureaux et 2 vaches : Bubulle, Icare, Caramel et Pâquerette. Il souhaite les présenter à
la foire agricole.
. Bubulle pèse 1 200 kg et Pâquerette 600 kg.
. Bubulle pèse aussi lourd que Caramel et Icare réunis.
. Icare pèse aussi lourd que Caramel et Pâquerette réunis.
1. Est-il possible que Caramel pèse 500 kg et Icare 700 kg ? Justifier votre réponse.
Impossible car Caramel et Pâquerette réunis pèseraient alors 500 + 600 = 1100 kg, donc Icare pèserait
aussi 1100 kg ce qui est en contradiction avec Icare qui pèse 700 kg
2. Sachant que l’éleveur ne peut pas transporter plus de 3,2 tonnes dans son camion, pourra-t-il transporter
tous les animaux ensemble ? Expliquer votre raisonnement.
Caramel et Icare pèsent 1200 kg, Bubulle pèse 1 200 kg et Pâquerette 600 kg donc tous les animaux
ensemble pèsent 3000 kg soit 3 tonnes. Donc il peut les transporter.
Exercice 3:
a. Donner l’écriture scientifique du nombre A =
A=
3 × 105 − 6 × 103
3 × 1011
A = 0,00000098
A=
3 × 105 − 6 × 103
.
3 × 1011
300 000 – 6000
300 000 000 000
A=
294 000
300 000 000 000
A = 9,8 × 10 − 7
4 2 1 3
b. Soit B = 5 ÷ 3 × 2 −4 . On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

 

4 3 2 3
B = 5 × 2 × 4 −4

 

B=
2 × 3 −1
× 4
 
5
B=−
6 1
×
5 4
B=−
3
10
Exercice 4:
On donne E = ( 3x − 5 ) ² − 2( 3x − 5 )
a.
Développer et réduire E
E = ( 3x − 5 ) ² − 2( 3x − 5 ) = 9x² − 30x + 25 − ( 6x − 10 )
E = 9x² − 30x + 25 − 6x + 10
E = 9x² − 36x + 35
b. Factoriser E
( 3x − 5 ) ² − 2( 3x − 5 ) = ( 3x − 5 ) ( 3x − 5 ) − 2( 3x − 5 ) = ( 3x − 5 ) [( 3x − 5 ) – 2] =
( 3x − 5 ) [ 3x − 5 – 2] = ( 3x − 5 )( 3x − 7 )
c. Calculer E pour x = − 2.
E = 9x² − 36x + 35 = 9 ( − 2 ) × ² − 36 × ( − 2 ) + 35 = 9 × 4 + 72 + 35 = 36 + 72 + 35 = 143
d. Résoudre l’équation ( 3x − 5 )( 3x − 7 ) = 0
Un produit est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul.
3x − 5 = 0
3x − 7 = 0
3x = 5
3x = 7
5
7
x=
x=
3
3
5
7
L’équation admet deux solutions x1 = et x2 =
3
3
Exercice 5 :
Les droites (TP) et (YG) sont sécantes en I.
P
IP = 5 cm
IG = 7 cm
IY = 1,4 cm
YT = 0,8 cm TI = 1 cm.
1.
IP
=5
IT
IG 7
IP IG
=
= 5 donc
=
IY 1,4
IT IY
Y
I
G
IP IG
=
IT IY
la réciproque du théorème de Thalès est vérifiée donc les droites (PG) et (YT) sont parallèles
I  [PT] , I  [GY] et
2. On applique la propriété de Thalès dans IPG et IYT
T
I  [PT] , I  [GY] et (PG) //(YT)
IP IG PG
=
=
IT IY TY
IP PG
5 PG
=
donc =
d’où PG = 5  0,8 = 4 cm.
IT TY
1 0,8
Périmètre du triangle IGP : IP + PG + GI = 5 + 4 + 7 = 16 cm.
C
C’
Exercice 6 :
A
M
o
o
o
o
o
o
ABC est un triangle rectangle en B.
CED est un triangle rectangle en E.
Les points A, C et E sont alignés.
Les points D, C et B sont alignés.
AB = CB = 2 cm.
CD = 6 cm.
O'
O
D
C
B
1. Voir ci-dessus la figure en vraie grandeur.
E
2. a. Le triangle ABC est rectangle et isocèle en B donc les angles ACB et BAC sont égaux
et l’angle ABC mesure 90°.
La somme des mesures des angles d’un triangle est 180° donc ACB =
180°  90°
= 45°.
2
b. Les angles DCE et ACB sont opposés par le sommet donc égaux d’où : DCE = 45°.
3. Dans le triangle DCE rectangle en E : sin DCE =
DE
.
DC
sin 45° =
DE
6
DE = sin 45°  6
DE  4,2 cm (à 0,1 cm près).
4. Le triangle DCE rectangle en E donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse
[CD]. De même, le cercle circonscrit au triangle ABC a pour centre le milieu de [AC].
5. Le triangle AMC est inscrit dans le cercle C’’avec son côté [AC] pour diamètre donc il est rectangle en
M. De même, le triangle DMC est inscrit dans le cercle C avec son côté [CD] pour diamètre donc il est
rectangle en M.
AMD = AMC + DMC = 90° + 90° = 180° donc AMD est un angle plat donc les points D , A et M sont
alignés.
Exercice 7 : Ci-dessous est représentée graphiquement une fonction g pour x compris entre 0 et 23.
Par lecture graphique, déterminez :
k. l’image de 10 par g puis l’image de 2 par g
l. g(20) et g(15)
m. l’ordonnée du point de la courbe dont
l’abscisse est 0
n. le(s) nombre(s) dont l’image est 5
o. les antécédents de 0
p. les coordonnées des points de la courbe qui
ont pour ordonnée 7
q. un nombre qui a quatre antécédents
r. deux nombres qui ont un unique antécédent
s. le signe de g(1,9)
j. le signe de g(22,5)
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
l’image de 10 par g puis l’image de 2 par g : g(10) = 2
g(20) et g(15) : g(20) = 7 g(15) = 4
l’ordonnée du point de la courbe dont l’abscisse est 2
les nombres dont l’image est 5 : g(13) = 5
g(16) = 5
les antécédents de 0 : g(2) = 0
g(9) = 0
g(22) = 0
les points de la courbe qui ont pour ordonnée 7 : B( 17 ;7)
un nombre qui a quatre antécédents : 4 < x < 5
deux nombres qui ont un unique antécédent : −5 et 8
le signe de g(1,9) : positif
le signe de g(22,5) : négatif
g(2) = 0
g(21) = 5
C( 20 ;7)
Exercice 8:
Soit la fonction f définie par f : x  f ( x ) =
1. Déterminez l’image de
1
f 3 =
 
1
pour x compris entre -3 et 3.
1 + x²
1
par la fonction f (donner le résultat sous forme de faction irréductible)
3
1
1
1
1
9
9
=
=
= =1×
=
10 10
1 2 1 + 1 9 + 1 10
1 + 3
9 9 9 9
 
1
2. Montrez qu’un antécédent de 0,8 est .
2
1
1
1
1
4 4
f(0,8) =
=
=
= = 1 × = = 0,8
2
1
1
4
1
5
5 5
 
1+
+
1 + 2
4 4 4 4
 
3. Quelle est l’ordonnée du point A d’abscisse 3 qui se trouve sur la courbe représentant la fonction f ?
f (3) =
1
1
1
=
=
= 0,1
1 + 3² 1 + 9 10
L’ordonnée du point A est 0,1