Mouvement brownien - IECL

Transcription

Mouvement brownien
Samy Tindel
Université de Lorraine
Master 2 - Nancy
Samy T. (IECL)
M2 - Calcul Stochastique
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Plan
1
Processus stochastiques
2
Définition et construction du processus de Wiener
3
Premières propriétés
4
Propriété de martingale
5
Propriété de Markov
6
Propriétés trajectorielles
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Plan
1
2
3
4
5
6
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Définition 1.
Soient:
(Ω, F, P) espace de probabilités.
I ⊂ R+ intervalle
{Xt ; t ∈ I} famille de variables aléatoires dans Rn
Alors:
1
2
3
Si ω 7→ Xt (ω) mesurable, X est un processus stochastique
t 7→ Xt (ω) se nomme trajectoire
X est dit continu si ses trajectoires sont continues p.s
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Modifications de processus
Définition 2.
Soient X et Y deux processus sur (Ω, F, P).
1
X est une modification de Y si
P (Xt = Yt ) = 1,
2
pour tout t ∈ I
X et Y sont non-distingables si
P (Xt = Yt pour tout t ∈ I) = 1
Remarques:
(i) Pour (2), on sous-entend que (Xt = Yt pour tout t ∈ I) ∈ F
(ii) (2) est (beaucoup) plus fort que (1)
(iii) Si X et Y sont continus, (2) ⇐⇒ (1)
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Filtrations
Filtration: Suite croissante de σ-algèbres, i.e
,→ Si s < t, alors Fs ⊂ Ft ⊂ F.
Interprétation: Ft résume l’information disponible à l’instant t
Ensembles négligeables: N = {F ∈ F; P(F ) = 0}
Filtration complète: Lorsque N ⊂ Ft pour tout t ∈ I
Base stochastique: (Ω, F, (Ft )t∈I , P) avec (Ft )t∈I complète
Remarque: On peut toujours considérer (Ft )t∈I complète
,→ On remplace Ft par F̂t = σ(Ft , N )
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Adaptation
Définition 3.
Soient
(Ω, F, (Ft )t∈I , P) base stochastique
{Xt ; t ∈ I} processus stochastique
On dit que X est Ft -adapté si pour tout t ∈ I:
Xt : (Ω, Ft ) −→ (Rm , B(Rm )) est mesurable
Remarques:
(i) Soit FtX = σ{Xs ; s ≤ t} la filtration naturelle de X .
,→ Le processus X est toujours FtX -adapté.
(ii) Le processus X est Ft -adapté ssi FtX ⊂ Ft
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Plan
1
2
3
4
5
6
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Définition du processus de Wiener
Notation: Pour une fonction f , δfst ≡ ft − fs
Définition 4.
Soient
(Ω, F, P) espace de probabilités
{Wt ; t ≥ 0} processus stochastique à valeurs dans R
On dit que W est un processus de Wiener si:
1
2
3
4
W0 = 0 presque sûrement
Soient n ≥ 1 et 0 = t0 < t1 < · · · < tn . Les incréments
δWt0 t1 , δWt1 t2 , . . . , δWtn−1 tn sont indépendants
Pour 0 ≤ s < t on a δWst ∼ N (0, t − s)
W a des trajectoires continues presque sûrement
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9 / 71
0.5
0.0
-0.5
-1.5
-1.0
Brownian motion
1.0
1.5
Illustration: mouvement chaotique
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Time
Samy T. (IECL)
10 / 71
0.5
0.0
-0.5
-1.5
-1.0
Brownian motion
1.0
1.5
Illustration: mouvement aléatoire
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Time
Samy T. (IECL)
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Existence du processus de Wiener
Théorème 5.
Il existe un espace de probabilités (Ω, F, P) sur lequel on peut
construire un processus de Wiener.
Constructions classiques:
Théorème d’extension de Kolmogorov
Limite de marche aléatoire renormalisée
Construction de Lévy-Ciesilski
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Fonctions de Haar
Définition 6.
On définit une famille de fonctions {hk : [0, 1] → R; k ≥ 0}:
h0 (t) = 1
h1 (t) = 1[0,1/2] (t) − 1(1/2,1] (t),
et pour n ≥ 1 et 2n ≤ k < 2n+1 :
hk (t) = 2n/2 1[ k−2n n , k−2nn+1/2 ] (t) − 2n/2 1( k−2nn+1/2 , k−2nn +1 ] (t)
2
2
2
2
Lemme 7.
Les fonctions {hk : [0, 1] → R; k ≥ 0} forment
une base orthonormée de L2 ([0, 1]).
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Fonctions de Haar: illustration
2
√
2
1
h1
1
8
1
4
3
8
1
2
5
8
3
4
7
8
1
−1
√
− 2
−2
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2
√
2
h2
1
h3
h1
1
8
1
4
3
8
1
2
5
8
3
4
7
8
1
−1
√
− 2
−2
Samy T. (IECL)
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2
√
2
h4
h5
h6
h2
1
h7
h3
h1
1
8
1
4
3
8
1
2
5
8
3
4
7
8
1
−1
√
− 2
−2
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Démonstration
Norme: Pour 2n ≤ k < 2n+1 , on a
Z 1
0
hk2 (t) dt
n
=2
Z
k−2n +1
2n
k−2n
2n
dt = 1.
Orthogonalité: Si k < l, on a deux situations:
(i) Supp(hk ) ∩ Supp(hl ) = ∅.
Alors trivialement hhk , hl iL2 ([0,1]) = 0
(ii) Supp(hl ) ⊂ Supp(hk ).
Alors si 2n ≤ k < 2n+1 on a:
hhk , hl iL2 ([0,1]) = ±2n/2
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Z 1
0
hl (t) dt = 0.
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Démonstration (2)
Complétude: Soit f ∈ L2 ([0, 1]) telle que hf , hk i = 0 pour tout k.
,→ On va montrer que f = 0 presque partout.
Etape 1: En analysant
les relations hf , hk i = 0
Rt
,→ On montre que s f (u) du = 0 pour r , s dyadiques.
Etape 2: Comme
Rt
s
f (u) du = 0 pour r , s dyadiques, on a
Z t
f (t) = ∂t
f (u) du = 0,
presque partout,
0
d’après le théorème de dérivation de Lebesgue.
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Fonctions de Schauder
Définition 8.
On définit une famille de fonctions {sk : [0, 1] → R; k ≥ 0}:
sk (t) =
Z t
0
hk (u) du
Lemme 9.
Les fonctions {sk : [0, 1] → R; k ≥ 0} vérifient:
n k−2n +1
1
Supp(sk ) = Supp(hk ) = [ k−2
, 2n ]
2n
1
2
ksk k∞ = 2n/2+1
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Fonctions de Schauder: illustration
1
2
s1
2−3/2
s2
1
8
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1
4
s3
3
8
1
2
5
8
3
4
7
8
1
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Sup de gaussiennes
Lemme 10.
Soit {Xk ; k ≥ 1} suite de v.a.i.i.d de loi N (0, 1). On pose:
Mn ≡ sup {|Xk |; 1 ≤ k ≤ n} .
Alors
Mn = O
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q
ln(n)
presque sûrement
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Démonstration
Queue de la gaussienne: Soit x > 0. On a:
P (|Xk | > x ) =
2 Z ∞ − z2 − z2
e 4 e 4 dz
(2π)1/2 x
2
≤ c1 e
− x4
Z ∞
x
z2
x2
e − 4 dz ≤ c2 e − 4 .
Application de Borel-Cantelli: Soit Ak = (|Xk | ≥ 4(ln(k))1/2 ).
D’après l’étape précédente on a:
P (Ak ) ≤
∞
X
c
=⇒
P (Ak ) < ∞ =⇒ P (lim sup Ak ) = 0
k4
k=1
Conclusion: ω-p.s il existe k0 = k0 (ω) tel que
,→ |Xk (ω)| ≤ 4[ln(k)]1/2 pour k ≥ k0 .
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Construction effective sur [0, 1]
Proposition 11.
Soient
{sk ; k ≥ 0} la famille des fonctions de Schauder
{Xk ; k ≥ 0} suite de v.a.i.i.d de loi N (0, 1).
On pose:
X
Wt =
Xk sk (t).
k≥0
Alors W est un processus de Wiener sur [0, 1]
,→ Dans le sens de la Définition 4.
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Démonstration: convergence uniforme
P
Etape 1: Montrer que k≥0 Xk sk (t) converge
,→ Uniformément dans [0, 1], presque sûrement.
,→ Ceci implique aussi que W est continu p.s
Réduction du problème: Voir que pour tout ε > 0
,→ il existe n0 = n0 (ω) tel que pour tous n0 ≤ m < n on a:
n
2
X
Xk sk m
k=2
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≤ ε.
∞
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Démonstration: convergence uniforme (2)
Bornes utiles:
1
Soit η > 0. On a (Lemme 10): |Xk | ≤ c k η avec c = c(ω)
2
Pour 2p ≤ k < 2p+1 , les sk ont support disjoint. Donc
2p+1
X−1 sk k=2p
≤
∞
1
2
p
+1
2
.
Convergence uniforme: pour tout t ∈ [0, 1] on a:
n
2
X
Xk sk (t)
m
k=2
≤
p+1
X 2 X−1
|Xk | sk (t) ≤ c1
p≥m k=2p
1
X
p≥m
p ( 12 −ε)
2
≤
c2
m( 21 −ε)
,
2
ce qui montre la convergence uniforme.
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Démonstration: loi de δWrt
Etape 2: Montrer que δWrt ∼ N (0, t − s) pour 0 ≤ r < t.
Réduction du problème: Voir que pour tout λ ∈ R,
h
i
E e ıλ δWrt = e −
Rappel: δWrt =
P
k≥0
(t−r )λ2
2
.
Xk (sk (t) − sk (r ))
Calcul de fonction caractéristique:
Par indépendance des Xk et convergence dominée,
h
E e ıλ δWrt
i
=
Y
h
E e ıλ Xk (sk (t)−sk (r ))
i
k≥0
=
Y
e−
λ2 (sk (t)−sk (r ))2
2
2
=e
− λ2
P
k≥0
(sk (t)−sk (r ))2
k≥0
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Démonstration: loi de δWrt (2)
Calcul de produit scalaire: Pour 0 ≤ r < t on a
X
sk (r ) sk (t) =
k≥0
XD
hk , 1[0,r ]
ED
E
D
E
hk , 1[0,t] = 1[0,r ] , 1[0,t] = r .
k≥0
Donc:
X
[sk (t) − sk (r )]2 = t − r .
k≥0
Calcul de fonction caractéristique (2): On a finalement
h
E e
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ıλ δWrt
i
2
=e
− λ2
P
k≥0
(sk (t)−sk (r ))2
= e−
(t−r )λ2
2
.
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Démonstration: indépendance des incréments
Cas simple: Pour 0 ≤ r < t, on montre que Wr ⊥⊥ δWrt
Calcul de fonction caractéristique: pour λ1 , λ2 ∈ R,
h
i
E e ı(λ1 Wr +λ2 δWrt ) =
Y
h
E e ı Xk [λ1 sk (r )+λ2 (sk (t)−sk (r ))]
i
k≥0
=e
− 21
P
[λ s (r )+λ2 (sk (t)−sk (r ))]2
k≥0 1 k
1
2
2
= e − 2 [λ1 r +λ2 (t−r )]
Conclusion: On a, pour tous λ1 , λ2 ∈ R,
h
i
h
i
h
i
E e ı(λ1 Wr +λ2 δWrt ) = E e ıλ1 Wr E e ıλ2 δWrt ,
et donc Wr ⊥⊥ δWrt .
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Construction effective sur [0, ∞)
Proposition 12.
Soient:
Pour k ≥ 1, un espace (Ωk , Fk , Pk )
,→ Contenant un processus de Wiener W k sur [0, 1]
Q
Ω̄ = k≥1 Ωk , F̄ = ⊗k≥1 Fk , P̄ = ⊗k≥1 Pk
On pose W0 = 0 et de manière récursive:
n+1
Wt = Wn + Wt−n
,
si t ∈ [n, n + 1].
Alors W est un processus de Wiener sur R+
,→ Défini sur (Ω̄, F̄, P̄).
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Démonstration partielle
But: Voir que δWst ∼ N (0, t − s)
,→ avec m ≤ s < m + 1 ≤ n ≤ t < n + 1
Décomposition de δWst : On a
δWst =
n
X
W1k
+
n+1
Wt−n
−
m
X
!
W1k
+
m+1
Ws−m
= Z1 + Z2 + Z3 ,
k=1
k=1
avec
Z1 =
n
X
W1k ,
m+1
Z2 = W1m+1 − Ws−m
,
n+1
.
Z3 = Wt−n
k=m+2
Loi de δWst : Les Zj sont indépendantes gaussiennes centrées.
Donc δWst ∼ N (0, σ 2 ), avec:
σ 2 = n − (m + 1) + 1 − (s − m) + t − n = t − s.
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Processus de Wiener dans Rn
Définition 13.
Soient
{Wt ; t ≥ 0} processus stochastique à valeurs dans Rn
On dit que W est un processus de Wiener si:
1
2
3
4
Soient n ≥ 1 et 0 = t0 < t1 < · · · < tn . Les incréments
δWt0 t1 , δWt1 t2 , . . . , δWtn−1 tn sont indépendants
Pour 0 ≤ s < t on a δWst ∼ N (0, (t − s)IdRn )
Remarque:
On peut construire W à partir de n browniens indépendants réels.
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0.5
0.0
-0.5
-1.5
-1.0
Brownian motion 2
1.0
1.5
Illustration: Mouvement brownien, dimension 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Brownian motion 1
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Processus de Wiener dans une filtration
Définition 14.
Soient
(Ω, F, (Ft )t≥0 , P) base stochastique
{Wt ; t ≥ 0} processus stochastique à valeurs dans Rn
On dit que W est un processus de Wiener
par rapport à (Ω, F, (Ft )t≥0 , P) si:
1
2
3
4
Soient 0 ≤ s < t. Alors δWst ⊥⊥ Fs .
Pour 0 ≤ s < t on a δWst ∼ N (0, (t − s)IdRn )
Remarque: Un processus de Wiener selon la Définition 13
est un processus de Wiener dans sa filtration naturelle.
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Plan
1
2
3
4
5
6
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Propriété gaussienne
Définition 15.
Soient
{Xt ; t ≥ 0} processus stochastique à valeurs dans R
On dit que X est un processus gaussien si
pour tous 0 ≤ t1 < · · · < tn on a:
(Xt1 , . . . , Xtn ) vecteur gaussien.
Proposition 16.
Soit W un mouvement brownien réel.
Alors W est un processus gaussien.
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Démonstration
Notation: Pour 0 = t0 ≤ t1 < · · · < tn on pose
Xn = (Wt1 , . . . , Wtn )
Yn = (δWt0 t1 , . . . , δWtn−1 tn )
Vecteur Yn : Par indépendance des incréments de W
,→ Yn est un vecteur gaussien.
Vecteur Xn : Il existe M ∈ Rn,n telle que Xn = MYn
,→ Xn vecteur gaussien
Matrice de covariance: On a E[Ws Wt ] = s ∧ t. Donc
(Wt1 , . . . , Wtn ) ∼ N (0, Γn ),
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avec Γijn = ti ∧ tj .
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Conséquence de la propriété gaussienne
Caractérisation des processus gaussiens:
Soit X processus gaussien. La loi de X est caractérisée par:
µt = E[Xt ],
et ρs,t = Cov(Xs , Xt ).
Autre caractérisation du mouvement brownien:
Soit W un processus gaussien réel avec
µt = 0,
et ρs,t = s ∧ t.
Alors W est un mouvement brownien.
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Scaling du brownien
Proposition 17.
Soient
W mouvement brownien réel.
Une constante a > 0.
On définit un processus W a par:
Wta = a−1/2 Wat ,
pour t ≥ 0.
Alors W a est un mouvement brownien.
Démonstration:
Caractérisation gaussienne du mouvement brownien.
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Espace canonique
Proposition 18.
Soit E = C([0, ∞); Rn ). On pose:
d(f , g) =
X
n≥1
2n
kf − gk∞,n
(1 + kf − gk∞,n )
où
kf − gk∞,n = sup {|ft − gt |; t ∈ [0, n]} .
Alors E est un espace métrique complet séparable.
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σ-algèbre borélienne sur E
Proposition 19.
Soit E = C([0, ∞); Rn ). Pour m ≥ 1 on considère:
0 ≤ t1 < · · · < tm
A1 , . . . , Am ∈ B(Rn )
Soit A la σ-algèbre engendrée par les rectangles:
Rt1 ,...,tm (A1 , . . . , Am ) = {x ∈ E ; xt1 ∈ A1 , . . . , xtm ∈ Am } .
Alors A = B(E ), la σ-algèbre de Borel sur E .
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Mesure de Wiener
Proposition 20.
Soient
W proc. Wiener à valeurs dans Rn , défini sur (Ω, F, P).
T : (Ω, F) → (E , A), telle que T (ω) = {Wt (ω); t ≥ 0}.
Alors:
1
2
3
L’application T est mesurable
Soit P0 = P ◦ T −1 , mesure sur (E , A).
P0 se nomme mesure de Wiener.
Sous P0 le processus canonique ω s’écrit:
ωt = Wt ,
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où W mouvement brownien.
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Démonstration
Image inverse de rectangles: On a
T −1 (Rt1 ,...,tm (A1 , . . . , Am )) = (Wt1 ∈ A1 , . . . , Wtm ∈ Am ) ∈ F.
Conclusion: T mesurable car A engendrée par les rectangles.
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Plan
1
2
3
4
5
6
Samy T. (IECL)
41 / 71
Définition 21.
Soient
(Ω, F, (Ft )t≥0 , P) base stochastique
{Xt ; t ≥ 0} processus stochastique à valeurs dans Rn
On dit que X est une Ft -martingale si
1
Xt ∈ L1 (Ω) pour tout t ≥ 0.
2
E[δXst | Fs ] = 0 pour tous 0 ≤ s < t.
Proposition 22.
Soit W un Ft -mouvement brownien.
Alors W est une Ft -martingale.
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Temps d’arrêt
Définition 23.
Soient
(Ω, F, (Ft )t≥0 , P) base stochastique.
S variable aléatoire à valeurs dans [0, ∞].
On dit que S est un temps d’arrêt si pour tout t ≥ 0 on a:
(S ≤ t) ∈ Ft
Interprétation 1: Si on connaît X[0,t]
,→ On peut déterminer si T ≤ t ou T > t
Interprétation 2: T ≡ instant où on arrête de jouer
,→ Ne dépend que de notre information jusqu’au présent.
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Exemples typiques de temps d’arrêt
Proposition 24.
Soient:
X processus à valeurs dans Rd , Ft -adapté et continu.
G ouvert de Rd .
F fermé de Rd .
On pose:
TG = inf {t ≥ 0; Xt ∈ G} ,
TF = inf {t ≥ 0; Xt ∈ F } .
Alors TG et TF sont des temps d’arrêt.
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44 / 71
Démonstration, cas de TG
Réduction du problème: On montre que
(TG ≤ t) =
[
(Xs ∈ G) .
(1)
s∈Q∩[0,t]
Comme ∪s∈Q∩[0,t] (Xs ∈ G) ∈ Ft , ceci achève la preuve.
Première inclusion pour (1):
[
(Xs ∈ G) ⊂ (TG ≤ t) : évident.
s∈Q∩[0,t]
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45 / 71
Démonstration, cas de TG (2)
Deuxième inclusion pour (1): Si TG ≤ t, alors
Il existe s ≤ t tel que Xs ∈ G. On pose Xs ≡ x .
Soit ε > 0 tel que B(x , ε) ∈ G
Alors:
Il existe δ > 0 tel que Xr ∈ B(x , ε) pour tout r ∈ (s − δ, s + δ).
En particulier il existe q ∈ Q ∩ [s − δ, s] tel que Xq ∈ G.
Comme
(Q ∩ [s − δ, s]) ⊂ (Q ∩ [0, t]) ,
on a la deuxième inclusion.
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Propriétés simples des temps d’arrêt
Proposition 25.
Soient S et T deux temps d’arrêt. Alors
1
S ∧T
2
S ∨T
sont des temps d’arrêt.
Proposition 26.
Si T est un temps déterministe (T = n presque sûrement)
,→ alors T est un temps d’arrêt.
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47 / 71
Information au temps S
Définition 27.
Soient
S temps d’arrêt.
La σ-algèbre FS est définie par:
FS = {A ∈ F; [A ∩ (S ≤ t)] ∈ Ft pour tout t ≥ 0} .
Interprétation:
FS ≡ Information connue jusqu’à S.
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Théorème d’arrêt
Théorème 28.
Soient
S, T deux temps d’arrêt, avec S ≤ T .
X martingale continue.
Hypothèse:
{Xt∧T ; t ≥ 0} martingale uniformément intégrable.
Alors:
E [XT | FS ] = XS .
En particulier:
E [XT ] = E [XS ] = E [X0 ] .
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Remarques
Stratégie de démonstration:
On part du résultat connu à temps discret.
On approche X par la martingale discrète
Ym ≡ Xtm ,
avec tm =
m
.
2n
Vérification de l’hypothèse: Posons Yt = Xt∧T .
{Yt ; t ≥ 0} martingale unft. intégrable dans les cas suivants:
|Yt | ≤ M avec M déterministe indépendant de t.
supt≥0 E[|Yt |2 ] ≤ M.
supt≥0 E[|Yt |p ] ≤ M avec p > 1.
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Plan
1
2
3
4
5
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Mesure de Wiener indexée par Rd
Proposition 29.
Soit:
x ∈ Rd .
Il existe une mesure de probabilités Px sur (E , A) telle que:
,→ Sous Px le processus canonique ω s’écrit:
ωt = x + Wt ,
où W mouvement brownien.
Notations:
On considère {Px ; x ∈ Rd }.
Espérance sous Px : Ex .
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Shift sur les trajectoires
Définition 30.
Soient
E = C([0, ∞); Rd ), muni de A ≡ σ-algèbre de Borel.
t ≥ 0.
On pose:
θt : E → E ,
{ωs ; s ≥ 0} 7→ {ωt+s ; s ≥ 0}
Shift et futur: Soit Y : E → R mesurable.
,→ Alors Y ◦ θs dépend du futur après s.
Exemple: Pour n ≥ 1, f mesurable et 0 ≤ t1 < . . . < tn ,
Y (ω) = f (ωt1 , . . . , ωtn )
Samy T. (IECL)
=⇒
Y ◦ θs = f (Ws+t1 , . . . , Ws+tn ) .
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Théorème 31.
Soient:
W processus de Wiener dans Rd .
Y : E → R mesurable bornée.
Alors:
Ex [Y ◦ θs | Fs ] = EWs [Y ].
Interprétation:
Seule la valeur de Ws sert à prédire le futur après s.
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Pseudo-démonstration
Fonction très simple:
Pour 0 ≤ s < t, l’indépendance des incréments de W donne
Ex [f (Wt )| Fs ] = EWs [f (Wt−s )] = pt−s f (Ws ),
avec
ph : C(Rd ) → C(Rd ),
ph f (x ) ≡
Z
Rd
f (y )
|
exp − |y −x
2h
(2πh)d/2
2
dy .
Extension:
1
Variable aléatoire Y = f (Wt1 , . . . , Wtn ).
2
Variable générale: par π-λ-systèmes.
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Liens avec l’analyse
Semi-groupe de la chaleur: On a posé pt f (x ) = Ex [f (Wt )]. Alors:
La famille {pt ; t ≥ 0} est un semi-groupe d’opérateurs.
Générateur du semi-groupe: ∆2 , avec ∆ ≡ Laplacien.
Formule de Feynman-Kac: Soit f ∈ Cb (Rd ) et l’EDP sur Rd :
1
∂t u(t, x ) = ∆u(t, x ),
2
u(0, x ) = f (x ).
Alors
u(t, x ) = Ex [f (Wt )] = pt f (x )
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Plan
1
2
3
4
5
6
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Régularité
Continuité Hölder: Soit f : [a, b] → Rn . On dit que f est γ-Hölder
si kf kγ < ∞ avec:
kf kγ =
sup
s,t∈[a,b],s6=t
|δfst |
.
|t − s|γ
Remarque: k · kγ n’est qu’une semi-norme. Notation: C γ
Théorème 32.
Soit τ > 0 et W processus de Wiener sur [0, τ ].
Il existe une version Ŵ de W telle que presque sûrement:
,→ Les trajectoires de Ŵ sont γ-Hölder pour tout γ ∈ (0, 1/2).
Remarque: On confond habituellement Ŵ et W .
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Critère de Kolmogorov
Théorème 33.
Soit X = {Xt ; t ∈ [0, τ ]} processus défini sur (Ω, F, P),
tel que:
E [|δXst |α ] ≤ c|t − s|1+β ,
pour s, t ∈ [0, τ ], c, α, β > 0
Alors il existe une modification X̂ de X telle que
,→ Presque sûrement X̂ ∈ C γ pour tout γ < β/α, i.e:
P ω; kX̂ (ω)kγ < ∞ = 1.
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Démonstration du Théorème 32
Loi de δBst : On a δBst ∼ N (0, t − s).
Moments de δBst : D’après la Proposition 8 (rappels probabilités),
pour m ≥ 1, on a
h
i
E |δBst |2m = cn |t − s|m
i.e
h
i
E |δBst |2m = cn |t − s|1+(m−1)
Application du critère de Kolmogorov:
1
B est γ-Hölder pour γ < m−1
= 12 − 2m
2m
En prenant la limite m → ∞, on achève la démonstration.
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Module de continuité de Lévy
Théorème 34.
Soit τ > 0 et W processus de Wiener sur [0, τ ].
Alors presque sûrement W satisfait:
lim sup
sup
δ→0+
0≤s<t≤τ,|t−s|≤δ
|δWst |
(2δ ln(1/δ))1/2
Interprétation: W a une régularité Hölder =
,→ à un facteur logarithmique près.
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1
2
= 1.
en tout point
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Variations d’une fonction
Partitions d’intervalle: Soient a < b deux réels.
On note π un ensemble {t0 , . . . , tm } avec a = t0 < . . . < tm = b
On dit que π est une partition de [a, b].
On note Πa,b l’ensemble des partitions de [a, b].
Définition 35.
Soient a < b et f : [a, b] → R. La variation de f sur [a, b] est:
Va,b (f ) = sup

 X



|δfti ti+1 | ; π ∈ Πa,b .
ti ,ti+1 ∈π

Si Va,b (f ) < ∞, on dit que f est à variation finie sur [a, b].
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Variation quadratique
Définition 36.
Soient a < b et f : [a, b] → R.
La variation quadratique de f sur [a, b] est:

 X
2
Va,b
(f ) = sup 
ti ,ti+1 ∈π


|δfti ti+1 |2 ; π ∈ Πa,b  .
2
Si Va,b
(f ) < ∞,
,→ On dit que f est à variation quadratique finie sur [a, b].
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Variations du mouvement brownien
Théorème 37.
Soit W processus de Wiener.
Alors presque sûrement W satisfait:
2
1
Pour 0 ≤ a < b < ∞ on a Va,b
(W ) = b − a.
2
Pour 0 ≤ a < b < ∞ on a Va,b (W ) = ∞.
Interprétation: Les trajectoires de W sont:
A variation infinie
A variation quadratique finie,
sur tout intervalle de R+ .
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Démonstration
Notations: Soit π = {t0 , . . . , tm } ∈ Πa,b . On pose:
P
2
Sπ = m−1
k=0 |δWtk tk+1 | .
Xk = |δWtk tk+1 |2 − (tk+1 − tk ).
k
Yk = tk+1X−t
.
k
Etape 1: Montrer que
L2 (Ω) − lim Sπ = b − a.
|π|→0
Décomposition: On a
Sπ − (b − a) =
m−1
X
Xk
k=0
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Démonstration (2)
Calcul de variance: Les v.a Xk sont i.i.d centrées. Donc
h
2
E (Sπ − (b − a))
i
= Var
m−1
X
!
Xk
k=0
m−1
X
=
Var (Xk ) =
k=0
Comme
δWtk tk+1
(tk+1 −tk )1/2
h
m−1
X
(tk+1 − tk )2 Var (Yk )
k=0
∼ N (0, 1), on obtient:
2
E (Sπ − (b − a))
i
=2
m−1
X
(tk+1 − tk )2 ≤ 2|π|(b − a).
k=0
Conclusion: On a bien, pour une sous-suite πn ,
L2 (Ω) − lim Sπ = b − a
|π|→0
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=⇒
p.s − lim Sπn = b − a.
n→∞
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Démonstration (3)
Etape 2: Vérifier Va,b (W ) = ∞ pour a < b fixés.
On raisonne par contradiction. Soient:
ω ∈ Ω0 tels que P(Ω0 ) = 1 et limn→∞ Sπn (ω) = b − a > 0.
On suppose Va,b (W (ω)) < ∞.
Borne sur les incréments: Par continuité de W :
P n −1
1
supn≥1 m
k=0 |δWtk tk+1 (ω)| ≤ c(ω)
2
limn→∞ max0≤k≤mn −1 |δWtk tk+1 (ω)| = 0
Donc
Sπn (ω) ≤
max
0≤k≤mn −1
|δWtk tk+1 (ω)|
mX
n −1
|δWtk tk+1 (ω)| −→ 0.
k=0
Contradiction: avec limn→∞ Sπn (ω) = b − a > 0.
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Démonstration (4)
Etape 3: Vérifier Va,b (W ) = ∞ pour tout couple (a, b) ∈ R2+
,→ Il suffit en fait de voir Va,b (W ) = ∞ pour tout couple (a, b) ∈ Q2+
Rappel: Pour tout couple (a, b) ∈ Q2+ , on a trouvé:
,→ ∃ Ωa,b t.q P(Ωa,b ) = 1 et Va,b (W (ω)) = ∞ pour tout ω ∈ Ωa,b .
Ensemble de probabilité pleine: On pose
Ω0 =
\
Ωa,b .
(a,b)∈Q2+
Alors:
P(Ω0 ) = 1.
Si ω ∈ Ω0 , pour tout couple (a, b) ∈ Q2+ on a Va,b (W (ω)) = ∞.
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Irrégularité de W
Proposition 38.
Soient:
W processus de Wiener
γ > 1/2 et 0 ≤ a < b
Alors presque sûrement W n’est pas élément de C γ ([a, b]).
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Démonstration
Stratégie: On raisonne par contradiction. Soient:
ω ∈ Ω0 tels que P(Ω0 ) = 1 et limn→∞ Sπn (ω) = b − a > 0.
On suppose W ∈ C γ avec γ > 1/2, i.e |δWst | ≤ L|t − s|γ
,→ Avec L variable aléatoire.
Borne sur la variation quadratique: On a:
Sπn (ω) ≤ L2
mX
n −1
|tk+1 − tk |2γ ≤ L2 |πn |2γ−1 (b − a) −→ 0.
k=0
Contradiction: avec limn→∞ Sπn (ω) = b − a > 0.
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Irrégularité de W en tout point
Théorème 39.
Soient:
W processus de Wiener
γ > 1/2 et τ > 0
Alors
1
Presque sûrement les trajectoires de W
ne sont pas γ-Hölder continues en tout point s ∈ [0, τ ].
2
A fortiori, W n’est dérivable nulle part.
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Mouvement brownien - IECL

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