F.e.m. induite par champ tournant Le stator d`une machine

F.e.m. induite par champ tournant
Le stator d’une machine asynchrone est bobiné triphasé.
On donne les caractéristiques suivantes :
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nombre p de paires de pôles : 2 ;
nombre de bobines identiques par phase : 2 (une par paire de pôles) ;
nombre m de sections par bobine : 3 ;
roue polaire fictive :
− vitesse angulaire mécanique Ωs = 60 π rad / s ,
− induction radiale dans l’entrefer, à répartition spatiale sinusoïdale, maximum à la
surface du stator : B = 0,8 T ;
• rayon interne du stator : r = 0,2 m ;
• longueur utile des conducteurs actifs pour le calcul des flux : l = 0,3 m .
QUESTION 1
Les sections d’une bobine sont identiques et comportent chacune ns spires ( ns = 24) ; leur
ouverture angulaire est égale à 9 pas d’encoche, elles sont décalées entre elles d’un pas d’encoche.
1.1 Montrer que le nombre d’encoches au stator est égal à 36. Tracer l’enroulement d’une phase
dans le développement plan du stator (0,5 cm pour un pas d’encoche) ; on pourra donner à
chaque section la forme hexagonale.
1.2 À l’instant t = 0, l’axe de la roue polaire coïncide avec l’axe de la section centrale S2 ; la valeur
instantanée de l’induction en un point de l’entrefer distant de l’angle réel α de l’axe de la
section centrale S2 a pour expression : B cos[ p( Ωs t − α )] .
Établir l’expression instantanée littérale du flux d’induction totalisé dans cette section, en
déduire celle des flux d’induction totalisés dans les deux sections latérales S1 et S3.
Déterminer l’expression instantanée de la f.e.m. par phase et procéder à l’application numérique
pour sa valeur efficace.
QUESTION 2
Les sections d’une bobine ne sont pas identiques mais leurs axes sont superposés ; leur nombre
de spires demeure inchangé ( ns = 24) . Les ouvertures angulaires des sections S1, S2, S3 sont
respectivement 7, 9, 11 pas d’encoche. À t = 0, l’axe de la roue polaire coïncide avec l’axe
commun aux trois sections.
2.1 Tracer l’enroulement d’une phase dans le développement plan du stator (0,5 cm pour un pas
d’encoche).
Établir l’expression instantanée littérale des flux d’induction totalisés dans chacune des sections,
puis celle du flux totalisé dans une bobine et de la f.e.m. par phase dont on calculera la valeur
efficace.
Corrigé succinct
QUESTION 1
1.1
Le nombre total de sections pour les trois phases étant égal à 2 × 3 × m = 18 et sachant
qu’une section occupe deux encoches, on déduit que le nombre d’encoches est égal au double,
soit 36.
S1
S2
S3
1.2
dφS 2 = ns B( t , α ) dS avec dS = l. r. dα
dφS 2 = ns . l. r. B .cos[ p( Ωs t − α )]. dα ,
φS 2 = ns . l. r. B .
π /4
∫−π / 4
cos[ p( Ωs t − α )]. dα
π
2 ns lrB
2π
p=± .
cos( pΩs t ) ; déphasage d’une section à l’autre : ±
p
36
9
2 ns lrB
2 ns lrB
φS1 =
cos( pΩs t − (π / 9)) , φS 3 =
cos( pΩs t + (π / 9))
p
p
4n l. r. B
flux totalisé dans la phase : φt = 2[φS1 + φS 2 + φS 3 ] = s
[1 + 2 cos(π / 9)] cos( pΩs t )
p
dφt
f.e.m. de Faraday par phase : eF = −
= 4 ns l. r. B Ωs [1 + 2 cos(π / 9 )] sin( pΩs t )
dt
d’où le résultat : E = 2 2 ns l. r. B Ωs [1 + 2 cos(π / 9 )] = 1768 V
φS 2 =
QUESTION 2
2.1
S1
S2
S3
2 ns lrB
2 ns lrB
sin( 7π / 18) cos( pΩs t )
cos( pΩs t ) , φS1 =
p
p
2 ns lrB
φS 3 =
sin(11π / 18) cos( pΩs t )
p
dφt
dans une bobine φtB = φS1 + φS 2 + φS 3 , dans la phase : φt = 2φtB et eF = −
, on déduit :
dt
eF = 4 ns lrB Ωs [1 + sin( 7π / 18) + sin(11π / 18)] sin( pΩs t ) , d’où E = 1768 V .
Ce résultat est tout à fait normal puisque la f.e.m. par phase totalise toutes les f.e.m. induites dans
les conducteurs logés dans les encoches et que les conducteurs d’encoche sont identiques dans
les deux cas.
2.2
φS 2 =