PTSI Lycée Joliot Curie, Rennes Année 2007–2008
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◮ PTSI Lycée Joliot Curie, Rennes Année 2007–2008, Sixième TP Mathematica Clément Picard Exercice 1 donné à l’oral de l’ENSAM 1) Déterminer les coefficients a, b, c, d et e pour que la fonction x 7→ f (x) = sh(x) − ax + bx3 + cx5 1 + dx2 + ex4 soit un infiniment petit d’ordre le plus élevé possible au voisinage de 0, c’est-à-dire pour que f (x) ∼ Cste.xk x→0 avec k le plus grand possible. Donner alors un équivalent de f . Indication : effectuer un développeemnt limité de f (x) en 0 grâce à la commande Series. Récupérer la liste des coefficients de ce développement limité grâce à la commande CoefficientList. Calculer grâce à la commande Solve les valeurs de a, b, c, d, e de manière à annuler le plus possible de ces coefficients en partant du début. 2) Donner alors un équivalent de f . Exercice 2 Oral de l’ENSAM 1) Calculer le reste de la division euclidienne de P = X n + 2X m + 1 par (X − 1)(X − 2)(X − 3)(X − 4) n et m étant deux entiers naturels. Indication : le reste est un polynôme de degré au plus 3. Ses quatre coefficients peuvent être calculés en évaluant le polynôme P pour certaines valeurs judicieuses. 2) Vérifier le résultat pour n = 43 et m = 100. On pourra chercher dans l’aide en ligne dans Algebraic Computation → Polynomial Functions une fonction qui permet de calculer un reste de division euclidienne. Oral de l’ENSAM −1 7 0 ∗ Soit la matrice A = . Soit B = (les étoiles étant des coefficients quelconques). 13 1 ∗ 0 Trouver une matrice inversible P telle que B = P −1 AP . Exercice 3 Exercice 4 Oral de l’ENSAM Trouver a, b, c tels que X6 + √ 2X 5 + aX 2 + bX + c ait un zéro de multiplicité au moins 4. 1
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