École polytechnique 2015-2016 Théorie de Galois Soient k un corps

École polytechnique
Théorie de Galois
2015-2016
Feuille d’exercices 5
Soient k un corps parfait et Ω une clôture algébrique de k. On rappelle qu’une sous-extension finie K/k
de Ω est galoisienne si pour chaque x ∈ K, tous les k-conjugués de x dans Ω appartiennent à K. D’après un
résultat du cours, il est équivalent de demander que l’inclusion naturelle Homk (K, K) ⊂ Homk (K, Ω) soit
une égalité, de sorte que |Homk (K, K)| = [K : k]. Le groupe Gal(K/k) = Homk (K, K) est appelé groupe de
Galois de K/k. Si x ∈ K, les k-conjugués de x sont alors permutés transitivement par Gal(K/k).
Si P ∈ k[X], on note RP l’ensemble de ses racines dans Ω et Gal(P, k) le groupe de Galois de l’extension
galoisienne k(RP ) sur k.
Exercice 1. Soit K une extension galoisienne de k.
(i) Soient k ⊆ F1 ⊆ K, k ⊆ F2 ⊆ K des sous-extensions de K. Montrer que Gal(K/F1 F2 ) = Gal(K/F1 ) ∩
Gal(K/F2 ).
(ii) Soit k ⊆ F ⊆ K une sous-extension de K. Notons L la plus petite sous-extension galoisienne de K
contenant F . Montrer que
\
Gal(K/L) =
σGal(K/F )σ −1 .
σ∈Gal(K/k)
Exercice 2. Soient K1 ⊂ Ω et K2 ⊂ Ω des extensions galoisiennes de k.
(i) Montrer que K1 ∩ K2 et K1 K2 sont aussi galoisiens sur k.
(ii) Montrer que Gal(K1 K2 |K2 ) s’identifie à Gal(K1 |K1 ∩ K2 ).
(iii) En déduire que [K1 K2 : k] = [K1 : k].[K2 : k] si et seulement si K1 ∩ K2 = k.
(iv) Montrer qu’il y a un morphisme injectif Gal(K1 K2 |k) → Gal(K1 |k) × Gal(K2 |k) qui est un isomorphisme si et seulement si K1 ∩ K2 = k.
√
√ √
2, 3 √
3, 5 5)|Q.
Exercice 3. (i) Déterminer le degré de l’extension Q(
√ √
(ii) Déterminer les plongements de Q( 2, 3 3, 5 5) dans
√ C.
√ √
(iii) Trouver un élément primitif pour l’extension Q( 2, 3 3, 5 5)|Q.
Exercice 4. Soient P ∈ Fq [X] un polynôme de degré n. Montrer que P est irréductible si et seulement si il n’a pas
de racine dans Fqd pour d ≤ bn/2c.
Exercice 5. Soit P ∈ k[X] un polynôme irréductible de degré n et soit G = Gal(P, k).
(i) Rappeler pourquoi |RP | = n.
(ii) En déduire que n divise |G| et que |G| divise n!.
Exercice 6. Soit P ∈ Q[X] le polynôme cubique unitaire dont les racines réelles sont x1 = 2 cos(2π/7), x2 =
2 cos(4π/7) et x3 = 2 cos(6π/7).
(i) Vérifier que P = X 3 + X 2 − 2X − 1.
(ii) Montrer que P est irréductible.
(iii) Montrer que Q(x1 ) est un corps de décomposition de P .
(iv) En déduire Gal(P ).
Exercice 7. Soient f = X 4 − 4X 2 − 1 ∈ Q[X] et g = Y 2 − 4Y − 1 ∈ Q[Y ].
(i) Pourquoi le groupe Gal(g, Q) est-il un quotient de G = Gal(f, Q) ?
(ii) Montrer que G est un sous-groupe de SRf compatible avec la partition
q
q
q
q
√
√
√
√
{{ 2 + 5, − 2 + 5}, { 2 − 5, − 2 − 5}}
de Rf . (On dit qu’une permutation σ d’un ensemble fini E est compatible avec une partition de E lorsque
x ∼ y implique σ(x) ∼ σ(y) pour ∼ la relation d’équivalence dont les classes sont la partition considérée.)
(iii) En déduire que G est contenu dans le groupe diédral
carré.
p du
p
p
√
√
√
(iv) Montrer qu’il existe un élément σ ∈ G tel que σ( 2 + 5) est égal à 2 − 5 ou − 2 − 5.
1
p
p
p
√
√
√
(v) Montrer qu’il existe un élément τ ∈ G échangeant 2 − 5 et − 2 − 5 mais fixant 2 + 5.
(vi) En déduire que G est le groupe diédral tout entier.
Exercice 8. Soit K une extension galoisienne de k et P ∈ k[X] un polynôme unitaire irréductible. Soient Q1 , Q2 ∈
K[X] deux facteurs unitaires irréductibles du polynôme P vu dans K[X]. Montrer qu’il existe σ ∈ Gal(K/k)
tel que Q2 = σ(Q1 ) (on étend l’action de σ à K[X] de façon évidente).
Exercice 9. Soit f = X d + a1 X d−1 + · · · + ad ∈ K[X] un polynôme (unitaire, de degré d) séparable à coefficients dans
Qd
un corps K, et ξ1 , . . . , ξd ses racines dans un corps de décomposition noté L (de sorte que f = i=1 (X − ξi )).
On définit la résolvante de Kronecker de f comme
R=
Y σ∈Sd
X−
d
X
Yi ξσ(i) ∈ L[X, Y1 , . . . , Yd ]
i=1
(i). Montrer que le polynôme R est, en fait, à coefficients dans K, et il est invariant par Sd agissant par
permutation sur les variables Y1 , . . . , Yd .
(ii). Soit h un facteur irréductible quelconque de R dans K[X, Y1 , . . . , Yd ], choisi unitaire comme polynôme
en X ; et soit Sh le sous-groupe de Sd formé des permutations σ ∈ Sd (permutant les Yi ) qui laissent
h invariant. Montrer que Sh est de cardinal degX (h) et conjugué, dans Sd , au groupe de Galois
G = Gal(L/K) de f P
sur K vu comme un groupe de permutationsQsur {ξi }. (P
Indication : on pourra
montrer que si (X − i Yi ξi ) est un facteur de h sur L, alors h = g∈G X − i Yi g(ξi ) .)
(iii). Soit f = X 3 + X 2 − 2X − 1 (cf. exercice 4). On admet que
R = X 3 + (Y1 + Y2 + Y3 )X 2
+ − 2(Y12 + Y22 + Y32 ) + 3(Y1 Y2 + Y2 Y3 + Y3 Y1 ) X
+ − (Y13 + Y23 + Y33 ) − 3(Y12 Y2 + Y22 Y3 + Y31 Y1 )
+4(Y1 Y22 + Y2 Y32 + Y3 Y12 ) + Y1 Y2 Y3
· X 3 + (Y1 + Y2 + Y3 )X 2
+ − 2(Y12 + Y22 + Y32 ) + 3(Y1 Y2 + Y2 Y3 + Y3 Y1 ) X
+ − (Y13 + Y23 + Y33 ) + 4(Y12 Y2 + Y22 Y3 + Y31 Y1 )
−3(Y1 Y22 + Y2 Y32 + Y3 Y12 ) + Y1 Y2 Y3
Que peut on en déduire sur le groupe de Galois de f sur Q ?
(iv). On considère à nouveau le cas général. Montrer que le discriminant de R (par rapport à la variable X)
est un polynôme non nul dans K[Y1 , . . . , Yd ].
Exercice 10. Soient d un entier, k un corps et L le corps des fractions rationnelles k(X1 , . . . , Xd ) sur lequel le
groupe symétrique Sd agit k-linéairement sur L par permutation des variables : g(Xi ) = Xg(i) pour tout
1 ≤ i ≤ d. Soient K := FixSd L le corps des fractions rationnelles
Psymétriques et σj (1 ≤ i ≤ d) les fonctions
symétriques élémentaires en les Xi : σ1 = X1 + · · · + Xd , σ2 = α<β Xα Xβ , ..., σd = X1 · · · Xn .
(i). Montrer que K = k(σ1 , . . . , σd ).
(ii). Supposons d ≥ 2. Soit Ad le groupe alterné, distingué dans Sd . Montrer que l’extension
FixAd k(X1 , . . . , Xd ) / k(σ1 , . . . , σd ) est galoisienne, de groupe Z/2Z.
Q
Q
(iii). Soit δ20 ∈ Z[X1 , · · · , Xd ] l’élément 1≤i<j≤d (Xi − Xj ). Montrer que δ220 = 1≤i<j≤d (Xi − Xj )2
appartient à Z[σ1 , · · · , σd ].
P
Xj
et δ2 son image dans F2 (X1 , · · · , Xd ). Montrer
(iv). Soit δ2 ∈ Z[X1 , · · · , Xd ][ δ10 ] l’élément 1≤i<j≤d Xi −X
j
2
que pour tout σ ∈ Sd , on a σ(δ2 ) = δ2 + ε2 (σ), où ε2 : Sd F2 est la signature.
P
X X
(v). En déduire que ∆2 := δ2 (δ2 − 1) = 1≤i<j≤d X 2i+Xj 2 appartient à F2 (σ1 , · · · , σd ).
i
j
(vi). Montrer que si car(k) = 2, l’extension FixAd k(X1 , . . . , Xd ) de k(σ1 , . . . , σd ) est engendrée par une
racine du polynôme X 2 − X − ∆2 .
(vii). Supposons car(k) = 2. Soient f ∈ k[X] un polynôme unitaire séparable et Rf l’ensemble des racines
de f dans une clôture algébrique de k. Montrer que l’image du groupe de Galois Gal(f ) de f dans
SRf est contenue dans le groupe alterné ARf si et seulement si l’élément ∆2 (f ) appartient à l’image
de l’application ℘ : λ 7→ λ2 − λ.
2