Exercice 1 (4 points) Exercice 2 (6 points)

Mathématiques
Exercice 1
CORRECTION BB1
TES
(4 points)
1. Le rapport est de
470
≈ 0, 325. Soit environ 32,5 %.
1445
Réponse : c
2. le taux d’évolution du SMIC (arrondi à 0,1 %) entre 2004 et 2014 est obtenu par le calcul :
1445 − 1154
≈ 25, 2%
1154
Réponse : d
3. Pour obtenir le taux d’évolution annuel moyen du SMIC (arrondi à 0,1 %) entre 2004 et 2014, nous
utiliserons le coefficient multiplicateur moyen noté CMm .
1445
10
Soit CMm
=
.
1154
1
1445 10
≈ 1, 023.
Donc, CMm =
1154
Le taux d’évolution moyen du SMIC (arrondi à 0,1 %) entre 2004 et 2014 est de 2,3 %
Réponse : a
4. Pour cette question, le SMIC augmente de 1 % chaque année à partir de 2013.
Soit la suite (un ) modélisant cette évolution du SMIC.
Comme pour tout entier naturel n, un+1 = un × 1, 01, cette suite est géométrique de raison 1,01 et de
premier terme u0 = 1445.
En 2019, n = 5 et u6 = 1445 × 1, 015 ≈ 1519
Réponse : d
Exercice 2
(6 points)
Partie A
1.
a) De 2004 à 2005,
de singes baisse de 15 %, au premier janvier 2 005, l’effectif sera de :
la population
15
u1 = 25 000 × 1 −
= 21 250.
100
b) De 2005 à 2006, la population de singes baisse de 15 %, au premier janvier 2005, l’effectif sera de :
15
u2 = 21 250 × 1 −
= 18 062,5 ≈ 18 063.
100
15
2. Pour passer d’une année à une autre : un+1 = un × 1 −
.
100
C’est une suite géométrique de raison q = 0, 85 et de premier terme u0 = 25 000.
Le terme général de (un ) est : un = u0 × q n , soit encore : un = 25 000 × 0, 85n .
3. Algorithme modifié :
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
L8
N. SANS
:
:
:
:
:
:
:
:
Variables
Initialisation
Traitement
Sortie
u un réel, n un entier
u prend la valeur 25 000
n prend la valeur 0
Tant que u > 5 000 faire
u prend la valeur u ∗ 0, 85
n prend la valeur n + 1
Fin Tant que
Afficher n
Page 1
Année 2015/2016
Mathématiques
CORRECTION BB1
TES
4. u9 = 25 000 × 0, 859 ≈ 5 790 et : u10 = 25 000 × 0, 8510 ≈ 4 922.
La suite (un ) est géométrique de premier terme u0 > 0 et q = 0, 85 avec q ∈ ]0 ; 1[, elle décroissante au
sens strict.
Donc pour tout n > 10, un < 5 000.
Partie B
1.
2.
1
1
auquel 400 naissances se rades singes disparaissent, il reste donc v0 × 1 −
a) Chaque année
4
4
joutent.
1
1
On en déduit que : v1 = v0 × 1 −
+ 400 = 5 000 × 1 −
+ 400 = 4 150.
4
4
1
1
De même : v2 = v1 × 1 −
+ 400 = 4150 × 1 −
+ 400 = 3 512,5 ≈ 3 513.
4
4
1
1
b) Chaque année
auquel 400 naissances se rades singes disparaissent, il reste donc vn × 1 −
4
4
joutent.
1
vn+1 = vn × 1 −
+ 400.
4
Ainsi : vn+1 = 0, 75vn + 400.
a) wn+1 = vn+1 − 1 600 = 0, 75vn + 400 − 1 600 = 0, 75vn − 1 200 = 0, 75 (vn − 1 600) = 0, 75wn .
(wn ) est géométrique de raison q = 0, 75 et de premier terme : w0 = v0 −1 600 = 5 000−1 600 = 3 400.
b) (wn ) étant géométrique de premier terme w0 = 3 400, son terme général vaut :
wn = w0 × q n , ainsi wn = 3 400 × 0, 75n .
c) Comme : wn = vn − 1 600 ⇒ vn = wn + 1 600.
Ainsi : vn = 1 600 + 3 400 × 0, 75n .
d ) (wn ) suite géométrique de raison 0,75. Soit lim wn = 0.
n→+∞
De plus, vn = wn + 1600.
Donc, lim vn = 1 600.
n→+∞
Ceci signifie qu’à terme la population de singes va se rapprocher de 1 600. On a par exemple v20 ≈
1 611.
Exercice 3
1.
(5 points)
a) Calculons le bénéfice pour 4 puis pour 10 ordinateurs.
f (4) = 43 − 60 × 42 + 900 × 4 − 500 = 2 204,
f (10) = 3 500.
Le bénéfice pour 4 ordinateurs est de 2 204 euros et pour 10 ordinateurs de 3 500 euros.
b) Calculons f ′ (x), où f ′ désigne la fonction dérivée de f .
f ′ (x) = 3x2 − 60(2x) + 900 = 3x2 − 120x + 900 = 3(x2 − 40x + 300).
c) Avant d’étudier le signe de f ′ (x), essayons de factoriser cette expression.
∆ = 402 − 4√× 300 = 400 ∆ > 0 le √
trinôme admet deux racines :
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
et x2 =
.
x1 =
2a
√2a
40 − 400
40 + 20
x1 =
= 10 et x2 =
= 30.
2
2
De plus, le coefficient des x2 est positif.
Étudions le signe de f ′ (x)
x
f (x)
0
+
′
N. SANS
Page 2
10
0
−
30
0
Année 2015/2016
Mathématiques
CORRECTION BB1
TES
Si pour tout x ∈ I, f ′ (x) < 0 alors la fonction f est strictement décroissante sur I
Sur ]10 ; 30], f ′ (x) < 0 par conséquent la fonction f est strictement décroissante sur cet intervalle.
Si pour tout x ∈ I, f ′ (x) > 0 alors f est strictement croissante sur I.
Sur [0 ; 10[, f ′ (x) > 0 par conséquent la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle.
Dressons maintenant, le tableau de variation de f .
0
x
f ′ (x)
+
10
0
3 500
30
−
Variation
de f
−500
−500
d ) Pour avoir un bénéfice maximal, l’entreprise doit fabriquer et vendre chaque jour 10 ordinateurs. Le
bénéfice s’élèvera alors à 3 500 euros.
2. La courbe C donnée ci-dessous représente l’évolution du bénéfice en fonction du nombre d’ordinateurs
fabriqués et vendus en une journée suivant le modèle choisi par l’entreprise.
4000
bénéfice en e
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
ordinateurs fabriqués
O
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
−500
a) Par lecture graphique, déterminons combien d’ordinateurs l’entreprise doit fabriquer et vendre en
une journée si elle veut un bénéfice d’au moins 2 500 e.
Les solutions devant être entières, l’entreprise doit fabriquer et vendre entre 5 et 16 ordinateurs par
jour.
b) L’entreprise a intérêt à choisir le contrat B. En effet si elle choisit le contrat A, cela l’obligera à
fabriquer trente ordinateurs par jour et perdra par jour 500 euros, tandis qu’avec, le contrat B, elle
fabriquera 20 ordinateurs par jour et ainsi elle gagnera 1 500 euros par jour.
N. SANS
Page 3
Année 2015/2016
Mathématiques
CORRECTION BB1
TES
Exercice 4 : OBLIGATOIRE (5 points)
Partie A : l’entraînement de Nicolas
1. Calculons les distances parcourues par Nicolas au cours des deuxième et troisième semaines d’entraînement
c’est-à-dire u2 et u3 . u2 = 40 + 5 = 45, u3 = 45 + 5 = 50.
2. La suite (un ) est une suite arithmétique car chaque terme se déduit du précédent en ajoutant 5. La raison
est 5.
3. Complétons les lignes (1) et (2) de façon à ce qu’il affiche en sortie la distance parcourue par Nicolas lors
de la n-ième semaine d’entraînement.
Variables :
Entrée :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
remarque
u est un réel
i et n sont des entiers naturels
Saisir n
u prend la valeur 35 (1)
Pour i allant de 1 à n
u prend la valeur u + 5 (2)
Fin Pour
Afficher u
puisque la boucle commence à 1 il faut donc qu’en sortie pour n = 1 on obtienne 40, par conséquent il faut initier
la valeur u à 35 comme le montre la question suivante.
4. Calculons un .
Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u1 et de raison r est un = u1 + (n − 1)r.
un = 40 + (n − 1) × 5 = 35 + 5n.
Par conséquent pour tout n > 1, un = 35 + 5n.
Partie B : l’entraînement de Vivien
1. À une augmentation de 10 % correspond un coefficient multiplicateur de 1,1. Chaque terme se déduit du
précédent en le multipliant par 1,1 par conséquent la suite (vn ) est une suite géométrique de raison 1,1 et
de premier terme v1 = 30.
2. Calculons vn .
Le terme général d’une suite géométrique de premier terme u1 et de raison q est un = u1 × (q)n−1 .
vn = 30 × (1,1)n−1 . Pour tout n > 1, vn = 30 × 1, 1n−1 .
3. Calculons v8 . v8 = 30 × 1,18−1 ≈ 58,5.
Partie C : comparaison des deux entraînements
1. Vivien est persuadé qu’il y aura une semaine où il parcourra une distance supérieure à celle parcourue par
Nicolas. Vivien a raison.
En dressant une table des valeurs pour un et vn , nous obtenons pour n = 15, u15 = 110 et v15 = 113,9.
2. À la fin de la 17e semaine, les deux cyclistes se blessent. Ils décident alors de réduire leur entraînement.
Ils ne feront plus que 80 km chacun par semaine à partir de la 18e semaine.
Calculons la distance totale parcourue pendant les dix-sept semaines :
17 × (40 + 120)
= 1360 ;
2
17−1
1,1
≈ 1 216,34.
= 30 ×
1,1 − 1
Nicolas : u1 + u2 + · · · + u16 + u17 =
Vivien : v1 + v2 + · · · + v16 + v17
Durant les trois semaines restantes, ils parcourront 240 km. Nicolas atteindra son objectif car 1 360+240=1 600
tandis que Vivien ne pourra l’atteindre 1 216,34+240=1 456,34.
N. SANS
Page 4
Année 2015/2016
Mathématiques
Exercice 4 : SPÉCIALITÉ
CORRECTION BB1
TES
(5 points)
Partie A
1.
•
•
•
en 2000, x = 0, et f (0) = 2 centaine.
Soit encore : a × 02 + b × 0 + c = 2 ⇐⇒ c = 1.
en 2012, x = 2, et f (2) = 3 centaines.
Soit encore : a × 22 + b × 2 + c = 1 ⇐⇒ 4a + 2b + c = 3.
en 2014, x = 4, et f (4) = 5 centaines.
Soit encore : a × 42 + b × 4 + c = 1 ⇐⇒ 16a + 4b + c = 5.



c = 2
On en déduit le système suivant :
4a + 2b + c = 3



16a + 4b + c = 5









c = 2
c = 2
c = 2
2. 4a + 2b + c = 3
⇐⇒ 4a + 2b + 2 = 3
⇐⇒ 4a + 2b = 1









16a + 4b + c = 5
16a + 4b + 2 = 5
4a + b = 0, 75






c
=
2
c
=
2





c = 2
⇐⇒ 4a + 2(−4a + 0, 75) = 1
⇐⇒ −4a + 1, 5 = 1
⇐⇒ a = −0, 5 ÷ (−4)









b = −4a + 0, 75
b = −4a + 0, 75
b = −4a + 0, 75






c = 2
c = 2


1
1
⇐⇒ a =
⇐⇒ a =
8
8






b = 1
b = −4 × 1 + 3
8 4
4
1 2 1
Ainsi : f (x) = x + x + 2.
8
4
1
1
3. En 2 016, x = 6 et f (6) = × 62 + × 6 + 2 = 8.
8
4
Il y aura 800 agences de services à domicile.
Partie B
1.
a) Par deux sommets quelconques de ce graphe, il existe au-moins une chaîne reliant ces deux points.
Donc, ce graphe est connexe .
b) Pour qu’un graphe soit complet, il faut que tous ses sommets soient adjacents aux autres.
Or, H et I ne sont pas adjacents, par exemple.
Donc, ce graphe n’est pas complet.
2. Pour les deux questions dressons, le tableau des sommets et de leur degré :
Sommets A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
Degré
2
2
2
4
4
2
2
3
3
4
2
L
2
M
4
N
2
O
2
P
2
Comme, ce responsable voudrait effectuer un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue, nous
sommes alors à la recherche d’un cycle eulérien ou d’une chaîne eulérienne.
Le graphe étant connexe (vu précédemment), et comme nous avons deux sommets de degré impair. Ce
graphe admet donc une chaîne eulérienne et non un cycle eulérien (théorème d’Euler).
a) Comme ce graphe n’admet pas de cycle, le point de départ et de fin ne peuvent être identiques.
b) Ce graphe admet une chaîne eulérienne, un circuit ou le point de départ et le point d’arrivée ne sont
pas les mêmes et donc possible en passant une seule fois par chaque rue.
N. SANS
Page 5
Année 2015/2016