Assurance-vie avec taux d`intérêt stochastique

Assurance-vie avec taux d’intérêt stochastique
Tito SOLARI
Institut de Sciences Actuarielles
Ecole des HEC
Université de Lausanne
1015 Lausanne
Suisse
E-mail : [email protected]
Lausanne, 14 janvier 1999
Table des matières
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Assurance-vie : le modèle de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3 Intérêt déterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.1 Un contrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2 Un portefeuille de contrats identiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4 Séries chronologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.1 Processus autorégressifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.1.1
Le modèle autorégressif d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.1.2
Marche aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.2 Moyennes mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.3 Processus ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.3.1
La fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.3.2
Stationnarité faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.3.3
Modèle ARMA(2,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.4 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.4.1
Estimation d’un processus autorégressif d’ordre 1 . . . . . . .
4.4.2
Estimation du cas général : un processus autorégressif d’ordre p 19
4.4.3
La fonction de vraisemblance pour un processus moyennes mobiles d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4
17
21
La fonction de vraisemblance pour un processus moyennes mobiles d’ordre m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
La fonction de vraisemblance pour un processus ARMA(p, m)
24
5 Taux d’intérêt et séries chronologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.4.5
1
5.1 Taux d’intérêt e¤ectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.2 Taux d’intérêt instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
6 Application à l’assurance-vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
6.2 Première application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
6.3 Classes de processus gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
6.4 Exemples dans le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
6.4.1
Application avec un processus autorégressif d’ordre 1 . . . . .
37
6.4.2
Application avec un processus autorégressif d’ordre 2 . . . . .
38
7 Modèles de tari…cation et applications à
l’assurance-vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
7.1 Assurance vie-entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
7.1.1
Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
7.2 Assurance mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
7.3 Rente viagère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
7.3.1
Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
7.4 Rente temporaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2
1
Introduction
Les actuaires ont toujours consacré du temps à étudier la mortalité car un de
leurs buts était de construire des tables de mortalité …ables ou très proches de la
réalité. Bien sûr, la mortalité future n’est pas la seule source d’aléa. En e¤et, lors de
l’établissement d’un tarif en assurance-vie, on est confronté au choix d’hypothèses sur
la mortalité d’une part et sur l’évolution future des taux d’intérêt d’autre part. La
source d’aléa qui a reçu le moins d’attention est celle qui revêt le plus d’importance ;
en e¤et, une faible variation du taux d’intérêt a beaucoup plus d’impact sur la valeur
actuelle des prestations d’un contrat d’assurance-vie qu’une faible variation de la
mortalité.
L’importance de l’élément taux d’intérêt peut être mise en évidence dans d’autres
situations. Par exemple, à condition que les hypothèses sur la mortalité soient véri…ées, on sait que plus le nombre de contrats vendu par une compagnie d’assurance est
élevé, moins importants sont les écarts relatifs entre “prévisions” et “réalisations”.
Il y a un e¤et de compensation à l’intérieur du portefeuille dû à la loi des grands
nombres. De façon opposée, en ce qui concerne les taux d’intérêt, plus le nombre de
contrats vendu par une compagnie d’assurance est élevé et plus importants sont les
écarts relatifs entre “prévisions” et “réalisations”. Dans ce cas il n’y a aucun e¤et de
compensation, mais au contraire un e¤et de cumul, car le même taux d’intérêt réalisé
s’applique à tous les contrats.
Ainsi, à cause d’un mauvais choix de taux d’intérêt, une compagnie d’assurance
peut se retrouver dans une situation …nancière di¢cile. On comprend bien alors l’importance du choix d’hypothèses les plus réalistes possibles pour l’évolution future des
taux d’intérêt.
Jusqu’à maintenant (en tout cas pour ce qui concerne le marché suisse) les compagnies d’assurances utilisaient des taux d’intérêt constants pour évaluer leurs produits.
3
Une des raisons de ce choix est que les investissements de ces compagnies étaient très
réglementés ; en fait, la majorité des fonds étaient investis en obligations et détenues
jusqu’à l’échéance et, de cette façon, on avait pas de rique de cours dû à un mouvement de taux d’intérêt. Aujourd’hui, les autorités de surveillance ont donné beaucoup
plus de liberté quand aux investissements et, ainsi, on a pu améliorer la diversi…cation
des placements, ce qui implique une plus grande variabilité des taux de rendement.
Le fait d’évaluer un produit avec une structure par terme des taux qui est très
proche de celle du marché peut être un élément important de concurrence, parce
que cela permet d’avoir des produits moins chers. Bien sûr une diminution des primes
impliquera par conséquent une diminution des participations aux excédents éventuels.
Dans cet article, on introduit deux nouvelles méthodes de tari…cation : l’une basée sur le concept de Value-at-Risk (VaR) et l’autre sur un concept qu’on a choisi
de nommer Accepted-Mean-Loss (AML). Ces méthodes peuvent permettre aux compagnies d’assurances d’évaluer précisément les réserves de ‡uctuations (contingency
reserves).
Les premiers articles dans ce domaine datent des années ’80. En particulier, on
peut citer Panjer et Bellhouse (1978), et Parker (1994) comme étant les promoteurs
de ces théories.
4
2
Assurance-vie : le modèle de base
Soit T la variable aléatoire continue qui indique la durée de vie restante pour un
assuré d’âge x et K le nombre d’années complètes restant à vivre, ou durée de vie
future abrégée. On peut représenter K à partir de T , en utilisant la relation : K = [T ].
Pour un contrat d’assurance-vie, le capital assuré consiste en un paiement, la
somme assurée, notée par bK+1 . Le fait d’utiliser K + 1 et pas K comme indice est
dû au fait qu’on veut que la somme assurée pour la période s, c’est-à-dire la période
qui couvre l’intervalle de temps de s ¡ 1 à s, soit notée bs :
La valeur actuelle du paiement, payable à la …n de l’année du décès de la personne
assurée est notée par la variable aléatoire Z, qui sera fonction de la somme assurée
bK+1 et du facteur d’escompte, noté par vK+1 :
La valeur actuelle du paiement est :
Z = bK+1 vK+1 :
(1)
La variable aléatoire Z dépend de K (une variable aléatoire) et vK (une fonction
qui peut être considérée comme stochastique ou déterministe). En e¤et, lorsque vK
est stochastique le modèle devient plus complexe que dans le cas déterministe, car
dans les calculs on doit tenir compte d’une variable aléatoire de plus.
On peut maintenant étudier un portefeuille de c polices. La variable aléatoire qui
représente la valeur actuelle des paiements du portefeuille d’assurance est représentée
par Z(c). Cette valeur actuelle est naturellement la somme des variables aléatoires
individuelles :
Z(c) =
c
X
Zi
i=1
où Zi correspond à la variable aléatoire du ieµme contrat du portefeuille.
5
3
Intérêt déterministe
3.1
Un contrat
Dans ce chapitre on va analyser des modèles d’assurance basés sur des taux d’intérêts déterministes, c’est-à-dire des taux …xes déterminés à l’avance. Ceci permet
de simpli…er beaucoup les calculs, parce qu’on élimine du modèle une variable aléatoire. Des modèles avec taux d’intérêt stochastique seront présentés par la suite, en
particulier au chapitre 6.
On considère une assurance-vie entière, qui consiste en un paiement d’un capital
à la …n de l’année du décès. On a alors,
Z = bK+1 vK+1
(2)
où vK+1 est une fonction déterministe strictement décroissante.
La variable aléatoire Z dépend des valeurs v1 ; v2 ; v3 ; ::: et de la distribution de
K qui indique le nombre d’années complètes à vivre pour un assuré d’âge x: La
distribution de la variable aléatoire K ne suit pas une loi donnée, mais pour des
intervalles de temps su¢samment court, on peut l’approximer par des lois ayant une
forme analytique. Plusieurs actuaires ou mathématiciens ont cherché à trouver une
distribution unique pour T (d’où on déduit facilement K), avec des résultats plus ou
moins bons. On peut citer par exemple De Moivre (1724), Gompertz (1824), Makeham
(1860) et Weibull (1939).
Dans ce travail, K sera calculé à partir d’une table de mortalité, plus précisement
la table SM/SF 1988/93. Ce choix a été fait pour avoir des résultats plus proches de
la réalité.
La distribution de Z est obtenue à partir de la relation
6
X
P (Z = z) =
P (K = k) =
k
X
X
(k px ) qx+k =
k
kj qx
(3)
k
où la somme est prise sur toutes les valeurs de k pour lesquelles
bk+1 vk+1 = z:
Les moments par rapport à l’origine de Z sont obtenus facilement :
m
E [Z ] =
!¡x¡1
X
(bk+1 vk+1 )m (kj qx ):
(4)
k=0
3.2
Un portefeuille de contrats identiques
On considère maintenant un portefeuille de c polices d’assurance identiques, c’està-dire que la fonction de paiement b est la même pour tout les assurés. La valeur
actuelle des paiements est, comme on l’a vu plus haut,
c
X
Z(c) =
(5)
Zi
i=1
où Zi = bKi +1 vKi +1 et la fonction de paiement b est la même pour tous les i.
L’espérance de la valeur actuelle du portefeuille est
E [Z(c)] =
c
X
E [Zi ] :
i=1
Le deuxième moment de Z(c), est donné par
£
E Z(c)
¤
2
= E
= E
( c
X
Zi
)2
" i=1
c X
c
X
i=1 j=1
7
Zi Zj
#
(6)
=
=
c X
c
X
i=1 j=1
c X
c
X
E [Zi Zj ]
E [Zi Zj ] +
i=1 j=1
j6=i
c
X
i=1
£ ¤
E Zi2
(7)
avec, par exemple, E [Z1 Z2 ] donné par
E [Z1 Z2 ] = E [bK1 +1 vK1 +1 bK2 +1 vK2 +1 ] =
!¡x¡1
X !¡x¡1
X
k1 =0
k2 =0
bk1 +1 vk1 +1 bk2 +1 vk2 +1 (k1 j qx )(k2 j qx)
(8)
si les Ki sont mutuellement indépendantes.
La formule du troisième moment de la valeur actuelle des paiements du portefeuille
est obtenue de la même façon :
c X
c X
c
c X
c
c
X
X
£
¤ X
£ ¤
3
E Z(c) =
E [Zi Zj Zk ] + 3
E Zi3
E [Zi Zj ] +
i=1 j=1 k=1
j6=i k6=i
k6=j
i=1 j=1
j6=i
i=1
avec des Ki mutuellement indépendantes :
E [Z1 Z2 Z3 ] = E [bK1 +1 vK1 +1 bK2 +1 vK2 +1 bK3 +1 vK3 +1 ]
!¡x¡1
3
X !¡x¡1
X !¡x¡1
X Y
=
bki +1 vki +1 (ki j qx ):
k1 =0
k2 =0
k3 =0 i=1
On va analyser maintenant la cas où les Ki sont identiquement distribuées. L’espérence de la valeur actuelle des paiements du portefeuille (voir formule (6)) devient
E [Z(c)] = cE [Z1 ] :
La formule (7) du deuxième moment de Z(c) se simpli…e de la façon suivante :
£
¤
E Z(c)2 = c(c ¡ 1)E[Z1 Z2 ] + cE[Z2 ]:
Si de plus les Ki sont indépendants et identiquement distribuées, on a que :
E [Z1 Z2 ] = E [Z1 ] E [Z2 ] = E [Z1 ]2 :
8
Le troisième moment de Z(c) est donné par
£
¤
£
¤
£ ¤
E Z(c)3 = c(c ¡ 1)(c ¡ 2)E [Z1 Z2 Z3 ] + 3c(c ¡ 1)E Z12 Z2 + cE Z13 :
Lorsque les Ki sont i.i.d., on peut aussi utiliser
E [Z1 Z2 Z3 ] = E [Z1 ] E [Z2 ] E [Z3 ] = E [Z1 ]3 :
9
4
Séries chronologiques
Une s¶
erie chronologique est un ensemble d’observations ordonnées dans le temps
(ou dans une autre dimension).
4.1
Processus autorégressifs
La forme générale d’un processus autor¶
egressif fXt g d’ordre n, un processus
AR(n); est
Xt = Á1 Xt¡1 + ::: + Án Xt¡n + at
(9)
où la valeur de la variable aléatoire Xt est exprimée comme une somme pondérée de
valeurs passées plus un “choc”. On entend par “choc” un terme d’erreur déterminé
par une variable aléatoire qui dans notre cas est distribuée selon une loi normale.
Dans cette section et dans les sections suivantes, on suppose que Xt est une série
chronologique avec une moyenne égale à 0. Dans le cas contraire il faut uniquement
soustraire la moyenne aux observations.
On peut réécrire l’équation (9) de façon plus compacte :
©(B)Xt = at
(10)
où ©(B) = B 0 ¡Á1 B¡Á2 B 2 ¡:::¡Án B n est l’opérateur d’un processus autor¶
egressif
d’ordre n et B est l’opérateur “en arrière” (the backward operator, en anglais)
B j Xt = Xt¡j :
On parle de stationnarit¶
e f aible lorsque l’espérance et la variance du processus ne
dépendent pas du temps t: La condition nécessaire et su¢sante pour qu’un processus
autor¶
egressif d’ordre n soit stationnaire est que les zéros de ©(x) sont à l’extérieur
du cercle unitaire.
10
4.1.1
Le modèle autorégressif d’ordre 1
Si on suppose que le système démarre à une valeur donnée X0 , et qu’on a un
processus autor¶
egressif d0 ordre 1, alors on a
Xt = Á1 Xt¡1 + at = Á1 (Á1 Xt¡2 + at¡1 ) + at =
Át1 X0
+
t¡1
X
Áj1 at¡j :
(11)
j=0
Si on suppose que les at sont i.i.d. et distribuées selon une loi normale avec espérance
¹ = 0 et variance ¾ 2 = ¾ 2a : N(0; ¾ 2a ), on aura alors
E [Xt j X0 ] = Át1 X0
De plus,
V ar(Xt j X0 ) = V
ar(Át1 X0
+
t¡1
X
Áj1 at¡j ) =
j=0
1 ¡ Á2t
1
¾ 2a :
1 ¡ Á21
La condition de stationnarit¶
e pour un processus autor¶
egressif d0 ordre 1 est que
¡1 < Á1 < 1:
4.1.2
Marche aléatoire
Xt est une marche aléatoire si
Xt = Xt¡1 + at :
(12)
On peut considérer une marche aléatoire comme un processus autorégressif d’ordre
1 lorsque Á1 tend vers 1:
On a alors
Xt = X0 +
t¡1
X
at¡j ;
j=0
E [Xt j X0 ] = X0 ;
et
V ar(Xt j X0 ) = ¾ 2a t:
11
(13)
4.2
Moyennes mobiles
Le modèle de moyennes mobiles d’ordre m est donné par
Xt = at + µ 1 at¡1 + µ2 at¡2 + ::: + µm at¡m
(14)
où, comme dans les cas précédents, les at sont i.i.d. N(0; ¾ 2a ): Le terme moyenne
mobile vient du fait que Xt est déterminé comme combinaison linéaire des “chocs”
passés.
On peut réécrire (14) de la façon suivante :
Xt = £(B)at
où £(B) = 1 + µ1 B + µ2 B 2 + ::: + µm B m est l’opérateur de moyennes mobiles d’ordre
m.
4.3
Processus ARMA
Un processus ARM A(n; m) inclut un terme autorégressif et une moyenne mobile.
Si fXt g est ARM A(n; m), alors
Xt = Á1 Xt¡1 + ::: + Án Xt¡n + at ¡ µ1 at¡1 ¡ µ 2 at¡2 ¡ ::: ¡ µm at¡m
(15)
©(B)Xt = £(B)at
(16)
ou
et les at sont i.i.d. N (0; ¾ 2a ):
12
4.3.1
La fonction de Green
L’équation (15) peut être écrite comme une somme pondérée in…nie de variables
aléatoires at i.i.d. :
Xt =
1
X
Gj at¡j
j=0
1
X
=
(Gj B j )at
j=0
où Gj est la fonction de Green. On a encore :
©(B)
1
X
Gj B j Xt = £(B)at
j=0
ou
1
X
Gj B j Xt =
j=0
£(B)at
:
©(B)
Si on a un modèle ARMA(n; m) avec m < n, on peut montrer que
Gj = g1 ¸j1 + g2 ¸j2 + ::: + gn ¸jn
où les ¸i ; i = 1; 2; :::; n, sont les racines de l’équation caractéristique du système
¸n ¡ Á1 ¸n¡1 ¡ Á2 ¸n¡2 ¡ ::: ¡ Án¡1 ¸ ¡ Án = 0
et
gi =
m¡1
¸m
¡ ::: ¡ µm¡1 ¸i ¡ µm
i ¡ µ 1 ¸i
:
(¸i ¡ ¸1 )(¸i ¡ ¸2 ):::(¸i ¡ ¸i¡1 )(¸i ¡ ¸i+1 ):::(¸i ¡ ¸n )
La fonction de Green va nous servir dans la prochaine section pour discuter de la
stationnarité d’un processus ARM A et pour calculer sa fonction d’autocovariance.
4.3.2
Stationnarité faible
Un processus est dit stationnaire si l’espérance et la variance ne dépendent pas
du temps t:
13
Les conditions de stationnarité pour un processus ARM A(n; m) avec m < n sont
j¸i j < 1; i = 1; 2; :::; n:
(17)
Si une des racines est supérieure à 1, alors Gj ¡! 1 lorsque j ¡! 1 et le système
n’est pas stationnaire. Donc, c’est la partie autorégressive qui détermine la stationnarité du système.
4.3.3
Modèle ARMA(2,1)
Le modèle ARMA(2,1) est dé…ni par
Xt = Á1 Xt¡1 + Á2 Xt¡2 + at ¡ µ1 at¡1 :
(18)
L’équation caractéristique est
1 ¡ Á1 B ¡ Á2 B 2 = (1 ¡ ¸1 B)(1 ¡ ¸2 B)
et, si on égalise les coe¢cients des puissances de B, on a que
¸1 + ¸2 = Á1 ;
¸1 ¸2 = ¡Á2 ;
et
p
1
¸1 ; ¸2 = (Á1 § Á1 + 4Á2 ):
2
Alors, de l’équation (16), on a
Xt =
1 ¡ µ1 B
at :
(1 ¡ ¸1 B)(1 ¡ ¸2 B)
(19)
Si on utilise les fractions élémentaires et le développement de Taylor, on obtient
µ
¶µ
¶ µ
¶µ
¶¸
¸1 ¡ µ1
1
¸2 ¡ µ1
1
Xt =
+
at
¸1 ¡ ¸2
1 ¡ ¸1 B
¸2 ¡ ¸1
1 ¡ ¸2 B
µ
¶
µ
¶ ¸
1
X
¸1 ¡ µ 1
¸2 ¡ µ 1
j
=
¸1 +
¸j2 at¡j
¸
¡
¸
¸
¡
¸
1
2
2
1
j=0
=
1
X
(20)
Gj at¡j :
j=0
14
Stationnarité Les conditions de stationnarité de Xt sont : j¸1 j < 1 et j¸2 j < 1: Les
restrictions sur les paramètres autorégressifs du modèle sont
Á2 = ¡¸1 ¸2 )
jÁ2 j < 1;
¸1 < 1 ) ¸1 (1 ¡ ¸2 ) < (1 ¡ ¸2 ) ) ¸1 + ¸2 ¡ ¸1 ¸2 < 1 ) Á1 + Á2 < 1;
¸1 < ¡1 ) ¸1 (1 ¡ ¸2 ) > ¡(1 ¡ ¸2 ) )
¡ ¸1 ¸2 ¡ (¸1 + ¸2 ) < 1 ) Á2 ¡ Á1 < 1:
Fonction d’autocovariance Pour un modèle ARM A(2; 1); on a (voir l’équation
(20))
Gj = g1 ¸j1 + g2 ¸j2 ;
(21)
où
g1 =
¸2 ¡ µ1
¸1 ¡ µ 1
et g2 =
:
¸1 ¡ ¸2
¸1 ¡ ¸1
(22)
On peut maintenant calculer la fonction d’autocovariance en utilisant la fonction
de Green :
° k = E [Xt Xt¡k ] = E
"Ã 1
X
j=0
=
1
X
Gj at¡j
!Ã 1
X
Gi at¡k¡i
i=0
Gi Gi+k ¾ 2a
!#
(23)
(24)
i=0
=
¾ 2a
1
X
¡
i=0
= ¾ 2a
1
X
g1 ¸i1 + g2 ¸i2
¢¡
g1 ¸k+i
+ g2 ¸k+i
1
2
¢
i i
k
k
2 k 2i
g12 ¸k1 ¸2i
1 + g2 ¸2 ¸2 + g1 g2 ¸1 ¸2 (¸1 + ¸2 ):
i=0
Le passage de la deuxième (23) à la troisième (24) égalité s’explique par le fait
que les ai (“chocs”) sont indépendants entre eux, ceci nous permet d’éliminer une
sommation.
15
Grâce au théorème sur les séries géométriques in…nies, on obtient
µ k
µ k ¶
µ k ¶
¶¸
¸1 + ¸k2
¸1
¸2
2
2
2
° k = ¾ a g1
+ g2
+ g1 g2
:
1 ¡ ¸1 ¸2
1 ¡ ¸21
1 ¡ ¸22
Le résultat général pour la fonction d’autocovariance d’un modèle ARMA(n; n¡1)
quand les racines ¸i sont distinctes, est
° k = d1 ¸k1 + ::: + dn ¸kn
où
di =
et
gi gn
gi g1
+ ::: +
1 ¡ ¸i ¸1
1 ¡ ¸i ¸n
°0 =
n
X
i = 1; 2; :::; n
di :
i=1
4.4
Estimation
Un des grands problèmes auquel on doit faire face souvent lorsqu’on utilise des
séries chronologiques est le choix des paramètres à utiliser.
Dans cette section, on présente des méthodes d’estimation basées sur la méthode
du maximum de vraisemblance.
On a à disposition des Xt observés pour un certain nombre de valeurs de t et, sur
cette base, on aimerait estimer les Ái et/ou les µi de la série chronologique correspondante.
Soit
0
£ ´ (Á1 ; :::; Án ; µ1 ; :::; µ m ; ¾ 2 )
(25)
la transposition, notée par 0 , du vecteur contenant les paramètres à estimer. On suppose qu’on dispose d’un échantillon d’observations de taille T; soit (x1 ; x2 ; :::; xT ): La
méthode du maximum de vraisemblance consiste à calculer la densité de probabilité
fXT ;XT ¡1 ;:::;X1 (xT ; xT ¡1 ; :::; x1 ; £)
16
(26)
qui doit être vue comme la mesure de la vraisemblance de notre échantillon particulier.
L’estimateur du maximum de vraisemblance de £ est la valeur de £ qui maximise
(26). Cette approche suppose une distribution particulière pour le bruit (choc). On
supposera que les at sont distribuées selon la loi normale :
at » i:i:d: N (0; ¾ 2 ):
Conceptuellement le calcul d’un estimateur du maximum de vraisemblance consiste
en deux étapes. Premièrement, on doit calculer la fonction de vraisemblance (26) et,
deuxièmement, il faut calculer les valeurs de £ qui maximisent cette fonction.
4.4.1
Estimation d’un processus autorégressif d’ordre 1
Un processus Gaussien autorégressif d’ordre 1 est de la forme
Xt = Á1 Xt¡1 + at
(27)
avec at » i:i:d: N (0; ¾ 2 ). Dans ce cas, le vecteur des paramètres à estimer est £ =
(Á1 ; ¾ 2 ):
Considérons maintenant X1 ; qui est une variable aléatoire avec espérance
E(X1 ) = ¹ = 0
et variance
¾2
:
1 ¡ Á21
Puisque at suit une loi normale, alors X1 suit aussi une loi normale avec densité
E(X1 ¡ ¹)2 =
fX1 (x1 ; £) = fX1 (x1 ; Á1 ; ¾ 2 )
= p
2¼
1
q
¾2
1¡Á21
"
#
¡ fx1 g2
exp
:
2¾ 2 =(1 ¡ Á21 )
Maintenant, on considère la deuxième observation, sachant que X1 = x1 , soit
X2 = Á1 X1 + a2
17
(28)
Dans ce cas, on aura que
(X2 j X1 = x1 ) » N(Á1 x1 ; ¾ 2 )
d’où
"
#
¡ fx2 ¡ Á1 x1 g2
fX2 jX1 (x2 j x1 ; £) = p
exp
:
2¾ 2
2¼¾ 2
1
(29)
La distribution conjointe des observations 1 et 2 correspond au produit de (28) et
(29) :
fX2 ;X1 (x2 ; x1 ; £) = fX2 jX1 (x2 j x1 ; £)fX1 (x1 ; £):
On procède de la même façon jusqu’à ce qu’on arrive à l’observation t, la dernière :
fXt ;:::;X1 (xt ; :::; x1 ; £) = fXt jXt¡1 (xt j xt¡1 ; £)fXt¡1 ;:::;X1 (xt¡1 ; :::; x1 ; £):
(30)
Plus généralement, la distribution conditionnelle de Xt , sachant Xt¡1 ; :::; X1 est donnée par
fXt jXt¡1 ;:::;X1 (xt
j
xt¡1 ; :::; x1 ; £) = fXt jXt¡1 (xt j xt¡1 ; £)
"
#
¡ fxt ¡ Á1 xt¡1 g2
1
exp
:
= p
2¾ 2
2¼¾ 2
(31)
La vraisemblance de l’échantillon complet est
fXT ;:::;X1 (xT ; :::; x1 ; £) = fX1 (x1 ; £)
T
Y
t=2
fXt jXt¡1 (xt j xt¡1 ; £):
(32)
Pour faciliter les calculs, on considère le logarithme de la vraisemblance, noté par
$(£) :
$(£) = log fX1 (x1 ; £) +
T
X
t=2
log fXt jXt¡1 (xt j xt¡1 ; £):
(33)
Bien évidemment, la valeur de £ qui maximise (32) maximise aussi (33).
Si on substitue (28) et (31) dans (33), la log-vraisemblance pour un échantillon T
d’un processus autorégressif d’ordre 1 est
¸
1
¾2
fx1 ¡ [1=(1 ¡ Á1 )]g2
1
¡
$(£) = ¡ log(2¼) ¡ log
2
2
1 ¡ Á1
2¾ 2 =(1 ¡ Á21 )
¡ [(T ¡ 1)=2] log(2¼) ¡ [(T ¡ 1)=2] log(¾ 2 )
¸
T
X
(xt ¡ Á1 xt¡1 )2
¡
:
2¾ 2
t=2
18
(34)
Pour trouver les composantes du vecteur £ qui maximisent $(£); il faut dériver (34)
par rapport à chaque variable et ensuite égaliser à zéro. Lorsque ce procédé devient
lourd à exécuter, il vaut mieux calculer les solutions en passant par des méthodes
numériques ou itératives.
4.4.2
Estimation du cas général : un processus autorégressif d’ordre p
Un processus Gaussien autorégressif d’ordre p est de la forme
Xt = Á1 Xt¡1 + ::: + Áp Xt¡p + at
(35)
avec at » i:i:d: N (0; ¾ 2 ). Dans ce cas, le vecteur des paramètres à estimer est £ =
(Á1 ; :::; Áp ; ¾ 2 ):
On va essayer maintenant de généraliser la méthode vue dans la section précédente
pour une série chronologique autorégressive d’ordre p:
On considère un échantillon de taille T pour un processus autorégressif d’ordre p.
Les p premières observations (x1 ; :::; xp ) sont mises dans un vecteur (p £ 1) noté xp ;
qui peut être vu comme comme une réalisation d’une variable aléatoire normale avec
p dimensions. L’espérance de ce vecteur est ¹p ; qui représente un vecteur (p £ 1) où
les éléments sont donnés par
¹ = 0:
On note ¾ 2 Vp la matrice variance-covariance (p £ p) de (X1 ; X2 ; :::; Xp ) :
2
3
E(X1 ¡ ¹)2
::: E(X1 ¡ ¹)(Xp ¡ ¹)
6
7
6
7
¾ 2 Vp = 6
7:
:::
:::
:::
4
5
2
E(Xp ¡ ¹)(X1 ¡ ¹) :::
E(Xp ¡ ¹)
(36)
(37)
La densité des p premières observations est
fXp ;:::;X1 (xp ; :::; x1 ; £) = (2¼)
¡p=2
¡2 p=2
(¾ )
¸
¯ ¡1 ¯1=2
1
0
¡1
¯Vp ¯ exp ¡
(xp ¡ ¹p ) Vp (xp ¡ ¹p ) :
2¾ 2
19
Pour les observations restantes (xp+1 ; :::; xT ); on peut utiliser la décomposition
de l’erreur de prévision. Conditionnellement sur les premières t ¡ 1 observations, la
t ¡ iµ
eme observation suit une loi normale avec espérance
Á1 xt¡1 + Á2 xt¡2 + ::: + Áp xt¡p
et variance ¾ 2 : Seules les p observations les plus récentes sont considérées pour cette
distribution.
Donc, pour t > p; on a
fXt jXt¡1 ;:::;X1 (xt
j
xt¡1 ; :::; x1 ; £) = fXt jXt¡1 ;:::;Xt¡p (xt j xt¡1 ; :::; xt¡p ; £)
¸
¡(xt ¡ Á1 xt¡1 ¡ Á2 xt¡2 ¡ ::: ¡ ¡Áp xt¡p )2
1
:
= p
exp
2¾ 2
2¼¾ 2
La fonction de vraisemblance pour l’échantillon complet est :
fXT ;:::;X1 (xT ; :::; x1 ; £) = fXp ;:::;X1 (xp ; :::; x1 ; £)¢
T
Y
t=p+1
et la fonction log-vraisemblance est
fXt jXt¡1 ;:::;Xt¡p (xt j xt¡1 ; :::; xt¡p ; £)
$(£) = log fXT ;:::;X1 (xT ; :::; x1 ; £)
¯
¯
p
p
1
= ¡ log(2¼) ¡ log(¾ 2 ) + log ¯Vp¡1 ¯
2
2
2
1
0 ¡1
¡ 2 (xp ¡ ¹p ) Vp (xp ¡ ¹p )
2¾
T ¡p
T ¡p
¡
log(2¼) ¡
log(¾ 2 )
2
2
T
X
(xt ¡ Á1 xt¡1 ¡ ::: ¡ Áp xt¡p )2
¡
2¾ 2
t=p+1
¯
¯
T
T
1
log(2¼) ¡ log(¾ 2 ) + log ¯Vp¡1 ¯
2
2
2
1
¡ 2 (xp ¡ ¹p )0 Vp¡1 (xp ¡ ¹p )
2¾
T
X
(xt ¡ Á1 xt¡1 ¡ ::: ¡ Áp xt¡p )2
¡
:
2¾ 2
t=p+1
= ¡
(38)
Pour évaluer (38) il faut inverser la matrice Vp (p £ p): Si on utilise la lettre i
pour les lignes et la lettre j pour les colonnes, on appellera vij (p) chaque élément
20
de la matrice Vp¡1 : Galbraith and Galbraith (1974) obtiennent une équation pour les
valeurs vij (p) :
vij (p) =
" i¡1
X
k=0
p+i¡j
Ák Ák+j¡i ¡
X
Ák Ák+j¡i
k=p+1¡j
#
pour 1
i
j
p:
(39)
où Áo ´ ¡1: Du fait que la matrice Vp¡1 est symétrique, il est inutile de calculer
vji (p), puisque vij (p) = vji (p):
4.4.3
La fonction de vraisemblance pour un processus moyennes mobiles
d’ordre 1
Pour se simpli…er la tâche dans le calcul de la fonction de vraisemblance pour les
processus autorégressifs, on a conditionné sur les valeurs initiales de Xt : Le même
procédé est utilisé pour le calcul de la fonction de vraisemblance d’une moyenne
mobile, mais cette fois on conditionne sur les valeurs initiales de at :
Considérons le processus gaussien à moyennes mobiles d’ordre 1
Xt = at + µ1 at¡1
(40)
avec at » i:i:d: N (0; ¾ 2 ): Soit £ = (µ1 ; ¾ 2 )0 le vecteur des paramètres à estimer. En
connaissant la valeur de at¡1 ; on a que
Xt j at¡1 » N (µ 1 at¡1 ; ¾ 2 )
et
¸
¡(xt ¡ µ1 at¡1 )2
exp
:
fXt jat¡1 (xt j at¡1 ; £) = p
2¾ 2
2¼¾ 2
On fait maintenant l’hypothèse que a0 = 0; alors il s’ensuit que
1
X1 j a0 = 0 » N (0; ¾ 2 ):
Si on connaît la valeur de l’observation x1 , la valeur de a1 est, dans ce cas,
a1 = x1 :
21
(41)
Donc selon l’équation (41), on a
¸
1
¡(x2 ¡ µ1 a1 )2
fX2 jX1 ;a0 (x2 j x1 ; a0 ; £) = p
exp
:
2¾ 2
2¼¾ 2
On peut répéter ce raisonnement : sachant a1 ; la valeur de a2 est
a2 = x2 ¡ µ 1 a1 :
En procédant de cette façon, donc en faisant l’hypothèse que a0 = 0; la séquence de
valeurs fa1 ; a2 ; :::; aT g peut être calculée à partir de fx1 ; x2 ; :::; xT g par récurrence
(42)
at = xt ¡ µ 1 at¡1 :
La densité conditionnelle de la t ¡ iµ
eme observation peut être calculée à partir de
(41) :
fXt jXt¡1 ;:::;X1 ;a0 =0 (xt
j
xt¡1 ; :::; x1 ; a0 = 0; £)
= fXt jat¡1 (xt j at¡1 ; £)
¸
¡(xt ¡ µ1 at¡1 )2
1
exp
= p
2¾ 2
2¼¾ 2
¸
1
¡a2t
= p
exp
:
2¾ 2
2¼¾ 2
(43)
La vraisemblance de l’échantillon est alors
fXT jXT ¡1 ;:::;X1 ;a0 =0 (xT j xT ¡1 ; :::; x1 ; a0 = 0; £) =
fX1 ja0 =0 (x1 j a0 = 0; £)
T
Y
t=2
fXt jXt¡1 ;:::;X1 ;a0 =0 (xt j xt¡1 ; :::; x1 ; a0 = 0; £):
La log-vraisemblance conditionnelle est
$(£) = log fXT jXT ¡1 ;:::;X1 ;a0 =0 (xT j xT ¡1 ; :::; x1 ; a0 = 0; £)
T
X a2
T
T
t
= ¡ log(2¼) ¡ log(¾ 2 ) ¡
:
2
2
2
2¾
t=1
(44)
Dans cette formule on pourrait croire que le paramètre µ1 a disparu, ce n’est pas le
cas. Les at qui …gurent dans la formule (44) doivent être remplacés par la formule :
t t
at = xt ¡ µ1 xt¡1 + µ21 xt¡2 ¡ ::: + (¡1)t¡1 µt¡1
1 x1 + (¡1) µ 1 a0 :
22
(45)
Même dans ce cas, le maximum de la fonction de log-vraisemblance doit être
calculé en utilisant des méthodes numériques.
Cette approche peut causer des problèmes dans certains cas : l’itération (42)
conduit à la formule (45). Si jµ1 j est inférieur à 1, alors l’e¤et de l’hypothèse a0 =
0 disparait rapidement et la vraisemblance conditionnelle (43) donnera une bonne
approximation de la vraisemblance avec un grand échantillon. Si, au contraire jµ1 j > 1;
l’e¤et de l’hypothèse a0 = 0 s’accumule avec le temps et rend les résultats érronés.
4.4.4
La fonction de vraisemblance pour un processus moyennes mobiles
d’ordre m
Soit
Xt = at + µ1 at¡1 + µ2 at¡2 + ::: + µm at¡m ;
(46)
un processus moyennes mobiles d’ordre m. On fait l’hypothèse que les m premières
valeurs de a sont nulles :
a0 = a¡1 = ::: = a¡m+1 = 0:
À partir de ces valeurs de départ, on peut procéder par itérations sur la base de la
formule :
at = xt ¡ µ1 at¡1 ¡ µ 2 at¡2 ¡ ::: ¡ µm at¡m
(47)
pour t = 1; 2; :::; T . Soit A0 le vecteur (a0 ; a¡1 ; :::; a¡m+1 )0 de dimension (m £ 1):
La fonction conditionnelle log-vraisemblance est
$(£) = log fXT ;XT ¡1 ;:::;X1 jA0 =0 (xT ; xT ¡1 ; :::; x1 j A0 = 0; £)
T
= ¡
X a2
T
T
t
log(2¼) ¡ log(¾ 2 ) ¡
;
2
2
2
2¾
t=1
où £ = (µ1 ; µ2 ; :::; µm ; ¾ 2 )0 et les at sont calculés d’après la formule (47).
23
(48)
La formule (48) est utilisable seulement si toutes les valeurs de z pour lesquelles
1 + µ1 z + µ 2 z 2 + ::: + µm z m = 0
sont en dehors du cercle unitaire.
4.4.5
La fonction de vraisemblance pour un processus ARMA(p, m)
Un processus ARMA(p; m) a la forme
Xt = Á1 Xt¡1 + ::: + Áp Xt¡p + at + µ 1 at¡1 + µ2 at¡2 + ::: + µ m at¡m
(49)
avec at » i:i:d: N (0; ¾ 2 ): Le but est d’estimer le vecteur contenant les paramètres
inconnus : £ = (Á1 ; :::; Áp ; µ1 ; :::; µm ; ¾ 2 ):
Pour estimer les paramètres d’un processus autorégressif, nous avons conditionné
sur les valeurs de départ x, tandis que dans le cas des moyennes mobiles, nous avons
conditionné sur les valeurs initiales de a. Logiquement, dans le cas d’un processus
ARMA(p; m), nous allons conditionner sur les valeurs initiales de a et x.
A et X représentent les vecteurs contenant les valeurs initiales :
X ´ (x0 ; x¡1 ; :::; x¡p+1 )0 ;
A ´ (a0 ; a¡1 ; :::; a¡p+1 )0 :
La suite fa1 ; :::; aT g est calculée à partir de fx1 ; :::; xT g ; en itérant selon
at = xt ¡ Á1 xt¡1 ¡ ::: ¡ Áp xt¡p ¡ µ1 at¡1 ¡ ::: ¡ µm at¡m
(50)
pour t = 1; 2; :::; T:
La fonction conditionnelle log-vraisemblance est alors
$(£) = log fXT ;XT ¡1 ;:::;X1 jX;A (xT ; xT ¡1 ; :::; x1 j X; A; £)
T
X a2
T
T
t
2
:
= ¡ log(2¼) ¡ log(¾ ) ¡
2
2
2¾ 2
t=1
24
(51)
où les at sont calculés selon la formule (50).
Une astuce est de …xer les valeurs de départ comme étant égales à leurs espérances,
xs = 0 pour s = 0; ¡1; :::; ¡p + 1 et as = 0 pour s = 0; ¡1; :::; ¡m + 1, et ensuite de
procéder avec les itérations selon la formule (50) pour t = 1; 2; :::; T .
Sinon Box and Jenkins (1976, p.211) conseillent de …xer les as comme étant égales
à zéro, et les xs comme étant égales à leurs valeurs actuelles. De cette façon les
itérations faites avec la formule (50) vont commencer au temps t = p + 1.
La vraisemblance conditionnelle calculée est
log f (xT ; :::; xp+1
j
xp ; :::; x1 ; ap = 0; :::; ap¡m+1 = 0)
= ¡
T
X a2
T ¡p
T ¡p
t
log(2¼) ¡
log(¾ 2 ) ¡
:
2
2
2
2¾
t=1
Comme dans le cas des moyennes mobiles, cette approximation peut être utilisée
seulement si toutes les valeurs de z qui satisfont
1 + µ1 z + µ 2 z 2 + ::: + µm z m = 0
sont en-dehors du cercle unitaire.
25
5
Taux d’intérêt et séries chronologiques
5.1
Taux d’intérêt e¤ectif
Un taux d’intérêt est dit e¤ectif si l’intervalle de capitalisation est identique à la
période de référence, dans le cas contraire on parle de taux d’intérêt nominal: Il est très
important de toujours préciser la période de référence : par exemple, seulement lorsque
l’intervalle de capitalisation est d’un an, on dit que le taux est e¤ectif annuellement.
Soit is le taux d’intérêt e¤ectif pour la période s+1 (de s à s+1).
La valeur actuelle au temps 0 de 1 payable au temps t est
t¡1
Y
v(t) =
(1 + is )¡1
(52)
s=0
et la valeur cumulée au temps t de 1 investi au temps 0
c(t) =
t¡1
Y
(53)
(1 + is ):
s=0
On peut maintenant faire quelques hypothèses concernant le taux d’intérêt is :
EXEMPLE 1 : On veut maintenant calculer les moments de la valeur cumulée au
temps t de 1 investi au temps 0; dans le cas où les taux d’intérêt is (s = 0; :::; t ¡ 1)
sont i.i.d. et distribués selon une loi avec E [is ] = i et V ar [is ] = ¾ 2 :
" t¡1
# t¡1
Y
Y
E [c(t)] = E
(1 + is ) =
E [1 + is ] = (1 + i)t
s=0
et
Var (c(t)) = V ar
" t¡1
Y
s=0
=
=
t¡1
Y
s=0
t¡1
Y
s=0
=
£
s=0
" t¡1
#
" t¡1
#
Y
Y
(1 + is )
(i + is ) = E
(1 + is )2 ¡ E 2
#
s=0
£
¤
E (1 + is )2 ¡ (1 + i)2t
©
ª
V ar(1 + is ) + E 2 [1 + is ] ¡ (1 + i)2t
¤t
¾ 2 + (1 + i)2 ¡ (1 + i)2t :
26
s=0
5.2
Taux d’intérêt instantané
Soit ± s le taux d’intérêt instantané constant pour la période de s à s + 1:
La valeur actuelle au temps 0 de 1 payable au temps t devient alors
( t¡1 )
X
v(t) = exp ¡
±s ;
(54)
s=0
et la valeur cumulée au temps t de 1 investi au temps 0
( t¡1 )
X
c(t) = exp
±s :
(55)
s=0
EXEMPLE 2 : Dans ce cas, on veut calculer les moments de la valeur actuelle
t¡1
au temps 0 de 1 investi au temps t; lorsque les taux d’intérêt instantanés f± s gs=0
sont i:i:d: et distribués selon une loi normale N (±; ¾ 2 ): Une astuce à utiliser dans cet
exemple, est de considérer l’espérance de la valeur actuelle cherchée (v(t)) comme une
fonction génératrice de moments d’une loi normale. On obtinet alors,
"
( t¡1 )#
(
" t¡1 #
à t¡1 !)
X
X
X
1
E [v(t)] = E exp ¡
±s
= exp ¡E
± s + Var
±s
2
s=0
s=0
s=0
½
¾
1 2
= exp ¡±t + ¾ t :
2
On peut voir ici que la somme de taux d’intérêt instantané est distribuée normalement
et, par conséquent, l’exponentielle est distribuée selon une loi lognormale.
EXEMPLE 3 : On suppose que ± s suit un processus autorégressif d’ordre 1 de la
forme :
(± t ¡ ±) = Á1 (± t¡1 ¡ ±) + at :
(56)
La valeur actuelle, calculée avec un taux d’intérêt instantané suivant le processus
autorégressif (56), a comme espérance
à t¡1 !)
"
( t¡1 )#
(
" t¡1 #
X
X
X
1
±s
;
E [v(t)] = E exp ¡
±s
= exp ¡E
± s + Var
2
s=0
s=0
s=0
27
(57)
et variance
£
¤
Var(v(t)) = E v(t)2 ¡ E 2 [v(t)] ;
où
(58)
"
(
)#
(
" t¡1 #
à t¡1 !)
t¡1
X
X
X
£
¤
E v(t)2 = E exp ¡2
= exp ¡2E
; (59)
±s
± s + 2Var
±s
s=0
s=0
s=0
" t¡1 #
"
#
t¡1
X
X
E
± s = E ±t +
(± s ¡ ±) = ±t;
s=0
et
(60)
s=0
" t¡1 #
" t¡1
# t¡1 t¡1
t¡1
X
X X
XX
Var
± s = Cov
±s;
±r =
Cov(± s ; ± r )
s=0
s=0
=
t¡1 X
t¡1
X
s=0 r=0
=
¾ 2a
1¡
r=0
° js¡rj =
t
Á21
+2
s=0 r=0
t¡1
X
s=0
¾ 2a
1¡
t¡1 X
t¡1
X
Ár¡s
¾ 2a
1
2
+
2
2
2 ¾a
1 ¡ Á1
1 ¡ Á1
s=0 r=s+1
t¡1 X
t¡1
X
Ár¡s
2
Á1 s=0 r=s+1 1
t¡1
¾ 2a
¾ 2a X Á1
=
t+2
(1 ¡ Át¡s¡1
)
1
1 ¡ Á21
1 ¡ Á21 s=0 1 ¡ Á1
µ
¶
¾ 2a
¾ 2a Á1
(1 ¡ Át1 )
=
t+2
t¡
:
1 ¡ Á1
1 ¡ Á21
(1 ¡ Á21 )(1 ¡ Á1 )
28
(61)
6
Application à l’assurance-vie
6.1
Introduction
Dans cette section, on va présenter quelques applications de ces modèles au domaine de l’assurance-vie.
On représente par v(t) la valeur actuelle de 1 payable au temps t (t > 0); et on
dé…nit ±(t) comme étant le taux d’intérêt instantané au temps t dans le cas continu,
et ± t le taux d’intérêt instantané au temps t dans le cas discret.
On suppose que f±(t); t ¸ 0g et f± t ; t = 1; 2; :::g sont des processus stochastiques.
P
On procède en dé…nissant un nouveau processus stochastique : ¢(t) = ts=1 ± s
Rt
dans le cas discret, et ¢(t) = 0 ± s ds dans le cas continu. Cette dernière formule veut
attirer l’attention sur le fait qu’on va travailler avec l’integral du processus. On peut
alors écrire les égalités suivantes :
¢(t) = ¡ log v(t);
v(t) = exp f¡¢(t)g :
On symbolise par Mz (u) la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire Z, c’est-à-dire
MZ (u) = E [exp(uZ)] :
Nous pouvons maintenant calculer plusieurs moments de la variable aléatoire v(t),
pour un t …xe, en utilisant la fonction génératrice des moments. Par exemple l’espérance de v(t) est
E [v(t)] = E [exp f¡¢(t)g] = M¢(t) (¡1);
qui correspond à la f.g.m. de ¢(t) évaluée au point u = ¡1:
Plus généralement, le r-ième moment est donné par
E [v(t)r ] = E [exp f¡r¢(t)g] = M¢(t) (¡r);
29
et le produit croisé des moments est
E [v(t)r v(s)q ] = E [exp f¡r¢(t) ¡ q¢(s)g] = Mr¢(t)+q¢(s) (¡1):
La fonction v(t) peut nous aider à calculer plusieurs valeurs actuelles, comme par
exemple ate dans le cas continu et ate dans le cas discret . On sait que
ate =
t
X
v(s) et ate =
s=1
donc
Z
t
v(s)ds;
0
" t
#
t
t
X
X
X
£ ¤
E ate = E
v(s) =
E [v(s)] =
M¢(s) (¡1):
s=1
s=1
s=1
On peut ainsi calculer
" t t
#
XX
¤
E a2te = E
v(s)v(r)
£
s=1 r=1
=
t X
t
X
M¢(s)+¢(r) (¡1)
s=1 r=1
et
£
E ate ase
¤
= E
"
t X
s
X
w=1 r=1
t
s
XX
=
#
v(r)v(s)
M¢(r)+¢(w) (¡1):
w=1 r=1
Dans le cas continu, on obtient des résultats semblables :
Z t
£ ¤
M¢(s) (¡1)ds;
E ate =
0
Z tZ t
¤
£
2
=
M¢(s)+¢(r) (¡1)drds;
E (ate )
0
0
Z tZ s
£
¤
E ate ase =
M¢(r)+¢(w) (¡1)drdw:
0
0
Le même procédé peut être utilisé pour calculer les moments de la valeur actuelle
d’une rente de paiements non constants. Si par exemple, on admet que les paiements
30
de la rente sont donnés par la fonction B(s); on a que
" t
#
t
X
X
E
B(s)v(s) =
B(s)M¢(s) (¡1)
s=1
s=1
dans le cas discret et
E
Z
t
0
¸ Z t
B(s)v(s)ds =
B(s)M¢(s) (¡1)ds
0
dans le cas continu.
Les moments des valeurs actuelles utilisées par les actuaires peuvent donc être
calculés en termes de la fonction génératrice des moments de ¢(t). Dans la partie qui
suit on va appliquer ces résultats au demaine de l’assurance dans lequel le temps est
aussi une variable aléatoire.
6.2
Première application
Pour simpli…er les calculs, on va considérer seulement la prime unique pure
d’assurance, c’est-à-dire la prime unique dépourvue de charges.
Soit x l’âge d’un assuré et T une variable aléatoire qui indique la durée de vie
restante de la personne d’âge x au temps 0. Logiquement on suppose que la variable
aléatoire T est indépendante de processus stochastique du taux d’intérêt.
La fonction de densité de T est
f (t) =t px ¹x+t pour t ¸ 0;
(62)
pour un taux instantané de mortalité ¹x+t :
Dans les calculs qui suivent, on va tenir compte aussi des ‡uctuations du taux
d’intérêt. Pour cela, on va s’intéresser aux propriétés statistiques de v(T ); aT e et
Rt
B(s)v(s)ds: On va calculer les espérances suivantes ET E¢(T ) [v(T )] ; ET E¢(T ) [a(T )]
0
hR
i
t
et ET E¢(T ) 0 B(s)v(s)ds ; où ET représente l’espérance par rapport à T et E¢(T )
représente l’espérance par rapport à ¢(T ) pour un t …xe.
31
Pour simpli…er l’écriture, on va introduire une nouvelle notation :
±
(63)
E [v(T )] = Ax ;
£ ¤
E aT e = a±T e ;
(64)
2±
±
Var [v(T )] = Ax ¡ (Ax )2 ;
£ ¤
1
Var aT e = 2 Var [v(T )] :
±
(65)
(66)
En utilisant les résultats de la section précédente, on obtient :
Z 1
£
¤
ET E¢(T ) [v(T )] = ET M¢(T ) (¡1) =
M¢(t) (¡1)f (t)dt;
0
¸
Z T
£ ¤
ET E¢(T ) aT e = ET
M¢(s) (¡1)ds
0
Z 1Z t
=
M¢(s) (¡1)f (t)dsdt
0
0
Z 1
Z t
=
M¢(s) (¡1)
f(t)dtds
0
0
Z 1
=
M¢(s) (¡1)s px ds
0
et
ET E¢(T )
Z
0
T
¸
¸
Z T
B(s)v(s)ds = ET
B(s)M¢(s) (¡1)ds
0
Z 1
=
B(s)M¢(s) (¡1)s px ds:
0
Si on dit que
± ¤1 (t)
=
log M¢(t) (¡1), alors on a
½ Z t
¾
¤
M¢(t) (¡1) = exp ¡
± 1 (s)ds :
¡ dtd
0
Si maintenant on substitue cette nouvelle relation dans les trois égalités qu’on vient
de trouver, on obtient
Z 1
½ Z t
¾
± ¤ (s)
¤
exp ¡
± 1 (s)ds (t px )¹x+t dt ´ Ax1 ;
0
½0 Z t
¾
Z 1
¤
¤
exp ¡
± 1 (s)ds (t px )dt ´ ax±1 (s) ;
0
½ Z0 t
¾
Z 1
± ¤ (s)
¤
et
B(t) exp ¡
± 1 (s)ds (t px )dt ´ Ax1 :
0
0
32
On voit bien que ces espérances sont exprimées par des valeurs actuelles calculées
avec un taux d’intérêt instantané déterministe ± ¤1 (t); t ¸ 0. Dans le chapitre suivant,
on analysera le cas où ± suit un processus stochastique.
On va considérer maintenant la variance de v(T ) qui peut être décomposée en :
Var [v(T )] = ET Var¢(T ) [v(T )] + VarT E¢(T ) [v(T )]
£
¤
£
¤
= ET M¢(T ) (¡2) ¡ M¢(T ) (¡1)2 + VarT M¢(T ) (¡1)
£
¤
£
¤
£
¤2
= ET M¢(T ) (¡2) ¡ M¢(T ) (¡1)2 + ET M¢(T ) (¡1)2 ¡ ET M¢(T ) (¡1)
£
¤
£
¤2
= ET M¢(T ) (¡2) ¡ ET M¢(T ) (¡1)
½Z 1
¾2
Z 1
=
M¢(t) (¡2)f (t)dt ¡
M¢(t) (¡1)f (t)dt :
0
0
Si ±¤2 (t) = ¡ dtd log M¢(t) (¡2); on obtient
½ Z t
¾
Z 1
¤
Var [v(T )] =
exp ¡
± 2 (s)ds (t px)¹x+t dt
0
0
½ Z t
¾
¸2
¤
¡
exp ¡
±1 (s)ds (t px )¹x+t dt
0
0
n ±¤ o2
±¤
´ Ax2 ¡ Ax1 :
6.3
Z
1
Classes de processus gaussiens
On abandonne à nouveaux l’hypothèse d’un taux d’intérêt instantané déterministe
et on suppose que, pour un t …xé, les processus stochastiques f±(t)g et f± t g sont des
processus normaux avec espérance E [±(t)] = ¹(t) et fonction de variance-covariance
Cov [±(t); ±(s)] = °(t; s):
Rt
Par conséquent ¢(t) = 0 ±(s)ds est lui aussi un processus stochastique et a
Rt
RtRt
pour espérance E [¢(t)] = 0 ¹(s)ds; comme variance Var[¢(t)] = 0 0 °(r; s)drds
et fonction génératrice des moments, évaluée au point u = ¡1 :
½ Z t
¾
Z Z
1 t t
M¢(t) (¡1) = exp ¡
¹(s)ds +
°(r; s)drds :
2 0 0
0
33
Pt
Dans le cas discret, les formules sont semblables : ¢(t) =
s=1 ±(s) est un
Pt
processus stochastique avec espérance E [¢(t)] = s=1 ¹(s); variance Var[¢(t)] =
Pt Pt
r=1
s=1 °(r; s) et fonction génératrice des moments évaluée au point u = ¡1 :
(
)
t
t
t
X
1 XX
M¢(t) (¡1) = exp ¡
¹(s) +
°(r; s) :
2 r=1 s=1
s=1
Boyle (1976) présente un cas particulier de processus normaux avec
°(r; s) = ¾ 2 ; r = s;
= 0;
r 6= s:
(67)
Dans ce cas particulier, la fonction génératrice de moments de ¢(t), évaluée au
point u = ¡1; est
¾
¾2
M¢(t) (¡1) = exp ¡t(¹ ¡ ) ;
2
½
qui représente le facteur d’escompte pour t années avec un taux d’intérêt instantané
constant de ¹ ¡
¾2
:
2
Si on évalue la même fonction au point u = ¡2; on obtient
©
ª
M¢(t) (¡2) = exp ¡t(2¹ ¡ 2¾ 2 ) ;
et dans ce cas le facteur d’escompte pour t années avec un taux d’intérêt instantané
constant de 2¹ ¡ 2¾ 2 :
6.4
Exemples dans le cas discret
Maintenant, on va analyser des exemples qui se rapprochent plus de la réalité. On
suppose que les taux d’intérêt sont corrélés entre eux et que la relation existante entre
deux taux d’intérêt pris à deux moments distincts dépend uniquement de la longueur
de l’intervalle de temps entre les deux dates. Mathématiquement, cela signi…e que la
covariance °(t; s) = °(jt ¡ sj); est fonction d’une seule variable, la distance jt ¡ sj :
34
On a alors
Cov [± t ; ± s ] = °(jt ¡ sj):
Pour un t …xé, ± t représente une réalisation d’un processus stochastique. La distribution de ± t est normale avec espérance ¹ et variance ¾ 2 . Le coe¢cient de corrélation
entre ± t et ± s est ½(jt ¡ sj) =
°(jt¡sj)
:
¾2
Si on calcule la distribution de ¢(t) =
Pt
s=1
± s ; on constate qu’elle est normale
avec espérance E [¢(t)] = ¹t et variance
" t
#
" t
#
t
X
X X
Var
± s = Cov
±r ;
±s
s=1
r=1
= ¾2
t X
t
X
s=1 s=1
s=1
½(jr ¡ sj)
t¡1
X
= ¾ ½(0)t + 2¾
(t ¡ r)½(r)
2
= ¾2
2
(
r=1
)
t¡1
X
t+2
(t ¡ r)½(r) ;
r=1
puisque ½(0) = 1:
Pour simpli…er l’écriture, on introduit une nouvelle fonction
x¡1
x X
(x ¡ r)½(r):
G(x) = +
2 r=1
(68)
E [v(t)] = M¢(t) (¡1)
©
ª
= exp ¡t¹ + ¾ 2 G(t)
(69)
£
¤
E v(t)2 = M¢(t) (¡2)
©
ª
= exp ¡2t¹ + 4¾ 2 G(t) :
(70)
On a alors que
et
35
On veut maintenant calculer V [¢(t) + ¢(s)] avec s
t: Pour cela, on manipule
¢(t) + ¢(s) de façon a obtenir
¢(t) + ¢(s) = 2¢(s) + ¢(t) ¡ ¢(s):
Cette manipulation sert pour passer de la somme de deux éléments dépendants, à
la somme de deux éléments indépendants. En e¤et, (t ¡ s) et s représentent deux
intervalles disjoints: Le fait de travailler avec une somme de variables aléatoires indépendantes nous permet de simpli…er le calcul de Var[¢(t) + ¢(s)] :
On peut alors procéder comme suit :
Var [¢(t) + ¢(s)] = 4Var [¢(s)] + 4Cov [¢(s); ¢(t) ¡ ¢(s)] + Var [¢(t) ¡ ¢(s)]
( s s
)
s
t
XX
X
X
= ¾2 4
½(jr ¡ wj) + 4
½(jr ¡ wj)
+¾ 2
= ¾2
r=1 w=1
t
t
X
X
(
(
4
r=1 w=s+1
r=s+1 w=s+1
s X
t
X
r=1 w=1
)
½(jr ¡ wj)
½(jr ¡ wj) +
t
t
X
X
r=s+1 w=s+1
)
½(jr ¡ wj) :
(71)
La deuxième double sommation de (71) peut être simpli…ée :
t
t
X
X
r=s+1 w=s+1
½(jr ¡ wj) = (t ¡ s)½(0) + 2
= t¡s+2
t¡s¡1
X
r=1
t¡s¡1
X
r=1
(t ¡ s ¡ r)½(r)
(t ¡ s ¡ r)½(r):
De façon similaire, la première double somme de (71) devient :
s X
t
X
r=1 w=1
½(jr ¡ wj) = s +
s¡1
t¡s
t¡1
X
X
X
(s ¡ r)½(r) + s
½(r) +
(t ¡ r)½(r):
r=1
r=1
r=t¡s+1
On peut maintenant réécrire (71) :
(
)
t¡s
t¡1
s¡1
X
X
X
Var [¢(t) + ¢(s)] = ¾ 2 4s + 4
(s ¡ r)½(r) + 4s
½(r) + 4
(t ¡ r)½(r)
+¾ 2
(
r=1
t¡s+2
r=1
t¡s¡1
X
r=1
)
(t ¡ s ¡ r)½(r) :
36
r=t¡s+1
6.4.1
Application avec un processus autorégressif d’ordre 1
On suppose que le taux d’intérêt instantané pour t années suit un processus autoregréssif d’ordre 1 :
± t = ¹ + Á(± t¡1 ¡ ¹) + "t ;
(72)
où les "t pour t = 1; 2; ::: sont indépendants et normalement distribuées, avec espérance 0 et variance ° 2 :
Ce modèle s’interprète comme suit : les taux d’intérêt sur une année dépendent
du niveau des taux d’intérêt de l’année d’avant, d’un taux constant et d’un “choc”.
Pour que les conditions de stationnarité soient satisfaites, il faut que ¡1 < Á < 1
(voir chapitre 4):
Si on calcule l’espérance, variance et covariance d’après Box and Jenkins (1970),
on obtient
E [± t ] = ¹;
°2
2
2 = ¾ ;
1¡Á
Cov [± t ; ± s ] = ¾ 2 Ájt¡sj ;
Var [± t ] =
puisque ½(r) = Ár pour r > 0:
L’exemple présenté par Boyle (1976) (voir (67)) est le même avec Á = 0 et Á0 = 1:
On cherche maintenant à calculer quelques moments de v(t) :
où
E [v(t)] = M¢(t) (¡1)
©
ª
= exp ¡t¹ + ¾ 2 G(t)
t¡1
t X
+
(t ¡ r)½(r)
G(t) =
2 r=1
37
(73)
t¡1
t X
=
+
(t ¡ r)Ár
2 r=1
=
1 ¡ Át
t1+Á
¡Á
:
21¡Á
(1 ¡ Á)2
(74)
Le deuxième moment est donné par
£
¤
©
ª
E v(t)2 = exp ¡2t¹ + 4¾ 2 G(t) ;
(75)
et l’espérance du produit croisé, pour s 6= t
©
ª
E [v(s)v(t)] = exp ¡(s + t)¹ + ¾ 2 [2G(s) + 2G(t) ¡ G(jt ¡ sj)] :
6.4.2
(76)
Application avec un processus autorégressif d’ordre 2
L’idée est maintenant de considérer un taux d’intérêt instantané suivant un processus autorégressif d’ordre 2. Dans ce cas, le modèle dit que les taux d’intérêt sur
une année dépendent du niveau des taux d’intérêt des deux années précédentes et
d’un taux constant.
On a alors
± t = ¹ + Á1 (± t¡1 ¡ ¹) + Á2 (± t¡2 ¡ ¹) + "t ;
où les "t pour t = 1; 2; ::: sont indépendantes et normalement distribuées, avec espérance 0 et variance ° 2 :
Pour que les conditions de stationnarité soient satisfaites, il faut que:
Á2 + Á1 < 1;
Á2 ¡ Á1 < 1;
¡1 < Á2 < 1:
38
Les moments du taux d’intérêt instantané sont, d’après Box and Jenkins (1970) :
E [± t ] = ¹;
1 ¡ Á2
°2
Var [± t ] =
= ¾2 ;
¢
1 + Á2 (1 ¡ Á2 )2 ¡ Á21
n
o
jt¡sj
jt¡sj
Cov [± t ; ± s ] = ¾ 2 ¸Ã 1 + (1 ¡ ¸)à 2
;
la corrélation étant obtenue en divisant Cov[± t ; ± s ] par ¾ 2 :
jt¡sj
jt¡sj
+ (1 ¡ ¸)Ã 2
½(r) = ¸Ã 1
;
où
¸ = Ã 1 (1 ¡ Ã 22 )= f(Ã 1 ¡ Ã 2 )(1 + Ã 1 Ã 2 )g ;
et à 1 et à 2 sont les racines de l’équation caractéristique
©(r) = 1 ¡ Á1 r ¡ Á2 r2 = 0:
Le calcul des moments de v(t) est très semblable au cas du processus autorégressif
d’ordre 1, seule change la fonction G(x) :
x¡1
G(x) =
x X
+
(x ¡ r)½(r)
2 r=1
x¡1
=
x X
+
(x ¡ r) [¸Ã r1 + (1 ¡ ¸)à r2 ]
2 r=1
= ¸G1 (x) + (1 ¡ ¸)G2 (x);
où
x 1 + Ãi
1 ¡ Ã xi
Gi (x) = ¢
¡ Ãi
2 1 ¡ Ãi
(1 ¡ Ã i )2
pour i = 1; 2:
On peut maintenant calculer les moments :
E [v(t)] = M¢(t) (¡1)
©
ª
= exp ¡t¹ + ¾ 2 G(t) ;
39
(77)
(78)
le deuxième moment équivaut à
£
¤
©
ª
E v(t)2 = exp ¡2t¹ + 4¾ 2 G(t) ;
et l’espérance du produit croisé, pour s 6= t
©
ª
E [v(s)v(t)] = exp ¡(s + t)¹ + ¾ 2 [2G(s) + 2G(t) ¡ G(jt ¡ sj)] :
7
Modèles de tari…cation et applications à
l’assurance-vie
Dans cette section, on va examiner quelques contrats d’assurance les plus fré-
quents dans la pratique : assurance mixte et assurance vie-entière pour les assurances
de capitaux, et rente viagère et temporaire pour les assurances de rentes. L’analyse
comprendra la simulation d’une seule police et la simulation d’un portefeuille d’assurance.
L’idée est de calculer la valeur actuelle de la police (ou du portefeuille) avec un
taux d’intérêt qui suit un processus autorégressif d’ordre 1 ou 2. Le procédé consiste
d’abord à simuler la réalisation de la variable aléatoire K d’après la méthode de
l’inverse, c’est-à-dire qu’on crée une réalisation d’une variable aléatoire uniforme entre
0 et 1, et en comparant cette valeur à la fonction de répartition de la probabilité de
survie, on obtient la durée de vie de l’assuré, qui est une réalisation de la variable
aléatoire K. Ensuite il faut calculer les taux d’intérêt, pour cela il faut créer une série
de réalisations d’un processus autorégressif. Sur la base de cette série de valeurs, on
peut obtenir le facteur d’éscompte selon la formule :
(
)
t
X
v(t) = exp ¡
±s :
s=1
40
Il reste seulement à calculer Z à partir de v(t): Ce procédé est exécuté plusieurs
milliers de fois de façon à obtenir une multitude de valeurs qui vont nous permettre
d’estimer la fonction de densité et les moments de la valeur actuelle de la police.
La simulation de la durée de vie de l’assuré à été faite en utilisant les tables de
mortalité SM/SF 1988/93 (Schweizerische Männer / Frauen).
7.1
Assurance vie-entière
Le modèle mathématique d’une assurance vie-entière choisi consiste en un paiement d’un capital, …xé lors de la conclusion du contrat, à la …n de l’année du décès.
Mathématiquement ce type d’assurance est dé…ni par :
Z = v(K + 1)
(79)
où Z et K sont des variables aléatoires. La distribution de Z est déterminée à partir
de l’équation (79) et de la distribution de K :
P (Z = v(K + 1)) = P (K = k) = (k px )qx+k
pour k = 0; 1; 2; ::::et en utilisant un taux d’intérêt déterministe.
La prime pure d’une assurance vie-entière, escomptée avec un taux d’intérêt déterministe est notée par :
ET [v
K+1
]=
1
X
v k+1 (k px )qx+k :
(80)
k=0
Si maintenant on suppose que le taux d’intérêt suit un processus autoregr¶
essif
d0 ordre 1 (voir (72)), alors les moments de la valeur actuelle de ce type d’assurance
sont donnés par les formules suivantes :
Ax = ET E¢(T ) [Z] = ET E¢(T ) [v(K + 1)]
1
X
=
M¢(k+1) (¡1)f (k)
=
k=0
1
X
k=0
©
ª
exp ¡(k + 1)¹ + ¾ 2 G(k + 1) (k px)qx+k ;
41
(81)
où f (k) représente la fonction de densité de K et
G(k) =
Le deuxième moment équivaut à
k1+Á
1 ¡ Ák
¡Á
:
21¡Á
(1 ¡ Á)2
(82)
1
£ 2¤ X
©
ª
ET E¢(T ) Z =
exp ¡2(k + 1)¹ + 4¾ 2 G(k + 1) (k px )qx+k ;
k=0
d’où on peut calculer la variance :
Var[Z] = ET [V ar¢(T ) (Z)] + VarT [E¢(T ) (Z)]
1
X
©
ª
=
E¢(T ) [Z 2 ] ¡ 2E¢(T ) [Z]ET E¢(T ) [Z] (k px )qx+k
k=0
1
X
+
k=0
©
ª
ET E¢(T ) [Z]2 (k px )qx+k :
(83)
On va traiter maintenant le cas d’un portefeuille de c contrats identiques d’assurance vie-entière. Il faut bien souligner que les polices du portefeuille sont identiques,
mais pourtant pas indépendantes parce que le processus autorégressif du taux d’intérêt qu’on utilise pour calculer leur valeur actuelle est le même.
D’après la théorie vue dans la section 2.2., il nous est possible de calculer les
moments de la valeur actuelle d’un tel portefeuille. Pour calculer le premier moment,
on se base sur la formule (6) :
ET E¢(T ) [Z(c)] = cET E¢(T ) [Zi ]
1
X
©
ª
= c
exp ¡(k + 1)¹ + ¾ 2 G(k + 1) (k px )qx+k :
(84)
k=0
On utilisant (7) et (76), on peut calculer la variance du portefeuille. Pour rendre
la formule …nale de la variance lisible on va attribuer des lettres (A; B; C; D; P; Q;
R) à chaque résultat intermédiaire. On obtient alors,
Var[Z(c)] =
c
X
Var [Zi ] + 2
i=1
c X
c
X
i=1 j=1
= A + B:
42
Cov (Zi ; Zj )
(85)
Nous allons calculer les deux termes de l’équation (85) séparément. Le premier terme
devient :
A =
c
X
Var [Zi ]
i=1
= cVar [Zi ]
1
X
©
ª
= c
E¢(T ) [Zi2 ] ¡ 2E¢(T ) [Zi ]ET E¢(T ) [Zi ] (k px )qx+k
k=0
1
X
+c
k=0
©
ª
ET E¢(T ) [Zi ]2 (k px )qx+k :
(86)
Si on remplace (79) dans le deuxième terme et si on utilise une des propriétées de la
covariance, on obtient
B = 2
= 2
c X
c
X
i=1 j=1
c X
c
X
Cov (v(Ki +1); v(Kj +1))
E [Cov (v(Ki +1); v(Kj +1) j Ki ; Kj )]
i=1 j=1
c X
c
X
+2
i=1 j=1
Cov (E [v(Ki +1) j Ki ] ; E [v(Kj +1) j Kj ])
= C + D:
Grâce au fait que les Ki sont i.i.d., le terme D est égal à 0: On a alors,
B = 2
= 2
c X
c
X
i=1 j=1
c X
c
X
i=1 j=1
E [Cov (v(Ki +1); v(Kj +1) j Ki ; Kj )]
E [E (v(Ki +1)v(Kj +1) j Ki ; Kj ) ¡ E (v(Ki +1) j Ki ) E (v(Kj +1) j Kj )]
La dernière étape consiste à utiliser les résultats obtenus dans la section 6.4.1, plus
précisément les formules (76) et (73) :
E (v(Ki +1)v(Kj +1) j Ki ; Kj ) = exp
= P
8
<
¡(Ki + Kj + 2)¹
9
=
: +¾ 2 [2G(K + 1) + 2G(K + 1) ¡ G(jK ¡ K j)] ;
i
j
i
j
43
et
©
ª
E (v(Ki +1) j Ki ) = exp ¡(Ki + 1)¹ + ¾ 2 G(Ki + 1)
= Q;
©
ª
E (v(Kj +1) j Kj ) = exp ¡(Kj + 1)¹ + ¾ 2 G(Kj + 1)
= R:
On peut maintenant calculer le terme B :
B = 2
= 2
c X
c
X
E [P ¡ QR]
i=1 j=1
c X
c X
1 X
1
X
i=1 j=1 ki =0 kj =0
(P ¡ QR)(ki px )(kj px )qx+ki qx+kj :
(87)
La formule de la variance d’un portefeuille de c contrats identiques d’assurances vieentière est donnée par la somme des formules (86) et (87).
7.1.1
Simulations
Les graphiques montrent la fonction de densité de la valeur actuelle d’une assurance vie-entière pour un assuré de sexe masculin de 35 ans. Les paramètres concernant le processus stochastique du taux d’intérêt sont les suivants : on considère un
processus autor¶
egressif d0 ordre 1 avec :
¹ = 0:06;
¾ = 0:012;
Á1 = 0:7:
À partir de la fonction de densité de Z, nous pouvons faire de la tari…cation en
se basant sur la méthode de la Value-at-Risk (VaR) : par exemple, on cherche
44
une prime qui va nous donner des béné…ces avec une probabilité de 95%, alors il faut
seulement calculer l’inverse de la fonction de répartition appliquée au point 0:95; c’està-dire le 95%¡quantile de la fonction de densité trouvée. De plus, on peut calculer le
montant moyen d’une perte éventuelle.
La tari…cation peut être faite aussi selon un concept qu’on a choisi de nommer
Accepted-Mean-Loss (AML), concept qui va tenir compte du montant des pertes
éventuelles générées par un produit d’assurance. On parle de perte lorsque dans un
portefeuille d’assurance les montants versés par l’institution dépassent les primes encaissées. Ici la prime est choisie de façon que les pertes moyennes éventuelles du
produit d’assurances soient limitées à un certain montant …xé d’avance par la compagnie d’assurance. Ce montant peut correspondre par exemple au capital que la société
d’assurance est prête à risquer en moyenne, dans le cas où on aura une perte.
Une autre utilisation de la fonction de densité de Z est de nous permettre de
calculer précisément le montant des réserves de ‡uctuation (contingency reserves) :
par exemples aux USA ces réserves de ‡uctuation sont calculées d’après une formule
du type :
Pr [Primetot + Contingencyreserves ¡ S < 0] t prob. donnée,
où S représente le montant total des sinistres. Après une simple manipulation, on
obtient
Pr [S > Pr imetot + Contingencyreserves ] t prob. donnée,
ce qui est facilement calculable une fois qu’on connaît la fonction de répartition.
Voici maintenant les graphiques de la fonction de probabilité empirique, qui donne
une approximation de la fonction de densité, et de la fonction de répartition de la
valeur actuelle d’une assurance vie-entière, obtenue après 500 000 itérations :
45
0.05
Probabilité
0.04
0.03
0.02
0.01
0.908
0.964
0.908
0.964
0.851
0.795
0.739
0.682
0.626
0.570
0.514
0.457
0.401
0.345
0.288
0.232
0.176
0.120
0.063
0.007
0
Prime
0.851
0.795
0.739
0.682
0.626
0.570
0.514
0.457
0.401
0.345
0.288
0.232
0.176
0.120
0.063
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.007
Probabilité
Assurance vie-entière : fonction de probabilité empirique.
Prime
Assurance vie-entière : fonction de répartition.
Pour véri…er la “précision” des résultats obtenus à partir des simulations, on peut
faire le calcul des premiers moments d’après les simulations et de façon analytique, et
46
ensuite comparer ces valeurs. En e¤et, à la limite, pour un nombre in…ni de trajectoires
simulées, la fonction de répartition empirique converge vers la fonction de répartition
théorique.
Dans ce tableau, on retrouve les valeurs qui caractérisent la distribution selon les
données obtenues par simulation :
Simulation (500 000 it¶
erations)
Esp¶
erance
0.112902
V ariance
0.014633
Coeff: d0 asym¶
etrie
3.337273
Kurtosis
14.072543
Si on calcule les deux premiers moments de façon théorique, c’est-à-dire en utilisant les formules (81) et (83), on obtient :
T h¶
eorique
Esp¶
erance
0.1132868
V ariance
0.0148629
Dans le cas d’un portefeuille d’assurance, les résultats sont di¤érents. On voit bien
que lorsque l’on augmente le nombre de polices dans le portefeuille la distribution de
la valeur actuelle semble tendre vers une distribution normale, mais ce n’est pas le
cas parce que dans ce contexte on ne peut pas appliquer le théorème central limite,
du fait que les événements ne sont pas indépendants. En e¤et, les polices dans un
même portefeuille sont corrélées entre elles car elles sont soumises au même processus
du taux d’intérêt.
Dans ce graphique les petites valeurs sur l’axe des abscisses répresentent les décès
tardifs, contrairement au cas des assurances de rentes.
47
0.025
Probabilité
0.020
0.015
0.010
0.005
4.121
3.861
3.602
3.343
3.084
2.825
2.565
2.306
2.047
1.788
1.529
1.269
1.010
0.751
0.492
0.232
0.000
Prime
4.324
4.084
3.843
3.602
3.361
3.121
2.880
2.639
2.399
2.158
1.917
1.677
1.436
1.195
0.955
0.714
0.473
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.232
Probabilité
Portefeuille de 10 assurances vie-entière : fonction de probabilité empirique.
Prime
Portefeuille de 10 assurances vie-entière : fonction de répartition.
48
On va passer maintenant à des portefeuilles de 100 assurés et ensuite de 1000 assurés.
Les graphiques nous montrent bien le phénomène de “fausse” tendance vers une loi
normale, phénomène qui sera mis en évidence dans le tableau qui suit.
0.020
Probabilité
0.015
0.010
0.005
24.870
23.496
22.122
20.749
19.375
18.001
16.627
15.253
13.880
12.506
11.132
9.758
8.384
7.011
5.637
4.263
0.000
Prime
25.949
24.674
23.398
22.122
20.847
19.571
18.295
17.020
15.744
14.468
13.193
11.917
10.641
9.366
8.090
6.814
5.539
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
4.263
Probabilité
Portefeuille de 100 assurances vie-entière : fonction de probabilité empirique.
Prime
Portefeuille de 100 assurances vie-entière : fonction de répartition.
49
50
235.108
224.076
213.044
202.012
190.980
179.948
168.916
157.884
146.852
135.820
124.788
113.756
102.724
91.692
80.660
69.628
58.596
47.564
Probabilité
225.773
213.893
202.012
190.131
178.251
166.370
154.489
142.609
130.728
118.848
106.967
95.086
83.206
71.325
59.444
47.564
Probabilité
0.020
0.015
0.010
0.005
0.000
Prime
Portefeuille de 1000 assurances vie-entière : fonction de probabilité empirique.
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Prime
Portefeuille de 1000 assurances vie-entière : fonction de répartition.
Le tableau qui suit, nous montre très bien que la distribution ne tend pas vers
une loi normale. En e¤et, si c’était le cas, le coe¢cient d’asymétrie devrait tendre
vers zéro. Lorsque le portefeuille passe de 1 à 100 assurés, on observe que le coe¢cient d’asymétrie et le coe¢cient d’aplatissement (kurtosis) décroissent, mais cette
tendance s’arrête lorsque l’on passe à un portefeuille de 1000 assurés. Ce phénomène
est dû au fait que lorsqu’on augmente le nombre d’assurés dans le portefeuille, on a
en premier temps un lissage de la fonction de densité dû à la mortalité, ensuite ce
phénomène diminue d’intensité, et quand le portefeuille atteint une certaine ampleur,
l’e¤et dû à la dépendance des taux d’intérêt se fait ressentir, ce qui cause une légère
augmentation des deux coe¢cients.
Tableau 1
P ortef euille de
1 assur¶
e 10 assur¶
es 100 assur¶
es 1000 assur¶
es
Esp¶
erance[ Z(c)
]
c
0.112902
0.113242
0.113009
0.113326
V ariance[ Z(c)
]
c
0.014633
0.001877
0.000576
0.000457
Coef f: d0 asym:[ Z(c)
]
c
3.337273
0.920436
0.562282
0.636763
Kurtosis[ Z(c)
]
c
14.07254
1.042783
0.594242
0.771773
Exemple de tari…cation avec Value-at-Risk (VaR) Le montant de la prime
est calculé à partir de la fonction de densité de la valeur actuelle du produit d’assurance. Par exemple, on veut calculer une prime individuelle qui permettra de réaliser
des béné…ces avec une probabilité de 90%: Si on se base sur les résultats de notre
simulation, il nous su¢t de regarder dans le Tableau 2 qui suit, la prime qui correspond à la probabilité 90%, et on obtient par exemple, dans le cas où le portefeuille est
composé de 1000 assurés, une prime unique de 1414:38 pour une assurance vie-entière
de capital 100 000, pour un assuré de 35 ans.
51
235.108
224.076
213.044
202.012
190.980
179.948
168.916
157.884
146.852
135.820
124.788
113.756
102.724
91.692
80.660
69.628
58.596
Prime
47.564
Probabilité
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Prime
Portefeuille de 1000 assurances vie-entière : fonction de répartition.
On peut aussi s’occuper des pertes éventuelles. On parle de perte lorsque le montant total des sinistres S est supérieur à la somme des primes encaissées, mathématiquement on a :
S ¡ p > 0;
où p représente la somme des primes individuelles pi du portefeuille, c’est-à-dire
p=
c
X
pi :
i=1
Revenons à notre exemple, le montant espéré d’une perte éventuelle pour le portefeuille est de :
£
E (S ¡ p)
+¤
=
Z
1
x¤
£
¤
1 ¡ FZ(1000) (x) dx = 170 093:1
¡1
où x¤ = FZ(1000)
(0:9): Donc, avec une probabilité de 10%, notre portefeuille causera
des pertes moyennes de 170 093:10:
52
Le montant moyen des pertes sachant qu’il y aura une perte est :
£
¤
170 093:1
E (S ¡ p)+ j (S ¡ p)+ > 0 =
1 ¡ 0:9
= 1700 931:
Voici le tableau qui contient les montants des primes calculées d’après la méthode
de la Value-at-Risk. Pour des probabilitées données (80%, 90%,...,99%) on peut retrouver le montant de la prime individuelle d’un assuré de 35 ans faisant partie d’un
portefeuille d’assurance de 1, 10 ,100 ou 1000 assurés.
Tableau 2
Evolution de la prime selon la taille du portefeuille
Prime pure avec un portefeuille de
Prob. 1 contrat 10 contrats 100 contrats 1000 contrats
0.80
0.148039
0.147075
0.131926
0.130143
0.90
0.226109
0.172441
0.144467
0.141438
0.95
0.338689
0.195214
0.155801
0.151748
0.975
0.482791
0.215691
0.166556
0.161211
0.98
0.536050
0.222375
0.169657
0.164036
0.99
0.695394
0.241149
0.179372
0.173456
On voit bien que plus le nombre d’assurés dans un portefeuille d’assurance est
grand et moins chères seront les primes à payer. Ce tableau met bien en évidence que
le fait d’avoir un grand e¤ectif d’assurés dans un portefeuille d’assurance ne permet
pas uniquement de réduire les coûts de gestion liés au polices d’assurances mais aussi
de réduire le coût du risque associé à chaque contrat.
53
Exemple de tari…cation avec Accepted-Mean-Loss (AML) Ici, on se retrouve dans la situation contraire : à partir d’un montant de perte éventuelle …xé
d’avance (d), on veut déterminer une prime (p) et ensuite calculer la probabilité
d’avoir une perte avec une telle prime. Mathématiquement on a :
£
¤
E (S ¡ p)+ = d donné.
Par exemple, on veut calculer une prime individuelle telle que la perte moyenne
éventuelle pour le portefeuille de 1000 assurés soit de 200 000 unités monétaires. Donc
sachant que d = 200 000; il faut trouver p: Il nous faut d’abord calculer y ¤ de telle
façon que :
+
E[(S ¡ p) ] =
¡1
(y):
où y ¤ = FZ(1000)
Z
1
y¤
£
¤
1 ¡ FZ(1000) (x) dx = 200 000
A partir de la fonction de répartition de Z(c); on trouve que y ¤ = 0:87896. Ensuite,
on cherche la prime unique correspondante à une probabilité de 0:87896; elle sera de
1309:20, pour une assurance vie-entière avec x = 35:
7.2
Assurance mixte
Mathématiquement, une assurance mixte peut être vue comme un paiement d’un
capital, …xé lors de la conclusion du contrat, soit à la …n de l’année du décès si celui-ci
survient avant la …n du contrat, soit à l’échéance si l’assuré est encore en vie.
On peut écrire alors :
8
< v(K + 1) si K < n;
Z=
: v(n)
si K ¸ n;
où n représente la durée du contrat.
54
Le développement des formules actuarielles pour ce type d’assurance est très semblable à celui pour l’assurance vie-entière : par exemple, la prime pure avec un taux
d’intérêt déterministe est donnée par :
ET [v
K+1
]=
n¡1
X
v k+1 (k px )qx+k :
k=0
7.3
Rente viagère
Le modèle mathématique d’une assurance de rente viagère, consiste en un paiement annuel d’une rente jusqu’au moment du décès de l’assuré. Les paiements sont
e¤ectués aux temps 1; 2; :::; K: Ce type d’assurance peut être représenté par :
Z = v(1) + v(2) + ::: + v(K)
(88)
La prime pure d’une assurance de rente viagère, escomptée avec un taux d’intérêt
déterministe est notée par :
ET
"K
X
v
k=1
k
#
=
1
X
v k (k px ):
(89)
k=1
Si on admet maintenant que le taux d’intérêt suit un processus autoregr¶
essif
d0 ordre 1, les moments de la valeur actuelle de cette assurance seront :
ax = ET E¢(T ) [Z]
=
1 X
k
X
M¢(j) (¡1)f (k)
k=1 j=0
=
1 X
k
X
M¢(j) (¡1)(kj qx )
k=0 j=1
=
1
X
k=1
©
ª
exp ¡k¹ + ¾ 2 G(k) (k px );
où G(k) est représenté par la formule (82).
55
Nous pouvons aussi calculer la variance :
Var[Z] = ET [Var¢(T ) (Z)] + VarT [E¢(T ) (Z)]
ÃK
ÃK
"
!#
"
!#
X
X
v(j) j K
v(j) j K
+ VarT E¢(T )
= ET Var¢(T )
j=1
j=1
= A + B:
Pour alléger l’écriture on va utiliser des lettres (A; B; AA et AB ) pour représenter
certaines parties de formules.
On a ainsi
ÃK
X
"
A = ET Var¢(T )
= ET
"K
X
j=1
v(j) j K
#
!#
Var¢(T ) (v(j)) + 2ET
j=1
AA = ET
"K
X
1 X
k
X
Cov¢(T ) (v(l); v(m))
#
Var¢(T ) (v(j))
j=1
=
#
l=1 m=1
= AA + AB ;
où
" K l¡1
XX
Var¢(T ) (v(j)) (kj qx )
k=0 j=1
1
X
Var¢(T ) (v(j)) (k px )
=
k=1
1
X
£
¤
2
=
M¢(k) (¡2) ¡ M¢(k)
(¡1) (k px )
k=1
et
AB = 2ET
= 2ET
= 2
" K l¡1
XX
l=1 m=1
" K l¡1
XX
l=1 m=1
1
k X
l¡1
XX
k=0 l=1 m=1
#
Cov¢(T ) (v(l); v(m))
¡
¢
E¢(T ) [v(l)v(m)] ¡ E¢(T ) [v(l)] E¢(T ) [v(m)]
#
¡
¢
E¢(T ) [v(l)v(m)] ¡ E¢(T ) [v(l)] E¢(T ) [v(m)] (kj qx ): (90)
56
Il reste maintenant seulement à remplacer dans (90) les formules (73) et (75) :
et
©
ª
E¢(T ) (v(l)v(m)) = exp ¡(l + m)¹ + ¾ 2 [2G(l) + 2G(m) ¡ G(jl ¡ mj)]
©
ª
E¢(T ) (v(l)) = exp ¡l¹ + ¾ 2 G(l)
©
ª
E¢(T ) (v(m)) = exp ¡m¹ + ¾ 2 G(m) :
Pour ce qui cencerne la formule représentée par la lettre B on a :
ÃK
"
!#
X
v(j) j K
B = VarT E¢(T )
j=1
2(
)2 3
K
X
= ET 4
M¢(j) (¡1) ¡ ET E¢(T ) [Z] 5
j=1
=
" k
1
X
X
k=0
j=1
#2
M¢(j) (¡1) ¡ ET E¢(T ) [Z]
(kj qx ):
Dans le cas d’un portefeuille d’assurance, on obtient les résultats suivants :
ET E¢(T ) [Z(c)] = cET E¢(T ) [Zi ]
1
X
©
ª
= c
exp ¡k¹ + ¾ 2 G(k) (k px ):
k=1
On peut alors calculer la variance du portefeuille :
Var[Z(c)] =
c
X
Var [Zi ] + 2
c X
r¡1
X
Cov (Zi ; Zj )
(91)
r=1 s=1
i=1
= C + D:
Nous allons calculer les 2 termes de l’équation (91) séparément. Le premier terme
devient :
C =
c
X
Var [Zi ]
i=1
= cVar [Zi ]
57
(92)
Si on remplace (88) dans le deuxième terme et si on utilise une des propriétées de la
covariance, on obtient
D = 2
c X
r¡1
X
Cov
r=1 s=1
= 2
c X
r¡1
X
v(l);
l=1
"
ET Cov¢(T )
r=1 s=1
+2
ÃK
r
X
c X
r¡1
X
CovT
r=1 s=1
Ã
Ks
X
v(m)
m=1
ÃK
r
X
E¢(T )
= DA + DB :
!
v(l);
l=1
"K
r
X
l=1
Ks
X
m=1
v(m) j Kr ; Ks
#
v(l) j Kr ; E
"K
s
X
m=1
!#
v(m) j Ks
#!
Grâce au fait que les Ki sont i.i.d., le terme DB est égal à 0: On a alors,
!#
ÃK
"
Ks
c X
r¡1
r
X
X
X
v(l);
v(m) j Kr ; Ks
D = 2
ET Cov¢(T )
r=1 s=1
= 2
c X
r¡1
X
ET
r=1 s=1
= 2
c X
r¡1
X
r=1 s=1
= 2
ET
"K K
s
r X
X
l=1 m=1
"K K
s
r X
X
c X
r¡1 X
1
X
l=1
m=1
#
Cov¢(T ) (v(l); v(m))
¡
#
¢
E¢(T ) [v(l)v(m)] ¡ E¢(T ) [v(l)] E¢(T ) [v(m)]
l=1 m=1
ks
1 X
kr X
X
r=1 s=1 kr =0 ks =0 l=1 m=1
©
ª
E¢(T ) [v(l)v(m)] ¡ E¢(T ) [v(l)] E¢(T ) [v(m)] (kr j qx )(ks j qx )
(93)
La dernière étape consiste à utiliser les résultats obtenus dans la section 6.4.1,
plus précisément les formules (73) et (76) :
et
©
ª
E¢(T ) (v(l)v(m)) = exp ¡(l + m)¹ + ¾ 2 [2G(l) + 2G(m) ¡ G(jl ¡ mj)]
©
ª
E¢(T ) (v(l)) = exp ¡l¹ + ¾ 2 G(l)
©
ª
E¢(T ) (v(m)) = exp ¡m¹ + ¾ 2 G(m) :
58
La formule de la variance d’un portefeuille de c contrats identiques d’assurances de
rente viagère est donnée par la somme des formules (92) et (93) :
Var[Z(c)] = cVar [Zi ]
+2
c X
r¡1 X
1
X
1 X
kr X
ks
X
r=1 s=1 kr =0 ks =0 l=1
7.3.1
Simulations
8
<
E¢(T ) [v(l)v(m)]
9
=
: ¡E
;
m=1
¢(T ) [v(l)] E¢(T ) [v(m)]
(kr j qx )(ks j qx )
Les graphiques montrent la fonction de probabilité empirique de la valeur actuelle
d’une assurance de rente viagère pour un assuré de sexe masculin de 65 ans.
Les paramètres concernant le processus stochastique du taux d’intérêt sont les
suivants : on considère un processus autor¶
egressif d0 ordre 1 avec :
¹ = 0:06;
¾ = 0:012;
Á1 = 0:7:
Ci-dessous, on a les graphiques de la fonction de probabilité empirique de la valeur
actuelle d’une assurance viagère, obtenue après 500 000 itérations :
59
0.020
Probabilité
0.015
0.010
0.005
18.170
16.958
15.747
14.536
13.324
12.113
10.902
9.690
8.479
7.268
6.057
4.845
3.634
2.423
1.211
0.000
0.000
Prime
Assurance de rente viagère : fonction de probabilité empirique.
Ici, au contraire des assurances de capitaux, les petites valeurs sur l’axe des abscisses représentent les décès prématurés. Les pics qu’on voit dans le graphique sont
dus au fait que les rentes sont versées à intervalles discrèts, c’est-à-dire à la …n de
chaque anné. Sous l’e¤et de la variabilité du taux d’intérêt, ces pics deviennent de
plus en plus proches entre eux jusqu’à ce qu’on obtient une superposition. Si à la place
d’utiliser un taux d’intérêt stochastique on avait utilisé un taux d’intérêt constant, le
graphique de la fonction de probabilité empirique résultant aurait été constitué par
une série de pics qui ne se chevauchent pas.
Dans ce tableau, on retrouve les valeurs qui caractérisent la distribution selon les
données obtenues par simulation et de façon théorique :
T h¶
eorique
Simulation
Esp¶
erance
8:8673321
8:8613844
V ariance
12:8328502 12:8502764
60
18.170
16.958
15.747
14.536
13.324
12.113
10.902
9.690
8.479
7.268
6.057
4.845
3.634
2.423
1.211
0.000
Probabilité
1.000
0.900
0.800
0.700
0.600
0.500
0.400
0.300
0.200
0.100
0.000
Prime
Assurance de rente viagère : fonction de répartition.
Pour ce qui concerne les portefeuilles, on obtient les graphiques suivants :
0.020
Probabilité
0.015
0.010
0.005
150.363
143.038
135.712
128.386
121.060
113.734
106.409
99.083
91.757
84.431
77.106
69.780
62.454
55.128
47.802
40.477
0.000
Prime
Portefeuille de 10 assurances de rente viagère : fonction de probabilité empirique.
61
62
12417.019
12019.787
11622.555
11225.323
10828.091
10430.858
10033.626
9636.394
9239.162
8841.930
8444.697
8047.465
7650.233
7253.001
6855.769
6458.536
Probabilité
1207.159
1169.274
1131.389
1093.504
1055.619
1017.734
979.849
941.963
904.078
866.193
828.308
790.423
752.538
714.653
676.768
638.882
Probabilité
0.020
0.015
0.010
0.005
0.000
Prime
Portefeuille de 100 assurances de rente viagère : fonction de probabilité empirique.
0.020
0.015
0.010
0.005
0.000
Prime
Portefeuille de 1000 assurances de rente viagère : fonction de probabilité empirique.
Voici le tableau qui contient les montants des primes calculées d’après la méthode
de la Value-at-Risk. Pour des probabilitées données (80%, 90%,...,99%) on peut retrouver le montant de la prime individuelle d’un assuré de 65 ans faisant partie d’un
portefeuille d’assurance de 1,10 ,100 ou 1000 assurés.
Tableau 3
Evolution de la prime selon la taille du portefeuille
Prime pure avec un portefeuille de
Prob.
1 contrat
10 contrats 100 contrats 1000 contrats
0.80
11.916715
9.939682
9.481874
9.406567
0.90
12.916047
10.533070
9.841512
9.724353
0.95
13.712918
11.027038
10.154605
10.013765
0.975
14.399040
11.471294
10.441450
10.270263
0.98
14.591984
11.601065
10.526421
10.348007
0.99
15.183797
12.009216
10.794323
10.562513
Ici on peut faire les mêmes commentaire qu’on a fait au tableau 2 : plus le nombre
d’assurés est grand dans un portefeuille d’assurance, et moins chèr sera le coût du
risque associé à chaque contrat.
Le tableau qui suit nous montre, comme dans le cas de l’assurance vie-entière, que
le processus ne tend pas vers une loi normale. Dans le cas des assurances de rentes,
on a une dépendance qui est encore plus grande, due au lien entre les taux d’intérêt.
Tableau 4
P ortef euille de
1 assur¶
e
10 assur¶
es 100 assur¶
es 1000 assur¶
es
Esp¶
erance[ Z(c)
]
c
8.859852
8.865804
8.868774
8.864825
V ariance[ Z(c)
]
c
12.822637
1.661768
0.551161
0.439384
Coeff: d0 asym:[ Z(c)
]
c
-0.601468
0.141523
0.3297467
0.301911
Kurtosis[ Z(c)
]
c
-0.256679
0.102805
0.199589758
0.183919
63
7.4
Rente temporaire
Une assurance de rente temporaire peut être modélisée comme un paiement annuel
d’une rente jusqu’au moment du décès de l’assuré, mais au maximum pendant une
durée …xée au début du contrat. Les paiements sont e¤ectués aux temps 1; 2; :::; N:
Ce type d’assurance peut être représenté par :
8
< v(1) + v(2) + ::: + v(N ) si x < n
Z=
: v(1) + v(2) + ::: + v(n) si x ¸ n
Le développement des formules actuarielles pour ce type d’assurance est très semblable à celui pour l’assurance de rente viagère : par exemple, la prime pure avec un
taux d’intérêt déterministe est donnée par :
# n¡1
"K
X
X
v k+1 (k px ):
ET
v k+1 =
k=0
k=0
Dans cette dernière section, on a appliqué la théorie sur les assurances-vie avec
taux d’intérêt stochastiques à quatre types d’assurances. Bien évidemment, ces modèles peuvent être appliqués à beaucoup d’autres types d’assurances.
64
8
Conclusion
Dans cet article on s’intéresse à la tari…cation de produits d’assurance-vie sous
l’hypothèse d’un taux d’intérêt stochastique pour l’évaluation de la valeur actuelle
des prestations. Ce taux est modélisé, selon les modèles présentés, par des suites
chronologiques, en particulier par des processus autorégressifs. Des méthodes pour
estimer les paramètres du processus sont aussi présentées dans les premières sections.
Les sections suivantes présentent les formules analytiques qui permettent de calculer les moments de la valeur actuelle des prestations pour di¤érents types d’assurances.
On se limité aux types d’assurances les plus courantes sur le marché, c’est-à-dire l’assurance vie-entière, l’assurance mixte, l’assurance de rente viagère et l’assurance de
rente temporaire.
Les distributions de probabilité des valeurs actuelles des di¤érentes types de
contrats ont été obtenues à l’aide de simulations. Celles-ci nous ont aussi permis
de calculer la prime d’assurance à partir de nouvelles méthodes. On propose en e¤et
d’abandonner la tari…cation habituelle basée sur des tarifs calculés avec un taux …xe,
pour introduire deux nouvelles méthodes : l’une basée sur le concept de Value-at-Risk
et l’autre sur un concept qu’on a choisi de nommer Accepted-Mean-Loss. Ces nouvelles techniques de tari…cation tiennent compte du risque associé à un contrat ou
à un produit, et permettent aussi à chaque compagnie d’assurance de tenir compte,
dans le calcul de la prime, de la fortune libre disponible.
65
Références
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approach; Butterworths, London.
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deuxième éd., Springer, New York.
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[6] Johnson N. L., Kotz S., Kemp A. (1992). Univariate discrete distributions; WileyInterscience publication, New York.
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éd., Academic Press, New York.
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of Copenhagen.
[12] Persson S.-A. (1998). Stochastic interest rate in life insurance : the principle of
equivalence revisted, Scandinavian Actuarial Journal, 1998 No. 2.
[13] Ross S. H. (1997). Probability models; sixième éd., Academic Press, San Diego.
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[14] Ross S. H. (1997). Simulation; deuxième éd., Academic Press, San Diego.
[15] Tassi P. (1989). Méthodes statistiques, deuxième éd., Economica, Paris.
67