UNIVERSITE LOUIS PASTEUR STRASBOURG I

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UNIVERSITE LOUIS PASTEUR
STRASBOURG I
THESE
Pour obtenir le grade de
Docteur de l'Université Louis Pasteur
Discipline : Photonique et Image
Présentée et soutenue publiquement
Titre :
CONCEPTION D’UN CAPTEUR INTERFEROMETRIQUE ET SA
CARACTERISATION PAR IMAGERIE NUMERIQUE
par
Mounir BOUHIFD
le 25 novembre 1998 devant le jury composé de
JURY
M. VUKICEVIC D.
Professeur ULP
Université Louis Pasteur Strasbourg
Président
M. CUNIN B.
Professeur ULP
Université Louis Pasteur Strasbourg
Directeur de Thèse
M. MIEHE J. A.
Ingénieur
GOA Strasbourg
Examinateur
M. JOLY S.
Docteur ingénieur
CEA Bruyères-Le-Châtel
Rapporteur
M. WHELAN M. J.
Docteur
ISIS Joint Research Centre Ispra
Rapporteur
A ma famille …
REMERCIEMENTS
Ce travail a été effectué au Groupe d'Optique Appliquée (GOA) de l'institut de Recherches
Subatomiques de Strasbourg (IReS).
Je remercie vivement Monsieur J.A. Miehé, Directeur du laboratoire de m'avoir accueilli dans
son groupe, d'avoir suivi de près cette étude et passé des journées entières en ma compagnie en
salle de manipulation à scruter des franges d'interférence. Je lui suis aussi profondément
reconnaissant pour son soutien moral et financier.
Je suis profondément reconnaissant à l'égard à Monsieur B. Cunin d'avoir accepté de diriger ce
travail de thèse. Je le remercie pour le vif intérêt qu'il a porté à mon travail et pour ses
encouragements continus durant les mois difficiles de rédaction.
Mes remerciements s'adressent également à Messieurs S. Joly, D. Vukicevic et M. Whelan qui
m'ont fait l'honneur de bien vouloir accepté d'être les rapporteurs de ce mémoire.
Mes remerciements vont aussi à toutes les personnes du laboratoire qui m'ont gentiment
accueilli parmi eux et qui m'ont aidé à diverses reprises : P. Bordet, C. Eckert, P. Geist,
F. Heisel, M. Jung, M.A. Jung, A. Martz, J.P. Oberlin, M. Sowinska.
Je remercie enfin toutes les personnes que j'ai connues durant mon séjour à Strasbourg et qui
sont devenus de véritables amis. Sans eux, la vie quotidienne ne serait pas ce qu'elle est.
Strasbourg, Novembre 1998
Mounir Bouhifd
TABLE DES MATIÈRES
Introduction générale........................................................................................................... 7
1
Introduction à l’interférométrie optique ................................................................... 11
1.1
INTRODUCTION .................................................................................................................................. 11
1.2
INTERFÉRENCES LUMINEUSES .............................................................................................................. 12
1.2.1
Théorie électromagnétique....................................................................................................... 14
1.2.2
Phénomènes d'interférences ..................................................................................................... 14
1.2.3
Exemple de calcul de la phase ................................................................................................. 16
1.3
2
INTERFÉROMÉTRIE OPTIQUE ................................................................................................................ 18
1.3.1
Etat de l'art.............................................................................................................................. 18
1.3.2
Interférométrie numérique 2D.................................................................................................. 19
1.3.3
Le dispositif interférométrique étudié....................................................................................... 20
1.3.3.1
Présentation du capteur ...................................................................................................................... 20
1.3.3.2
Montage expérimental ....................................................................................................................... 21
1.3.3.3
Appareillage ...................................................................................................................................... 22
1.3.3.4
Systèmes imageurs............................................................................................................................. 23
Etude théorique .......................................................................................................... 25
2.1
INTRODUCTION .................................................................................................................................. 25
2.2
FRANGES D'INTERFÉRENCE.................................................................................................................. 25
2.2.1
Préambule................................................................................................................................ 25
2.2.2
Interférences produites par un coin d'air.................................................................................. 26
2.2.2.1
Source ponctuelle à l'infini ................................................................................................................. 26
2.2.2.2
Source lumineuse étendue.................................................................................................................. 30
2.2.2.3
Localisation des franges ..................................................................................................................... 31
2.2.2.4
Coin d'air réel .................................................................................................................................... 37
2.2.3
3
Interférences produites par une lame d'air ............................................................................... 38
2.2.3.1
Anneaux d'une lame à faces parallèles................................................................................................ 38
2.2.3.2
Anneaux d'une lame d'air ................................................................................................................... 41
2.2.3.3
Observation et enregistrement des franges.......................................................................................... 43
Interaction rayonnement laser – matière................................................................... 49
3.1
INTRODUCTION .................................................................................................................................. 49
3.2
EQUATION DE CONDUCTION DE LA CHALEUR ........................................................................................ 49
Table des matières
3.2.1
Conditions aux limites.............................................................................................................. 50
3.2.2
Solution de l'équation de la chaleur ......................................................................................... 52
3.2.3
Modèle de génération surfacique de la chaleur........................................................................ 52
3.3
3.2.3.1
Irradiation pulsée ............................................................................................................................... 53
3.2.3.2
Irradiation uniforme ........................................................................................................................... 58
EQUATIONS DE LA DÉFLEXION DE LA PLAQUE ....................................................................................... 61
3.3.1
Rappels de mécanique.............................................................................................................. 61
3.3.1.1
Tenseur de déformation...................................................................................................................... 61
3.3.1.2
Tenseur des contraintes...................................................................................................................... 62
3.3.1.3
Déformations longitudinales des plaques............................................................................................ 64
3.3.2
Contraintes thermiques ............................................................................................................ 66
3.3.3
Equation d'équilibre de la plaque ............................................................................................ 67
3.3.4
Solution complète de la déflexion thermomécanique de la plaque due à une excitation laser ... 69
3.4
SOLUTION COMPLÈTE DE LA DÉFLEXION D'UNE PLAQUE CIRCULAIRE ...................................................... 71
3.4.1.1
4
Irradiation pulsée ............................................................................................................................... 73
méthodes d'analyse et de caractérisation................................................................... 75
4.1
INTRODUCTION .................................................................................................................................. 75
4.2
EXPÉRIMENTATION............................................................................................................................. 76
4.3
MÉTHODE DE SUIVI DES NIVEAUX DE GRIS ............................................................................................ 76
4.3.1
4.4
Exemple d'application.............................................................................................................. 79
4.3.1.1
Extraction du signal interférométrique ............................................................................................... 79
4.3.1.2
Traitement du signal interférométrique .............................................................................................. 80
4.3.1.3
Conversion intensité - déplacement .................................................................................................... 81
MÉTHODE DE SUIVI DE FRANGES CIRCULAIRES ..................................................................................... 83
4.4.1
Relation entre la variation de l'épaisseur de la lame d'air et celle du rayon d'une frange
circulaire............................................................................................................................................... 83
4.4.2
4.5
Calcul de la variation de l'épaisseur de la lame consécutive à l'impact de l'impulsion ............. 84
MÉTHODE DE DÉCALAGE DE PHASE "PHASE SHIFTING" .......................................................................... 87
4.5.1
Concepts fondamentaux ........................................................................................................... 87
4.5.2
Méthodes d'analyse .................................................................................................................. 88
4.5.2.1
Technique à trois pas "three-step technique" ...................................................................................... 89
4.5.2.2
Algorithme de Carré .......................................................................................................................... 89
4.5.2.3
Algorithme de Hariharan.................................................................................................................... 90
4.5.3
Application .............................................................................................................................. 92
4.5.4
Validation par tracé de profils ................................................................................................. 94
4.5.5
Application en régime dynamique ............................................................................................ 95
4.6
4.5.5.1
Déplacement linéaire ......................................................................................................................... 95
4.5.5.2
Déplacement non linéaire................................................................................................................... 98
ETALONNAGE À L'AIDE D'UN DÉTECTEUR DE DÉPLACEMENT ................................................................ 100
Table des matières
5
Mise en œuvre expérimentale................................................................................... 103
5.1
ETALONNAGE DU CAPTEUR INTERFÉROMÉTRIQUE............................................................................... 103
5.1.1
Caractéristiques du capteur interférométrique ....................................................................... 103
5.1.2
Stabilisation de l'ensemble d'expérimentation ........................................................................ 104
5.1.3
Répétabilité de la mesure d'étalonnage .................................................................................. 105
5.1.4
Montage expérimental............................................................................................................ 106
5.2
MISE EN ŒUVRE EXPÉRIMENTALE ...................................................................................................... 107
5.2.1
Déformation de la plaque excitée........................................................................................... 109
5.2.2
Etude en fonction de la puissance d'excitation ....................................................................... 112
5.2.3
Etude en fonction de la durée d'excitation.............................................................................. 113
5.2.4
Etude en fonction des dimensions de l'impact d'excitation...................................................... 114
5.2.5
Influence de la position de l'excitation ................................................................................... 115
5.2.6
Influence de la position du laser de test ................................................................................. 116
5.2.7
Mesure du déplacement à énergie constante .......................................................................... 119
5.2.8
Déformation de la plaque pour une excitation centrale et ponctuelle ..................................... 119
5.2.9
Conclusion............................................................................................................................. 128
5.3
APPLICATION : VISUALISATION DES MODES DE VIBRATION D'UNE PLAQUE ........................................... 129
5.4
OPTIMISATION DU SYSTÈME INTERFÉROMÉTRIQUE ............................................................................. 132
Conclusion générale ......................................................................................................... 137
Annexes
.................................................................................................................... 141
Bibliographie.................................................................................................................... 167
Table des matières
INTRODUCTION GÉNÉRALE
Au cours de ces vingt dernières années, le développement des appareils d'instrumentation a
connu un essor important dû essentiellement à l'intégration de calculateurs performants dans
les systèmes de mesure. De nouvelles voies d'investigation ont été ouvertes. Par exemple, de
nouveaux capteurs interférométriques ont été utilisés dans des domaines très variés, tels que la
détection de flux de radiation, le suivi d'objets en déplacement et leur positionnement, le
contrôle de la qualité de surfaces d'objets, etc...
Mon laboratoire d'accueil, le Groupe d'Optique Appliquée (GOA) de l’Institut de Recherches
Subatomiques (IReS) de Strasbourg, a créé en 1993 une activité de recherche appliquée dans
le domaine de l’interférométrie optique. Le travail qui m’a été confié a consisté à développer et
à caractériser un capteur interférométrique de déplacement ou de déformation. Ce dispositif est
basé sur la modulation d'un réseau d'interférence créé pendant l'interrogation d'une cavité d'air
comprise entre deux plaques de verre.
Le mémoire de ma thèse comporte six chapitres qui décrivent les méthodes d'investigation et
les techniques expérimentales mises en oeuvre pour étudier ce capteur. Une attention toute
particulière est accordée à l'imagerie numérique dont l'emploi s'est révélé très fructueux, non
seulement pour ce travail d'investigation, mais également pour l'exploitation future de ce
nouveau détecteur.
En premier lieu, on rappelle les principes généraux de l'interférométrie nécessaires à la
compréhension des méthodes de mesures décrites ultérieurement. Puis, on présente le capteur
interféromètrique qui est constitué de deux plaques de verre rectangulaires (10 cm x 12 cm),
de 2 mm d'épaisseur, parallèles ou formant un coin d'air. En l'éclairant sous incidence quasinormale par une source lumineuse cohérente continue, parallèle ou divergente, on observe des
franges d'interférence circulaires ou parallèles dont les propriétés sont définies par l'épaisseur
optique de la cavité formée par les deux plaques. Tout changement de cette épaisseur se traduit
par la modification spatiale du réseau de franges d'interférence. Le suivi du mouvement de ces
franges permet l'analyse de la déformation ou du déplacement de l'une ou des deux plaques du
Introduction générale
7
capteur. La deuxième partie du chapitre est consacrée à la description des différents systèmes
interférométriques utilisés pour visualiser cette déformation et pour localiser les franges.
Dans un troisième chapitre, on analyse théoriquement les propriétés dynamiques de ce système.
Pour des raisons pratiques, seules des excitations thermiques, plus faciles à modéliser, seront
considérées. Sous l'impact d'une impulsion laser, on observe des variations spatiales des
franges qui sont en relation avec la déviation ou le déplacement de la plaque irradiée. Cette
étude comporte deux grandes parties. La première traite de la modélisation de l'interaction
rayonnement laser - matière. Des solutions analytiques et numériques de l’équation de
conduction de la chaleur sont établies pour une excitation thermique induite par un faisceau
laser pulsé. La distribution spatiale et temporelle de la température est déterminée en utilisant
différents modèles de l’irradiation laser et on en déduit la déformation mécanique
correspondante de la plaque.
Le quatrième chapitre décrit trois méthodes logicielles qui ont été développées pour traiter
automatiquement les images numériques du système de franges d'interférence qui ont été
enregistrées périodiquement, et pour en déduire l'évolution temporelle de la déformation de la
plaque irradiée. Ces méthodes sont basées sur :
a) le suivi de l'évolution du niveau de gris d'un pixel qui restitue les variations de luminance en
un point donné au cours de la séquence mémorisée,
b) le suivi des profils des franges d'interférence circulaires qui permet de déterminer
quantitativement les déplacements de la plaque excitée entre deux instants correspondant à des
multiples de la période d'acquisition,
c) la variation de phase dans la cavité optique (ou "phase shifting") qui consiste à enregistrer
périodiquement une séquence d'interférogrammes caractéristiques de la réponse du capteur à
une excitation et qui permet de reconstituer l'évolution temporelle de la phase et donc de la
déformation mécanique du capteur.
Le chapitre suivant est consacré à la caractérisation du capteur. L'analyse quantitative du
mouvement des franges est effectuée à l'aide d'une caméra CCD fonctionnant à la cadence de
50 images par seconde. Elle permet l'enregistrement de séquences d'images caractéristiques de
la dynamique spatio-temporelle du mouvement de la plaque excitée. Une caméra plus rapide
8
(1000 i/s) a été utilisée pour enregistrer la réponse du système interférométrique à des
excitations très brèves.
Enfin, on présente les principales caractéristiques expérimentales du capteur, et on décrit les
principales applications du capteur dans sa version actuelle ainsi que les améliorations qu'on
pourra y apporter.
9
O
+0641&7%6+10 # . +06'4('41/'64+' 126+37'
1.1 Introduction
Les techniques optiques sont actuellement largement utilisées dans la production de systèmes
automatisés pour mesurer les déplacements et inspecter les surfaces, car elles présentent des
avantages significatifs de qualité et de fiabilité. Parce qu'elles présentent une précision
excellente, une grande fiabilité et qu'elles permettent des mesures non destructives et sans
contact, des méthodes interférométriques comme l'holographie, la métrologie Speckel et les
techniques de projection de franges ont trouvé un intérêt croissant, non seulement dans la
recherche en laboratoire mais aussi dans des applications industrielles [1]. Ces méthodes
peuvent être exploitées dans l'industrie pour le contrôle et l'optimisation de composants
optiques (lentilles, miroirs, etc…), ou pour l'inspection in situ en vue de détecter des défauts de
production ou de fonctionnement d'équipements industriels. Elles sont aussi largement utilisées
comme une discipline de développement de solutions optiques dans divers problèmes
d'ingénierie (mécanique, biologie, médecine, etc…) mais surtout, elles sont devenues une
discipline majeure de la recherche fondamentale. Les détecteurs d'ondes gravitationnelles en
sont un bon exemple.
Le principe de base de ces techniques est la superposition cohérente (interférence) de faisceaux
de lumière représentant différents états de l'objet testé. Une propriété intéressante et commune
de ce phénomène réside dans le signal exploitable en sortie : le résultat est toujours matérialisé
par des réseaux périodiques de franges d'interférence. Cette notion importante de périodicité
est déterminée par la longueur d'onde des faisceaux qui interférent. Les fluctuations d'intensité,
ainsi obtenues, contiennent l'information sur les paramètres caractéristiques du phénomène
observé : déplacement, augmentation de température, absorption d'énergie , vibration, etc…
En conséquence, l'analyse de l'image observée peut être définie comme la conversion d'une
figure de franges en un réseau continu de phase qui décrit le caractère quasi-sinusoïdal de la
distribution d'intensité.
Les méthodes d'analyse de réseaux de franges ont toujours été présentes en interférométrie,
mais elles étaient effectuées manuellement jusqu'au début des années 1980. L'importance de
Chapitre 1 : Introduction à l’interférométrie optique
11
l'introduction des nouvelles technologies informatiques [2] est justifiée par un gain considérable
en temps de traitement et surtout la suppression des erreurs de manipulation. Récemment, on a
observé l'émergence de systèmes spécifiques de traitement d'images et particulièrement
d'images interférométriques. Ils ont bénéficié des technologies logicielles et matérielles
avancées qui permettent l'utilisation de systèmes capables de mémoriser un grand nombre
d'images et de les traiter en des temps de plus en plus courts grâce à des processeurs vidéo
dédiés. La combinaison de l'interférométrie optique et de l'imagerie numérique permet de
nouvelles approches en métrologie optique et en mesures non destructives telles que les
techniques d'investigation "temps réel". Dans ce domaine, l'analyse automatisée des franges
démontre toute son importance.
Dans ce premier chapitre , nous rappelons la définition générale du terme "interférence". Nous
présentons ensuite les principes généraux nécessaires à la compréhension de ce phénomène.
Enfin, après la description du capteur interférométrique étudié, nous justifions l'emploi d'un
capteur CCD comme moyen de détection.
1.2 Interférences lumineuses
Les termes "interférométrie" et "interféromètre" dérivent du mot "interférence" qui traduit le
mélange d'ondes cohérentes, mais qui peuvent être de natures différentes (sonores,
électromagnétiques, sismiques, etc..). La résonance, le battement de fréquence et la dissonance
sont tous des phénomènes d'interférence. L'interférométrie peut être considérée comme
l'addition de deux ondes qui vont s'additionner ou se soustraire en fonction de leurs amplitudes
et de leur différence de phase.
QPFG C
D
QPFG QPFG QPFG Figure 1-1 : Interférences constructives (a) et destructives (b)
12
Les interférences de lumière ont été observées pour la première fois par Young. L'étude de ce
phénomène, conduite par Young et Fresnel au début du XIXe siècle, a permis d'établir
définitivement la nature ondulatoire de la lumière [3]. Cette théorie repose sur l'hypothèse
fondamentale suivant laquelle chaque rayonnement monochromatique est associé à une
vibration y = a cos( 2π
t
− ϕ) de période T, parfaitement déterminée, et que l'intensité en un
T
point est proportionnelle au carré a 2 de l'amplitude de la vibration.
La superposition d'ondes provenant de deux sources lumineuses de même fréquence se traduit
par le phénomène d'interférence : en certains endroits, l'intensité lumineuse est maximale, alors
qu'en d'autres endroits, elle est minimale ou même nulle. La figure d'interférence obtenue
dépend de la forme des fronts d'onde (plans, sphériques, etc…) qui interférent ainsi que de
leurs directions de propagation relatives. Comme exemple, la figure 1-2 reproduit la variation
de l'intensité lumineuse sur un écran lorsqu'on fait interférer deux fronts d'onde par division
d'amplitude. Compte tenu de l'aspect de cette figure, on parle de franges d'interférence.
Figure 1-2 : Exemple de franges d'interférence
Il convient de souligner, dès à présent, que les méthodes métrologiques basées sur
l'interférométrie peuvent mesurer des déplacements de l'ordre de la fraction de la longueur
d'onde utilisée et sont donc très sensibles. Ceci peut, cependant, constituer un désavantage
puisque la mesure de grands déplacements n'est, en général, pas à leur portée. Remarquons
finalement que le phénomène d'interférence n'a lieu que sous certaines conditions que nous
évoquerons ultérieurement.
13
1.2.1 Théorie électromagnétique
→
→
Le champ électrique E et le champ magnétique B créés, dans le vide, par une source lumineuse
satisfont aux équations de Maxwell [4] :
→
∂B
rot E = −
∂t
→ →
→
∂B
rot B = µ 0ε 0
∂t
→ →
et
→
(1-1)
→
div E = 0
div B = 0
→
→
A partir de ce système, on obtient les équations de propagation des vecteurs E et B suivantes :
→
qui admettent
comme
solutions,
→
∂2 B
∆ B = µ 0ε 0 2
∂t
∂2 E
∆ E = µ 0ε 0 2
∂t
→
→
valables
en
champ
(1-2)
lointain,
les
ondes
planes
monochromatiques, de longueur d'onde λo, définies par les relations :
→
→
→
→
E = E 0 exp[− i(ωt − k 0 . r + θ)]
→
où k 0 =
→
et
→
→
→
B = B 0 exp[ − i(ωt − k 0 . r + θ)]
(1-3)
2π →
&
u est le vecteur d'onde et u est un vecteur unitaire décrivant la direction de
λ0
propagation de l'onde.
1.2.2 Phénomènes d'interférences
→
→
Soient deux vibrations monochromatiques isochrones rectilignes E1 et E 2 caractérisées par les
&
&
vecteurs d'ondes k 1 et k 2 . Elles peuvent s'exprimer sous la forme :
→
→&
→
E 1 = A 1 exp[− i(ωt − k 1 . r + θ1 )] e 1
→
→&
→
E 2 = A 2 exp[− i(ωt − k 2 . r + θ 2 )] e 2
(1-4)
14
soit :
→
→
E1 = ψ1 exp[− iωt ] e1
→&
ψ1 = A1 exp[i( k 1 . r − θ1 )]
où
→
→
ψ
ω
=
−
E2
2 exp[ i t ] e 2
→&
ψ 2 = A 2 exp[i( k 2 . r − θ 2 )]
(1-5)
&
En tout point de l'espace, le champ électrique résultant E s'écrit :
→→ →
→
→
E = E1 + E 2 = ψ1 exp[− iωt ] e1 + ψ2 exp[− iωt ] e 2
→
→
= (ψ1 e1 + ψ2 e 2 ) exp[− iωt ]
(1-6)
&
L'intensité totale I reçue en ce point est égale au carré de la norme du vecteur E , donc :
&
→
2
→
→
→
I = E = (ψ 1 e1 + ψ 2 e 2 ).(ψ1 e1 + ψ 2 e 2 )
→
→
= ψ1 .ψ1 + ψ 2 .ψ 2 + e1 . e 2 ( ψ 1 .ψ 2 + ψ1 .ψ 2 )
(1-7)
En posant :
I1 = ψ1. ψ1
I2 = ψ2 .ψ2
et
(1-8)
I devient :
→ →
I = I1 + I 2 + 2.e1 .e 2 .Re(ψ1 ψ 2 )
(1-9)
→ →
= I1 + I 2 + 2.e1 .e 2 . I1 I 2 cos ϕ
& &
Le terme 2 e1 . e 2 .(I 1 I 2 ) 1/ 2 cos ϕ est à l'origine des interférences et ϕ = ϕ1 − ϕ2 est la différence
de phase entre les deux ondes :
& &
& &
&
&
&
ϕ = (k 1 . r − θ1 ) − (k 2 .r − θ 2 ) = (k 1 − k 2 ).r + (θ 2 − θ1 )
(1-10)
Soit en posant :
&
&
&
K = k 2 − k1
et
Θ = θ 2 − θ1 :
& &
ϕ = K. r + Θ
15
&
K est le vecteur d'interférence et Θ représente la différence de phase à l'origine des
coordonnées. On en conclut qu'il y a effectivement interférence si :
- les vibrations ne sont pas perpendiculaires, sinon le terme d'interférence serait
&
&
& &
identiquement nul ( e1 ⊥ e 2 ⇒ e1 . e 2 = 0 )
- les deux sources lumineuses sont cohérentes, ce qui signifie que le déphasage ϕ entre les
deux sources ne doit pas être aléatoire.
La solution la plus simple pour satisfaire la première contrainte, consiste à utiliser deux ondes
&
&
lumineuses qui se déplacent parallèlement. Dans ce cas, le produit scalaire e1 . e 2 est unitaire et
le terme d'interférence s'écrit 2 ( I 1 I 2 ) 1/ 2 cos ϕ .
En optique, la condition de cohérence est assurée en utilisant une source lumineuse primaire
qui, par différents moyens (miroirs de Fresnel, fentes ou trous d'Young, lame séparatrice),
donne naissance à deux sources secondaires en phase. Les ondes émises présentent, en tout
point P de l'espace d'interférence, une différence de phase ϕ indépendante du temps qui varie
proportionnellement à la différence des chemins optiques δ parcourus :
ϕ=
2π
δ
λ
où λ est la longueur d'onde des deux vibrations lumineuses.
1.2.3 Exemple de calcul de la phase
P
S1
k1
a /2
S
X
r
O
a /2
S2
k2
D
Figure 1-3 : Réalisation d'interférences par division du faisceau (trous d'Young)
16
Au niveau des sources secondaires S1 et S2, les rayons issus de la source primaire S ont la
même phase puisque les chemins optiques [SS1] et [SS2] sont identiques [3]. Au point P, les
rayons issus de S1 et S2 ont par contre des phases ϕ1 et ϕ2 différentes puisque les chemins
optiques δ1 et δ2 parcourus sont inégaux.
&
&
&
ϕ = ( k 2 − k 1 ). r
&
&
Si on suppose que a est très petit devant D, on peut admettre que : k 1 ⊥ OS1 et k 2 ⊥ OS 2
En conséquence, on a :
ϕ=
2π
2π
δ
(δ 2 − δ1 ) =
λ
λ
avec : δ1, 2 = [S1,2 P] = n (S1, 2 P) où n est l'indice de réfraction du milieu de propagation des
ondes lumineuses. En général, ce milieu est l'air dont l'indice est très proche de 1.
D'après la figure 1-3, on a les relations :
(S1 P) = D[1 +
1
a
( X − ) 2 ]1/ 2
2
2
D
(S 2 P) = D[1 +
1
a
( X + ) 2 ]1/ 2
2
2
D
(1-11)
Comme les longueurs a et X sont petites devant D, on peut développer ces expressions en se
limitant au premier ordre :
(S1 P) ≅ D[1 +
1
a
(X − )2 ]
2
2
2D
(S 2 P) ≅ D[1 +
1
a
(X + ) 2 ]
2
2
2D
(1-12)
On en déduit la différence de marche qui vaut :
δ = δ2 − δ1 =
aX
D
(1-13)
Dans le cas d'un système à fentes d'Young, la phase ϕ au point P varie avec les paramètres a, X
et D suivant l'équation :
ϕ=
2π aX
λ D
(1-14)
17
1.3 Interférométrie optique
L'interférométrie est la technique de mesure basée sur le phénomène d'interférence pour des
applications très variées. Elle est mise en œuvre grâce à un dispositif spécifique :
l'interféromètre. Il existe plusieurs types et configurations d'interféromètres, mais ils
fonctionnent tous selon le même principe de base : ils permettent de superposer deux ondes
lumineuses cohérentes. La figure d'interférence qui en résulte dépend de la forme des fronts
d'onde (plans, sphériques, etc..) ainsi que de leur direction de propagation relative.
Les
phénomènes
d'interférences
non
localisées
sont
obtenues
avec
une
source
monochromatique de petites dimensions comme un trou ou une fente fine. On les justifie
facilement par la division du front d'onde. Les dispositifs classiques utilisés sont les trous ou
fentes d'Young décrits précédemment, les miroirs ou le biprisme de Fresnel. La cohérence
spatiale liée aux dimensions de la source jouent un rôle très important.
Au contraire, les phénomènes d'interférences localisées sont obtenus avec une source étendue.
L'interprétation est plus délicate. Pour retrouver la cohérence perdue, on fait généralement
intervenir la division de l'amplitude de l'onde incidente qui apparaît à la surface de séparation
de deux milieux transparents. La théorie ondulatoire de Fresnel suffit généralement pour une
interprétation simple des phénomènes.
Dans notre application, nous utiliserons un dispositif de type Fizeau ou Michelson qui est basé
sur la division de l'amplitude du front d'onde primaire. Les différentes configurations du
dispositif interférométrique ainsi que le mode de localisation des franges seront détaillées dans
le paragraphe suivant.
1.3.1 Etat de l'art
De nouveaux détecteurs optiques de faibles flux de radiation et de micro-vibrations ont été
développés. Ces capteurs sont basés sur la modulation d'un réseau d'interférence créé durant
l'interrogation d'une cavité d'air par une source lumineuse cohérente. La cavité d'air est très
similaire à un Fabry-Perot de basse finesse ou à un interféromètre de Fizeau formé par deux
plaques de verre parallèles [5]. Dans le domaine de la détection de flux de radiation, ces
18
capteurs montrent une grande sensibilité, une bonne stabilité et une réponse rapide. Ces
avantages peuvent être maintenus pour la détection de vibrations mécaniques.
Les capteurs optiques interférométriques à architecture simple (modulation d'une cavité d'air
par division d'amplitude) sont en pleine évolution grâce à leur grande sensibilité. Par exemple,
ils sont utilisés comme détecteurs dans la recherche sur les ondes gravitationnelles, où des
sensibilités de déplacement de l'ordre de 10 −14 m / Hz sont atteintes [6].
De manière plus générale, ils sont fréquemment employés en métrologie car leur principe de
fonctionnement est basé sur la transformation d'une différence de phase, donc de distance, en
une variation d'intensité, variable facilement mesurable. De plus, les distances mises en jeu sont
de l'ordre d'une fraction de la longueur d'onde utilisée et permettent des mesures très précises.
Parmi les autres applications métrologiques les plus connues, on peut citer les mesures d'indice,
de faibles épaisseurs, de distances, le contrôle de la planéité de surfaces transparentes ou
réfléchissantes, la spectroscopie de sources lumineuses (interféromètre de Fabry-Perot).
1.3.2 Interférométrie numérique 2D
La mesure de déformations de surface ou de mouvements d'un objet par des méthodes
d'interférométrie est caractérisée par une résolution submicrométrique mais, en général, elle est
locale. L'utilisation d'une caméra CCD comme moyen de détection permet d'effectuer des
mesures globales suivant deux dimensions et facilite grandement l'alignement du montage
optique ainsi que la localisation et la visualisation en temps réel des franges, sans que la mise
en œuvre de la technique ne présente de difficultés particulières. Si, de plus, la caméra est à
sortie numérique, il devient aisé d'enregistrer les images sur un disque magnétique de très
grande capacité et à faible prix de revient. Ce stockage offre d'autres avantages appréciables
tels que l'excellente immunité au bruit, l'accès rapide aux données et la possibilité de traiter
l'information en temps réel. Toutefois, ce choix implique des limitations de la fréquence
maximale détectable. En effet, la plupart des caméras CCD standards fonctionnent à une
cadence vidéo de 50 images par seconde ce qui, d'après le théorème de Shannon, équivaut à
une bande passante observable inférieure à 25 Hz. Cette valeur est trop faible lorsqu'on veut
étudier la réponse du capteur soumis à des excitations très brèves et, en particulier, ses modes
19
de vibration. Dans notre cas, ce problème a été résolu en utilisant une caméra CCD
fonctionnant à une cadence de 1000 images par seconde.
Comparée à l'interférométrie mono-pixel, le principal inconvénient de la méthode
d'investigation 2D réside dans la dégradation de la sensibilité de détection. Celle-ci est
essentiellement due à l'accroissement de la bande passante électronique nécessaire pour traiter
les pixels d'une image en un temps compatible avec la cadence d'acquisition souhaitée. Ce point
sera étudié en détail ultérieurement (annexe 2).
1.3.3 Le dispositif interférométrique étudié
1.3.3.1 Présentation du capteur
Il a été conçu dans le cadre d'un contrat européen Innovation DG XIII et devait répondre aux
critères suivants [7] :
- une conception mécaniquement stable et précise permettant de modifier la géométrie du
dispositif afin d'en faciliter la caractérisation expérimentale,
- une surface d'investigation voisine de 7 cm2.
Le capteur qui a été réalisé puis testé est schématisé sur la figure 1-4.
2NCSWGU FW ECRVGWT
6CDNG FG VTCPUNCVKQP
JQTK\QPVCNG
'SWGTTG XGTVKECNG
UWRRQTVCPV NC RNCSWG
FG NGEVWTG FW ECRVGWT
$¸VK RTKPEKRCN
Figure 1-4 : Coupe schématique du capteur interférométrique
20
Il est constitué de deux plaques de verre rectangulaires (10 cm x 12 cm), de 2 mm d'épaisseur,
qui peuvent former un coin d'air ou être disposées parallèlement. Sa structure comporte les
éléments principaux suivants [8] :
•
le bâti principal qui sert de base rigide à l'ensemble des composants,
•
la table de translation horizontale ayant une course de 63 mm (Microcontrôle, MRN
012). Elle assure le contrôle de l'épaisseur de la cavité qui peut être ajustée entre 0 mm
(les deux plaques sont en contact) et 66 mm,
•
l'équerre verticale dont le plan est perpendiculaire à l'axe de translation horizontal. Elle
est évidée en son centre. Elle est équipée d'un dispositif précis et sans jeu qui permet
d'orienter la plaque de verre suivant deux dimensions.
•
une deuxième équerre solidaire de la table de translation,
•
la lame de verre, dite de "lecture", peut être translatée. Elle est éclairée par le faisceau
laser de lecture,
•
la lame de verre d'entrée est montée sur un support fixe, mais on peut modifier son
orientation par rapport à la première pour les rendre parallèles ou pour former un angle.
Elle est revêtue d'une couche de gélatine qui absorbe l'énergie déposée par une source
lumineuse d'excitation.
1.3.3.2 Montage expérimental
La figure 1-5 représente le dispositif de base qui a été utilisé dans toutes nos manipulations [7].
Toute modification ultérieure sera mentionnée.
21
E xcitatio n
L am e sem i
réfléchissan te
C avité
O p tiq u e
adap tative
C ap teu r
in terféro m étriqu e
F aisceau laser
d e lectu re
(6 32 nm , 6 m W )
V isu alisatio n, sto ck ag e
et traitem en t d 'im ag es
C am ér a
CCD
Figure 1-5 : Dispositif expérimental
En éclairant le capteur sous incidence normale par une source lumineuse cohérente continue
(Laser He-Ne), parallèle ou divergente, on observe des franges d'interférence circulaires ou
parallèles dont les propriétés sont définies par l'épaisseur optique de la cavité formée par les
deux plaques. Toute déformation ou déplacement de l'une ou des deux plaques, provoquée par
l'impact d'une excitation lumineuse (ou, plus généralement, par une force extérieure), introduit
un changement dans l'épaisseur de la cavité d'air qui se traduit par la modification spatiale du
réseau de franges d'interférence. Celui-ci est enregistré périodiquement par une caméra CCD
numérique associée à un système d'acquisition et de traitement d'images. Le suivi du
mouvement de ces franges permet l'analyse temporelle de la réponse du capteur.
1.3.3.3 Appareillage
Les différents éléments qui constituent ce dispositif expérimental sont [7] :
•
capteur interférométrique qui est disposé sur une table anti-vibratoire de marque
NEWPORT,
•
laser de lecture continu He-Ne (SPECTRA PHYSICS, 632 nm, 6 mW) qui illumine
l'interféromètre et crée le réseau de franges,
•
l'optique adaptative constituée généralement de lentilles divergentes ou d'expanseurs de
faisceau pour éclairer uniformément la cavité sur une surface d'environ 7 cm2,
22
•
une lame semi-réfléchissante qui permet d'observer le réseau d'interférence,
•
l'ensemble de détection constitué d'une caméra CCD équipée d'un objectif de focale
f = 50 mm et d'ouverture 1:1,4 et son système d'acquisition associé,
•
une diode laser de puissance à couplage fibré (SPECTRA PHYSICS) qui émet un
rayonnement à une longueur d'onde d'environ 800 nm. Celui-ci est partiellement
absorbé par la couche de gélatine qui recouvre une des plaques du capteur.
L'échauffement local qui en résulte provoque une déformation mécanique et donc une
variation de l'épaisseur de la cavité.
Cette source d'excitation a été choisie car elle est d'un d'emploi très souple. En effet, on
peut aisément régler sa puissance de 0,1 à 15 W en continu, sa durée d'émission depuis une
valeur minimale de 200 µs et sa fréquence de répétition (en mode pulsé) qui atteint une valeur
maximale de 1 kHz.
1.3.3.4 Systèmes imageurs
Différentes expériences ont été menées pour étudier la réponse du système interférométrique à
des excitations de durées allant de quelques millisecondes à quelques secondes. Deux systèmes
imageurs appropriés à ces conditions d'expérimentation ont été utilisés :
•
une caméra THOMSON qui fonctionne à une cadence de 50 images par seconde avec
une résolution de 8 bits (soit 256 niveaux de gris) et qui délivre des images entrelacées
au format de 384 x 288 pixels. La durée d'intégration est de 20 ms et la cadence
d'acquisition a été réduite à 25 Hz pour éviter la dégradation de la résolution spatiale
liée au mode entrelacé. Les pixels sont carrés avec un côté de 23 µm. Les images sont
capturées et enregistrées par un système à architecture VME développé par la société
ELTEC. Il fonctionne sous environnement OS 9 et intègre un processeur
EUROCOM6, une carte d'acquisition IPP et une carte mémoire VRM d'une capacité de
8 Mega-octets [9].
•
une caméra vidéo numérique ultra-rapide à mémoire intégrée, développée par le
laboratoire. Ce dispositif, appelé "CAMRECORD", permet de mémoriser une séquence
d'au moins 512 images acquises à la cadence de 1000 images par seconde, avec un
format de 512 x 512 pixels et une résolution de 8 bits. La taille des pixels est de
23
16 µm x 16 µm. L'ensemble est piloté à partir d'un ordinateur hôte via un lien parallèle
bidirectionnel SCSI [10].
24
'67&' 6*'14+37'
2.1 Introduction
Dans le premier chapitre, nous avons présenté le capteur interférométrique et son principe de
fonctionnement. Nous avons rappelé que le mouvement des franges traduit la variation de
l'épaisseur de la cavité optique. Pour des raisons de facilité de contrôle et de mise en œuvre,
nous avons choisi de provoquer cette déformation mécanique par voie thermique en utilisant
une diode laser de puissance comme source d'excitation, son rayonnement étant partiellement
absorbé par la fine couche de gélatine qui recouvre une des plaques de l'interféromètre. Un des
objectifs de ce travail étant d'optimiser la sensibilité de ce dispositif, il nous a semblé utile
d'analyser en détail l'interaction rayonnement laser - matière, puis la relation entre le
déplacement des plaques et le mouvement observé des franges d'interférence.
On se propose donc de développer une étude théorique qui comporte deux volets. En premier
lieu, nous décrirons dans ce chapitre les systèmes interférométriques que nous avons utilisés
ainsi que le mode de localisation des franges. Ensuite, dans le troisième chapitre, nous
présenterons les modèles mathématiques qui nous ont permis de quantifier l'augmentation de la
température, et la déformation de la plaque en résultant, consécutive à une excitation laser.
2.2 Franges d'interférence
2.2.1 Préambule
Durant notre étude, nous avons été amenés à considérer différentes configurations du capteur
interférométrique, ou plus précisément de l'alignement des plaques. Au début, nous avons
utilisé des plaques parallèles. Ce choix permet d'obtenir un réseau de franges d'interférence
simple à analyser, mais il présente en même temps des difficultés évidentes d'alignement et de
réglage du parallélisme. Par la suite, nous avons opté pour un montage du capteur "en coin
d'air" dans lequel les plaques font entre elles un angle très petit. Le réseau des franges s'en
trouve évidemment modifié.
Chapitre 2 : Etude théorique
25
Nous nous proposons, à présent, d'analyser théoriquement les phénomènes d'interférence et
leur localisation pour chacune de ces deux configurations, en considérant successivement le cas
d'une source lumineuse ponctuelle, puis celui d'une source étendue. Le système
interférométrique considéré sera assimilé à un coin ou une lame d'air, délimité par des plaques
de verre dont on négligera l'épaisseur, dans un premier temps. Nous discuterons ensuite les
modifications qui apparaissent lorsqu'on tient compte de l'épaisseur réelle.
2.2.2 Interférences produites par un coin d'air
2.2.2.1 Source ponctuelle à l'infini
Le montage considéré est représenté sur la figure 2-1 :
Figure 2-1 : Schéma du montage par un coin d'air
Deux surfaces planes semi-transparentes M1 et M2, d'épaisseurs négligeables, délimitent un
coin d'air, d'angle α très petit (quelques minutes), dont l'arête est perpendiculaire au plan de la
figure. Le dispositif est éclairé par une source ponctuelle monochromatique S placée au foyer
de la lentille L.
26
On supposera, par la suite, que les amplitudes des vibrations partiellement réfléchies par M1 et
M2 sont égales.
Figure 2-2 : Construction géométrique des faisceaux réfléchis par les surfaces du coin d'air
On note i l'angle d'incidence du faisceau parallèle sur la surface M1 (figure 2-2). Soit M un
point repéré par ses coordonnées polaires ρ et θ et situé sur le trajet des rayons réfléchis par
M1 et M2. Construisons au point O, sur l'arête du coin d'air, les directions R1 et R2 des
faisceaux parallèles réfléchis par les deux surfaces M1 et M2. On en déduit que l'angle
d'incidence sur M2 est i + α et que l'angle R2OR1 est égal à 2α.
La source S étant ponctuelle, il est possible de trouver deux rayons (1) et (2) cohérents qui
appartienne aux faisceaux réfléchis, respectivement, par M1 et M2 et qui interfèrent au point
M (figure 2-3) : ils sont donc, respectivement, parallèles aux directions R1 et R2. Construisons
les deux rayons incidents correspondants. Pour déterminer la différence de marche au point M,
traçons les plans d'onde P1 et P2 passant par M en abaissant de ce point les perpendiculaires
MH1 et MH2 aux directions R1 et R2.
27
Figure 2-3 : Différence de marche au point M d'interférence
Si on suppose que les réflexions sont de même nature, la différence de marche au point O est
nulle. Au point M, elle s'écrit :
δ(M ) = OH 2 − OH1
β 1 = (MOR1)
Soient :
(2-1)
β 2 = (MOR2)
Des relations angulaires évidentes :
β1 + θ =
π
−i
2
et
β2 + θ =
π
− ( i + 2α )
2
(2-2)
on en déduit :
δ(M ) = OH 2 − OH1 = ρ cos β 2 − ρ cos β 1 = ρ [sin( i + 2α + θ) − sin( i + θ)]
(2-3)
δ(M ) = 2 ρ sin α cos( i + θ + α)
Les surfaces équiphases sont obtenues pour :
δ = 2 ρ sin α cos( i + θ + α ) = kλ
(2-4)
28
ou encore :
2ρsin α[cos(i + α) cos θ − sin( i + α) sin θ] = kλ
En se référant au repère cartésien constitué par les axes Ox confondu avec la droite OM1 et
Oy qui lui est perpendiculaire, on a :
x = ρ cos θ
et
y = ρ sin θ
et on obtient :
2 x sin α cos(i + α ) − 2 y sin α sin( i + α ) sin θ = kλ
(2-5)
Dans le plan de la figure, l'équation de la droite représentant la trace du plan équiphase d'ordre
k s'écrit donc :
y=
x
kλ
−
tg(i + α) 2 sin α sin( i + α)
(2-6)
Cette droite est donc parallèle à la bissectrice intérieure de l'angle formé par les directions
R1 et R2 (figure 2-3) dont l'équation, dans le système d'axes xOy, s'écrit :
y=
x
tg(i + α)
(2-7)
En plaçant un écran Ex passant par M (d'ordonnée yM) et parallèle à M1, on observe des
franges parallèles à l'arête du coin d'air. Elles sont définies par la relation :
xk =
kλ
+ y M tg(i + α )
2 sin αcos(i + α)
(2-8)
λ
2 sin α cos( i + α)
(2-9)
et l'interfrange vaut :
i tfx =
Les plans équiphases, correspondant à l'incidence i pour : k = 0, 1, 2, 3 et 4, sont représentés
sur la figure 2-4.
29
Figure 2-4 : Tracé des plans d'équiphase
Si l'écran est perpendiculaire à ces plans, donc parallèle à la direction OP qui est la bissectrice
extérieure de l'angle (R1OR2), on a : ( xOP ) = i + α. Dans ce cas, l'interfrange est
indépendante de l'angle d'incidence et vaut :
i tf = i tfx cos(i + α) =
λ
2 sin α
(2-10)
La source étant ponctuelle, les phénomènes d'interférence ne sont pas localisés et les franges
sont observables sur un écran placé dans la zone de recouvrement des faisceaux réfléchis.
2.2.2.2 Source lumineuse étendue
Remplaçons la source ponctuelle par une source étendue telle que l'incidence varie de i − ∆i à
i + ∆i . Nous avons représenté sur la figure 2-5 les plans équiphases d'ordres k = 0 et 3
correspondants. Pour k = 3, ils sont tangents au cercle de rayon OP aux points Pi − ∆i et Pi +∆i .
30
O
Pi
Figure 2-5 : Tracé des plans d'équiphase pour une source étendue
2.2.2.3 Localisation des franges
Sur un écran passant par M, les systèmes de franges correspondant aux diverses incidences
sont décalés de part et d'autre du système obtenu avec une source ponctuelle et se brouillent
mutuellement : les interférences deviennent rapidement inobservables. Par contre, les franges
restent observables suivant la direction OPi car, dans cette zone très localisée, les déviations
des surfaces équiphases sont minimales. Une méthode pratique consiste à former l'image de ce
plan dit de "localisation des franges" (ou "plan de cohérence spatiale maximale") sur un écran à
l'aide d'une lentille convergente. Dans ce plan, la position des franges brillantes pour l'incidence
i est toujours définie par :
OPk = ρk =
kλ
2 sin α
avec
i tf =
λ
2 sin α
(2-11)
Soit Q le point l'intersection du plan de la figure (2-6) et des surfaces équiphases d'ordre k
correspondant aux incidences i − ∆i et i + ∆i .
31
La distance PQ représente l'élargissement de la frange brillante d'ordre k centrée en P. En se
limitant à des écarts ∆i très petits, on peut écrire :
PQ =
OP
1
− OP ≈ OP (
− 1) ≈ OP x ∆i 2 2
cos ∆i
1 − ∆i 2 2
Figure 2-6 : Intersection des plans d'équiphase pour une source étendue
Sachant qu'on estime que les franges restent visibles si :
PQ <
i tf
4
on en déduit :
∆i 2
λ
kλ
<
x
soit
2 sin α 2
8 sin α
k<
1
2 ∆i 2
Expérimentalement, la variation d'incidence sera de plus limitée par le diamètre de la pupille de
l'observateur ou par l'ouverture de la lentille du dispositif d'observation ou de projection. En
estimant l'écart angulaire ∆i à 5°, le nombre de franges observables est proche de 65.
Le plan de localisation que nous venons de définir suggère un type d'interférences très
particulier. Bien que la condition de cohérence spatiale puisse être considérée comme
suffisante, étudions les ondes, ou plutôt les rayons, qui ont subi une division d'amplitude
(figure 2-7). Soit un rayon initial (0) unique d'incidence i. Celui-ci est partiellement réfléchi en I
32
sur M1 et donne le rayon (1). Le rayon partiellement transmis tombe sur M2 en J sous
l'incidence i + α . Il est ensuite réfléchi pour donner le rayon (2). Ces deux rayons, ayant subi la
division d'amplitude, sont cohérents et leurs prolongements se coupent au point P. Montrons
que OP est bien la direction du plan de localisation que nous avons définie précédemment.
Dans le triangle IPJ, OM1 est bissectrice extérieure de l'angle (PIJ) et OM2 est bissectrice
intérieure de l'angle (IPJ). OP est donc la bissectrice extérieure de l'angle (IPJ). Sachant que :
(OPI) =
π
−α
2
(IPJ) = 2α
on en conclut qu'on a :
(IOP) = i + α
O
Figure 2-7 : Localisation des franges obtenues par division d'amplitude
Les rayons qui ont subi la division d'amplitude interférent donc dans le plan de cohérence
spatiale maximum, ou plan de localisation des franges, défini précédemment. Ce plan, situé en
33
arrière du coin d'air, est virtuel. On peut observer les franges, soit à l’œil nu, en accommodant
sur le plan de localisation, soit en projetant l'image sur un écran avec une lentille convergente.
Si les rayons sont proches de l'axe et peu inclinés, l'image du point P est un point P' tel que
tous les chemins optiques qui vont de P à P' sont égaux. L'état interférentiel en P' sera donc le
même qu'en P.
Pour calculer la différence de marche en P, nous pouvons utiliser le résultat relatif au point
M(ρ, θ) avec θ = − ( i + α ) , soit :
δ(M ) = 2 ρ sin α cos( i + θ + α) = 2 ρ sin α = 2 OP sin α ≈ 2 OP α
(2-12)
La position des franges brillantes pour l'incidence i est donnée par :
OPk = ρk =
kλ
2 sin α
avec
i tf =
λ
2 sin α
Un calcul direct de la différence de marche est également possible. Reprenons la figure
précédente en y ajoutant la lentille et l'écran (figure 2-8). Soit J' le point symétrique de J sur le
rayon (1). En J et J', les ondes (1) et (2) sont en phase puisque IJ = IJ '. Les chemins optiques
entre le point P et son image P' sont égaux.
34
O
Figure 2-8 : Visualisation des franges obtenues par division d'amplitude
On a donc :
( PJ ' ) + (J ' P ' ) = ( PJ ) + ( JP )
soit
( JP ) − (J ' P ' ) = ( PJ ' ) − (PJ )
La différence de marche s'écrit :
δ = PJ '− PJ = PI + IJ − PJ
(2-13)
Dans le triangle IJP, on a :
P = 2α ;
I = 2i ;
J = π − 2( i + α )
soit :
PI + IJ − PJ
PJ
=
sin 2 ( i + α ) + sin 2α − sin 2 i sin 2 i
et :
δ(P ) = PJ
sin 2( i + α) + sin 2α − sin 2i
sin 2i
(2-14)
35
Comme, dans le triangle POJ, on a :
O=i
J = π / 2 − ( i + α)
on en déduit les relations :
PJ
OP
=
sin i cos( i + α)
δ ( P) = OP
sin i
sin 2(i + α ) + sin 2α − sin 2i
= 2OP sin α
cos( i + α )
sin 2i
(2-15)
(2-16)
On retrouve bien l'expression (2-12) qui est indépendante de l'angle d'incidence i.
En pratique, on travaille toujours avec une incidence très proche de la normale (i ~ 0). Or nous
avons montré que le plan de localisation des franges d'égale épaisseur fait un angle égal à i + α
avec le pan M1 : il varie donc avec l'inclinaison du faisceau d'éclairement. En particulier, si on
choisit i < 0, il est aisé de vérifier que les franges sont localisées dans le coin d'air. En effet,
pour i = 0 (figure 2-9), le plan de localisation des franges coïncide avec M2 et les points P et J
sont confondus; la différence de marche s'écrit alors : δ(P) ≅ 2OJα ≅ 2IJ. Si on a : i = −α
(figure 2-10), le plan de localisation des franges coïncide avec M1 et les point P et I sont
confondus ; on a alors : δ(P) ≅ 2OIα ≅ 2IJ.
Figure 2-9 : Localisation des franges pour
Figure 2-10 : Localisation des franges pour
une incidence normale
une incidence i = −α
36
2.2.2.4 Coin d'air réel
Jusqu'à présent, nous avons considéré des lames d'épaisseur nulle. La figure 2-11 correspond à
une situation plus proche de la réalité. Nous avons choisi un rayon légèrement incliné ( i = −α )
pour obtenir une incidence normale sur M2. En pratique, l'angle α est inférieur à la minute
d'arc et l'épaisseur de la lame d'air dépasse rarement quelques dizaines de microns, alors que
l'épaisseur des lames de verre est supérieure à 1 mm. On en conclut que d'autres réflexions et
transmissions avec division d'amplitude apparaissent sur les autres faces des lames, mais les
différences de marche mises en jeu sont trop grandes pour donner des interférences.
Dans ce cas de figure, le plan de localisation est M1 et le point P, dont on forme l'image, est
confondu avec I. On remarquera que la réflexion air-verre introduit un déphasage
supplémentaire de π, de sorte que la différence de marche s'écrit :
δ( P) = 2 IJ + λ / 2 ≈ 2 OPα + λ / 2
(2-17)
En résumé, expérimentalement, l'incidence et la direction d'observation seront toujours proches
de la normale. Pour une source étendue, la variation d'incidence sera limitée à quelques degrés
par le dispositif d'observation. Les phénomènes d'interférence sont dus à la division en
amplitude des ondes et sont localisés sur une surface proche des faces de la lame qui délimitent
le coin d'air. Si e désigne son épaisseur dans la zone étudiée, la différence de marche est
δ = 2e . Il faut éventuellement ajouter un déphasage de π pour tenir compte de la nature des
réflexions.
37
Si la lame d'air forme un prisme à faces parfaitement planes (coin d'air), les franges noires sont
rectilignes, parallèles à l'arête et équidistantes. Pour une incidence voisine de la normale, elles
correspondent aux épaisseurs e = kλ / 2.
Figure 2-12 : Visualisation des franges d'un coin d'air
L'angle α étant très petit, la variation d'épaisseur pour un déplacement x est : e'−e = α x (figure
2-12). Pour obtenir une interfrange de1 mm avec la lumière d'un laser He-Ne ( λ = 0,6328 µm )
et sachant qu'elle correspond à une différence e' − e = λ / 2 , on en déduit qu'il faut choisir
l'angle α tel que :
α=
0,6328x10 −6
= 0,3 x 10 −3 rd
−3
2x10
soit : α ~ 1 minute.
L'angle des deux faces doit toujours être très faible si on veut éviter des franges trop serrées.
2.2.3 Interférences produites par une lame d'air
2.2.3.1 Anneaux d'une lame à faces parallèles
Considérons une lame de verre à faces parallèles (figure 2-13) éclairée par une source
lumineuse ponctuelle monochromatique S. Un point M, situé du même côté de la lame que la
source S, reçoit deux rayons , l'un SIM réfléchi sur la face antérieure de la lame, l'autre SI'JKM
réfléchi sur la face postérieure : ces deux rayons présentent une certaine différence de marche
et produisent en M un état d'interférence qu'on peut observer quelle que soit la position de M.
Comme dans tous les dispositifs interférentiels utilisant une source lumineuse ponctuelle, on
obtient des franges non localisées. Par ailleurs, comme ce montage possède une symétrie de
38
révolution par rapport à l'axe SH, on en conclut que les franges sont des anneaux centrés sur
SH.
S
M
H
I
K
I'
H'
n
J
Figure 2-13 : Schéma du montage pour une lame
Si on remplace la source S par une fente perpendiculaire au plan SIH, les franges en M ne
cessent pas d'être visibles. Il suffit que le point M soit à l'intersection des deux rayons réfléchis
IR et KR' provenant d'un même rayon incident SI (figure 2-14) : ces deux rayons sont
parallèles et leur point d'intersection M est rejeté à l'infini : la lame à faces parallèles, éclairée
par une source étendue, donne des franges localisées à l'infini. Ces franges ont été décrites par
Haidinger en 1849. On peut les observer à l'aide d'une lentille convergente O qui les localise
dans le plan focal.
F
S1
O
S
R
R1
R'
I1
R '1
K1
K
I
J
J1
Figure 2-14 : Visualisation des franges produites par une lame
Calculons la différence de marche en F ; le faisceau qui converge en F provient d'un faisceau
parallèle qui admet comme plans d'onde, dans l'air le plan KP, et dans le verre le plan IQ
39
normal au rayon JK (figure 2-15). D'après le théorème de Malus, les chemins optiques,
comptés entre le point F et les points du plan IQ, sont les mêmes pour les deux rayons ; il en
est de même du chemin SI. La différence des chemins optiques est donc représentée par la
longueur IJ + JQ parcourue dans le verre.
S
R
R'
P
I
K
H
M
N
e
r
Q
J
Figure 2-15 : Détermination de la différence de chemins optique dans une lame
Soit JH la normale à la lame au point de réflexion J ; le point H est au milieu du segment IK ;
projetons-le en M et N sur les deux rayons IJ et JK. On a évidemment, en désignant par
e l'épaisseur JH de la lame et par r l'angle de réflexion en J :
IJ + JQ = MJ + JN = 2 e cos r
(2-18)
Cette longueur est parcourue dans la lame d'indice n ; la différence des chemins optiques est :
(IJQ) = n IJ + n JQ = 2 ne cos r
(2-19)
On opère généralement sous des incidences voisines de la normale : dans ces conditions, la
réflexion SIR, de l'air sur le verre, introduit une différence de marche de λ / 2 . Au contraire, la
réflexion IJK, du verre sur l'air, n'introduit pas de différence de marche. Le retard optique est
donc :
δ = ( IJQ) + λ / 2 = 2 ne cos r + λ / 2
(2-20)
Il ne dépend pas de la position du point S, mais uniquement de l'angle r qui est le même pour
tous les rayons qui viennent converger en F, quelle que soit leur provenance. Un point S1
40
(figure 2-14) fournit deux rayons I1R1F et K1R'1F qui présentent en F la même différence de
marche δ que les rayons issus de S ; les points S et S1 donnent le même système de franges
dans le plan focal de la lentille, et les franges y sont nettes quelle que soit l'étendue de la
source.
2.2.3.2 Anneaux d'une lame d'air
Au lieu de produire les interférences par réflexion sur les deux faces d'une lame de verre, on
peut les produire par réflexion sur les deux faces d'une lame d'air comprise entre deux plaques
à faces parallèles (figure 2-16).
R
S
R'
i
i
G
I
T
P
J
H
N
M
e
L
Q
K
G'
Figure 2-16 : Interférences dans une lame d'air
Etudions, par exemple, les anneaux par réflexion : les rayons qui arrivent en un point du plan
focal de la lentille d'observation correspondent, dans la lame, à un plan d'onde JQ normal au
rayon KL, et la différence de marche entre les deux rayons IJPR et IJKLTR' est égale à la
longueur JK + KQ parcourue dans l'air. On a :
JK + KQ = MK + KN = 2e cos i
(2-21)
Les réflexions en J et en K sont de natures différentes : il faut ajouter λ / 2 , et le retard optique
est :
41
δ = 2 e cos i + λ / 2
(2-22)
Les phénomènes sont les mêmes que pour une lame de verre, et la formule est la même, l'indice
étant 1, et l'angle des rayons dans la lame avec la normale étant i. Une complication peut être
introduite par les rayons R1 et R'1 réfléchis sur les faces extrêmes des plaques : leur intensité
est à peu près la même que celle des rayons R et R' (figure 2-17), et leur interférence fournit un
second système d'anneaux, plus serré que le premier puisque l'épaisseur est plus grande. Il est à
peine visible lorsque l'épaisseur e est petite par rapport à l'épaisseur des plaques, parce qu'il est
beaucoup plus serré que le système RR'. Dans les interféromètres, on s'arrange généralement
pour rejeter les rayons R1R'1 en dehors du champ d'observation, en donnant aux plaques une
forme légèrement prismatique. Une autre solution consiste à utiliser des plaques de verre à
faces anti-réfléchissantes.
S
R1 R
R ' R '1
G
G'
Figure 2-17 : Interférences supplémentaires produites par les surfaces extrêmes des plaques
Lorsqu'on produit ainsi les anneaux à l'infini à l'aide d'une lame d'air, il est possible d'en varier
l'épaisseur de manière continue en déplaçant la plaque arrière G', parallèlement à elle-même.
Supposons qu'on écarte G' de G, de façon à faire croître e, et qu'on suive au cours de ce
déplacement un anneau donné, par exemple l'anneau noir d'ordre m qui correspond au retard
δ = mλ + λ / 2. La valeur correspondante de l'angle i (donnée par cos i = mλ / 2 e ) augmente à
mesure que l'épaisseur augmente : on voit les anneaux s'élargir et un nouvel anneau noir
apparaître au centre chaque fois que l'épaisseur e varie de λ / 2 . Si, au contraire, on rapproche
les lames, les anneaux se rétrécissent et viennent disparaître les uns après les autres au centre
du champ.
42
2.2.3.3 Observation et enregistrement des franges
Le dispositif de la figure 2-18 a été utilisé pour créer et observer les franges du capteur
interférométrique au voisinage de l'incidence normale. Il est disposé sur une table suspendue
afin de minimiser l'influence des vibrations environnantes. Il permet d'obtenir des franges
d'interférence circulaires sur une surface d'environ 7 cm2.
2 0 cm
P laq u es
1m
1 0 cm
L am e sép aratrice
L aser de lectu re
H e-N e
L entille d e
fo cale 3 1 m m
e
O bjectif
( f = 50 mm )
C am éra C C D
Figure 2-18 : Montage optique
Une vue détaillée de l'ensemble d’observation des franges est donnée sur la figure 2-19. Les
rayons issus de la source monochromatique SS1 sont réfléchis par les deux plaques du capteur
et tombent sur la lame semi-réfléchissante pour former le système d'anneaux dans le plan focal
de l'objectif O. L'analyse qui suit se réfère à une lame à faces parallèles d'indice n ; dans notre
cas, on prendra n = 1 (et donc : i = r).
43
S
S1
source monochromatique
Plan focal
O
Lame semiréfléchissante
M
Plan d'observation
( CCD )
i
F
i
Objectif de
la caméra
Plaques
r
Figure 2-19 : Observation des franges
Le retard optique au centre F du champ s'écrit : δ0 = 2ne + λ/2 ; il diminue à mesure qu'on
s'écarte du centre du champ et que les angles i et r augmentent. Les points, pour lesquels l'état
d'interférence est le même qu'en F, sont caractérisés par la relation δ = δ0 - kλ; ils
correspondent à un angle de réfraction donné par la relation :
2 n e ( 1 − cos r ) = k λ
(2-23)
Nous appellerons ordre d'interférence au centre, le nombre p défini par la relation :
δ0 = p λ +
λ
2
où : p =
2ne
λ
Si p est entier, il y a obscurité en F : on a des anneaux à centre noir ; si p est égal à un nombre
entier augmenté de 1/2, on observe un maximum de lumière en F. La valeur de l'angle de
réfraction r du k
ème
relation : 1− cos r =
anneau, c'est-à-dire celui correspondant à l'ordre (p - k) est donnée par la
kλ
. Les angles i et r étant petits, on peut écrire :
pλ
i2
k
= ,
2
p
2n
ou
i= n
2k
= k
p
nλ
e
(2-24)
A l'angle i correspond, dans le plan focal de la lentille, un point F tel que FM = f i, f désignant
la distance focale. On en conclut que les rayons des anneaux correspondant au même état
d'interférence que le centre varient comme les racines carrées des nombres entiers, c'est-à-dire
44
comme les nombres 1, 1,41, 1,73, 2, 2,24, etc.. Ils se resserrent à mesure qu'on s'écarte du
centre, leur aspect étant celui que représente la figure 2-20 : si le rayon du premier anneau est
ρ, la distance du kème au (k + 1)ème anneau est :
ρ( k +1 − k ) =
ρ
k +1 + k
≈
ρ
2 k
pour : k >> 1
Si p est entier, les rayons ainsi calculés sont ceux des anneaux noirs; les rayons des anneaux
brillants sont alors sensiblement égaux à ρ
k+
1
.
2
Il convient de préciser que :
•
comme tous les phénomènes où l'on observe l'interférence de deux rayons,
l'éclairement varie d'une façon continue, suivant la loi sinusoïdale I = I 0 cos 2
•
πδ
.
λ
la qualité des franges dépend fortement de la planéité des surfaces des plaques. Si les
épaisseurs e1 et e2 de la cavité en deux points diffèrent de λ/4, les retards introduits
diffèrent de λ 2 , et les deux systèmes d'anneaux produits par S1 et S2 se détruisent.
La figure 2-20 représente l'image d'un système de franges observé dans le plan focal de
l'objectif de la caméra pour une épaisseur de la cavité e égale à 14 mm. Elle a été enregistrée à
l'aide du montage décrit ci-dessus ( figure 2-19).
N pixels
Figure 2-20 : Système d'anneaux (image prise dans le plan focal)
45
Les diamètres des anneaux sont déterminés en analysant le profil suivant un axe horizontal
passant par le centre du système de franges. Si Nk est le nombre de pixels correspondant au
diamètre d k de la kème frange, on en déduit immédiatement : d k = N k x 23 µm . Ainsi la
première frange sombre couvre environ 28 pixels, ce qui équivaut à :
r1 =14 x 23 µm=322 µm
i1 =
et
r1
= 6,510
. −3 rd .
f
Il est intéressant de comparer ces résultats avec ceux déduits de l'étude théorique précédente.
Sachant que l'angle d'incidence et le rayon correspondant à la première frange sombre sont
donnés par :
i1 =
nλ
e
et
r1 = f i 1 .
(2-25)
en prenant : λ = 0,6328 µm, e = 14 mm et f = 50 mm, on trouve :
i 1 = 6,7 . 10 −3 rd
et
r1 = 335 µm .
Cet accord satisfaisant entre ces valeurs valide la méthode de l'analyse du profil mais montre
que l'erreur sur N1 est voisine d'un pixel soit environ 12 µm sur le rayon r1.
On peut améliorer la précision de la détermination du diamètre des anneaux en enregistrant les
images hors du plan focal de l’objectif. On introduit ainsi un grandissement qui permet d'utiliser
une plus grande partie de la surface photosensible du capteur CCD. Un exemple est donné sur
la figure 2-21 qui correspond à un facteur de grandissement de 4.
46
grandissement G = 4.
Figure 2-21 : Image enregistrée avec un facteur de grandissement G = 4
47

UNIVERSITE LOUIS PASTEUR STRASBOURG I

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