2z = -1 - Berkeley City College

1. Solve the system of equations by Gaussian elimination or Gauss-Jordan elimination method.
3x + y − 2z = −1
a.
−2x + 3y + z = −3
+ 2y − z = −2
x
Ans: (0, −1, 0)
4x − 3y + 7z = 14
b.
3x + y + 3z = 5
x − 7y − 2z = 6
Ans: (1, −1, 1)
2y + z = −1
c.
x + 4y + z =
1
x − 3y
2
=
Ans: (2, 0, −1)
7x − y − z = 2
d.
−x
+ 2z = 5
5y − z = 7
Ans: (1, 2, 3)
x + 3y − z = −7
y + z = −2
e.
2y − 3z = −5
1 11 1
Ans: − , − ,
5
5 5
−x − y + z =
f.
= −7
x
+ y
x
− y − 2z =
Ans: (−8, 1, −7)
0
5
10x + 5y − z = −7
g.
+ 2z = −6
x
x
= −4
+ 2y
Ans: (0, −2, −3)
x − y + 9z = 30
h.
2x − y + z =
7
3x + y − 2z = −5
Ans: (1, −2, 3)
− 3z = −15
4x
5y − 2z = −12
i.
−x + y
=
1
Ans: (−3, −2, 1)
x + y − z =
j.
1
x − y + z = −1
x + y + z =
3
Ans: (0, 2, 1)
k.
4x
− y + 36z = 24
x
− 2y + 9z = 3
−2x + y + 6z = 6
12 5
Ans: 0, ,
7 7
3x
l.
+ y
= 2
−4x + 3y + z = 4
2x
+ 5y + z = 0
Ans: No Solution
2. Given matrix A and B, find AB and BA, if defined:
"
a. A =
1 −2 3


−3 7


2 2
B=


5 −4
#
2 −5 0

"
Ans:
AB =
−9
8
−16
"
#
8 −5 −3
b. A =
3 11
5
"
Ans:
AB =

11 −29 −9
44 −13 −23 31
#
BA is undefined.

h
i
B = 6 −1 −7 10 4

18
−3 −21
30
12



−36 6
42 −60 −24


 66 −11 −77 110 44 
AB = 



 42 −7 −49 70 28 


48 −8 −56 80 32




6 −14 6 
BA = 


4
−3 10 15


12 −6 −4 5


11 −7 0 3 
B=


−1 0 −3 −2
152 −95 −27 38
3
 
−6
 
 
c. A =  11 
 
7
 
8
Ans:
#

−9


−3 −8 10 
d. A = 


−4 3 2
12
3

5
−6
h i
BA = 49
7



−1 −1 9 
B=


3 2 −1

−93
30

23
AB = 

−17
Ans:

7
13
11
46
25
120



7
12
−4

128
18
181


−328 −162 −295
AB = 


543 243 225


−2 0 0


−3 −3 3 
g. A = 


9 15 −3
11 10
−8


−40 15 101


372 279 86 
BA = 


84 144 −48




2
7 2


−20 19 8 
B=


6 −4 −2
−14 −4


72 −90 −36
AB = 


−300 360 144




−50 18 −1


−17 157 214
BA = 


38 −118 30

−4
−7
84


20 18 7


3 −9 11
B=


12 0 0


1
50


14 −5 −15
B=


−6 −8 9


−17 −16 5 
f. A = 


18
9 13
Ans:
1


123 −146 −145


141 70 −176
AB = 


8
8
−56
Ans:
Ans:

−91


−45 32 17 
BA = 


34 −10 −9

−103

−3



−1 5 −12
e. A = 


8 0
0




−3 −4 6 
h. A = 


2 17 −19
−7
9
15



55 63 33 
BA = 


−18 −18 −6


3 −2 11


0 −8 14
B=


1 −6 0

25
−54 261



61 225 −245


52 270 −314
BA = 


29 34 −44


−3
2 −89
AB = 


−13 −26 260
Ans:

10
11
13




−10 −11 −13
i. A = 


2
0
1

3
−30

0
B=

1
7


0 0 1


0 1 0
j. A = 


1 0 0

8 −3 14


−3 −2 22 
k. A = 


10 7 −1
4
−4 7


−3

0
28 22 30



−6 0 −3
BA = 


10 11 13




1 −3 0
l. A = 


−1 6 8

1 4 −3


3 14 7 
BA = 


16 2 −9


−3 −3 −2


2 3 3
B=


1 1 1


−16 −19 −11


27 25 22 
AB = 


−17 −10 0

4


−3 4 1


7 14 3 
B=


−9 2 16

Ans:
0



−9 2 16


7 14 3 
AB = 


−3 4 1
Ans:
0



−3 30 −7
AB = 


−1 −6 8
Ans:
−1 −3

8


−35 1 −106


37 9 91 
BA = 


15 2 35
7
−4
1



1 −3 −2 0 
B=


−2 −8 −1 −5

Ans:

−16 −15 −31


5
16
2
1 
AB = 


−18 −89 −16 −41
14


−1 −3 5 4


 2 10 10 0 

m. A = 
−2 1 −3 9 


0 0 −1 11

Ans:
23
A
=
b.
1
3
1
3
0 −1
"
#
−2 3
A=
0 0
Ans: det(A) = 0
A is not invertible.
"
#
10 −11
c.
A=
9 13
Ans: det(A) = 229
" 13
#
11
A−1 =
229
9
− 229

d.



−22 −76 −36 116

AB = 
 14 −163 −36 140


21 −198 −65 165
Ans: det(A) = −3
"
#
−1


−1 −3 −8 3


−3 −7 −1 11

B=
1

0
−1
0


2 −18 −6 15
−48 −18 24
3. Find det(A):
#
"
3 1
a.
A=
0 −1
229
10
229

1 4


−1 2 2
A=


0 5 0
0
BA is undefined.

11
−35
−14 −43



 −9 −62 −93 100 

BA = 
 1
−4
8
−5 


−26 −192 −167 119
Ans: det(A) = −20


1
3
−1
10
2
1 
−1


0
0
A =
5 
1
1
0 − 20
4


−4 5 2


3 7 1
e.
A=


6 12 −3
Ans: det(A) = 195


11 1
3
− 65
−
5
65


1
2

0
A−1 = 
39 
 13
43
2 2
− 65
5 − 195


4
7 −1


1
2
6
f.
A=


−12 −21 3
Ans: det(A) = 0
A is not invertible.


9
8 6


−11 1 0
g.
A=


5 −3 2
Ans: det(A) = 362


17
3
1
−
−
181
181
 181
11
6
33 
−1

−
−
A =
181
181 
 181
14
67
97
181 − 362 − 362


1 2 −5




4
−3
1
h.
A=

−4 −2 8
Ans: det(A)

− 11
3

−6
A−1 = 

− 10
3
=6
−1 − 13
6


−2 − 72 

11
−1 − 6

i.
18 0
0



12 0 −2
A=


−6 0 1
Ans: det(A) = 0
A−1 does not exist


5 1 −1


−4 3 2 
j.
A=


3 7 7
Ans: det(A) = 106


7
7
5
−
106
53
106

17
19
3

−
−
A−1 = 
53
53 
 53
37
16
19
− 106
− 53
106


1 2 −2 1


2 0 0 3

k.
A=
 4 −2 −1 −3


−5 1 4 0
Ans: det(A) = −97
 21 23 30
97
A−1
l.
 57
 97
=
 12
 97
14
− 97

97
7
97
27
97
17
97
4
97
26
97
31
97
20
− 97
3

−2
1



−4 5 −3 −1

A=
 5 −4 1 −2


−1 1 2 3
Ans: det(A) = 130
 7
4
65
A−1
18
97
35 
97 

38 
97 
− 12
97

 0
=
− 1
 5
11
65
65
1
2
3
5
71
− 130
12
65
1
2
4
5
83
− 130
7
65
1 
2 

4 
5 
43
− 130

4. For each matrix A in (3), find its inverse, A−1 , if it exists.
5. For the system of equations in (1), rewrite the equation in matrix form AX =
K, then solve the equation by using A−1
3x
+ y − 2z = −1
−2x + 3y + z = −3
a.
+ 2y − z = −2

 
3 1 −2
−1


 
−2 3 1 
−3
Ans: A = 
K=


 
1 2 −1
−2
x


A−1 =
5
2
1
2

7
2
3
2
1
2
5
2
− 27


− 21 

11
−2
4x − 3y + 7z = 14
3x + y + 3z = 5
b.
x − 7y − 2z = 6
Ans:

4 −3
7



3 1 3
A=


1 −7 −2
A−1

19
− 105
 3
−
=
 35
22
105
11
21
1
7
5
− 21
 
14
 
5
K=
 
6

16
105
3 

− 35

13
− 105
2y + z = −1
c.
x + 4y + z =
1
x − 3y
2
=
Ans:


0 2 1


1 4 1
A=


1 −3 0
 
−1
 
1
K=
 
2
A−1

− 53
 1
−
=
 5
3
5
1
5
7
5
2
5


− 15 

− 25
2
5
7x − y − z = 2
−x
d.
+ 2z = 5
5y − z = 7
Ans:

−1 −1
7

−1
A=

0

A−1 =
5
32
1
 64

5
64
0
5
3
32
7
64
35
64


2

−1
 
−2
 
5
K=
 
7

1
32
13 

64 
1
64
x + 3y − z = −7
+ y + z = −2
e.
+ 2y −
3z = −5
Ans:


1 3 −1


0 1 1
A=


0 2 −3

 

7
4
1 −5 −5
−7
  −1 
1 

−2 A = 0 35
K=
5 

 
−5
0 25 − 15
−x − y + z =
f.
0
= −7
x
+ y
x
− y − 2z =
5
Ans:


−1 −1 1


1 1 0
A=


1 −1 −2



3
2
1
2

0
1
  −1 

−7 A = −1 − 12 − 12 
K=
 


5
1 1 0
10x + 5y − z = −7
+ 2z = −6
x
g.
x
= −4
+ 2y
Ans:


10 5 −1


1 0 2
A=


1 2 0



1
5
1
−
−7
  −1  8 1 161 2116 
−
− 32 32 
−6
K=

  A =  16
1
15
5
− 16 32
−4
32

x − y + 9z = 30
2x − y + z =
h.
7
3x + y − 2z = −5
Ans:

1 −1


9


2 −1 1 
A=


3 1 −2
30

  −1
7
K=
 A =
−5

1
39
7
 39

5
39
7
39
− 29
39
4
− 39

8
39
17 

39 
1
39
− 3z = −15
4x
5y − 2z = −12
i.
−x + y
=
1
Ans:

4
0 −3



0 5 −2
A=


−1 1 0



−15
− 27



−12 A−1 = − 27
K=



1
− 57
x + y − z =
j.
x − y + z = −1
x + y + z =
Ans:
1
3
3
7
3
7
4
7
− 15
7


− 87 

20
−7

1
1

1 −1
A=

1 1
k.
−1


1

1

1


1
2
1
2
  −1 
 0 − 12
−1
K=
 A =
− 12 0
3
4x
− y + 36z = 24
x
− 2y + 9z = 3
0

1

2
1
2
−2x + y + 6z = 6
Ans:

4
−1 36



1 −2 9 
A=


−2 1 6
3x
+ y
 


1
1
3
24
−
−
4
8
  −1  81

4
3  A =  7 −7 0 
K=
 


1
1
1
6
56
84
24
= 2
−4x + 3y + z = 4
l.
2x
+ 5y + z = 0
Ans:


1 0


−4 3 1
A=


2 5 1
3
A is not invertible.
 
2
 
4
K=
 
0