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dm 1
Suites
p.40 n◦ 98
1. a) Loyer payé la première année : u0 = 12 000
Loyer payé la deuxième année :
u1 = 12 000 + 0, 05 · 12 000 = 12 600
b) Relation de récurrence : un+1 = un + 0, 05 · un = 1, 05 · un
La suite est géométrique de raison 1, 05, ce qui implique
u8 = 1, 058 u0 ≈ 17 729
c) La somme des loyers payés est S = u0 + u1 + . . . + u8 . On peut appliquer la formule du
cours donnant la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique :
1, 059 − 1
S = 12 000
≈ 132 319
1, 05 − 1
2. a) Loyer payé la première année : v0 = 12 000
Loyer payé la deuxième année : v1 = 12 000 + 750 = 12 750
b) Relation de récurrence : un+1 = un + 750
La suite est arithmétique de raison 750, ce qui implique
u8 = u0 + 8 × 750 = 18 000
c) La somme des loyers payés est S = u0 + u1 + . . . + u8 . On peut appliquer la formule du
cours donnant la somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique :
(12 000 + 18 000) × 9
S=
= 135 000
2
3. Le contrat n◦ 1 est plus avantageux.
p.45 n◦ 115
1. La suite est définie par w0 = 1 et pour tout n ≥ 1 :
n+1
1
wn =
wn−1 +
n
n
1
2
On remplace n par 1 : w1 = w0 + = 3
1
1
3
1
On remplace n par 2 : w2 = w1 + = 5
2
2
4
1
On remplace n par 3 : w3 = w2 + = 7
3
3
5
1
On remplace n par 4 : w4 = w3 + = 9
4
4
2. a) L’algorithme de l’énoncé peut être programmé par exemple avec Algobox : ouvrir le fichier
joint dm1.alg ou bien ouvrir dm1-algo.pdf pour voir le code et le résultat de son fonctionnement .
Attention : il faut arrondir les termes successifs de la suite sinon la boucle ne se terminera
pas du fait des approximations de calcul qui sont faites en javascript.
b) Lorsque l’utilisateur donne un entier impair, l’algorithme donne le rang de la suite (wn )
qui a cette valeur.
c) Il est raisonnable de conjecturer que wn = 2n + 1
d) On procède par récurrence sur n
- pour n = 0, on a wn = 1 et 2n + 1 = 1 : l’égalité est vérifiée
- supposons le résultat vérifié pour un certain entier n − 1 :
1
dm 1
Suites
wn−1 = 2(n − 1) + 1 = 2n − 1
nous obtenons :
n+1
1
wn−1 +
n
n
n+1
1
=
(2n − 1) +
n
n
(n + 1)(2n − 1) + 1
=
n
2n2 + n
=
n
= 2n + 1
le résultat est donc vrai pour n et la propriété est héréditaire
- conclusion : pour tout n, on a wn = 2n + 1
e) De façon évidente w2013 = 4027
wn =
2