DS7. Fonctions et dérivées. Correction. + 0

DS7. Fonctions et dérivées. Correction.
Exercice 1 (bac)
Partie I
x
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 10] par
0
f 0 (x)
2
5
+
10
-
0
f (x) = −0, 4x + 4x − 8.
3.
1. f est dérivable sur [0 ; 10] et
f (x)
f 0 (x) = 0.4 × 2 × x + 4 × 1 − 0 donc f 0 (x) = −0, 8x + 4
2. f 0 (x) s’annule quand −0.8x + 4 = 0 donc en x = 5. Elle
est positive sur [0 ;5] et négative sur [5 ;10]. Voir tableau
de signes.
4. On voit donc que f atteint son maximum pour x = 5.
Ce maximum alors 2 .
Partie II
1. – La production de q piscines coûte C(q) euros, donc produire 3 piscines coûtera C(3) euros, soit 0, 4 × 32 + 1, 5 × 3 + 8
milliers d’euros soit 16.1 milliers d’euros.
– Chaque piscine rapporte 5.5 mille euros, donc la vente de trois piscines rapporte 3 × 5.5 milliers d’euros c’est-à-dire
16.5 milliers d’euros.
– Le bénéfice fait est la différence entre ce que la vente du produit a rapporté et ce que sa production a coûté : en
l’occurrence, pour trois piscines, on fait un bénéfice de 16.5-16.1 soit 0.4 milliers d’euros c’est-à-dire 400 euros
2. Pour q piscines, le raisonnement est le même que pour 3 piscines : Le bénéfice B(q) dégagé par la production puis la vente
de q piscines est la différence entre le prix de vente (5.5 × q pour la vente de q piscines) et le coût de production (C(q)) :
B(q) = 5.5 × q − C(q) soit B(q) = 5.5q − (0, 4q 2 + 1, 5q + 8) et donc B(q) = −0, 4q 2 + 4q − 8.
3. C’est justement la fonction étudiée en partie I.
(a) En calculant les bénéfices B(q) pour q = 3, q = 4, etc... on voit que le bénéfice est positif à partir de q = 3 et jusqu’à
q = 7 piscines.
(b) On a étudié la fonction B(q) dans la partie I, en fait : elle est maximale pour q = 5 piscines (voir tableau de variations
de la partie I).
(c) Et le bénéfice est alors de 2 milliers d’euros.
Exercice 2 (bac)
Une entreprise produit des appareils électroménagers. Le coût horaire de production de x appareils est donné en euros par :
C(x) = x2 + 50x + 100
pour
5 6 x 6 40.
x
1. L’entreprise vend chaque appareil 100 euros.
B 0 (x)
5
25
+
0
40
-
(a) Même raisonnement que dans l’exercice 1 : prix de
vente de x appareils : 100x. Coût de x appareils :
C(x). Donc B(x) = 100x − C(x) et donc B(x) =
−x2 + 50x − 100 pour x appartenant à [5 ; 40].
(c)
(b) B est dérivable sur [5 ; 40] et
B 0 (x) = −2x + 50. B 0 (x) s’annule quand −2x + 50 = 0
donc en x = 25. Voir tableau de signes.
(d) On voit sur le tableau de variations qu’il faut fabriquer
x = 25 appareils pour faire un bénéfice maximal (ce
bénéfice est alors de 525 euros).
2. f (x) =
C(x)
pour x appartenant à [5 ; 40].
x
1
B(x)
f (x)
C(x)
x
x2 + 50x + 100
x
x2
50x
100
+
+
x
x
x
100
x + 50 +
.
x
=
=
(a) pour x appartenant à [5 ; 40] :
=
=
(b) On calcule d’abord la dérivée f 0 de f :
f est dérivable sur ] − ∞; 0[∪]0; +∞[ et
f 0 (x) = 1 + 0 −
100
x2
donc f 0 (x) = 1 −
100
x2
.
(x − 10)(x + 10)
Après, soit on développe l’expression
et on vérifie qu’effectivement elle est égale à f 0 (x) soit on
x2
voit que :
2
f 0 (x) = x −100
(réduction au même dénominateur)
x2
Donc f 0 (x) = (x−10)(x+10)
(on reconnaît une identité remarquable).
x2
(c) Le plus simple est de voir que sur [5 ;40], x + 10 est toujours positif ; x2 étant un carré, il est également positif : le
x
5
10
40
0
x − 10
-
0
+
f 0 (x)
-
0
+
signe de f est donc le signe de x − 10 :
f (x)
(d) On voit donc que le coût moyen est minimal pour une production de x = 10 appareils, ce coût moyen valant alors
70 euros par appareil.
(e)
x
f (x)
5
75
10
70
20
75
2
30
83.3
40
92.5