CPGE Lycée technique Mohammedia Classe: TSI

CPGE Lycée technique Mohammedia Classe: TSI

CPGE Lycée technique Mohammedia
Classe: TSI-sup1
Devoir libre n◦ 1
Année: 2015-2016
Mathématiques
A rendre Lundi 28 septembre 2015
Exercice 1:
Soit E un ensemble, A et B deux parties de E.
On appelle fonction caractéristique de A la fonction φA définie de E à valeurs dans {0, 1} par :
φA (x) = 1
si x ∈ A
φA : x 7→
φA (x) = 0 si x ∈ E, x 6∈ A
1. Montrer que A = B ⇔ φA = φB
2. Montrer que φA∩B = φA φB et φA∪B = φA + φB − φA φB .
3. Montrer que φE\A = 1 − φA .
4. Donner φA\B en fonction de φA et φB
5. On pose A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) est la différence symétrique des ensembles A et B .
Soit C une partie de E
(a) Montrer que A∆C = A∆B ⇔ B = C
(b) Montrer que A ∩ (B∆C) = (A ∩ B)∆(A ∩ C)
Exercice 2:
Montrer par récurrence que :
1. ∀n ∈ N∗ , ∃(p, q) ∈ N2 , n = 2p (2q + 1)
2. En déduire que f :
N2 → N
est une bijection
(p, q) 7→ 2p (2q + 1) − 1
http://mathscpge.wordpress.com
1