Tableaux de signe et inéquations: Activité d`introduction Partie A

Tableaux de signe et inéquations: Activité d’introduction
Partie A
Découverte des tableaux de signes
1. Soit p la fonction définie sur R par p(x) = x2 − 4x + 3.
a) Déterminer le signe de p(−3), p(0), p(1) et p(2).
b) On admet que :
• p(x) = 0 pour x = 1 et pour x = 3 ;
• si x appartient à ]1; 3[ alors p(x) < 0 ;
• p(x) prend des valeurs strictement positives pour
toutes les autres valeurs de x.
Résumer ces informations dans un tableau.
2. On donne le tableau de variations d’une fonction q.
x
−5
1
−1
2
4
7
2
Var.
q
0
0
1
0
3. a) Dresser le tableau de variations de k.
b) Résoudre algébriquement l’équation k(x) = 0.
c) En déduire le tableau de signes de k(x).
4. Dresser les tableaux de signes respectifs de f (x), g(x),
h(x) et l(x).
Signe d’une somme, d’un produit
Partie C
1. Soit a et b deux réels. Compléter le tableau ci-dessous :
Sgn. a
9
Seconde
Sgn. b
positif
positif
positif
négatif
négatif
négatif
Sgn. (a + b)
Sgn. (a × b)
−3
−4
2. Quelle conclusion peut-on en tirer ?
a) Déterminer le signe de q(−3), q(0), q(3) et q(8).
b) Dresser le tableau de signes de q(x).
3. Dresser le tableau de signes de r(x) où r désigne la fonction dont on donne ci-dessous la courbe représentative.
4
•
Partie D
Application à la résolution d’inéquations
Dans cette partie, nous allons exploiter les résultats obtenus précédemment pour résoudre des inéquations.
Soit u et v les fonctions définies sur R respectivement par
•
u(x) = (3x − 6)(x − 4)
3
et
v(x) = −x2 + 2x + 8
dont on donne ci-contre les courbes représentatives C1 et
C2 sur l’intervalle [−3; 5].
2
1
10
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
2
3
4
5
8
C1
−1
6
−2
4
−3
Partie B
Signe de ax + b
Soit f , g, h, k et l les fonctions définies sur R par :
f (x) = x + 2
g(x) = −x + 4
h(x) = x − 4
k(x) = 3x − 6
l(x) = −2x − 1
1. Comment sont appelées ces fonctions ? Que peut-on dire
de leurs représentations graphiques respectives ?
2. Sur la figure ci-dessous, on donne D1 , D2 , D3 et D4 représentations graphiques des fonctions g, h, k et l.
Associer chacune des fonctions à sa courbe et tracer, sur
le même graphique, la droite D5 représentant f .
6
D4
−4
D3
2
−2
−4
−6
−2
1
−1
2
3
4
5
−2
−4
−6
1. Associer chaque fonction à sa courbe puis déterminer
par simple lecture graphique les tableaux de signes respectifs de u(x) et v(x) sur [−3; 5].
3. a) Développer, réduire et ordonner 9 − (x − 1)2 .
4
−2
−3
2. À l’aide des résultats obtenus dans la partie B, dresser
le tableau de signes de u(x) sur R.
D1
2
−6
C2
2
−4
4
6
D2
b) En déduire une écriture sous forme factorisée de v(x).
c) Dresser le tableau de signes de v(x) sur R.
4. À l’aide des tableaux de signes obtenus, résoudre chacune des inéquations suivantes :
a) u(x) 6 0
c) u(x) < 0
e) v(x) 6 0
b) u(x) > 0
d) v(x) > 0
5. Résoudre l’inéquation v(x) > u(x) :
a) graphiquement dans [−3; 5] ;
b) algébriquement dans R.
f) v(x) > 0
Tableaux de signe et inéquations: Activité d’introduction
Partie A
Découverte des tableaux de signes
1. Soit p la fonction définie sur R par p(x) = x2 − 4x + 3.
a) Déterminer le signe de p(−3), p(0), p(1) et p(2).
b) On admet que :
• p(x) = 0 pour x = 1 et pour x = 3 ;
• si x appartient à ]1; 3[ alors p(x) < 0 ;
• p(x) prend des valeurs strictement positives pour
toutes les autres valeurs de x.
Résumer ces informations dans un tableau.
2. On donne le tableau de variations d’une fonction q.
x
−5
1
−1
2
4
7
2
Var.
q
0
0
1
0
3. a) Dresser le tableau de variations de k.
b) Résoudre algébriquement l’équation k(x) = 0.
c) En déduire le tableau de signes de k(x).
4. Dresser les tableaux de signes respectifs de f (x), g(x),
h(x) et l(x).
Signe d’une somme, d’un produit
Partie C
1. Soit a et b deux réels. Compléter le tableau ci-dessous :
Sgn. a
9
Seconde
Sgn. b
positif
positif
positif
négatif
négatif
négatif
Sgn. (a + b)
Sgn. (a × b)
−3
−4
2. Quelle conclusion peut-on en tirer ?
a) Déterminer le signe de q(−3), q(0), q(3) et q(8).
b) Dresser le tableau de signes de q(x).
3. Dresser le tableau de signes de r(x) où r désigne la fonction dont on donne ci-dessous la courbe représentative.
4
•
Partie D
Application à la résolution d’inéquations
Dans cette partie, nous allons exploiter les résultats obtenus précédemment pour résoudre des inéquations.
Soit u et v les fonctions définies sur R respectivement par
•
u(x) = (3x − 6)(x − 4)
3
et
v(x) = −x2 + 2x + 8
dont on donne ci-contre les courbes représentatives C1 et
C2 sur l’intervalle [−3; 5].
2
1
10
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
2
3
4
5
8
C1
−1
6
−2
4
−3
Partie B
Signe de ax + b
Soit f , g, h, k et l les fonctions définies sur R par :
f (x) = x + 2
g(x) = −x + 4
h(x) = x − 4
k(x) = 3x − 6
l(x) = −2x − 1
1. Comment sont appelées ces fonctions ? Que peut-on dire
de leurs représentations graphiques respectives ?
2. Sur la figure ci-dessous, on donne D1 , D2 , D3 et D4 représentations graphiques des fonctions g, h, k et l.
Associer chacune des fonctions à sa courbe et tracer, sur
le même graphique, la droite D5 représentant f .
6
D4
−4
D3
2
−2
−4
−6
−2
1
−1
2
3
4
5
−2
−4
−6
1. Associer chaque fonction à sa courbe puis déterminer
par simple lecture graphique les tableaux de signes respectifs de u(x) et v(x) sur [−3; 5].
3. a) Développer, réduire et ordonner 9 − (x − 1)2 .
4
−2
−3
2. À l’aide des résultats obtenus dans la partie B, dresser
le tableau de signes de u(x) sur R.
D1
2
−6
C2
2
−4
4
6
D2
b) En déduire une écriture sous forme factorisée de v(x).
c) Dresser le tableau de signes de v(x) sur R.
4. À l’aide des tableaux de signes obtenus, résoudre chacune des inéquations suivantes :
a) u(x) 6 0
c) u(x) < 0
e) v(x) 6 0
b) u(x) > 0
d) v(x) > 0
5. Résoudre l’inéquation v(x) > u(x) :
a) graphiquement dans [−3; 5] ;
b) algébriquement dans R.
f) v(x) > 0