Etude de systèmes de type gaz-particules

Transcription

"ENS Cachan, 13 septembre 2006"
Etude de systèmes de type gaz-particules
Julien Mathiaud
[email protected]
Écoulement (gaz)
Gouttelettes
Directeurs de thèse :
Benoı̂t Desjardins (CEA/DAM/ Bruyères-le-Châtel)
Laurent Desvillettes (ENS Cachan)
"ENS Cachan, 13 septembre 2006" Etude de systèmes de type gaz-particules – p. 1/40
Objectifs de la thèse
- Modélisation autour des systèmes gaz-particules
- Etude mathématique des systèmes gaz-particules
- Etude de la turbulence
Plan de l’exposé
I Présentation du modèle gaz-particules
Plan de l’exposé
II Etude mathématique de solutions régulières pour les
sprays modérément épais
Plan de l’exposé
III Modélisation du noyau de collision pour les applications
du CEA
Plan de l’exposé
III Modélisation du noyau de collision pour les applications
du CEA
IV Limite hydrodynamique dans un cadre fortement
collisionnel
Les sprays = gaz avec gouttelettes en suspension
Écoulement (gaz)
Gouttelettes
P. O’Rourke. Collective drop effects on vaporizing liquid sprays. Thèse,
Princeton University, 1981.
F.A. Williams. Combustion theory. Benjamin Cummings, 1985.
G. Dufour. Modélisation multi-fluide eulérienne pour les écoulements
diphasiques à inclusions dispersées. Thèse, Université Paul Sabatier Toulouse
III, 2005.
Sprays : le fluide environnant
Fluide environnant : décrit par la mécanique des fluides compressibles
Quantités macroscopiques (dépendant de (t, x))
⋆ densité ρg (t, x)
⋆ vitesse ug (t, x)
⋆ énergie totale spécifique Eg (t, x)
⋆ pression p(t, x)
Système fluide classique (Euler)
∂t ρg + ∇x · (ρg ug )
=
0,
∂t (ρg ug ) + ∇x · (ρg ug ⊗ ug ) + ∇x p
=
0,
∂t (ρg Eg ) + ∇x · ((ρg Eg + p)ug )
=
0,
pg = P (ρg , eg )
,
1 2
ug
2
.
Eg = eg +
Sprays : la phase dispersée
Phase dispersée (gouttelettes) : décrite par la théorie cinétique de Boltzmann
Fonction de densité de probabilité f (t, x, up , ep ...) où x position, up vitesse, ep
vitesse...
Équation cinétique de Vlasov-Boltzmann
∂t f +
∇x · (f up )
+ ∇up · (f Γ) + ∇ep · (f φ)
=
Q(f, f )
| {z }
| {z }
|
{z
}
transport (advection) accélération , transfert d’énergie
terme de collision
On peut rajouter d’autres paramètres physiques (comme le rayon r) dans la pdf
afin d’enrichir la physique.
Sprays : équation fluide-cinétique
Un spray (fluide + phase dispersée) est décrit par un couplage fluide-cinétique
Une nouvelle variable: α, fraction volumique du gaz (α(t, x))
Classification des sprays
∂t (α ρg ) + ∇x · (α ρg ug )
=
∂t (α ρg ug ) + ∇x · (α ρg ug ⊗ ug ) + ∇x p
=
0,
Z
−mp Γ f dup dep ,
up ,ep
∂t (αρg Eg ) + ∇x · αρg
Eg +
p
ρg
+ p∂t α
=
ZZ
− mp f (Γ +
ZZ
mp f φ,
p
) · up
ρp
up ,ep
−
up ,ep
∂t f + v · ∇x f + ∇up · (f Γ) + ∇ep · (f φ)
fins
modérément épais
=
Q(f, f ),
épais
4
α=1−
π rp3 f dvdep
v,ep 3
4
mp Γ = Dp (ug − up ) − π rp3 ∇x p
3
Z
α=1
α=1
mp Γ = Dp (ug − up )
Q(f, f ) = 0
mp Γ = Dp (ug − up )
Modélisations des échanges entre le gaz et les particules
Echange de quantité de mouvement
Γ: accélération des particules
mp Γ
=
=
force de pression + force de traînée
4
− π rp3 ∇x p − Dp (up − ug )
3
Echange de chaleur
φ: chaleur échangée par le gaz avec les particules
mp φ = 4πrp λN u(Tg − Tp )
mp , rp : masse et rayon des particules
Dp , N u , λ: coefficient de traînée , nombre de Nusselt, conductivité thermique
Equations du système gaz-particules
Equations du gaz
∂t (αρg ) + ∇x · (αρg ug ) = 0
∂t (αρg ug ) + ∇x · (αρg ug ⊗ ug ) + ∇x p = −
Z
mp Γf dup dep
up ,ep
Z
− (mp Γ +
p
Eg +
ρg
ug
mp
∇x p) · up f dup dep −
ρp
up ,ep
+ p∂t α =
Z
4πrλN u(Tg − Tp )f dup dep
up ,ep
Equation de Vlasov-Boltzmann
∂t f + up · ∇x f + ∇up · (f Γ) + ∂ep (f φ) = Q(f, f )
Equations d’état
Tg = T1 (ρg , eg ) ,
p = P1 (ρg , eg ) = P2 (ρp , ep ) ,
Tp = T2 (ep )
II Spray modérément épais: étude théorique
Equation de Boltzmann:
⋆ R. J. DiPerna and P.-L. Lions. On the Cauchy problem for Boltzmann
equations: global existence and weak stability. Ann. of Math. (2),
130(2):321–366, 1989.
⋆ Y. Guo. Classical solutions to the Boltzmann equation for molecules with
an angular cutoff. Arch. Ration. Mech. Anal., 169(4):305–353, 2003.
Equations d’Euler:
⋆ T. Kato. The Cauchy problem for quasi-linear symmetric hyperbolic
systems. Arch. Rational Mech. Anal., 58(3):181–205, 1975.
Spray:
⋆ K. Domelevo and J-M. Roquejoffre. Existence and stability of travelling
wave solutions in a kinetic model of two-phase flows. Comm. Partial
Differential Equations, 24(1-2):61–108, 1999.
⋆ C. Baranger and L. Desvillettes. Coupling Euler and Vlasov equations in
the context of sprays : local smooth solutions. J. Hyperbolic Differ. Equ.,
3:1–26, 2006.
Système étudié
∂t ρg + ∇x · (ρg ug ) = 0 ,
∇x p
1
∂t ug + (ug · ∇x )ug +
=−
ρg
ρg
ZZ
F f dvde ,
v,e
∂t eg + ug · ∇x eg +
p
1
∇x · ug =
ρg
ρg
ZZ
(F · (ug − v) − φ) f dvde
v,e
∂t f + v · ∇x f + ∇v · (f F ) + ∂e (f φ) = Q(f, f ) ,
F = −(v − ug ) ,
φ = −(e − eg ) ,
p = (γ − 1)ρg eg .
Noyau de collision Q(f, f )
Q(f, f )(t, x, v, e) =
ZZZ
σ∈S2 ,v∗ ∈R3 ,e∗ ∈R+
f∗′ f ′ − f∗ f |v − v ∗ |dσdv∗ de∗
avec,
σ: vecteur dans S 2
|v − v∗ |
v + v∗
+
σ: vitesse pré-collisionnelle
v′ =
2
2
v + v∗
|v − v∗ |
v′ ∗ =
−
σ: vitesse pré-collisionnelle
2
2
e′ = e : énergie pré-collisionnelle
e′ ∗ = e∗ : énergie pré-collisionnelle
Reformulation du problème à "gaz fixé"
On pose g := f exp(v 2 + e). g vérifie l’équation suivante,
∂t g + v · ∇x g + ∇v · (gF ) + ∂e (gφ) − 2v · gF − gφ = Γ(g, g)
(1)
F = −(v − ug ) ,
φ = −(e − eg ),
avec pour "nouveau" noyau de collision
=
Γ[g1 , g2 ](t, x, v, e) = Γ+ [g1 , g2 ](t, x, v, e) − Γ− [g1 , g2 ](t, x, v, e)
ZZZ
|v − v∗ | exp(−(v∗ 2 + e∗ ))g1 (t, x, v∗′ , e′∗ )g2 (t, x, v ′ , e′ )dv∗ de∗ dσ
R3 ×R+ ×S2
−g2 (t, x, v, e)
ZZZ
|v − v∗ | exp(−(v∗ 2 + e∗ ))g1 (t, x, v∗ , e∗ )dv∗ de∗ dσ.
R3 ×R+ ×S2
Espace fonctionnel de l’étude :
Espace L2 et L2 à poids ainsi que les Espace de Sobolev H s qui en découlent (s ≥ 5),
||g|| =
||g||w =
x,v,e
1
2
2
g dedvdx
,
x,v,e
1
2
2
g wdedvdx
,
Z Z Z
Z Z Z
où w = 1 + v 2 .
Espace des fonctions avec énergie finie (idée de Guo):
Es,ε (g(t, ., ., .)) =
X
|α|+|β|+|γ|≤s
Z t
2
1 β,γ 2
2(1 − ε) ∂αβ,γ g(u) du .
∂α g (t) +
2
w
0
Contrôle des termes avec dérivées
Terme de transport:
X
|α|+|β|+|γ|≤s
Z Z Z
β,γ
β,γ
≤ C||g||2H s .
∂
g
∂
(∇
·
(gv))
dvdedx
x
α
α
Terme d’échange thermique:
X
|α|+|β|+|γ|≤s
Z Z Z
β,γ
β,γ
∂α g ∂α ∇v · (gF )dvdedx
≤
C(||g||2H s ||ug ||H s + ||g||2H s ).
Contrôle des termes non linéaires
Terme de collision:
Z Z Z
β,γ
β,γ
∂α (Γ(g1 , g2 )) ∂α g3 dvdedx
≤


X β ,γ β ,γ β,γ C
∂α22 +δ2 g2  ∂α11 1 g1 ∂α g3 |δ|≤3
+


w
X β ,γ β ,γ β,γ C
∂α11 +δ1 g1  ∂α22 2 g2 ∂α g3 .
|δ|≤3
w
Terme de transport:
X
|α|+|β|+|γ|≤s
ZZZ
≤ −(1 − ε)
∂αβ,γ g ∂αβ,γ (gF · v)dvdedx
X
|α|+|β|+|γ|≤s
||∂αβ,γ g||2w + C1 ||g||2H s +
C2
||g||2H s ||ug ||2H s .
ε
Terme d’échange thermique:
X
|α|+|β|+|γ|≤s
Z Z Z
β,γ
β,γ
≤ C1 ||g||2H s (1 + ||ẽg ||H s ).
∂
g
∂
(gφ)dvdedx
α
α
Estimation a priori à "gaz fixé"
Proposition:
Soit g une solution positive du problème à " gaz fixé ". On suppose que g
appartient à
C([0, T ], H s (R3 × R3 × R+ )) ∩ C 1 ([0, T ], H s−1 (R3 × R3 × R+ )). On
suppose que ρg et eg sont strictement positives et que ρ̃g = ρg − 1 et
ẽg = eg − 1 appartiennent à C([0, T ], H s (R3 )) ∩ C 1 ([0, T ], H s−1 (R3 )) pour
T > 0.
Pour s ≥ 5 et 1 > ε > 0, on a l’estimation a priori suivante:
d
C
Es,ε ≤
1 + ||ug ||2H s + ||ẽg ||H s + Es,ε Es,ε .
dt
ε
où C depend uniquement de s.
Théorème à "gaz fixé"
On suppose que ρg et eg sont des fonctions strictement positives. De plus, on prend
ρ̃g = ρg − 1, ug et ẽg = eg − 1 dans C([0, T ], H s (R3 )) ∩ C 1 ([0, T ], H s−1 (R3 ))
pour un temps T > 0 et s un entier qui vérifie s ≥ 5. On suppose que g0 vérifie
||g0 ||H s < +∞. Alors :
1 On peut trouver T ′ > 0 tel qu’il y ait une solution g à l’équation
∂t g + v · ∇x g + ∇v · (gF ) + ∂e (gφ) − 2v · gF − gφ = Γ(g, g)
F = −(v − ug ), φ = −(e − eg ),
avec g0 pour donnée initiale. De plus, g reste positive et
Es, 1 (g(t)) =
2
X
|α|+|β|+|γ|≤s
Z t 2
2
1 β,γ β,γ ∂α g (u)du
∂α g (t) +
2
w
0
reste bornée sur [0, T ′ ]. Finalement, T ′ est controlé par
T′ ≥ 1 + sup0≤t≤T ||ug ||2H s
C
3
2
+ sup0≤t≤T ||ẽg ||H s + 2 ||g0 ||H s
où C est strictement positive et ne dépend que de s.
s−1
3
3
+
Enfin g ∈ C([0, T ], H s (R3 × R3 × R+ ))"ENS
∩Cachan,
C 1 ([0,
T
],
H
(R
×
R
×
R
)).
13 septembre 2006" Etude de systèmes de type gaz-particules – p. 18/40
Théorème à "gaz fixé"
2 Si g1 et g2 sont deux solutions positives de l’équation (1) dans
C([0, T ], H s (R3 × R3 × R+ )) ∩ C 1 ([0, T ], H s−1 (R3 × R3 × R+ )) avec
même donnée initiale, mêmes données ρg , ug et eg , et vérifiant
sup Es, 1 (g1 (t, .)) < +∞ et sup Es, 1 (g2 (t, .))< + ∞, alors g1 = g2 .
0≤t≤T
2
0≤t≤T
2
Système couplé
On note I =]0, +∞[×R3 ×]0, +∞[, s ∈ N un entier vérifiant s ≥ 5, et I1 , I2 des
ouverts de I tel que I1 ⊂ I2 et I1 , I2 soient compacts dans I. Soit
(ρg0 , ug 0 , eg 0 ) : R3 → I1 des fonctions vérifiant ρ̃g0 = ρg0 − 1 ∈ H s (R3 ) ,
ug0 ∈ H s (R3 ) et ẽg0 = eg0 − 1 ∈ H s (R3 ). Soit
f˜0 = f0 exp(v 2 + e) : R3 × R3 × R+ → R+ une fonction de H s (R3 × R3 × R+ ) .
Alors, on peut trouver T > 0 tel qu’il existe une solution (ρg , ug , eg ; f ) au
système global qui appartient à C 1 ([0, T ] × R3 , I2 ) × C 1 ([0, T ] ×
R3 × R3 × R+ , R+ ).
De plus, ρ˜g (= ρg − 1), ug , e˜g (= eg − 1) ∈ C([0, T ], H s (R3 )) ∩
C 1 ([0, T ], H s−1 (R3 )), f˜ = f exp(v 2 + e) ∈ C([0, T ], H s (R3 × R3 × R+ )) ∩
C 1 ([0, T ], H s−1 (R3 × R3 × R+ )).
Finalement, si (ρ̃g1 , ug1 , ẽg1 ; f˜1 ) et (ρ̃g2 , ug2 , ẽg2 ; f˜2 ) appartiennent à
(C([0, T ], H s (R3 )) ∩
C 1 ([0, T ], H s−1 (R3 ))) × (C([0, T ], H s (R3 × R3 × R+ )) ∩
C 1 ([0, T ], H s−1 (R3 × R3 × R+ ))), si (ρg1 , ug1 , eg1 ; f1 ) et (ρg2 , ug2 , eg2 ; f2 )
appartiennent à C 1 ([0, T ] × R3 , I2 ) × C 1 ([0, T ] × R3 × R3 × R+ , R+ ) et si
elles vérifient les équations du système, alors:
ρg1 = ρg2 , ug1 = ug2 , eg1 = eg2 et f1 = f2 .
III Noyau de collision
C. Cercignani. The Boltzmann Equation and its Applications. Springer-Verlag,
1988.
C. Villani. A review of mathematical topics in collisional kinetic theory.
Elsevier Science, 2002.
A.A. Amsden, P.J. O’Rourke, and T.D. Butler. Kiva II , a computer program for
chemical reactive flows with spray. Technical report, Los Alamos National
Laboratory, 1989.
P. Villedieu and J. Hylkema. Une méthode particulaire aléatoire reposant sur
une équation cinétique pour la simulation numérique des sprays denses de
gouttelettes liquides. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 325(3):323–328, 1997.
Mécanisme de collision
particule(1) + particule(2) −→particule(3) + particule(4)
Les particules sont de masse mp , de vitesse up i et d’énergie interne ep i .
Les collisions peuvent être inélastiques de paramètre d’inélasticité β.
up 3 =
up 1 + up 2
|up 1 − up 2 |
+β
σ: vitesse post-collisionnelle
2
2
up 1 + up 2
|up 1 − up 2 |
−β
σ: vitesse post-collisionnelle
2
2
2
1
1−β
∆Ec′ = (up 1 2 + up 2 2 − up 3 2 − up 4 2 ) =
(up 1 − up 2 )2 > 0
2
4
: perte d’énergie cinétique
up 4 =
2−a
ep 1 +
2
2−a
ep 4 =
ep 2 +
2
post-collisionelle
ep 3 =
a
ep 2 + b∆Ec′ : énergie interne post-collisionelle
2
a
ep 1 + (1 − b)∆Ec′ : énergie interne
2
a: paramètre d’échange d’énergie interne (0 ≤ a ≤ 1)
b: paramètre de transfert d’énergie cinétique en énergie interne (0 ≤ b ≤ 1)
Estimation de a
Quand deux particules collisionnent, elles restent "collées" pendant un temps de
2rp
l’ordre: ∆Tcoll =
|up 1 − up 2 |
4πλp rp (T1 − T2 )
Durant ce temps, elles échangent
en énergie par unité de masse par
mp
unité de temps (λp : conductivité thermique des particules).
Par ailleurs, on a (avec C : chaleur spécifique des particules),
∆(ep 1 − ep 2 )
C
∆(T1 − T2 ) =
D’où après intégration:
2
a = 1 − exp −
8πλp rp
Cmp |up 1 − up 2 |
Dans les applications rencontrées a est de l’ordre de 0.71.
nombre de particules: 2.1010
rayon: 10−6 m
énergie interne: 106 J.kg −1
chaleur spécifique: 200 J.kg −1 .K −1
tension de surface: 0.56 N.m−1
densité: 7310 kg.m−3
vitesse: 200 m.s−1
température: 300 ◦ C
viscosité dynamique: 8.10−3 P a.s
conductivité thermique: 60 W.m−1 .K −1
Estimation de b et β
Le choix le plus raisonnable pour b est,
b=
1
.
2
(b =
mp1
en polydispersé)
mp1 + mp2
En utilisant le modèle TAB (Taylor analogy Break-up), on obtient un temps
relié à la viscosité,
10µp
τc = 1
ρp r 2
Par un raisonnement analogue à celui sur les transferts thermiques, on obtient
β = exp −
∆Tcoll
.
τc
Dans les applications rencontrées β vaut environ 0.89.
nombre de particules: 2.1010
rayon: 10−6 m
énergie interne: 106 J.kg −1
chaleur spécifique: 200 J.kg −1 .K −1
tension de surface: 0.56 N.m−1
densité: 7310 kg.m−3
vitesse: 200 m.s−1
température: 300 ◦ C
viscosité dynamique: 8.10−3 P a.s
conductivité thermique: 60 W.m−1 .K −1
IV Limite hydrodynamique inélastique
Développement de Hilbert:
⋆ S. Chapman and T.G. Cowling. The mathematical theory of non uniform
gases. Cambridge Mathematical Library, 1990.
⋆ F. Golse and L. Saint-Raymond. The Navier-Stokes limit of the
Boltzmann equation for bounded collision kernels. Invent. Math.,
155(1):81–161, 2004.
Milieux granulaires:
⋆ P.K. Haff. Grain flow as a fluid mechanical phenomenon. J. Fluid. Mech.,
134, 1983.
⋆ S. Mischler and C. Mouhot. Cooling process for inelastic Boltzmann
equations for hard spheres, part II: Self-similar solutions and tail behavior.
J. Statis. Phys., To appear, 2006.
Fluide de particules: moments de la p.d.f.
1
ρ=
1−α
Z
f mp dup dep : densité du fluide de particules
up ,ep
Z
1
v=
(1 − α)ρ
f mp up dup dep : vitesse moyenne du fluide
up ,ep
Z
1
ec =
(1 − α)ρ
1
f mp u2p dup dep : énergie cinétique microscopique
2
up ,ep
1
e=
(1 − α)ρ
Z
f mp ep dup dep : énergie interne microscopique
up ,ep
Ep = e + ec : énergie totale du fluide
Z
1
p′ =
f mp (v − up ) ⊗ (v − up )dup dep : tenseur de Reynolds
1−α
up ,ep
1
q=
1−α
Z
f mp (v − up )2 (up − v)dup dep : flux thermique
up ,ep
Système diphasique (non clos)
Conservation de la masse:
∂t (αρg ) + ∇x · (αρg ug ) = 0
∂t ((1 − α)ρ) + ∇x · ((1 − α)ρv) = 0
ρ = ρp = cte (particules incompressibles)
Conservation du moment:
∂t (αρg ug ) + ∇x · (αρg ug ⊗ ug ) + α∇x p =
−
Z
Dp (ug − up )f dup dep
up ,ep
∂t ((1 − α)ρv) + ∇x · ((1 − α)ρv ⊗ v) + (1 − α)∇x p + ∇x · (1 − α)p′ =
Z
−
Dp (up − ug )f dup dep
up ,ep
Conservation de l’énergie totale:
Z
up ,ep
p
Eg +
ρg
ug
Dp (up − ug ) · up f dup dep −
+ p∂t α =
Z
4πrp λN u(Tg − Tp )f dup dep
up ,ep
′
p+p
v +p∂t (1−α)+∇x ·((1−α)q) =
∂t ((1 − α)ρEp )+∇x · (1 − α)ρ Ep +
ρ
Z
Z
−
Dp (up − ug ) · up f dup dep +
4πrp λN u(Tg − Tp )f dup dep
up ,ep
up ,ep
Equations d’état:
p(t, x) = P1 (ρg (t, x), eg (t, x)) , Tg (t, x) = T1 (ρg (t, x), eg (t, x)) , Tp = T2 (ep ) ,
p′ et q ne sont toujours
pas modélisés.
Analyse dimensionnelle dans un cadre fortement collisionnel
1
∂t̃ f˜ + ũp · ∇x̃ f˜ + ∇ũp · (f˜Γ̃) + ∂ẽp (f˜φ̃) = Q(f˜, f˜)
ε
avec:
˜ signifie que la variable est adimensionnée
T (resp. L): temps caractéristique (resp. longueur) du gaz
N : nombre typique de particules dans un volume L3
L3
σ: chemin libre moyen défini tel qu’on ait N = 2
rp σ
σ
ε = : nombre de Knudsen
L
Mesure du nombre de Knudsen :
Kn = 0.083
Invariants du noyau de collision et limite hydrodynamique:
La masse mp , la quantité de mouvement mp up et l’énergie
totale mp ( 12 up 2 + ep ) sont conservées pendant les collisions.
Limite hydrodynamique dans un cadre homogène: ∂t f = Q(f, f )
ZZ
ZZ
1
T (t) =
f (t, up , ep ) mp (up − v)2 dup dep /
f (t, up , ep )mp dup dep ,
3
1
∼
Loi de Haff: T (t) +∞
.
t2
g(t) =
ZZ
∼
g(t) +∞
f (t, up , ep )mp |ep − e(t)|2 dup dep /
ZZ
f (t, up , ep )mp dup dep .
1
avec 0 ≤ c ≤ 2.
tc
On observe la convergence suivante d’un point de vue formel:
fε (t, up , ep )→ Zδep =e (ep ) ⊗ δup =v (up )
t→+∞
Résolution dans un code homogène de ∂t f = Q(f, f )
20
β=0.8
β=0.95
β=0.99
15
10
ln T(t)
5
0
−5
−10
−15
−18
−16
−14
−12
−10
−8
ln(t)
−6
−4
−2
0
2
Convergence vers la masse de Dirac en vitesse pour différents paramètres
Z Z
ZZ
d’inélasticité: ln
f (t, up , ep )|up |2 dep dup /
f (t, up , ep )dep dup en
fonction de ln t pour différents β
Résolution dans un code homogène de ∂t f = Q(f, f )
Convergence of f towards a Dirac mass in energy
15
a=1
a=0.1
a=0.08
a=0.06
a=0.04
a=0.01
10
log (∫ f|ep−e(t)|depdup)
5
0
−5
−10
−15
−16
−14
−12
−10
−8
ln(t)
−6
−4
−2
0
Convergence vers la masse de Dirac en énergie interne pour différents paramètres
Z Z
ZZ
d’énergie interne: ln
f (t, up , ep )|ep − e(t)|dep dup /
f (t, up , ep )dep dup
en fonction de ln t pour différents a
Limite hydrodynamique inélastique
On suppose que le nombre de collisions inélastiques tend vers l’infini (quand ε tend
vers zéro); alors on s’attend à ce que la distribution tende vers un Dirac en vitesse et en
énergie interne.
fε (t, x, up , ep )→Z(t, x)δep =e (ep ) ⊗ δup =v (up )
ε→0
Conservation de la masse:
∂t (αρg ) + ∇x · (αρg ug ) = 0
∂t ((1 − α)ρ) + ∇x · ((1 − α)ρv) = 0
ρ = ρp = cte
Conservation du moment:
1
(1 − α)ρDp (ug − v)
2mp
1
∂t ((1 − α)ρv) + ∇x · ((1 − α)ρv ⊗ v) + (1 − α)∇x p =
(1 − α)ρDp (ug − v)
2mp
∂t (αρg ug ) + ∇x · (αρg ug ⊗ ug ) + α∇x p = −
Conservation de l’énergie totale:
−
p
Eg +
ρg
ug
+ p∂t α =
1
(1 − α)ρ
(1 − α)ρDp (ug − v) · v − 4π rp λ N u (Tg − Tp )
2mp
mp
p
∂t ((1 − α)ρEp ) + ∇x · (1 − α)ρ Ep +
v + p∂t (1 − α) =
ρ
(1 − α)ρ
1
(1 − α)ρDp (ug − v) · v + 4π rp λ N u (Tg − Tp )
2mp
mp
Equations d’état:
p = P1 (ρg , eg ) ,
(p′ = 0,
Tg = T1 (ρg , eg ) , Tp = Tp (e)
q = 0)
Résolution numérique dans le cadre du CEA
Méthode de splitting:
⋆ pour le gaz: convection + projection
⋆ pour les particules: caractéristiques + collisions fictives (méthode de Bird)
Données numériques
⋆ 100000 cellules de longueur caractéristique 4.10−5 m
⋆ temps caractéristique des collisions: 2.10−8 s
⋆ temps caractéristique de la convergence en vitesse: 9.10−7 s
⋆ temps caractéristique de la convergence en énergie interne: 1.10−6 s
⋆ temps caractéristique du gaz :10−5 s
Effet de l’inélasticité: collisions élastiques
Effet de l’inélasticité: collisions inélastiques
Effet des échanges thermiques: cas sans échanges
Effet des échanges thermiques: cas avec échanges
Conclusion et perspectives
Résultats:
⋆ évaluation de la validité des modèles Euler/Euler
⋆ introduction de l’inelasticité et des échanges thermiques durant les
collisions
⋆ étude théorique du problème des sprays fins avec collisions
⋆ adaptation de techniques connues d’étude de la turbulence aux problèmes
spécifiques du CEA
⋆ étude théorique du modèle k − ε incompressible
Perspectives:
⋆ ajout de la turbulence sur le mouvement des particules via l’utilisation du
modèle k − ε
⋆ cas des sprays polydispersés: fragmentation ...
⋆ étude théorique des sprays épais (avec diffusion moléculaire ou turbulente)
⋆ étude théorique des convergences vers la masse de Dirac en énergie
interne (purement formelle dans cet exposé)

Etude de systèmes de type gaz-particules

Transcription

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