Examen daaccès $ 1 Octobre 2010

Examen d’accès - 1 Octobre 2010
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Ce examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses
sont proposées pour chaque question (ou ensemble de question). Il peut y avoir plusieurs bonnes
réponses.
Les réponses sont à inscrire sur la feuille jointe, en cochant pour chaque question la (ou les) case(s)
correspondant à la (ou les) bonnes réponse(s).
Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse.
Toute réponse exacte entraîne une boni…cation de 1 point, toute erreur est pénalisée de 0,5 points.
Vous disposez après les questions d’une table des valeurs de la fonction de répartition de la loi
normale centrée et réduite.
Q 1) Répondez aux deux sous-questions suivantes:
1) A et B sont deux événements d’un espace probabilisé tels que : P (A) = 0; 4 ; P (B) = 0; 5 ;
P (A [ B) = 0; 65. Combien vaut P (A \ B) ?
A) 0; 15
B) 0; 25
2) Deux dés cubiques ont leurs faces numérotées respectivement 1,2,3,4,5,6. On lance simultanément les deux dés et on note le chi¤re marqué sur la face supérieure de chacun des dés. Déterminer
le nombre d’éventualités associé à cette expérience aléatoire.
C) 12
D) 18
E) 36
Q 2) Dans une classe de 30 élèves, on doit désigner au hasard 2 élèves comme représentants de
classe. Déterminer le nombre d’éventualités associé à cette expérience.
A) 870
B) 435
C) 900
D) 450
E) 275
Q 3) Un lecteur d’une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette
bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies. 40% des écrivains de romans
policiers sont français et 70% des écrivains de biographies sont français. Le lecteur choisit un
livre au hasard parmi les 200 ouvrages.
1
1) La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :
A) 0,4
B) 0,75
2) La probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un écrivain français est :
C) 0,9
D) 0,7
E) 0,475
Q 4) (suite)
1) La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l’écrivain est français est :
A) 4/150
B) 12/19
C) 3/10
2) Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque; la probabilité qu’il ait choisi au moins un roman
policier est :
D) 1 (0; 25)20
E) 0; 75 (0; 25)20
Q 5) Indiquer si les a¢ rmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs 0 et 1 avec probabilité 1
ment, où 0 < p < 1. Alors E(X) = p et V ar(X) = p(1 p).
A) Vrai
B) Faux
2. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) si et seulement si X et Y sont indépendants.
C) Vrai
D) Faux
p et p respective-
Q 6) Indiquer si les a¢ rmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. Si X
N (0; 1), Y
N (0; 1) et corr(X; Y ) = , alors
X
Y
A) Vrai
B) Faux
2. Si X
N (0; 1), Y
normale centrée.
C) Vrai
D) Faux
N
0
0
;
1
1
p
N (0; 1) et X et Y sont indépendants, alors (X + Y )= 2 suit une loi
2
Q 7) Indiquer si les a¢ rmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. Si (X; Y ) est un vecteur Gaussien tel que X; Y
N (0; 1), alors la loi conditionnelle de Y
sachant X = x suit une loi normale centrée en x.
A) Vrai
B) Faux
p
2. Cov(X; Y ) = V ar(X)V ar(Y ) si et seulement s’il existe a et b tels que Y = aX + b.
C) Vrai
D) Faux
Q 8) On lance cinq fois de suite une pièce de monnaie. Sur chaque lancé on regarde si on obtient
pile ou face, exemple de résultat possible: pile, pile, pile, face, face noté PPPFF. Déterminer le
nombre d’éventualités associé à cette expérience.
A) 25
B) 32
C) 16
D) 40
D) 20
Q 9) Une classe de terminale comporte 28 élèves. Dans cette classe, chaque élève suit l’enseignement
de deux langues vivantes (au plus) choisies parmi l’anglais, l’allemand et l’espagnol. Le nombre
d’élèves inscrits dans chacune des trois langues est 25 pour l’anglais, 18 pour l’allemand et 13
pour l’espagnol.
1) Il y a plusieurs élèves inscrits à la fois en anglais et en espagnol.
A) Vrai
B) Faux
2) Tous les élèves inscrits en allemand font de l’anglais
C) Vrai
D) Faux
E) On ne peut rien dire.
Q 10) Un sac contient 5 jetons indiscernables au touché numérotés 1, 2, 3, 4 et 5. On prélève au
hasard et successivement et avec remise 2 jetons. Calculer la probabilité de l’évenement A : “la
somme des numéros obtenus sur les jetons est 5”
A) P (A) = 4=25
B) P (A) = 2=25
C) P (A) = 1=5
D) P (A) = 2=5
E) P (A) = 6=25
3
Q 11) Au cours d’une épidémie de grippe, on vaccine le tiers d’une population. Parmi les grippés,
un sur dix est vacciné. La probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la population
soit grippée est 0; 25. Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de cette population de
contracter la grippe ?
A) 1=120
B) 3=40
C) 1=12
D) 4=40
E) 1=10
Q 12) Une urne contient 5 boules: 2 vertes, 2 rouges et une blanche. On tire au hasard et
simultanément 2 boules de l’urne. Tous les tirages sont équiprobables, on considère l’événement
A : “obtenir deux boules de même couleur”. Calculer P (A).
A) P (A) = 2=5
B) P (A) = 1=5
C) P (A) = 4=5
D) P (A) = 3=5
E) P (A) = 3=10
Q 13) On choisit au hasard une boule d’une urne contenant 3 boules rouges numérotées 1, 2 et
3, deux boules vertes numérotées 1 et 2 et une boule bleue numérotée 1. On considère les
évènements suivants :
R: « La boule tirée est rouge» , A: « la boule tirée est numérotée 1» et B: « la boule tirée est
numérotée 2»
Laquelle de ces 4 a¢ rmations est vraie ?
A) Il n’y a pas d’évènements indépendants parmi les 3.
B) R et A sont indépendants.
C) A et B sont indépendants.
D) R et B sont indépendants.
E) A, R et B sont indépendants.
Q 14) Quels sont les indicateurs de valeur centrale:
A) La médiane.
B) L’intervalle interquartile centré sur la médiane.
C) Le mode.
D) L’écart type.
E) Le coe¢ cient de Gini.
4
Q 15) Quels sont les indicateurs de dispersion:
A) L’étendue.
B) Le mode.
C) Le rapport interdécile.
D) La médiane.
E) La moyenne.
Q 16) L’histograme suivant donne la répartition des vitesses de véhicules à un carrefour en ville.
La classe qui contient le 80ième centile est :
A) 20-30
B) 10-20
C) 40-50
D) 50-60
E) 30-40
Q 17) Le graphique suivant donne les boîtes à moustache des notes (sur 100) à un cours de
statistique par sexe.
5
Lesquelles de ces a¢ rmations sont correctes :
A) La moyenne des notes des étudiantes est à peu près 72.
B) La moyenne des notes des étudiantes est à peu près 68.
C) Approximativement 25% des étudiantes ont obtenu une note au dessus de 72.
D) Approximativement 10% des étudiants ont obtenu une note en dessous de 60.
E) Approximativement 50% des étudiantes ont obtenu une notre comprise entre 62 et 82.
Q 18) On considère une distribution asymétrique avec une médiane à 75 et un mode à 80. Laquelle
des valeurs suivantes est une valeur possible pour la moyenne :
A) 86
B) 91
C) 64
D) 75
E) Aucun des cas précédents
Q 19) Un homme politique a ciblé 100 foyers à visiter pendant une semaine. D’après son expérience,
il a une chance sur deux pour que le ménage lui ouvre la porte et quatre chances sur cinq qu’il
soit d’accord avec sa politique. La probabilité que le politicien reçoive du soutien d’au moins 45
foyers au cours de cette semaine est :
A) 0,1991
B) 0,3212
C) 0,8643
D) 0,1376
E) 0,1788
Q 20) Une variable aléatoire X a pour loi de probabilité :
xi
pi
1
1/2
2
1/4
6
4
1/4
Combien vaut l’écart type de X ?
A) 3=2
p
B) 3=2
C) 2
D) 1=2
E) 2=3
Q 21) Un joueur lance une fois un dé bien équilibré. Il gagne 10 euros si le dé marque 1. Il gagne
1 euro si le dé marque 2 ou 4. Il ne gagne rien dans les autres cas. Soit X la variable aléatoire
égale au gain du joueur. Quelle est la variance de X?
A) 2
B) 13
C) 16
D) 11
E) 12
Q 22) Le nombre d’accidents de la circulation par semaine dans une petite ville a une distribution
de Poisson de moyenne égale à 3. Quelle est la probabilité d’avoir au moins un accident dans les
2 semaines? (e1 ' 2; 718)
A) 0,0174
B) 0,9502
C) 0,9975
D) 0,1991
E) 0,0025
Q 23) Supposons que les résultats des tests de 600 étudiants soient normalement distribués avec
une moyenne de 76 et un écart-type de 8. Le nombre d’étudiants entre 70 et 82 est:
A) 272
B) 164
C) 260
D) 136
E) 328
Q 24) Z
N (0; 1). Laquelle des a¢ rmations suivantes est fausse?
A) P (0 Z 1; 50) = 0; 4332
B) P (Z
1) = 0; 1587
C) P (Z > 2) = 0; 0228
D) P (Z 1; 5) = 0; 9332
E) P (Z > 2; 5) = 0; 04938
7
Q 25) Si X a une distribution binomiale avec n = 400 et p = 0; 4, la probabilité de l’événement
(155 < X < 175) est approximativement:
A) 0,45
B) 0,24
C) 0,61
D) 0,72
E) 0,83
Q 26) Un horticulteur souhaite estimer la croissance moyenne des plants dans une parcelle de bois.
Un échantillon aléatoire de n = 100 plants est sélectionné et la croissance annuelle est mesurée
pour chacun des plants. La moyenne mesurée est 5; 62 cm et l’écart-type 2; 50 cm. L’intervalle
de con…ance à 95% de la croissance moyenne est:
A) (3,12; 8,12)
B) (4.98; 6,26)
C) (5,13; 6,11)
D) (5,37; 5,87)
E) (5,57; 5,67)
Q 27) Un statisticien sélectionne un échantillon aléatoire de 200 graines d’une certaine variété de
semences de tomates. Si 155 des 200 graines germent, un intervalle de con…ance à 95% de la
proportion de graines qui germent est la suivante:
A) (0,726; 0,824)
B) (0,717; 0,833)
C) (0,706; 0,844)
D) (0,713; 0,844)
E) (0,726; 0,833)
Q 28) On veut tester si la consommation de céréales sucrées tend à augmenter le nombre de caries
dentaires chez les enfants. Deux échantillons d’enfants ont été suivis pendant plusieurs années.
Le premier échantillon a mangé des céréales avec sucre et le second des céréales sans sucre. À la
…n de l’étude, le nombre de début de caries soignées a été mesuré. Voici le résumé des données:
Groupe
Avec sucre
Sans sucre
n
10
15
Moyenne
6,41
5,20
Ecart-type
5
15
Un intervalle de con…ance à 95% de la di¤érence des moyennes est :
A)
r
5
15
(6; 41 5; 20) 2; 26
+
10 15
8
B)
(6; 41
5; 20)
r
25 225
+
10
15
r
25 225
+
10
15
2; 26
C)
(6; 41
5; 20)
1; 96
D)
(6; 41
5; 20)
r
146 146
+
10
15
r
146 146
+
10
15
2; 07
E)
(6; 41
5; 20)
1; 96
Q 29) Dans des tests d’hypothèses, est la probabilité de commettre une erreur de type II (de
seconde espèce). La puissance du test, 1
est alors:
A) La probabilité de rejeter H0 lorsque H1 est vrai.
B) La probabilité de ne pas rejeter H0 lorsque HA est vrai.
C) La probabilité de ne pas rejeter H0 lorsque H0 est vrai.
D) La probabilité de rejeter H0 lorsque H0 est vrai.
E) La probabilité de ne pas rejeter H0 .
Q 30) Dans un test statistique d’hypothèse, qu’arrive-t-il à la région de rejet lorsque , le niveau
de test, est réduit?
A) La réponse dépend de la valeur de .
B) La région de rejet est réduite en taille.
C) La région de rejet augmente en taille.
D) La région de rejet n’est pas modi…ée.
E) La réponse dépend de la forme de l’hypothèse alternative.
Q 31) Pour déterminer la …abilité des analyses des experts dans l’interprétation des résultats des
tests polygraphiques dans les enquêtes criminelles, 280 cas ont été étudiés. Les résultats sont les
suivants:
Décision
des experts
Innocent
Coupable
Réalité
Innocent Coupable
131
15
9
125
Si les hypothèses sont H0 : le suspect est innocent et H1 : le suspect est coupable, on peut alors
estimer la probabilité de commettre une erreur de type II (seconde espèce) par:
A) 15=280
9
B) 9=280
C) 15=140
D) 9=140
E) 15=146
Q 32) Dans un test de H0 :
= 100 contre H1 :
6 100, un échantillon de taille 10 donne une
=
moyenne de 103 et une p valeur de 0,08. Ainsi, au niveau 0; 05:
A) on peut conclure que 6= 100.
B) on peut conclure que = 100.
C) on ne peut pas conclure que = 100.
D) on ne peut pas conclure que 6= 100.
E) on peut conclure que = 103.
Q 33) On dispose de la consommation d’eau de ménages en fonction du nombre de personnes
constituant le ménage
Taille du ménage
x
2
7
9
4
12
6
9
3
3
2
Consommation
y
650
1200
1300
430
1400
900
1800
640
793
925
P
P
P
P
P
On dispose des statistiques suivantes:
X = 57; Y = 10038; X 2 = 433; Y 2 = 11641474; XY =
67669. L’équation de la régression des moindres carrés pour la consommation d’eau en fonction de la
taille du ménage est donnée par:
^
A) Y^ = 97053; 7 + 96; 692X
^
B) Y^ = 999; 220 + 0; 803X
^
C) Y^ = 1; 0028 + 0; 0067X
^
^
D) Y = 452; 66 + 96; 692X
^
E) Y^ = 1003; 8 96; 692X
Les hormones de croissance sont souvent utilisées pour augmenter le gain de poids des poulets.
Dans une expérience avec 15 poulets, cinq doses di¤érentes d’hormone de croissance (0, 0.2, 0.4, 0.8,
and 1.0 mg/kg) ont été injectées dans les poulets (trois pour chaque dose) et la prise de poids a été
enregistrée. On a tracé les résultats sur un graphique et on a constaté qu’une relation linéaire existait.
Les résultats de la régression par moindres carrés sont les suivants :
10
SOURCE
MODEL
ERROR
CORRECTED TOTAL
DF
1
13
14
SUM OF SQUARES
78.4083
125.7410
204.1493
T FOR H0:
ESTIMATE
3.7816
4.0416
PARAMETER
INTERCEPT
DOSE
PR > jTj
PARAMETER=0
3.23
2.85
Q 34) La droite de régression (Y^ =
A) Y^
B) Y^
C) Y^
D) Y^
E) Y^
0
+
MEAN SQUARE
78.4083
9.6723
T-value
0.0066
0.0137
F VALUE
8.11
PR > F
.0137
STD ERROR OF
ESTIMATE
1.1705
1.4195
^ est la suivante :
1 X)
^
= 4; 04 + 3; 78X
^
= 2; 85 + 3; 23X
^
= 3; 23 + 2; 85X
^
= 3; 78 + 4; 04X
^
= 1; 17 + 1; 42X
Q 35) Un intervalle de con…ance à 95% pour la pente est :
A) 4; 04
B) 4; 04
C) 4; 04
D) 3; 78
E) 3; 78
1; 96
1; 77
2; 16
1; 77
2; 16
1; 42
1; 42
1; 42
1; 17
1; 17
Q 36) On soupçonne que le gain de poids augmente avec la dose. Les hypothèse nulle, alternative
pour tester cette hypothèse, le test et la p valeur sont :
A) H0 :
B) H0 :
C) H0 :
D) H0 :
E) H0 :
= 0, H1 :
0 = 0, H1 :
1 = 0, H1 :
0 = 0, H1 :
1 = 0, H1 :
1
6 0, T
=
0 6= 0, T
1 > 0, T
0 > 0, T
1 > 0, T
1
= 2; 85; p
= 3; 23; p
= 2; 85; p
= 3; 23; p
= 2; 85; p
valeur= 0; 0069
valeur= 0; 0066
valeur= 0; 0137
valeur= 0; 0033
valeur= 0; 0069
Q 37) On donne les nombres x1 ; x2 ; : : : ; xn .
1) La fonction
f (a) =
n
X
i=1
est minimale lorsque
11
jxi
aj2
A) a est la médiane de x1 ; x2 ; : : : ; xn
B) a est la moyenne de x1 ; x2 ; : : : ; xn
2) La fonction
g(a) =
n
X
i=1
est minimale lorsque
C) a est la médiane de x1 ; x2 ; : : : ; xn
D) a est la moyenne de x1 ; x2 ; : : : ; xn
E) a est la somme de x1 ; x2 ; : : : ; xn
jxi
aj
Q 38) Vous souhaitez procéder à une recherche de segmentation à partir d’une analyse multivariée
portant sur quatre variables qualitatives. Pour ce faire vous utilisez quelle procédure ?
A) Une procédure d’analyse en composantes principales.
B) Une procédure d’analyse factorielle des correspondances.
C) Une procédure multidimentional-scaling.
D) Une procédure d’analyse des correspondances multiples.
E) Une regréssion linéaire.
Q 39) Soit
In =
Z
2n
2
1
p dt:
t ln t
p
p
1) In = ( n 1) ln 16
A) Vrai
B) Faux
2) In In+1
C) Vrai
D) Faux
Q 40) Soit
I=
Z
1
A) I = e2 =2 + 1=4
B) I = e2 =4 + 1=2
C) I = e2 =2 + 1
D) I = e2 =8 + 1=4
E) I = e2 =4 + 1=4
12
e
x ln xdx
Q 41) Soit la suite (un ) dé…nie par u0 = 0 et
un+1 =
La suite (vn ) dé…nie par
vn =
2un + 3
:
un + 4
un 1
un + 3
est une suite géométrique de raison
A) q = 3=4
B) q = 2
C) q = 1=3
D) q = 1=5
E) q = 4
Q 42) On jette deux dés de 6 faces. L’un est bleu et l’autre est rouge. On note a la face apparente
du dé bleu et b celle du dé rouge. Soit E l’équation
x2
2ax + b2 = 0:
1) La probabilité que E ait une racine double est 1=6.
A) Vrai
B) Faux
2) La probabilité que E ait une racine double paire est 1=12.
C) Vrai
D) Faux
Q 43) On pose g(x) = xex .
1) Pour tout x 2 R, g 0 (x) = x2 ex
A) Vrai
B) Faux
R1
2) On a 0 f (x)dx = 8=9.
C) Vrai
D) Faux
2
Q 44) On pose g(x) = 2xex .
R1
1) On a 0 g(x)dx = e1 1.
A) Vrai
B) Faux
R1
2) On a 1 g(x)dx = 0.
C) Vrai
D) Faux
13
Q 45) Indiquer si les a¢ rmations suivantes sont vraies ou fausses.
1)
lim
x!2
j2x 2j x
1
=
2x 4
2
A) Vrai
B) Faux
2)
3x2 5x
=3
x!0 x2 + 5x
lim
C) Vrai
D) Faux
Q 46) Indiquer si les a¢ rmations suivantes sont vraies ou fausses.
1)
lim
x!1
A) Vrai
B) Faux
2)
p
x2 + 4x + 12
x+2=0
p
x jx2 xj
lim
= +1
x!1
x 1
C) Vrai
D) Faux
Q 47) On donne la matrice A sous la forme
2
1 0
A=4 1 1
7 -1
de produit:
32
0
1 0
0 54 0 1
2
0 0
Le rang de A est égal à
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Q 48) Soit
A=
14
1
-2
-3
2
1
2
0
4
2
1
3
5
1 5
1
1) det(A) = 4
A) Vrai
B) Faux
2) Le vecteur
3
2
est vecteur propre de A.
C) Vrai
D) Faux
Q 49) (suite)
1) 4 et 1 sont valeurs propres de A.
A) Vrai
B) Faux
2) A est diagonalisable.
C) Vrai
D) Faux
Q 50) On considère un ensemble d’objets qui sont blancs ou noirs, ronds ou carrés, en plastique
ou en pierre. Aucun objet blanc est en plastique et tout objet en plastique est rond.
1) Il peut exister un objet noir, en plastique et carré
A) Vrai
B) Faux
2) Il esiste un objet noir et rond.
C) Vrai
D) Faux
15
16