EXERCICES DE TRIGONOMÉTRIE

EXERCICES DE TRIGONOMÉTRIE
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EXERCICE 1 :
Résoudre dans ℝ les équations trigonométriques suivantes :
1°)
cos( 2 x ) = −
1
2
; 2°) sin (x ) =
5°) tg (2 x ) = 1 ; 6°)
; 3°) 2 cos  x − π  =
2
2

; 4°) sin (2 x ) = −
π
; 7°) 2 sin  x −  = 1 ; 8°)
2
π

cos  3 x −  =
2
4

9°) tg (2 x ) = 3 ;10°)
3
3

 π
cos (3 x ) = cos  x + 
2

3
3
;
2
π

 2π 
cos 3 x +  = cos x −

3
3 


;11°) 2 sin (2 x ) = 3 ;12°)
;
π

 π
cos  2 x +  = cos  x + 
2
4


EXERCICE 2 :
En utilisant les formules de transformations ou d’addition calculer les expressions
1°) A = (sin x − sin y )2 + (cos x − cos y )2 avec x − y =
π
π
3
3π

+ x  + cot an(− x) ;
2

 2

π
π
2°) C = cot an(− x) + tan − x  + cot an(2π − x) + sin + x  − cos x ;
2

2

3°) D = cos(2π − x) + cos(− x) + tg (2π + x) + cot an(− x) ;
3π
4°) E = cot an − x  + tan(π − x) + cos(− x) + sin(− x) .
 2

1°) B = sin − x  + cos(π − x) + tan
EXERCICE 3 :
Déterminer l’angle α en radians, dans les cas suivants :

2
cos α = −
2
4°) 
 sin α = 2

2


1

2
2
cos α = −
 cos α =
cos α = − 2
cos
=
−
1
α

2
2
5°) 
; 6°) 
; 7°) 
; 8°) 
3
sin
α
=
0
2

sin α =
 sin α = −
sin α = − 2

2

2

2
1


3
cos α = −
cos α = 0
cos α = 1
cos α = − 2

2
9°) 
; 10°) 
; 11°) 
; 12°) 
1
sin
α
=
1
sin
α
=
0


 sin α = −
sin α = − 3

2

2
1



3
3
 cos α = 2
cos α =
cos α = −
2 ; 3°) 
2 ;
1°) 
; 2°) 
3
1
1
sin α =
 sin α = −
 sin α =



2
2
2


3
cos α =
cos α =
2 ; 14°) 
13°) 
 sin α = 1
 sin α =


2
Exercices Trigonométrie 11ème
2
2 ;
2
2
 cos α = 0
15°) 
; 16°)
sin α = −1
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1

 cos α = 2

sin α = − 3

2
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EXERCICE 4 :
1°) Résoudre dans ℝ les équations suivantes d’inconnue x puis placer sur le cercle
trigonométrique les points images des solutions.
a) 2 cos( x ) − 1 = 0 ; b) 2 sin( 2 x ) − 3 = 0 ; c) Vérifier que : 4 + 2 3 = ( 3 +1) puis
2
π
3π
résoudre − 4 sin 2 ( x ) + 2( 3 −1)cos( x ) + 4 − 3 = 0 ; d) cos  x +  − sin  x −  = 0 .


4 
)2 et résoudre dans ℝ l’équation : 4 x + 2( 3 − 2 ) x −
b) En déduire la résolution dans [0 ; 2π] de : − 4 sin 2 ( y ) + 2( 3 − 2 )cos( y ) + 4 −
2°) a) Calculer
(
2
3+ 2
2
6 =0
6 = 0.
Placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.
3°) a) Résoudre x ∈ ℝ, cos x + sin x = −1
cos x + sin x = 3 .
;
b) Après avoir vérifié que : sin( 2 x ) = (sin x + cos x )2 −1 résoudre les équations
1
2
1
2
suivantes : 1− sin( 2 x ) + sin( x ) + cos( x ) = 0 . et 1 + sin(2 x) + sin( x) + cos( x) = 0
π

x − y=

4
3°) Résoudre (x ; y )∈[0 ; 2π ]× [0 ; 2π ] le système 
cos( x ) cos( y ) = 2

4
4°) Résoudre (x ; y )∈[0 ; π ]× [0 ; π ] le système

 cos( x + y ) =

cos( x − y ) =

1
2
3
2
5°) Simplifier les expressions :
a) A = sin( x − y ) cos( x + y ) − sin( x + y ) cos( x − y ) .
b) B =
cos(2 x)
1 + sin(2 x)
6°) Démontrer que :
π 
cos   =
 12 
6+ 2
4
π 
et sin   =
 12 
6− 2
π π π
sachant que
= −
4
12 3 4
EXERCICE 5 :
On considère l’équation (E) : x∈ [−π ; π ] , sin(3 x ) + 2 cos 2 ( x ) + sin( x ) = 0 .
1°) Factoriser sin(3 x) + sin( x) .
2°) Résoudre dans ℝ l’équation (E) et placer les points images des solutions sur le
cercle trigonométrique.
3°) Si a + b + c = 180° alors prouver que :
a) sin 2a + sin 2b + sin 2c = 4 cos a cos b cos c ; b) cos 2a + cos 2b + cos 2c = 1 + 4 sin a sin b sin c .
Exercices Trigonométrie 11ème
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4°) Donner l’expression factorisée de
a) A = sin 5 x + sin 3 x ;
b) B = sin x − sin 5 x ;
c) C = cos 4 x − cos 6 x
d) D = cos 9 x + cos 3x ; e) E = sin 4 x − sin 2 x ; f) F = cos 11x + cos 3x
EXERCICE 6 :
Résoudre les équations suivantes
a°) x ∈ℝ, cos(x) + sin(x) =
2 ;
b°) x∈ [− 2π ; 2π ] , sin 2 ( 2 x ) − 4 sin( 2 x ) + 3 = 0
c°) x ∈ℝ, − 2( 2 −1)cos x − 4 cos 2 x + 2 = 0 ; d°) x∈ℝ, cos(5 x ) − cos( x ) = sin(3 x )
π
e°) x∈ [−π ; π ] , 2 sin 2 ( x ) + ( 2 − 2 ) sin( x ) − 2 = 0 ; f°) x∈ [− 2π ; 2π ] , sin  2 x +  = 1

3
g°) x ∈ [0 ;2 π ] , 2 sin 2 ( x ) + 7 cos( x ) − 5 = 0 ; h°) x∈ℝ, cos 2 x − 4 cos x + 3 = 0

i°) x∈ℝ, 2 cos( 2 x ) sin( x ) = 3 sin( x ) ; j°) x ∈ℝ, cos  x −

π 
6 
= sin x
k°) x∈ℝ, − sin x + 3 cos x −1= 0 ; l°) x∈ [0 ;2 π ] , 2 + 2( 2 − 1) sin( x ) = 4 sin 2 ( x )
−π π
m°) x∈ℝ, 2 sin( 2 x ) cos 2 x − sin 2 x = 2 2 sin( x ) cos( x ) ; n°) x∈  ;  , tg (2 x ) = 3
 3 3 
p°) x∈ℝ, 3 cos( x) − 3 sin( x) = 6 ; q°) x∈ℝ, − cos( x ) + 3 sin( x ) − 2 = 0
(
)
r°) x∈ℝ, 2 cos x sin x + 4 sin( 2 x ) = 0 ;
s°) x∈ℝ, cos x + sin x = −1 .
EXERCICE 7 :
1°) Établir la relation : 4 cos 4 x + 4 sin 4 x = 3 + cos( 4 x ) . Utiliser ce résultat pour
π
π
résoudre dans ℝ l’équation : 4 cos 4 x + 4 sin 4 x = 2 cos  2 x +  cos  2 x −  .

4

4
2°) résoudre les équations :
π
a) x∈ℝ, tg  x −  = 3 ; b) x∈ [0 ;2 π ] , 2tg 2 ( x ) − 3tg ( x ) + 1 = 0 ;
 3
c) x∈ℝ,
(
3 +1)sin x − 2 3 sin x cos x + ( 3 −1)cos x = 0 ; d) x∈ℝ, tg (3 x ) + tg ( x ) = 0
2
2
x
x
π
e) x∈ℝ, 3 cos(3 x ) + sin(3 x ) + 1 = 0 ; f) x∈ℝ, sin   − 3 cos   = 2 sin   .
 2
2
5
EXERCICE 8 :
Résoudre dans ℝ, chacune des équations suivantes
a) sin(2 x) − 3 cos( x) = 2 ; b) sin( x) − 3 cos( x) = 0 ; c) cos( x) + 3 sin( x) = 3
d) 3 3 cos(π x) + 3 sin(π x) = 0 ;
f) cos(2 x) cos( x) + sin(2 x) sin( x) =
e) cos(3x) cos( x) = sin(3x) sin( x)
1
; h) 2 sin( x) cos( x) + 2 3 cos( x) − 3 tan( x) + 3 = 0
2
g) 4 sin( x) cos( x) + 2 sin( x) − 2 cos( x) − 1 = 0 ; i) 2 sin( x) tan( x) − tan( x) = 1 − 2 sin( x)
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EXERCICE 9 :
Démontrer les identités suivantes
1°) (sin x + cos x )2 = 1 + 2 sin x cos x ;
2°) sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2 sin 2 x cos 2 x ;
3°) (sin x − cos x )2 = 1 − 2 sin x cos x ;
4°) tan( x) =
sin(2 x)
1 + cos(2 x)
5°) sin 4 x − cos 4 x + 2 sin 2 x + 4 cos 2 x = 1 − 2 sin 2 x cos 2 x = 3 ;
6°)
sin x + sin(5 x)
= tan( x) ;
cos x + cos(5 x)
8°)
sin x + sin(3 x) + sin(5 x)
= tan(3 x) ;
cos x + cos(3 x) + cos(5 x)
10°)
7°)
9°)
sin(3 x) + sin(7 x)
= cot an(2 x) ;
cos(3 x) − cos(7 x)
sin( x + y ) − sin( x − y )
= tan( y )
cos( x + y ) + cos( x − y )
sin x + sin(2 x) + sin(3 x) + sin(4 x) + sin(5 x)
= tan(3 x) .
cos x + cos(2 x) + cos(3 x) + cos(4 x) + cos(5 x)
EXERCICE 10 :
Résoudre les inéquations suivantes :
1°) x∈ [0 ; 2π [ , cos( 2 x ) ≤
3
3π
x
; 2°) x∈ [0 ; π [ , tg ( x) ≥ 3 ; 3°) x∈ℝ, sin   ≥ sin  
2
3
 4 
π
4°) x∈ℝ, 2 cos  2 x +  ≥ 1

4
;
5°) x∈ℝ, 3 cos( x ) + sin( x ) ≥ 1 ;
6°) x∈ℝ, 4 cos 2 ( x ) − 2( 2 + 3 )cos( x ) + 6 ≤ 0 .
7°) Factoriser f (x) puis en déduire une résolution dans ℝ de l’équation f ( x) = 0
dans les cas suivants : f ( x ) = sin 3 x + sin x + 2 sin 2 x ; f ( x ) = cos 3 x + cos x + 2 cos 2 x
EXERCICE 11 :
1°) Soit ABCD un carré tel que 2EC = 3DE et mes(AÊB) = θ. Calculer tan(θ).
A
D
E
θ
C
B
π
2

2°) Soient x , y et z trois nombres réels de ℝ-  + kπ , k ∈ Z  tels que x + y + z = π .

Démontrer les égalités suivantes :
x
2
y
2
z
2
a) cos x + cos y + cos z = 1 + 4 sin sin sin ;
x
y
z
;
2
2
2
c) tan( x) + tan( y ) + tan( z ) = tan( x) × tan( y ) × tan( z ) .
b) sin x + sin y + sin z = 4 cos cos cos
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