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Première ES-cours
Chapitre 4: Pourcentages
Table des matières
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
multiplicateur .
.
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Pourcentages
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1.1
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.
.
.
R
F
.
S
E
e
2 Indices
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
2
3
4
r
ie
Pourcentage d’une partie d’un ensemble
m
e
r
Soit un ensemble E à n éléments et A un sous ensemble de E à p éléments, le nombre d’éléments de A
p
représente × 100 % de l’ensemble E.
n
Remarque
Cette proportion en pourcentage est un nombre compris entre 0 et 100.
p
S
H
T
r Exemple 1 : Déterminer un pourcentage
A
Il y a 2500 salariés dans une grande entreprise et 2200 sont des ouvriers.
.M ?
Quel est le pourcentage d’ouvriers parmi les salariés
W
* Solution:
W
2200
On calcule
× 100 = 88
W
2500
R
F
.
S
E ensemble.
toujours préciser ce que représente le pourcentage et par rapport à quel
e
Remarque
r
e
On peut utiliser un tableau de proportionnalité.
i
2200 × 100
Ouvriers 2200
?
= 88
em
salariés 2500 100
2500
r
p à un pourcentage donné
r Exemple 2 : Déterminer un effectif correspondant
S
Dans une autre entreprise, les ouvriers représentent 75% des salariés et il y a 900 ouvriers.
H
Quel est le nombre de salariés ?
T
A
* Solution:
.M
Si on note n le nombre de salariés, on a :
W
900
× 100 = 75 ⇐⇒ 900 × 100 = 75n
n
W
90000
⇐⇒
W75 = n
Il y a 88 % d’ouvriers parmi les salariés.
⇐⇒ 1200 = n
Il y a 1200 salariés dans cette entreprise.
Chapitre 4: Pourcentages
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1 Pourcentages
1.1 Pourcentage d’une partie d’un ensemble . . . .
1.2 Pourcentage d’évolution . . . . . . . . . . . . .
1.3 Utiliser le coefficient multiplicateur . . . . . . .
1.4 Retrouver le pourcentage à partir du coefficient
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Chapitre 4: Pourcentages
Remarque
Avec un tableau de proportionnalité, on a :
900 × 100
Ouvriers 900 75
= 1200
salariés
?
100
75
Pourcentage d’évolution
R
F
.
S
E
e
Définition : pourcentages d’évolution
Q2 − Q1
× 100.
Le pourcentage d’évolution pour passer d’une quantité Q1 à une quantité Q2 est
Q1
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r
ie
Remarque
valeur finale-valeur initiale
évolution
Mémo :
× 100 ou bien
× 100
valeur initiale
valeur de référence
m
e
r
p
S
r Exemple 3 : Déterminer un pourcentage d’évolution
Dans une entreprise, il y a 2500 salariés en 2012 et 2450 en 2013.
Quel est le pourcentage d’évolution du nombre de salariés ?
H
AT
* Solution:
2500 − 2450
× 100 = −2
2500
.M
W
Il y a une baisse de 2% du nombreW
de salariés de 2012 à 2013.
W
Remarque
Avec un tableau de proportionnalité, on a :
−50 × 100
salariés
2500 100
= −2
évolution −50
?
2500
R
F
.
S
-E
e
r
e t ).
t
Avec une augmentation de t%, on a Q = Q +
Q = Q (1 i
+
100
m 100
e
Propriété : évolution de t%
r à lui appliquer le coefficient multiplicateur
Appliquer une augmentation de t % à une valeur revient
p
t
1+
.
S
100
De même, appliquer une diminution de t % àH
une valeur revient à lui appliquer le coefficient multiplit
T
.
cateur 1 −
A
100
M
.
10
Par exemple, augmenter une valeur de 10% revient à la multiplier par 1 +
= 1, 1
100
W
Appliquer le coefficient multiplicateur 0,8 à une valeur revient à la diminuer de (1 − 0, 8) × 100 = 20 %
W
W
1.3
Utiliser le coefficient multiplicateur
2
Chapitre 4: Pourcentages
1
1
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1.2
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Chapitre 4: Pourcentages
r Exemple 4 : Appliquer un pourcentage d’évolution
Une entreprise augmente ses bénéfices de 7% entre 2012 et 2013.
Sachant que les bénéfices en 2012 étaient de 240 000 euros, quels sont les bénéfices en 2013 ?
• Avec le coefficient multiplicateur
R
F
.
S
E
e
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7
Augmenter les bénéfices de 7% revient à appliquer le coefficient multiplicateur 1 +
= 1, 07
100
240000 × 1, 07 = 265800
• Avec le pourcentage
7
= 240000 + 25800 = 256800
240000 + 240000 ×
100
• Avec un tableau
240000 × 107
bénéfices en 2012 24000 100
= 256800
bénéfices en 2013
?
107
100
r
ie
m
e
r
Les bénéfices en 2013 sont de 256800 euros.
p
S
H
AT
.M
r Exemple 5 : Déterminer la valeur initiale
W
W
Cette entreprise avait augmenté ses bénéfices de 4% entre 2011 et 2012.
Quels étaient les bénéfices, arrondis à l’euro, en 2011 ? (rappel 240000 euros en 2012)
* Solution:
W
• Avec le coefficient multiplicateur
R
F
.
S
-E
4
= 1, 04
Augmenter les bénéfices de 4% revient à appliquer le coefficient multiplicateur 1 +
100
Si on note x les bénéfices en 2011, on a :
x × 1, 04 = 240000
240000
≈ 230769
donc x =
1, 04
• Avec un tableau
240000 × 100
bénéfices en 2011
x
100
≈ 230769
bénéfices en 2012 240000 104
104
e
r
ie
em
r
p
S
Les bénéfices en 2011 s’élevaient à 230769 euros
H environ.
AT
Appliquer une hausse de 4% puis une
.Mbaisse de 4% ne permet pas de revenir à la valeur initiale.
Ne pas diminuer 240000 euros
Wde 4%.
W
1.4 Retrouver le pourcentage à partir du coefficient multiplicateur
W
t
Appliquer une augmentation de t% revient à appliquer le coefficient multiplicateur k = 1 +
100
t
t
k =1+
⇐⇒ k − 1 =
⇐⇒ t = (k − 1) × 100
100
100
: pourcentage associé à un coefficient multiplicateurSi on applique le coefficient multiplicateur k, l’évolution
en pourcentage correspondante est (k − 1) × 100
Remarque
Si on obtient t négatif, il s’agit d’une baisse (on a alors k < 1).
Chapitre 4: Pourcentages
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* Solution:
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Chapitre 4: Pourcentages
r Exemple 6 : Déterminer le pourcentage d’évolution
Déterminer le pourcentage d’évolution correspondant au coefficient multiplicateur 1,23 puis à un coefficient multiplicateur de 0,88.
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(k − 1) × 100 = (1, 23 − 1) × 100 = 23
R
F
Appliquer le coefficient multiplicateur 1,23 correspond à une augmentation de 23%. S.
E
e
(k − 1) × 100 = (0, 88 − 1) × 100 = −12
r
ie
m de 12%.
Appliquer le coefficient multiplicateur 0,88 correspond à une diminution
e
r
p
SRemarque
H
23
12
On a 1, 23 = 1 +
et 0, 88 = 1 − 0, 12 = 1 −
T
100
100
A
r Exemple 7 : Utiliser le coefficient multiplicateur pour déterminer un pourcentage d’évolution
.M
Lors des soldes, un article passe de 212 euros
W à 163,24 euros.
Quel est le pourcentage de remise pour les soldes ?
W
W
* Solution:
163, 24
valeur finale
=
= 0, 77
On applique le coefficient multiplicateur k =
valeur initiale
212
t = (k − 1) × 100 = (0, 77 − 1) × 100 = −23
R
F
.
S
-E
e
r
ie
Il s’agit d’une baisse de 23% .
2
em
r
p
Indices
S-
H
Définition : Indice de base 100
On a deux valeurs V1 et V2 .
Définir l’indice de base 100 correspondant à V1 , c’est associer I1 = 100 à V1 et l’indice I2 à V2 tel que
I1 et I2 soient proportionnels à V1 et V2 .
AT
W
.M
On peut utiliser un tableau de proportionnalité :
Valeurs V1 V2
Indices I1 I2
On a notamment, les produits en croix égaux soit V1 × I2 = I1 × V2
Remarque
Les indices étant proportionnels aux valeurs, l’évolution, en pourcentage, de V1 à V2 et l’évolution de I1
à I2 sont identiques.
W
W
r Exemple 8 : Calculer des indices
Chapitre 4: Pourcentages
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* Solution:
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Chapitre 4: Pourcentages
On étudie le nombre de clients d’un magasin de téléphones portables et on a le tableau suivant.
mois
septembre octobre novembre
nombre de clients
220
310
280
Indice
Compléter le tableau sachant que l’indice 100 correspond à 200 clients.
R
F
.
novembre
S
E 280
e 140
On peut rajouter une colonne dans le tableau avec l’indice 100 :
mois
indice 100
septembre
octobre
nombre de clients
200
220
310
Indice
100
220×100 ÷ 200 = 110 310 × 100 ÷ 200 = 155
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r
ie
m
e
r
p
S
H
AT
.M
W
W
W
R
F
.
S
-E
e
r
ie
em
r
p
S-
H
AT
W
W
Chapitre 4: Pourcentages
.M
W
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