Université Djillali Liabès de Sidi-Bel

1ère Année L.M.D.
Sciences & T echniques
Chapitre : Fonctions réelles.
Université Dji``a`i Liabès de Sidi-Be`-Abbès.
Facu`té des Sciences de `’Ingénieur.
Math1 (Analyse) : T .D. N o 1
Les domaines de définition, la continuité et la dérivabilité
Exercice 1 Donner le domaine de définition des fonctions suivantes :
1 • f1 (x) = Log(x − 1)(3x + 7)
2 • f2 (x) = e
√
√
4 • f4 (x) = x x + 2 + x2 4x − x2
5 • f5 (x) =
√
x
Arcsin x
x
√
2 − sin x
6 • f6 (x) =
1 − sin x
3 • f3 (x) =
sin(Log x)
√
1− 2−x
p
√
Log(x5 − x2 + 1)
8 • f8 (x) = 1 − Arctg x 9 • f9 (x) = Argch(2x + 3)
√
10 • f10 (x) = Argsh(x + x2 − 4) + Argth x/4 11 • f11 (c) = Arcsin(Arctg x) 12 • f12 (x) = xx .
7 • f7 (x) =
Exercice 2 Calculer les limites suivantes :
√
√
µ
¶
√
x2 + x − 6
2−x
x+1−1
1
2
2x3 + 1
x
lim
, lim √
, lim
, lim
−
, lim
, lim p
√ ,
2
4
x−→−∞
x−→+∞
x−→2 x2 − x − 2 x−→2
x−→0
x−→1
x
1
−
x
1
−
x
x
−
1
x−2
x+ x
√
√
¶
µ
p
1
|x|
1
1+x−1
1 + x2 − 1
5
2
−
,
lim
,
lim
,
lim
x
−
1
−
x
,
lim
,
lim
.
lim
x−→0 x
x−→1 |1 − x|
x−→1
x−→0
x−→0
x−→1 x3 − 1
x−1
|x|
|x|
sin x
=1
x−→0 x
sin x
sin x
cos x − cos a
tg x − tg a
lim
, lim 2
, lim
, lim
,
x−→π x − π
x−→π x − π
x−→a
x−→a
x−a
x−a
√
√
1+x− 1−x
sin(kx)
sin(kx)
lim
, lim
, lim
, (k, m) ∈ Z × Z∗
x−→0
x−→0
x−→0
sin x
sin(mx)
tg(mx)
Exercice 3 Calculer les limites suivantes, sachant que lim
Exercice 4 Calculer les limites suivantes : µ ¶
cos x
1
lim cos x , lim
, lim sin
,
x−→±∞
x−→+∞ x
x−→+∞
x
1
sin
x−→+∞ x
lim
µ ¶
1
x
Exercice 5 Montrer que les équations suivantes ont des racines dans l’intervalle I =]a, b[
x
π
x5 − x + 3 = 0 : I =] − 2, −1[, sin x − = 0 : I =] , π[, e1/x Log |x − 1| = 0 : I =]0, 1[
2
2
Exercice 6 Soit la fonction réelle f de la variable réelle définie par
a∈Q
I∗ .
f (x) = |x|a
Montrer que f est dérivable en 0, si et seulement si a > 1.
Exercice 7 Montrer que la fonction f définie par :
(
sin x
f (x) =
x
1
si 0 < x ≤ 2π
si x = 0
est continue et dérivable sur l’intervalle [0, 2π] et calculer sa dérivée.
Exercice 8
1. Montrer que les fonctions suivantes admettent des réciproques,dans l’intervalle précisé :
π π
π π
f (x) = sin x x ∈ [− , ] , g(x) = cos x x ∈ [0, π] , h(x) = tan x x ∈] − , [
2 2
2 2
(Ces réciproques sont notées : f −1 = Arcsin, g −1 = Arccos et h−1 = Arctg .)
2. Montrer qu’on a, pour tout x dans ] − 1, 1[ :
1
−1
(Arcsin x)0 = √
et (Arccos x)0 = √
,
1 − x2
1 − x2
1
et pour tout x dans IR on a :(Arctg x)0 =
.
1 + x2
1
3. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1
y = Arcsin x + Arccos x et z = Arctg x + Arctg
. Donner la conclusion.
x
Exercice 9 Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
√
Arcsin x
•g3 (x) = √
1 − x2
•g1 (x) = (2x3 − sin x)4
•g2 (x) =
•g4 (x) = x Log(3x + 1) − Log |x2 − 1|
•g5 (x) = Arctg x + Arctg
µ
•g7 (x) = Arctg x + Arctg
x+1
x−1
x2 + 1 + e1/x
¶
µ
•g8 (x) = Arcsin
3x + 2
2x − 1
1
x
¶
•g6 (x) = x Argsh x
•g9 (x) = (x2 + 1)sin x .
Exercice 10 En utilisant le théorème des accroissemnts finis,montrer que :
x
1) ∀x ∈ IR, | sin x| ≤ |x| ; 2)∀x ≥ 0,
≤ Arctg x ≤ x ; 3)∀x ∈ [0, 1[,
1 + x2
Exercice 11 Déterminer les limites suivantes :
√
x−1
x2 − 1
Log cos x
lim 3
lim 2
lim
x→1 x − 1
x→0 x sin x
x→0 x − 1
2
Arcsin x ≤ √
x
.
1 − x2
1
x − Arcsin x
lim cotg x Log x
3
x→0
x→0
sin x
√
√
√
6 5
5
15 8
x − x2
x5 −
x
√
√ ·
lim √
lim
5
5
11
2
4
7
x→0
x→1 x −
x − x
x9
lim
ex −1
x→0 cos x − 1
µ
¶x
1
Exercice 12 Montrer que lim 1 +
= e . Utiliser ce résultat pour calculer les limites suivantes :
x→∞
x
µ
¶2x
µ
¶1
¶tg πx
µ
¶x2
µ 2
2
πx
sin x x2
Arctg(x + 1)
x +x+1
lim tg
lim
lim
lim
.
x→∞
x→∞
x→1
x→0
x2 + 1
x
4
Arctg x
tg x − x
x→0 x − sin x
lim
lim
Exercice 13 Déterminer les limites suivantes :
x2 sin x1
.
x→0 sin x
x − sin x
x→∞ x + cos x
lim
lim
Exercice 14 Calculer la dérivée neme des fonctions suivantes :
1) f (x) = sin x;
5) f (x) =
1
;
1+x
2) f (x) = cos x;
6) f (x) = ex sin x;
3) f (x) = x2 sin 3x;
7)
2
f (x) = ex cos x;
4)
9)
f (x) =
1
;
1−x
f (x) = xn (1 − x)n .