Probabilités: événements, tribus, probabilités et probabilités

Probabilités: événements, tribus, probabilités et probabilités conditionelles, indépendance,...
Université de Bourgogne
2013-2014
Probabilités
durée de l’examen: 1h30
• les documents, les calculatrices et les téléphones sont interdits. On donnera les résultats
sous forme de fraction irréductible.
Question de cours (3 pts) Soit Ω un ensemble et F une tribu sur Ω.
1. Les éléments de F sont-ils des éléments de Ω ? Des parties de Ω ?
Ce sont des parties de Ω
2. Dans cette question, Ω = {a, b, c}. Décrire P(Ω), l’ensemble des parties de Ω (on énumèrera
tous les éléments). Est-ce une tribu ? (justifier). Quel est son cardinal ?
P(Ω) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Il s’agit bien d’une tribu (rappeler la définition et vérifier que les axiomes s’appliquent ici). Le
cardinal de cette tribu est 2|Ω| = 8.
Exercice 1 (3 points)
Dans une entreprise, il y a 800 employés. 300 sont des hommes, 352 sont membres d’un syndicat,
424 sont mariés, 188 sont des hommes syndiqués, 166 sont des hommes mariés, 208 sont syndiqués
et mariés, 144 sont des hommes mariés syndiqués. Combien y-a-t-il de femmes célibataires non
syndiquées ? (Justifier convenablement votre réponse)
On note Ω l’ensemble des employés, H l’ensemble des employés masculins, S l’ensemble des
employés syndiqués et M l’ensemble des employés mariés. On cherche à calculer le cardinal de
l’ensemble: H c ∩ S c ∩ M c c’est-à-dire les femmes célibataires non syndiquées. Or
|H c ∩ S c ∩ M c | = |(H ∪ S ∪ M )c | = |Ω| − |H ∪ S ∪ M |
= |Ω| − |H| − |S| − |M | + |H ∩ S| + |H ∩ M | + |S ∩ M | − |S ∩ M ∩ H|
= 800 − 300 − 352 − 424 + 188 + 166 + 208 − 144 = 142.
Exercice 2 (4 points)
Une anagramme d’un mot donné (par exemple "chaise") est un mot formé avec les mêmes lettres
(par exemple "esichac"- on s’intéresse aux suites de lettres, les anagrammes considérés ne sont
pas forcément des mots de la langue française). Dans la suite, on comptera le mot comme
anagramme de lui-même (par exemple, le mot "ha" a deux anagrammes: "ah" et "ha").
1. Combien y a-t-il d’anagrammes du mot "cor" ? Il y a 3 choix pour la lettre c, une fois la
position de la lettre c choisie, il reste deux choix pour la lettre o et finalement plus de choix pour
la lettre c, soit au total 3 ∗ 2 ∗ 1 = 3! = 6.
2. Combien y a-t-il d’anagrammes du mot "pop" ?
Il suffit de choisir 2 emplacements parmi les trois pour placer les lettres p, la lettre o prendra la
place qui reste: C32 = 3.
3. Montrer qu’il y a 180 anagrammes du mot "banane". Si on en choisit une au hasard, quelle
est la probabilité qu’elle commence par "a", par "b" ?
On choisit d’abord 2 places parmi 6 pour placer les lettres n, puis 2 parmi les 4 qui restent
disponibles pour placer les lettres a, et enfin une place parmi les deux restantes pour la lettre b,
la lettre e sera donc sur la dernière place disonible. Cela donne:
C62 ∗ C42 ∗ 2 = 180.
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Les mots qui commencent par a sont au nombre de:
C52 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 60.
La proba en tirant une anagramme au hasard de tomber sur un mot commençant par a est donc:
60
1
180 = 3 .
Les mots qui commencent par b sont au nombre de:
C52 ∗ C32 = 45.
La proba en tirant une anagramme au hasard de tomber sur un mot commençant par b est donc:
45
1
180 = 4 .
4. On considère maintenant le mot "trotte". Compter ses anagrammes. On choisit d’abord la
place des t, c’est-à-dire 3 places parmi 6, puis on choisit la place du o (1 place parmi 3 disponibles)
et enfin la place du r (1 place parmi 2 disponibles) la dernière place sera affectée à la lettre e.
Cela donne:
C63 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 120.
Exercice 3 (4 points)
Le professeur Nébuleux voyage par avion de Los Angeles à Paris avec deux escales, à New York et
à Londres. La probabilité de perdre un bagage est la même à Los Angeles, New York et Londres
(on la note p) et les services des aéroports sont bien entendu indépendants. Arrivé à Paris, le
professeur Nébuleux constate l’absence de sa valise.
1. Calculer la probabilité que celle-ci soit restée à Los-Angeles.
2. Calculer la probabilité qu’elle soit restée à Londres.
On note A l’événement le bagage s’est perdu à Los Angeles , B l’événement le bagage s’est perdu
à New-York , C l’événement le bagage s’est perdu à Londres et D = A ∪ B ∪ C finalement le
bagage est perdu.
On calcule tout d’abord la probabilité de D. Il est plus facile de considérer la proba de l’événement
complémentaire: La valise n’est pas perdue. Cela veut dire qu’elle n’a pas été perdue ni à LA, ni
à NY, ni à Londres (3 événements indépendants).
P(D) = 1 − P(Dc ) = 1 − (1 − p)3
Pour répondre à la première question, il suffit de calculer la probabilité conditionnelle: la valise
est à Los Angeles sachant qu’elle a été perdue:
P(A|D) =
P(A ∩ D)
P(A)
p
=
=
P(D)
P(D)
1 − (1 − p)3
en utilisant le fait que D ⊂ A. Pour répondre à la seconde question, on a
P(C|D) =
P(C ∩ D)
P(C)
(1 − p)2 p
=
=
P(D)
P(D)
1 − (1 − p)3
en effet pour calculer le fait que la valise se perde à Londres, il faut prendre en compte que la
valise ne se perde pas à LA, et qu’elle ne se perde pas à NY.
Exercice 4 (4 points)
Un lot de montres identiques est reçu par un détaillant dijonnais. Ce lot provient soit d’une usine
située à Hong-Kong, soit d’une usine à Singapour (ces deux événements étant équiprobables).
L’usine de Singapour produit un article défectueux sur n0 en moyenne, celle de Hong-Kong un
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sur n1 .
1. Le détaillant inspecte une première montre. Calculer la probabilité qu’elle fonctionne.
On note HK l’événement le lot de montres provient de Hong Kong et S l’événement le lot de
montres provient de Singapour. On note Di l’événement la ième montre est défectueuse. D’après
l’énoncé on a:
1
1
P(D1 |S) =
, P(D1 |HK) =
n0
n1
On en déduit, par la formule des probabilités totales
1
1
n0 + n1
1
1
P(D1c ) = P(D1c |S)P(S) + P(D1c |HK)P(HK) = (1 − ) + (1 − ) = 1 −
.
2
n0
2
n1
2n0 n1
2. La première montre inspectée fonctionne effectivement, calculer alors la probabilité que la
seconde montre fonctionne (on considèrera que les états des montres appartenant à un même lot
sont indépendants).
Il s’agit de calculer la probabilité suivante
P(D2c |D1c ) =
P(D2c ∩ D1c )
P(D1c )
En appliquant la formule des probabilités totales, on obtient:
P(D2c |D1c ) =
P(D2c ∩ D1c |HK)P(HK) + P(D2c ∩ D1c |S)P(S)
P(D1c )
Or comme les états des montres au sein d’un même lot sont indépendants, on a P(D2c ∩D1c |HK) =
P(D2c |HK)P(D1c |HK) = (1 − 1/n1 )2 et P(D2c ∩ D1c |S) = P(D2c |S)P(D1c |S) = (1 − 1/n0 )2 . Ainsi
on obtient:
(1 − 1/n1 )2 + (1 − 1/n0 )2
P(D2c |D1c ) =
1 − 1/n1 + 1 − 1/n0
Exercice 5 (4 points)
Une chaîne Hi-Fi comprend un tuner, un lecteur de disques, un amplificateur et deux enceintes.
La chaîne Hi-Fi marche quand le tuner ou le lecteur de disques marche, l’amplificateur marche,
et au moins l’une des deux enceintes marche. Tous les composants sont supposés fonctionner
indépendemment les uns des autres. La marche (ou la panne) de la chaîne est considérée dans
le sens qu’on puisse (ou non) entendre du son.
1. Exprimer l’événement A="la Hi-Fi marche", en fonction des événements Ci ="le composant i
marche"
A = (C1 ∪ C2 ) ∩ C3 ∩ (C4 ∪ C5 ).
2. Calculer la probabilité P(A).
Comme les indépendants, on obtient
P(A) = P(C1 ∪ C2 )P(C3 )P(C4 ∪ C5 )
= P(C1 ) + P(C2 ) − P(C1 ∩ C2 ) P(C3 ) P(C3 ) + P(C4 ) − P(C3 ∩ C4 )
= P(C1 ) + P(C2 ) − P(C1 )P(C2 ) P(C3 ) P(C3 ) + P(C4 ) − P(C3 )P(C4 )
3. Application numérique: P(C1 ) = 0.9, P(C2 ) = 0.8, P(C3 ) = 0.8 et P(C4 ) = P(C5 ) = 0.7
P(A) = (0.9 + 0.8 − 0.9 ∗ 0.8) ∗ 0.8 ∗ (0.7 + 0.7 − 0.7 ∗ 0.7) = 0.71344
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