Influence du trajet de chargement en plasticite pour - mms2

1
INFLUENCE DU TRAJET DE CHARGEMENT EN PLASTICITE POUR UN CHARGEMENT DE
TRACTION—CISAILLEMENT
On considère un élément de matière chargé en traction-cisaillement.
Le matériau vérifie le critère de von Mises, avec un écrouissage isotrope
linéaire : f (σ
, R) = J − R, avec R = H p + σ0 . La limite d’élasticité initiale
∼
√
valant σ0 , on suppose que σm > σ0 , et que τm 3 > σ0 .
Etudier l’évolution de la déformation plastique dans les 3 cas suivants :
(1) chemin ONM (traction jusqu’à σm , puis cisaillement jusqu’à τm avec
traction constante)
(2) chemin ON0 M (cisaillement jusqu’à τm , puis traction jusqu’à σm avec
cisaillement constant)
(3) chemin OM “direct” (traction et cisaillement appliqués de façons
proportionnelles).
τ
N’(0,τ m )
1. En traction selon ON, on a :




2/3
0
0
σ 0 0
0 
σ
=  0 0 0 ∼s = σ  0 −1/3
∼
0
0
−1/3
0 0 0


1
0
0
0 
J = |σ| n∼ = signe(σ) 0 −1/2
0
0
−1/2
d’où, pour σ = σ0 : ṗ = (σ̇/H)signe(σ)


1
0
0
0 
ε̇∼ p = (σ̇/H) 0 −1/2
0
0
−1/2
τ
σ
Il s’agit d’appliquer ici les relations qui définissent l’écoulement en
plasticité, dans le cas particulier étudié où le module plastique H est
indépendant de la déformation plastique :
0.5
3
3 ∼s
ε̇∼ p = ṗn∼ avec ṗ = (σ̇
et
J
=
s
:
s
:
n
)/H
et
n
=
∼
∼
∼
2J
2∼ ∼
M(σ m ,τ m )
à intégrer à partir de σ = σ0 , ce qui donne en N :
2
p
p
ε11
(N) = (σm − σ0 )/H ; ε12
(N) = 0
3
1
σ
0
N(σ m ,0)
En cisaillement selon NM, avec τ variable et σ constant à σm , les
expressions précédentes deviennent :






σm τ 0
0 τ̇ 0
2σm /3
τ
0
−σm /3
0 
σ
=  τ 0 0 σ̇
=  τ̇ 0 0 ∼s =  τ
∼
∼
0 0 0
0 0 0
0
0
−σm /3
2
p √
γ p = 2ε12
/ 3. En cisaillement selon N0 M, avec σ variable et τ
constant égal à τm , les expressions précédentes deviennent :




σ̇ 0 0
0 τm 0
=  0 0 0
σ
= τm 0 0 σ̇
∼
∼
0 0 0
0 0 0

2σm /3
τ
0
3
 τ
−σm /3
0 
n∼ = p
2 σ2m + 3τ2
0
0
−σm /3

J=
q
σ2m + 3τ2
d’où
ṗ =
p
ε̇11
=
3ττ̇
H
3σm ττ̇
H(σ2m + 3τ2 )
p
(σ2m + 3τ2 )
et
p
ε̇12
=
9τ2 τ̇
2H(σ2m + 3τ2 )

2σ/3
τm
0
−σ/3
0 
s =  τm
∼
0
0
−σ/3


2σ/3
τm
0
p
3
 τm
−σ/3
0 
J = σ2 + 3τm 2 n∼ = p
2 σ2 + 3τm 2
0
0
−σ/3

si bien que :
√
2
σm
3τ
σm + 3τ2
3σm
p
p
p
ε11 = ε11 (N)+
; ε12 =
ln
−
atan
2
2H
σm
2H
2H
2. En cisaillement selon ON0 , on a :


0 τ 0
√
J = |τ| 3
σ
=  τ 0 0 ∼s = σ
∼
∼
0 0 0
√ !
3τ
σm
d’où :
ṗ =
√
0 1 0
3
signe(τ) 1 0 0
n∼ =
2
0 0 0


√
√
d’où, pour τ > σ0 / 3 : ṗ = (τ̇ 3/H)signe(τ) ;


0 1 0
3τ̇
1 0 0
ε∼˙p =
2H
0 0 0
√
à intégrer à partir de τ = σ0 / 3, ce qui donne en N0
√ √
3 3τm − σ0
p
p
0
0
ε 11 (N ) = 0 et ε12 (N ) =
2
H
On obtient la formule en cisaillement pur à partir de la forme√en
traction en remplaçant dans cette dernière la contrainte σ par τ 3
(même invariant de von Mises) et la déformation plastique axiale
p
ε11
par la déformation plastique de “l’ingénieur” en cisaillement
p
ε̇11
=
σσ̇
H
σ2 σ̇
H
σ2 + 3τm 2
p
si bien que :
p
ε11
σ
= −
H
σ2 + 3τm 2
p
p
et ε̇12
=
3τm σσ̇
2H(σ2 + 3τ2m )
√
3τm
σ
√
atan
H
3τm
et
p
p
ε12
= ε12
(N0 ) +
2
3τm
σ + 3τ2m
ln
4H
3τ2m
3. Dans ce cas, il est possible d’exprimer l’ensemble des relations à
l’aide d’un paramètre de chargement unique, k, qui varie entre 0 et 1
(hypothèse de chargement simple).






σ τ 0
σm τm 0
σm τm 0
σ
=  τ 0 0 = k  τm 0 0 σ̇
= k̇  τm 0 0
∼
∼
0 0 0
0
0 0
0
0 0


2σm /3
τm
0
q
−σm /3
0  J = k σ2m + 3τ2m
s∼ = k  τm
0
0
−σm /3


2σm /3
τm
0
3
 τm
−σm /3
0 
n∼ = p
2 σ2m + 3τ2m
0
0
−σm /3
3
ne donnent pas des déformations
équivalentes
(ce
sont
des
contraintes
√
σm en traction et σm / 3 en cisaillement qui
donnent des déformations
p
p √
équivalentes égales, ε11
en traction, et 2ε12
/ 3 en cisaillement.
Trajet ONM
En N :
d’où :
q
k
σ2m + 3τ2m
H
Contrairement aux deux cas précédents, la normale ne tourne pas
durant le chargement, si bien qu’il y a un découplage entre les
composantes :
ṗ =
σm
σ̇
p
= k̇
ε̇11
=
H
H
3τm
3τ̇
p
= k̇
ε̇12
=
2H
2H
ou
p
2ε̇12
√ =
3
√
3τ̇H
La seule différence par rapport aux cas de traction pure ou
de cisaillement pur réside
dans les bornes d’intégration. Il y a
p
plastification lorsque k σ2m + 3τ2m , ce qui donne :
!
!
σm
σ0
3τm
σ0
p
p
ε11 =
1− p
ε12 =
1− p
H
2H
σ2m + 3τ2m
σ2m + 3τ2m
Application numérique : La figure ci-dessous montre le résultat obtenu
dans chaque cas de chargement pour σ0 = 100 MPa, H = 10000 MPa,
avec comme contraintes maximales σm = 300 MPa et τm = 300 MPa. Ce
chargement rappelle que des contraintes égales en traction et cisaillement
En M :
Trajet ON’M
En
N0
:
En M :
300 − 100
= 2.10−2
10000
300
p
p
ε11
(M) = ε11
(N) +
ln(4) = 4.079 10−2
20000 300
π
p
ε12
(M) =
× 3− √
= 1.779 10−2
20000
3
p
ε11
(N) =
√
√
300 × 3 − 100
=
= 3.634 10−2
32 ×
10000
300
π√
p
(M) =
ε11
× 1−
3 = 0.279 10−2
10000
6
3
4
300
p
p
0
× × ln
= 4.281 10−2
ε12 (M) = ε12 (N ) +
10000 4
3
p
(N0 )
ε12
Trajet OM direct
300
100
En M :
=
× 1−
= 2.500 10−2
10000
2300
3
300
100
p
ε12 (M) = ×
× 1−
= 3.750 10−2
2 10000
2300
Les chemins de déformation sont reportés sur la figure de la page suivante.
On offre également sur cette page la possibilité d’effectuer d’autres
applications numériques en utilisant des modèles plus complexes qu’un
simple écrouissage isotrope linéaire.
p
ε11
(M)
4
Figure correspondant à l’exercice précédent (écrouissage isotrope linéaire) :
0.045
1
2
3
0.04
0.035
p
ε12
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045
p
ε11
Pour obtenir d’autres simulations :
Modifier les valeurs affichées dans les champs suivants (chargement imposé
et modèle de comportement), et soumettre le calcul à l’aide de la touche
Go. Il est possible d’activer uniquement l’écrouissage isotrope, l’écrouissage
cinématique, ou une combinaison des deux. L’écrouissage cinématique est
présent si C est non nul, il est linéaire si D est nul, non linéaire dans le cas
contraire. Tous les coefficients sont positifs ou nuls. Le paramètre σy , limite
d’élasticité initiale, doit rester strictement positif. La signification précise des
coefficients est indiquée sur la feuille de calcul qui est renvoyée par le serveur.
– Current values of the loading parameters
σmax
σmax
12 =
11 =
– Current values of isotropic hardening
σy =
σu =
– Current values of kinematic hardening
C=
D=
Reset
b=
Submit
Go