DS n°5 Correction 31 janvier 2007

DS n°5 Correction 31 janvier 2007
Le gérant d'un magasin de matériel informatique a acheté un stock de disquettes. 5% des boîtes sont
abîmées. Le gérant estime que:
60% des boîtes abîmées contiennent au moins une disquette défectueuse,
98% des boites en bon état ne contiennent aucune disquette défectueuse,
les états des diverses boîtes sont indépendants les uns des autres.
1) Dans cette question, un client achète une des boîtes du lot.
On désigne par ) l'événement : "la boîte achetée est abîmée" et par + l'événement : "la boîte
achetée contient au moins une disquette défectueuse".
0 ) et ,/. -+
0 ).
a) Donner les probabilités ,-)), ,-).), ,/ -+), ,/. -+), ,/ -+
Exercice 1
0 ) 1 0,4 et ,/. -+
0 ) 1 0,98
On a ,-)) 1 0,05 ; ,-).) 1 0,95 ; ,/ -+ ) 1 0,6 ; ,/. -+) 1 0,02 ; ,/ -+
b) Calculer la probabilité de l'événement D.
La famille 6), ).7 est un système complet d’évènements.
On a donc
+ 1 -+ : )) ; -+ : ).7
Donc
,-+ ) 1 ,/ -+ ),-)) < ,/. -+ ),-).)
Donc
,-+) 1 0,6 = 0,05 < 0,02 = 0,95 1 0,049
c) Le client constate qu'une des disquettes est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'il ait
acheté une boîte abîmée?
On cherche ,@ -)). On a :
,@ -)) 1
,-) : +) ,/ -+),-)) 0,6 = 0,05 30
1
1
1
,-+ )
, -+ )
0,049
49
2) Dans cette question, un client achète une boîte par mois.
Tant qu'il n'a pas trouvé de disquettes défectueuses, le client se fournit dans le même magasin.
A la première disquette défectueuse trouvée, il change de fournisseur.
On considère que le lot est suffisamment grand pour que la probabilité d'acheter une boîte
contenant au moins une disquette défectueuse soit la même chaque mois et égale à
F 1 49/1000.
Soit I la variable aléatoire égale au nombre de boîtes du lot achetées par ce client au moment
où il décide de changer de magasin.
a) K est un entier non nul.
Décrire l'événement -I 1 K). En déduire l'expression de ,-I 1 K) en fonction de K.
L’évènement -I 1 K) signifie que le client a changé de magasin à la K-ième disquette qui était donc
défectueuse. Les -K O 1) disquettes précédentes étaient donc correctes.
On peut donc décrire -I 1 K) sous la forme :
0:
0 :+
-I 1 K ) 1 +
QR
RSR
…:
RT
+
Donc par indépendance
,-I 1 K ) 1 ]1 O
b) Reconnaître la loi de Y.
-UVW) XYZ[Y\
49
49
49
49 UVW 49
^ … ]1 O
^
1 ]1 O
^
1000
1000 1000
1000
1000
La variable I suit une loi géométrique de paramètre 49/1000.
Une urne contient cinq jetons indiscernables au toucher : deux verts et trois blancs. On effectue des
tirages successifs de jetons de l'urne de la façon suivante:
si l'on obtient un jeton blanc, ce jeton est remis dans l'urne avant de procéder au tirage
suivant;
si l'on obtient un jeton vert, ce jeton est remplacé dans l'urne par un jeton blanc, avant que
l'on ne procède au tirage suivant;
lorsque les deux jetons verts ont été tirés, on s'arrête.
On appellera phase la double opération qui consiste à tirer un jeton puis à le remettre ou à le
remplacer dans l'urne.
Le but de l'exercice est de décrire l'état de l'urne après une succession de phases.
Exercice 2
1) On étudie les résultats possibles de deux tirages consécutifs. Il sera commode de désigner un
tel résultat par un mot formé à l'aide des deux lettres e et f : par exemple ef indiquera que
l'on a tiré d'abord un jeton blanc puis un jeton vert, fe que l'on a tiré un jeton vert puis un
jeton blanc. Décrivez l'ensemble des résultats possibles, en indiquant la probabilité de chacun
d'eux.
On vérifiera en particulier que
8
, -fe ) 1 ,-fW : eh ) 1
25
L’ensemble des résultats possibles est : 6fe, ef, ee, ff7
On a
2 4
8
= 1
5 5 25
3 2
6
,-eW : fh ) 1 ,kj -fh ),-eW ) 1 ,-eW ),kj -fh ) 1 = 1
5 5 25
2 1
2
,-fW : fh ) 1 ,ij -fh ),-fW ) 1 ,-fW ),ij -fh ) 1 = 1
5 5 25
3 3
9
,-eW : eh ) 1 ,kj -eh ),-eW ) 1 ,-eW ),kj -eh ) 1 = 1
5 5 25
,-fW : eh ) 1 ,ij -eh ),-fW ) 1 ,-fW ),ij -eh ) 1
2) On effectue une succession de l tirages -l désignant un entier supérieur ou égal à 1) et on
considère les événements suivants:
+m : « A la fin de la l-ième phase l'urne contient deux jetons verts »,
pm : « A la fin de la l-ième phase l'urne contient un seul jeton vert ».
On note qm la probabilité de l'événement +m , rm la probabilité de l'événement pm .
a) Utiliser la question 1) pour calculer qW , rW , qh , rh .
La réalisation de l’évènement +W signifie qu’à la fin de la première phase l’urne contient deux jetons
verts. Ce qui signifie que l’on a tiré un jeton blanc au premier tirage.
On a donc
3
qW 1 , -eW ) 1
5
La réalisation de l’évènement pW signifie qu’à la fin de la première phase l’urne contient un jeton vert.
Ce qui signifie que l’on a tiré un jeton vert au premier tirage. On a donc :
2
rW 1 ,-fW ) 1
5
La réalisation de l’évènement +h signifie qu’à la fin de la deuxième phase l’urne contient deux jetons
verts. Ce qui signifie que l’on a tiré un jeton blanc à chacun des deux premiers tirages. On a donc
9
qh 1 ,-eW : eh ) 1
25
La réalisation de l’évènement ph signifie qu’à la fin de la première phase l’urne contient un jeton vert.
Ce qui signifie que l’on a soit tiré un jeton vert au premier tirage et un jeton blanc au second, soit un
jeton blanc au premier et un jeton vert au second.
On a donc ph 1 -fW : eh ) ; -eW : fh )
On a donc par incompatibilité
,-ph ) 1 ,-fW : eh ) < ,-eW : fh )
Et donc
8
6
14
rh 1
<
1
25 25 25
b) Exprimer en fonction de l la probabilité qm de +m .
La réalisation de l’évènement +m signifie qu’à la fin de la l-ième phase l’urne contient deux jetons
verts. Ce qui signifie que l’on a tiré un jeton blanc à chacun des l tirages. On a donc :
+m 1 eW : … : em
L’urne étant inchangée après chaque tirage, les événements sont indépendants.
On a donc
3 m
,-+m ) 1 ,-eW ) … ,-em ) 1 ] ^
5
c) Montrer que pour tout nombre entier naturel l t 1, on a :
2
4
rmuW 1 qm < rm
5
5
La réalisation de l’évènement pmuW signifie que soit que l’urne contenait trois boules blanches et deux
boules vertes après les l premiers tirages et que l’on a tiré une jeton vert au -l < 1) Oième tirage, soit
que l’urne contenait quatre jetons blanches et un jeton vert après les l premiers tirages et que l’on a
tiré un jeton blanc au -l < 1) Oième tirage.
On peut donc écrire
pmuW 1 -+m : fmuW ) ; -pm : emuW )
On a donc
,-pmuW ) 1 ,@v -fmuW ),-+m ) < ,wv -emuW ),-pm )
On a
On a donc
,@v -fmuW ) 1
2
4
et ,wv -emuW ) 1
5
5
2
4
rmuW 1 qm < rm
5
5
3) a) On considère la suite -x-m)vyj ) définie par :
On a
3 m
xm 1 rm < 2 ] ^
5
Montrer que la suite -xm ) est géométrique.
Déterminer xm en fonction de l.
3 muW
xmuW 1 rmuW < 2 ] ^
5
2
4
3 muW
1 qm < rm < 2 ] ^
5
5
5
m
2 3
4
3 muW
1 ] ^ < rm < 2 ] ^
5 5
5
5
2 3 m 4
3 m
3 muW
1 ] ^ < zxm O 2 ] ^ { < 2 ] ^
5 5
5
5
5
4
2 3 m 8 3 m
3 muW
1 xm < ] ^ O ] ^ < 2 ] ^
5
5 5
5 5
5
4
6 3 m
3 3 m
1 xm O ] ^ < 2 ] ^
5
5 5
5 5
4
1 xm
5
La suite -xm ) est une suite géométrique de raison 4/5.
3 2 6 8
|l } xW 1 rW < 2 1 < 1
5 5 5 5
Donc
8 4 mVW
xm 1 ] ^
5 5
b) En déduire rm en fonction de l.
On a donc enfin
8 4 mVW
3 m
rm 1 ] ^
O 2] ^
5 5
5
Exercice 3
0 2 4
On considère la matrice : ~ 1 O1 3 2€
O1 1 4
1) Calculer ~h .
Vérifier que ~h O 5~ < 6‚ 1 | -où | est la matrice nulle)
On a
O6
~h O 5~ < 6‚ 1  O5
O5
O6
1 0
0
0
10
0
O6
~h 1  O5
O5
10
9
5
20
10€
14
10 20
0
9 10€ O 5 O1
5 14
O1
0
0
1
O6
0 € < 6 0
0
O6
0
0 0
0 0€
0 0
2 4
1
3 2€ < 6  0
1 4
0
0 0
1 0€
0 1
2) Montrer que la matrice ~ est inversible et déterminer ~VW .
0
1
0
0
0€
1
0
2 4 1 0 0
On construit la matrice ~W 1  O1 3 2 0 1 0€
O1 1 4 0 0 1
On commence par permuter les lignes ƒW et ƒh -pour ne pas avoir un pivot égal à 0). On a
O1 3 2 0 1 0
~W ~  0
2 4 1 0 0€
O1 1 4 0 0 1
On fait alors : ƒ… † ƒ… O ƒW . On obtient :
O1
3
2 0
1
0
~W ~  0
2
4 1
0
0€
0 O2 2 0 O1 1
On fait ensuite ƒ… † ƒ… < ƒh . On obtient :
O1 3 2 0
1
0
~W ~  0 2 4 1
0
0€
0 0 6 1 O1 1
O1 3 2
La matrice ~ est donc inversible puisqu’elle est équivalente à la matrice  0 2 4€ qui est une
0 0 6
matrice triangulaire sans « 0 » sur la diagonale donc inversible.
ƒ † 3ƒW O ƒ… ˆ
On continue. On fait ‡ W
, on obtient :
ƒh † 3ƒh O 2ƒ…
O3 9 0 O1
4
O1
~W ~  0 6 0
1
2
O2€
0 0 6
1
O1
1
On fait ƒW † 2ƒW O 3ƒh , on obtient :
O6 0 0 O5
2
4
~W ~  0 6 0
1
2
O2€
0 0 6
1
O1
1
ƒW † ƒW /-O6)
On fait enfin ‰ ƒh † ƒh /6 ,ˆ on obtient :
ƒ… † ƒ… /6
5
1
2
1 0 0
O
O
6
3
3
Œ
1
1
1
~W ~ ‹ 0 1 0
O Ž
6
3
3Ž
‹
1
1
1
Š0 0 1 6 O6
6 
On a donc
~VW
5
Œ6
1
1‹
‹6
1
Š6
O
1
3
O
1
3
1
6
2
3
1
O Ž
3Ž
1
6 
O
3) On définit les matrices ) 1 ~ O 2‚ et 1 ~ O 3‚ , où ‚ est la matrice identité. Démontrer que les
matrices ) et e commutent.
Que vaut le produit )e ?
On a
On a
Donc
)e 1 -~ O 2‚)-~ O 3‚)
1 ~h O 2‚~ O 3~‚ < 6‚h
1 ~h O 2~ O 3~ < 6‚
1 ~h O 5~ < 6‚
1|
e) 1 -~ O 3‚)-~ O 2‚)
1 ~h O 3‚~ O 2~‚ < 6‚h
1 ~h O 3~ O 2~ < 6‚
1 ~h O 5~ < 6‚
1|
)e 1 e) 1 |
4) Calculer )h. En déduire )… , puis démontrer par récurrence que )m 1 ) pour l t 1.
Puisque ‚ commute avec n’importe quelle matrice, on a :
)h 1 -~ O 2‚)h 1 ~h O 4~ < 4‚ 1 5~ O 6‚ O 4~ < 4‚ 1 ~ O 2‚ 1 )
On aura
)… 1 ))h 1 )) 1 )h 1 )
m
La relation ) 1 ) est évidemment vérifiée pour l 1 1. Nous avons vu qu’elle était également vérifiée
pour l 1 2 et l 1 3.
’l t 3, montrons que si )m 1 ) alors )muW 1 ).
On a :
)muW 1 )m ) 1 )) 1 )h 1 )
m
Il y a hérédité et donc ’l t 1, ) 1 ).
5) Calculere h. Déterminer et démontrer la relation de récurrence qui donne e m en fonction de e.
On a
e h 1 -~ O 3‚ )h 1 ~h O 6~ < 9‚ 1 5~ O 6‚ O 6~ < 9‚ 1 O~ < 3‚ 1 Oe
On aura également
e… 1 e h e 1 Oee 1 Oe h 1 e
On peut conjecturer que
e m 1 -O1)muW e
Cette relation est vraie pour l 1 1,2,3.
’l t 1, montrons que si e m 1 -O1)muW e alors e muW 1 -O1)muh e.
On a
e muW 1 e m e 1 -O1)muW ee 1 -O1)muW e h 1 O-O1)muW e 1 -O1)muh e
Il y a hérédité et donc
’l t 1, e m 1 -O1)muW e
6) Trouver ~ en fonction de ) et e.
On a ) 1 ~ O 2‚ et e 1 ~ O 3‚. On a donc 3) 1 3~ O 6‚ et 2e 1 2~ O 6‚.
Donc
~ 1 3) O 2e
7) Démontrer à l'aide de la formule du binôme de Newton que
~m 1 3m ) O 2m e
On a ~m 1 -3) O 2e )m . Les matrices ) et e commutent. On peut donc utiliser la formule du binôme
de Newton. On a donc
~ 1 -3) O 2e
m
)m
m
l
1 – — ˜ 3U )U -O2)mVU emVU
K
U™š
mVW
l
l
l
1 — ˜ 3š )š -O2)m e m < – — ˜ 3U )U -O2)mVU emVU < — ˜ 3m )m -O2)š e š
0
K
l
U™W
mVW
l
1 -O2)m -O1)muW e < – — ˜ 3U -O2)mVU -O1)mVUuW )e < 3m )
K
U™W
1 O-2m )e < 3m )
1 3m ) O 2m e
On désigne par › une fonction définie et continue sur [0,1] et on considère la suite -‚m )mžŸ définie par
Exercice 4
W
W
‚š 1 ›-¡)q¡ et pour tout l de Ÿ , ‚m 1 ¡ m ›-¡) q¡.
š
¢
š
L'objet de cet exercice est d'étudier la suite -‚m )mžŸ pour différentes fonctions › .
1.
Dans cette question, on suppose que › est définie par : ›-¡) 1 ln-1 < ¡ h ).
a) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout l de Ÿ, on a :
W
1
¡ muh
‚m 1
zln-2) O 2 q¡{
h
l<1
š 1<¡
On a ici
On pose
W
‚m 1 ¡ m ln -1 < ¡ h ) q¡
š
r 1 ln-1 < ¡ h ) £ r¤ 1
x¤ 1
2¡
1 < ¡h
¡ muW
† x 1 ¡m
l<1
On en tire
W
¡ muW
2
¡ muh
‚m 1 ¥
ln-1 < ¡ h )¦ O
q¡
l < 1 š 1 < ¡h
l<1
š
W
W
1
2
¡ muh
ln-2) O
q¡
l<1
l < 1 š 1 < ¡h
W
1
¡ muh
1
zln-2) O 2 q¡{
h
l<1
š 1<¡
1
b) Etablir, pour tout ¡ de[0,1], l'encadrement :
¡ muh
0§
§ ¡ muh
1 < ¡h
Si 0 § ¡ § 1 alors 0 § ¡ h § 1 et 1 § 1 < ¡ h § 2, donc §
§ 1 et donc
h
Wu¨ ©
W
Or ¡ t 0, donc
¨ vª©
h
t 0 et donc
c) Montrer que
On en déduit que
Et donc
On a donc
¡ muh
¡ muh
§
§ ¡ muh
2
1 < ¡h
0§
¡ muh
§ ¡ muh
1 < ¡h
lim W
m£u« š
0§ W
š
¡ muh
q¡ 1 0
1 < ¡h
W
¡ muh
q¡ §
¡ muh q¡
1 < ¡h
š
¡ mu…
¡ muh
q¡
§
¥
¦
0§ h
l<3 š
š 1<¡
W
W
0§ W
š
Or
W
Donc d’après le théorème des gendarmes
¡ muh
1
q¡ §
h
1<¡
l<3
1
10
m£u« -l < 3)
lim
lim W
m£u« š
¡ muh
q¡ 1 0
1 < ¡h
d) Quelle est la limite de l‚m quand l tend vers <∞ ?
On a vu que
Donc
W
1
¡ muh
‚m 1
zln-2) O 2 q¡{
h
l<1
š 1<¡
l‚m 1
On a
W
l
¡ muh
lim
1 1 ­® lim ln-2) O 2 q¡ 1 ln -2)
h
m£u« l < 1
m£u«
š 1<¡
Donc
2.
On a
W
l
¡ muh
zln-2) O 2 q¡{
h
l<1
š 1<¡
lim l‚m 1 ln -2)
m£u«
Dans cette question, on suppose que › est définie par :
1
›-¡) 1
1 < ¡ < ¡h
a) Pour tout l de Ÿ, calculer ‚m < ‚muW < ‚muh en fonction de l.
On a donc
‚m 1 W
š
¡m
q¡
1 < ¡ < ¡h
¡ m < ¡ muW < ¡ muh
q¡
1 < ¡ < ¡h
š
W m¡ 1 < ¡ < ¡h)
q¡
1 1 < ¡ < ¡h
š
‚m < ‚muW < ‚muh 1 W
W
1 ¡ m q¡
š
¡ muW
1¥
¦
l<1 š
1
1
l<1
W
b) Etudier la monotonie éventuelle de la suite -‚m )mžŸ .
On étudie le signe de la différence ‚muW O ‚m .
On a
W
¡ muW
¡m
q¡ O q¡
‚muW O ‚m 1 h
h
š 1<¡<¡
š 1<¡<¡
W muW
¡
O ¡m
1 q¡
h
š 1<¡<¡
W m
¡ -¡ O 1)
1 q¡
h
š 1<¡<¡
Sur l’intervalle [0,1], la fonction ¡ ¯ ¡ m est positive, la fonction ¡ ¯ ¡ O 1 est négative, la fonction
W
¡ ¯ Wu¨u¨© est positive -Δ ± 0), donc la fonction ¡ ¯
W
dans le bon ordre, on en conclut que
La suite -‚m ) est donc décroissante.
W
š
¨ v -¨VW)
Wu¨u¨ ©
¡ m -¡ O 1)
q¡ § 0
1 < ¡ < ¡h
est négative et comme les bornes sont
c) Déduire alors en utilisant le a) et b) de cette question que , pour tout l supérieur ou égal à 2,
on a l'encadrement :
1
1
§ ‚m §
3-l < 1)
3-l O 1)
On a ‚m < ‚muW < ‚muh 1 muW et ‚m < ‚muW < ‚muh § 3‚m , donc
W
3‚m t
Et donc
On aura de même ‚mVh < ‚mVW < ‚m 1
W
mVW
Et donc
On a donc
On a
1
l<1
‚m t
1
3-l < 1)
‚m §
1
3-l O 1)
et ‚mVh < ‚mVW < ‚m t 3‚m , donc
1
3‚m §
lO1
1
1
§ ‚m §
3-l < 1)
3-l O 1)
d) En déduire un équivalent simple de ‚m puis la limite de l‚m quand l tend vers <∞.
1
1
~
3-l < 1) 3l
On peut donc penser que ‚m ~ …m. Montrons le.
On a puisque l ² 0 :
Donc
Donc
Or
Donc
Et donc
W
et
1
1
~
3-l O 1) 3l
1
1
‚m
3-l < 1)
3-l O 1)
§
§
1
1
1
3l
3l
3l
3l
‚m
3l
§
§
1
3-l < 1)
3-l O 1)
3l
l
‚m
l
§
§
1
l<1
lO1
3l
l
l
1 lim
11
m£u« l < 1
m£u« l O 1
lim
‚m
11
m£u« 1
3l
lim
‚m ~
On en déduit que
l‚m ~
Donc
3.
On a
1
3l
1
3
1
3
lim l‚m 1
m£u«
Dans cette question, on suppose que › est définie par : ›-¡) 1 ­ V¨ .
a) Montrer que la suite -‚m )mžŸ est décroissante. En déduire qu'elle est convergente.
W
On a donc
‚m 1 ¡ m ­ V¨ q¡
W
š
W
‚muW O ‚m 1 ¡ muW ­ V¨ q¡ O ¡ m ­ V¨ q¡
š
W
š
1 -¡ muW O ¡ m )­ V¨ q¡
š
W
1 ¡ m -¡ O 1)­ V¨ q¡
š
Sur l’intervalle [0,1], la fonction ¡ ¯ ¡ m est positive, la fonction ¡ ¯ ¡ O 1 est négative, la fonction
¡ ¯ ­ V¨ est positive. donc la fonction ¡ ¯ ¡ m -¡ O 1)­ V¨ est négative et comme les bornes sont dans
le bon ordre, on en conclut que
W
¡ m -¡ O 1)­ V¨ q¡ § 0
š
La suite -‚m ) est donc décroissante.
La fonction ¡ ¯ ¡ m ­ V¨ étant positive sur [0,1], ‚m est positive et donc la suite -‚m ) est décroissante et
minorée par 0. Elle est convergente.
b) Etablir, pour tout l de Ÿ, l'encadrement : 0 § ‚m §
W
muW
En déduire la valeur de la limite de la suite quand l tend vers<∞.
La fonction ¡ ¯ ­ V¨ est décroissante -comme composée d’une fonction croissante et d’une fonction
décroissante).
Donc si 0 § ¡ § 1, ­ VW § ­ V¨ § 1 et donc ¡ m ­ V¨ § ¡ m .
On en déduit que
W
Or
On a donc
W
¡ m ­ V¨ q¡ § ¡ m q¡
š
š
¡ muW
1
¡ q¡ 1 ¥
¦ 1
l<1 š l<1
š
W
W
m
0 § ‚m §
1
l<1
On a
Donc d’après le théorème des gendarmes
On a
1
10
m£u« l < 1
lim
lim ‚m 1 0
m£u«
c) Exprimer, pour tout l de Ÿ, ‚muW en fonction de ‚m .
W
‚muW 1 ¡ muW ­ V¨ q¡
š
On procède à une intégration par parties. On pose :
r 1 ¡ muW ³ r¤ 1 -l < 1)¡ m
On a donc
W
‚muW 1 [O¡ muW ­ V¨ ]Wš < -l < 1) ¡ m ­ V¨ q¡ 1 O­ VW < -l < 1)‚m 1 -l < 1)‚m O
š
On a
d) En déduire la limite de l‚m quand l tend vers <∞.
On a vu que
Donc
Et donc
l‚m 1 ‚muW O ‚m <
lim ‚m 1 0
m£u«
lim ‚muW 1 0
m£u«
lim l‚m 1
m£u«
1
­
1
­
1
­