blog lim

lim ex 1−ln x 
2
x ∞
lim ex=∞
x ∞
2
lim −ln x  =−∞
x ∞
Nous sommes donc en présence d'une forme indéterminée.
Comme nous pressentons que la limite de la fonction affine prendra l'ascendant sur la fonction
logarithmique, il convient de factoriser par x afin de mettre en évidence une somme qui tendra
vers une limite finie.
2
1 ln x
2
lim ex1−ln x  = lim x [e  −
]
x
x
x ∞
x ∞
x tend vers l'infini.
e est une valeur réelle positive.
1
tend vers 0 .
x
2
−ln x
Traitons individuellement lim
x
x ∞
2
− ln x
ln x
lim
= lim −
x
x ∞
x∞
x
 
 
= lim −4×
x ∞
2
1 ln x
4
x
2
2
1
ln x
2
= lim −4
x ∞
x
 
ln  x
= lim −4
x ∞
x
2
 
  
ln x
= lim −
x ∞
x
Comme lim
x ∞
2
 x=∞ et lim
ln  x
lim
=0
x ∞  x
x  ∞
ln x
=0 , on déduit par composition :
x
2
ln  x
puis : lim
=0
x ∞
x
 
  
2
ln x
et enfin : lim −
=0
x  ∞
x
2
−ln x 
=0
x
x ∞
d'où : lim
2
1 ln x
dont on déduit que : lim e −
=e
x
x
x∞
2
1 ln x
2
et donc par multiplication : lim ex 1−ln x  = lim x [e −
]=∞
x
x
x ∞
x∞
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