Fonctions de transfert

Électrocinétique - partie 2
Chapitre 6
PTSI
Introduction
On s’intéresse ici à la réponse fréquentielle des réseaux linéaires par opposition à la réponse
temporelle étudiée jusqu’à présent. Plan du chapitre :
§ I. : on justifie l’importance des régimes sinusoïdaux dans les réseaux linéaires par le théorème de
Fourier indiquant que « tout signal périodique peut-être décomposé en une somme de fonctions
sinusoïdales ». Ainsi connaître le comportement fréquentiel d’un système permet ensuite de
connaître son comportement pour n’importe quel signal périodique (et plus seulement sinusoïdal).
§ II. : on introduit des outils mathématiques pour l’étude fréquentielle d’un système linéaire :
- fonction de transfert,
- diagramme de Bode.
§ III. : on utilise ces outils d’analyse dans le cas de filtres linéaires simples usuels.
I. Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire
Quadripôle
Tous les quadripôles étudiés seront linéaires et fonctionneront en RSP. On utilisera donc le
formalisme complexe.
ie
ue
is
Zs
Ze
es
us
ue
.
ie
Du point de vue de la charge de sortie (dipôle branché sur la sortie), un quadripôle est modélisable
par un générateur de Thévenin dont l’impédance est appelée « impédance de sortie » :
u s = e s − Z s .i s .
On définit l’impédance d’entrée par Z e =
Fonction de transfert
On définit alors, pour un quadripôle et une charge donnés :
u
S
- la fonction de transfert : H ( jω) = s = ,
ue E
S
- le gain : G ( jω) = H ( jω) = H ( jω) =
,
E
-
le gain en décibel : GdB (ω) = 20 log H ( jω) ,
le déphasage entre l’entrée et la sortie : ϕ(ω) = arg H ( jω) = ϕ s − ϕe .
Représentation d’une fonction de transfert : diagramme de Bode
Le diagramme de Bode consiste à représenter en fonction de log ω (voire log x lorsqu’on peut
définir une pulsation réduite) :
1
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Chapitre 6
-
PTSI
le gain en décibel GdB (ω) ,
- le déphasage ϕ(ω) .
À noter que l’intervalle qui sépare ω et 10×ω est appelé une décade. La pente d’une courbe de gain
en dB est donc exprimée en dB/déc.
Pulsation de coupure
La ou les pulsations de coupures ωc sont telles que :
H (ω )
H (ωc ) = max c ou encore GdB (ωc ) = GdB,max (ωc ) − 20 log 2 ≈ GdB,max (ωc ) − 3 dB .
2
H (ω )
La bande passante est l’intervalle de pulsations ∆ω tel que, ∀ω ∈ ∆ω, H (ω) ≥ max c .
2
II. Filtres linéaires
Généralités sur les filtres
Un filtre est un quadripôle dont la fonction de transfert dépend de ω. Un filtre passif (par opposition
à un filtre actif) ne contient que des dipôles passifs et ne fournit pas d’énergie au signal d’entrée.
II.1. Filtres d’ordre 1
Filtre passe-bas d’ordre 1
i
R
Exemple de circuit réalisant
un tel filtre
Fonction de transfert
H ( j ω)
Fonction de transfert
H ( jx )
Argument de H ( jx )
Pulsation de coupure
Bande passante
ue
C
us
1
1 + jRCω
1
H ( j ω) =
1 + jx
ϕ( x) = − arg(1 + jx ) = − arctan x
1
ωC = ω 0 =
RC
[0; ω0 ]
H ( j ω) =
2
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Chapitre 6
PTSI
Allure du diagramme de
Bode du gain en dB en
fonction de log x
H ( jω) =
Forme générale de la
fonction de transfert d’un
filtre passe bas d’ordre 1
H0
ω
1+ j
ω0
=
H0
1 + jx
Filtre passe-haut d’ordre 1
Exemple de circuit réalisant
un tel filtre
Fonction de transfert
H ( j ω)
Fonction de transfert
H ( jx )
Argument de H ( jx )
Pulsation de coupure
Bande passante
C
ue
R
jRCω
1 + jRCω
jx
H ( j ω) =
1 + jx
π
1
ϕ( x) = − arg(1 + jx ) = arctan
2
x
1
ωC = ω 0 =
RC
[ω0 ;+∞[
H ( j ω) =
3
us
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Chapitre 6
PTSI
Allure du diagramme de
Bode du gain en dB en
fonction de log x
ω
ω0
jx
H ( jω ) = H 0
= H0
ω
1 + jx
1+ j
ω0
j
Forme générale de la
fonction de transfert d’un
filtre passe-haut d’ordre 1
Composition de filtres d’ordre 1
Très souvent une fonction de transfert peut se mettre sous la forme d’un produit ou d’un rapport de
fonctions de transfert d’ordre 1 comme :
ω
1+ j
ω
ω1
H ( j ω) = H 0
avec ω1 > ω 2 et H0 > . Pour le tracé, on prendra H0 = 10 et 1 = 103 .
ω
ω2
1+ j
ω2
1
1
H
On pose alors : H 1 =
et H 2 =
. On a alors H ( jω) = H 0 2 et
ω
ω
H1
1+ j
1+ j
ω1
ω2
GdB (ω) = GdB, 0 + GdB, 2 (ω) − GdB,1 (ω) = 20 log H 0 + 20 log H 2 − 20 log H1
On a ici deux pulsations frontières, il est donc impossible de définir une pulsation réduite. Ces deux
pulsations frontières délimitent 3 domaines où il faut chercher des équivalents. On peut soit utiliser
le tableau proposé en cours soit faire un tracé par sommation des graphes :
GdB (ω) = GdB,0 + GdB, 2 (ω) − GdB,1 (ω) .
Les équivalents de chaque gain en dB, sont donnés ci-dessous :
∀ω : GdB,0,éq = 20 log H 0
ω << ω1 : GdB,1,éq = 0
ω >> ω1 : GdB,1,éq = −20 log
ω
ω1
ω << ω 2 : GdB,2,éq = 0
ω >> ω 2 : GdB,2,éq = −20 log
On obtient le diagramme suivant :
4
ω
ω2
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PTSI
GdB,1
GdB
GdB,0
log ω2
0
log ω
log ω1
–20
–40
–60
GdB,2
La courbe noire finale est donc la somme des courbes rouge et bleue en pointillés.
On procède de même pour le diagramme de Bode de la phase
∀ω : ϕ 0 (ω) = 0
ω << ω1 : ϕ1 (ω) = 0
ϕ(ω) = arg H
= arg H 0 + arg 1 + j
π
2
π
2
ω << ω2 : ϕ 2 (ω) = 0
avec ω >> ω1 : ϕ1 (ω) =
= ϕ0 (ω) + ϕ1 (ω) + ϕ 2 (ω)
ω
ω
− arg 1 + j
ω1
ω2
ω >> ω2 : ϕ 2 (ω) = −
π
2
ϕ
ϕ1
ϕ0
0
log ω1
log ω2
log ω
ϕ
−
π
2
ϕ2
La courbe noire finale est donc la somme des courbes rouge et bleue et pointillés.
5
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Chapitre 6
PTSI
II.2. Filtres d’ordre 2
Filtre passe-bande
i
ue
Exemple de circuit réalisant un
tel filtre
L
H ( jx ) =
1
1 + jQ x −
Argument de H ( jx )
Pulsations de coupure
Bande passante
us
R
1
Lω
1
1+ j
−
R RCω
Lω0
1
ω
1
avec ω0 =
;x=
et Q =
=
ω0
RCω0
R
LC
H ( j ω) =
Fonction de transfert H ( jω)
Fonction de transfert H ( jx )
C
1
x
ϕ( x) == − arctan Q x −
x2C =
1
x
1
1
1
1
+
+ 1 et x1C = −
+
+1
2
2Q
4Q
2Q
4Q 2
ω
ω2C − ω1C = (x2C − x1C )ω0 = 0
Q
Allure du diagramme de Bode
du gain en dB en fonction de
log x
Forme générale de la fonction
de transfert d’un filtre passebande
H0
H ( jω) =
1 + jQ
ω ω0
−
ω0 ω
=
H0
1 + jQ x −
1
x
Remarque : on a en fait un circuit RLC série pour lequel on regarde la résonance en intensité.
6
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Chapitre 6
PTSI
Filtre passe-bas d’ordre 2
i
ue
Exemple de circuit
réalisant un tel filtre
Fonction de transfert
H ( jω)
Fonction de transfert
H ( jx )
Argument de H ( jx )
Variations de GdB
R
L
us
C
1
H ( jω) =
1 − LCω + jRCω
Lω0
1
ω
1
1
H ( jx ) =
avec ω0 =
;x=
et Q =
=
x
ω0
RCω0
R
LC
1 − x2 + j
Q
2
(
)
Q x2 −1
π
− arctan
2
x
1
1
si Q >
GdB ( x) présente un maximum en x = 1 −
. On a alors
2
2Q
2
ϕ( x) == −
GdB,max = 10 log
1
4Q 4
. Si Q <
, alors GdB(x) est strictement décroissante.
2
4Q − 1
2
Allure du diagramme
de Bode du gain en
dB en fonction de log
x
Forme générale de la
fonction de transfert
d’un filtre passe bas
d’ordre 2
H ( jω) =
H0
ω
1−
ω0
2
ω
+j
Qω0
=
H0
1 − x2 + j
x
Q
À noter ici, la pente à – 40 dB/déc dans la partie x > 1. Ce filtre est un meilleur filtre passe bas que
1
son équivalent d’ordre 1 mais présente une amplification parasite pour Q >
(due à la résonance
2
en tension aux bornes du condensateur).
7
Électrocinétique - partie 2
Chapitre 6
PTSI
Remarque : on a en fait un circuit RLC série pour lequel on regarde la résonance en tension aux
bornes du condensateur.
Filtre coupe bande (ou rejecteur)
On donne, à titre documentaire, la forme de la fonction de transfert d’un tel filtre ainsi que l’allure
du diagramme de Bode du gain en dB pour un filtre coupe bande.
1
jQ x −
1
Fonction de transfert
x
H ( jx ) =
=1−
H ( jx )
1
1
1 + jQ x −
1 + jQ x −
x
x
Allure du diagramme de
Bode du gain en dB en
fonction de log x
8