Solutions nulles d`opérateurs aux dérivées partielles à plusieurs

C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 315–318
Équations aux dérivées partielles
Solutions nulles d’opérateurs aux dérivées partielles
à plusieurs variables fuchsiennes
Null-solutions for partial differential operators
with several Fuchsian variables
Malika Belarbi a , Takeshi Mandai b , Mustapha Mechab a
a Laboratoire de mathématiques, Université Djilali Liabès, BP 89, 22000 Sidi Bel Abbès, Algérie
b Research Center for Physics and Mathematics, Osaka Electro-Communication University,
18-8 Hatsu-cho, Neyagawa-shi, Osaka 572-8530, Japan
Reçu le 12 novembre 2002 ; accepté le 9 janvier 2003
Présenté par Yvonne Choquet-Bruhat
Résumé
Reprenant la notion d’opérateur de plusieurs variables fuchsiennes de N.S. Madi (Ann. Mat. Pura Appl. (4) 163 (1993) 1–
15), on étend dans cette Note, les résultats de K. Igari (J. Math. Kyoto Univ. 25 (1985) 341–355) pour démontrer l’existence de
solutions nulles pour certains opérateurs à plusieurs variables fuchsiennes. Pour citer cet article : M. Belarbi et al., C. R. Acad.
Sci. Paris, Ser. I 336 (2003).
 2003 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
Abstract
Taking the concept of operator with several Fuchsian variables of N.S. Madi (Ann. Mat. Pura Appl. (4) 163 (1993) 1–15), the
results of K. Igari (J. Math. Kyoto Univ. 25 (1985) 341–355) are extended in this Note to show the existence of null-solutions
for some of these operators. To cite this article: M. Belarbi et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003).
 2003 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. All rights reserved.
1. Position du problème et notations
Un exemple d’opérateurs différentiels à singularités régulières le long de l’hypersurface initiale (t = 0) est donné
par les opérateurs fuchsiens. Les premiers résultats les plus significatifs, relativement aux opérateurs aux dérivées
partielles fuchsiens, ont été donnés par Baouendi et Goulaouic dans [1]. Dans leur article, ils montrent l’existence
et l’unicité locales d’une solution holomorphe du problème de Cauchy pour certains opérateurs fuchsiens. Si on
Adresses e-mail : [email protected] (M. Belarbi), [email protected] (T. Mandai), [email protected] (M. Mechab).
1631-073X/03/$ – see front matter  2003 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
doi:10.1016/S1631-073X(03)00064-5
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M. Belarbi et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 336 (2003) 315–318
réduit la régularité des solutions, le résultat de [1] n’est plus valable. Dans [2], Igari a pu construire des solutionsdistributions nulles, d’opérateurs fuchsiens, moyennant certaines conditions supplémentaires. L’existence de telles
solutions nulles induit la non unicité de la solution du problème de Cauchy dans ces espaces fonctionnels. Dans [4],
le deuxième auteur a pu étendre la classe d’opérateurs fuchsiens admettant des solutions-distributions nulles.
À partir de [1], Madi a introduit dans [3] la notion d’opérateurs à plusieurs variables fuchsiennes et établit les
mêmes types de résultats pour le problème de Goursat correspondant.
Dans cette Note on a repris la notion d’opérateurs à plusieures variables fuchsiennes pour lesquels on a établi
l’existence de solutions-distributions nulles en imposant des conditions équivalentes à celles de [2].
2. Notations et résultat principal
Pour p ∈ N∗ , le pointgénérique de Cp est noté x = (x1 , . . . , xp ) et, si x et y sont deux points de Cp , on note
2
x · y = i xi yi , |x| :=
i |xi | et x =
i xi . La partie réelle de xi ∈ C est notée Re xi .
Si α = (α1 , . . . , αp ) ∈ Np est un multi-indice, on note |α| = α1 + · · · + αp , la longueur de α, x α = x1α1 · · · xpα1
α
et Dxα = Dxα11 · · · Dxpp , où Dxi = ∂/∂xi est la dérivée par rapport à xi . Si α et β sont deux multi-indices, on dit que
α est inférieur (strictement) à β si αi βi pour tout i et α = β.
Pour un ensemble non vide Ω ⊂ Cq , l’ensemble des fonctions holomorphes au voisinage de Ω est noté O(Ω).
On conviendra d’écrire f = O(x γ ) s’il existe une fonction holomorphe f˜ telle que f (x, y) = x γ f˜(x, y) ou si
f (x)/x γ est bornée quand x est voisin de 0.
Si V est un ouvert non vide de Rp , l’ensemble des fonctions infiniment différentiables sur V à support compact
est noté D(V) = C0∞ (V) et on note D (V; O(Ω)) l’ensemble des distributions à valeurs dans O(Ω). La valeur de
f ∈ D (V; O(Ω)) en g ∈ D(V) est notée :
f, g = f (x, y), g(x) x ou
f (x, y)g(x) dx.
V
désigne l’espace des fonctions de Schwartz (C ∞ à décroissance rapide) et S (Rp ; O(Ω)) l’espace des
distributions tempérées à valeurs dans O(Ω). On pose aussi :
V; O(Ω) = f ∈ D V; O(Ω) ; supp x f ⊂ (R+ )p ,
D+
S(Rp )
N
où supp x f est le support de f par rapport à x ∈ V. De la même manière, on définit C+
(V; O(Ω)) et
p
p
S+ (R ; O(Ω)). Enfin, on note R+ = (0, ∞) et V+ = V ∩ (R+ ) .
On considère l’opérateur aux dérivées partielles :
aα,β (x, y)Dxα Dyβ ,
(1)
P=
|α|+|β|m
où (x, y) ∈ Cp × Cq et aα,β sont des fonctions holomorphes au voisinage de l’origine (0, 0) ∈ Cp × Cq .
β
On appelle poids du monôme aα,β (x, y)Dxα Dy par rapport à x, le plus petit τ ∈ Zp tel que aα,β = O(x α−τ ) et
α − τ ∈ Np .
Définition 2.1 [3]. On dit que P est un opérateur fuchsien, de poids µ ∈ Np par rapport à x, si les trois conditions
suivantes sont vérifiées :
β
(H1 ) Le poids de tout monôme aα,β (x, y)Dxα Dy est inférieur ou égal à µ.
β
(H2 ) Si β = 0, le poids du monôme aα,β (x, y)Dxα Dy est plus petit que µ.
β
(H3 ) Si µi =
0 et β = 0, alors le poids, par rapport à xi , de tout monôme aα,β Dxα Dy est plus petit que µi .
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Pour w ∈ C et l ∈ N, on définit Cl (w) par : C0 (w) = 1 et Cl (w) =
p
Pour λ ∈ Cp et α ∈ Np , on pose : Cα (λ) = i=1 Cαi (λi ).
l−1
j =0 (w
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− j ).
Définition 2.2 [3]. Soit P un opérateur fuchsien. D’après l’hypthèse (H1 ) il existe des fonctions holomorphes
α−µ ã (x, y). On appelle polynôme caractéristique fuchsien de P, le polynôme en λ
ãα,0 telles que aα,0 (x, y)
α,0
= x
défini par : Q(y, λ) = αµ ãα,0 (0, y)Cα−µ (λ).
Définition 2.3. On dit qu’un opérateur de Fuchs P vérifie la condition (A0 ), s’il existe un domaine Ω contenant
y = 0 dans Cq , une fonction λ0 ∈ O(Ω) et une constante C > 0 telles que
y; λ0 (y) ≡ 0 dans Ω,
Q
(2)
m−|µ|
p ∗
Q
0; λ0 (0) + k C 1 + |k|
pour tout k ∈ N .
(3)
On note : λ0 = λ0 (0).
Définition 2.4. On dira qu’une distribution u dans un voisinage de (0, 0) ∈ Rp × Rq est une solution nulle de
l’opérateur P en (0, 0) si Pu = 0 dans un voisinage de (0, 0) et (0, 0) ∈ supp u ⊂ (R+ )p × Rq .
Dans ce qui suit, on va énoncer le résultat principal de cette Note.
Théorème 2.5. Etant donné un opérateur aux dérivées partielles fuchsien P de poids 0 par rapport à x, satisfaisant
la condition (A0 ), alors il existe un voisinage ouvert V de 0 ∈ Rp , un domaine Ω contenant 0 ∈ Cq et une solution
(V; O(Ω)) ∩ C ∞ (V ; O(Ω)).
nulle u de P telle que u ∈ D+
+
3. Ébauche de la démonstration
On commence par introduire la distribution G qui est l’un des outils essentiels pour la construction de notre
solution nulle.
Définition 3.1. Pour tout w ∈ C tel que e w > −1, on pose :
w
t+
t (t > 0),
G(w; t) =
, avec t+ =
0 (t 0),
"(w + 1)
où "(w) est la fonction Gamma d’Euler. Pour l’ordre supérieur (p > 1), on définit :
G(z; x) =
p
G(zi ; xi ).
i=1
Les propriétés fondamentales de cette distribution sont regroupées dans le lemme ci-dessous.
Lemme 3.2.
(1)
(2)
(3)
(4)
(Rp ; O(Cp )) ∩ C ∞ (R ; O(Cp )).
G(z; x) ∈ S+
+
p
Pour α ∈ N , on a Dxα G(z; x) = G(z − α; x) et x α G(z; x) = Cα (z + α)G(z + α; x).
Soit F (λ) un polynôme en λ, alors F (xDx )G(z; x) = F (z)G(z; x).
p
Pour tout η ∈ (R∗+ )p , on a G(z; x), exp(− i=1 xi /ηi )x = ηz+1 , où 1 = (1, . . . , 1).
p
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3.1. Construction de la solution
On cherche la solution sous la forme : u(x, y) = Γ G(ξ ; x)v(x, y; ξ ) dξ où Γ = Γ1 × · · · × Γp , les Γi sont des
courbes fermées simples convenables dans C et v une solution holomorphe dans un voisinage de {(0, 0)} × Γ de
l’équation :
ξ)
Q(y;
,
(4)
p(x, y; xDx + ξ, Dy )v(x, y; ξ ) =
(ξ1 − λ0,1 (y)) · · · (ξp − λ0,p (y))
où on a noté P = p(x, y; xDx , Dy ), car P est de poids nul. L’existence de cette solution est assurée par la condition
(A0 ) et le résultat principal de [3]. En utilisant (4) dans l’expression de u et la première partie de la condition (A0 ),
on obtient :
ξ)
G(ξ ; x)Q(y;
y; λ0 (y) = 0
Pu(x, y) =
dξ = (2πi)p G λ0 (y); x Q
(ξ1 − λ0,1 (y)) · · · (ξp − λ0,p (y))
Γ
(V; O(Ω)) ∩ C ∞ (V ; O(Ω)) est une solution de
et utilisant certaines propriétés de G, on montre que u ∈ D+
+
p
l’équation Pu = 0, où V est la projection sur R d’un domaine ω ⊂ Cp contenant l’origine.
3.2. Support de la solution
On montre que (0, 0) ∈ supp u. Pour tout N ∈ N∗ , on peut écrire les développements suivants :
v(x, 0; ξ ) =
vγ (ξ )x γ + ṽN+1 (x, ξ ),
γ ∈Np , |γ |N
et
u(x, 0) =
uγ (x)x γ + ũN+1 (x),
γ ∈Np , |γ |N
où : uγ (x) = Γ G(ξ ; x)vγ (ξ ) dξ ; |γ | N et ũN+1 (x) = Γ G(ξ ; x)ṽN+1 (x, ξ ) dξ .
Posons ri = min{e ξi ; ξi ∈ Γi } et prenons ηi ∈ N tel que ηi max{−ri , 0}.
Lemme 3.3. Soit X ∈ C0∞ (V), on a :
X (x)ũN+1 (x), e−x/ε x = O εN+1−|η|+p
quand ε → +∞.
En choisissant le diamètre de Γi inférieur à 1/p et (r + 1) > e(λ0 ) ; si N + 1 > |η| + max{e λ0 , 0}
on a :
−x/ε
γ −x/ε
γ −x/ε
=
+ X (x) − 1
uγ (x)x , e
uγ (x)x , e
X (x)u(x, 0), e
x
x
|γ |N
+ X (x)ũN+1 (x), e
|γ |N
−x/ε
x
= (2πi)p ε
λ0 +p
x
0 + o ελ +p = 0,
ce qui montre que 0 ∈ supp u(·, 0).
Références
[1]
[2]
[3]
[4]
M.S. Baouendi, C. Goulaouic, Cauchy problem with characteristic initial hypersurface, Comm. Pure Appl. Math. 26 (1973) 455–475.
K. Igari, Non unicité dans le problème de Cauchy caractéristique – cas de type de Fuchs, J. Math. Kyoto Univ. 25 (1985) 341–355.
N.S. Madi, Solutions locales pour des opérateurs holomorphes fuchsiens en plusieurs variables, Ann. Math. Pura Appl. (4) 163 (1993) 1–15.
T. Mandai, Existence of distribution null-solutions for every Fuchsian partial differential operator, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 5 (1998) 1–18.