Programme de colles S32 - MPSI Saint

MPSI Lycée Rabelais
Semaine du 3+29 juin 2009
Programme de colles S32
NB :
seules les démonstrations des théorèmes, propositions étoilées ne sont pas exigées.
Espaces vectoriels euclidiens
Produit scalaire
Définition : Soit E un R-e.v. On appelle produit scalaire sur E, toute application Φ : E 2 → R qui est :
• symétrique : pour tous ~x et ~y dans E, Φ(~x, ~y ) = Φ(~y , ~x) ;
• bilinéaire : linéaire par rapport à chaque variable ;
• positive : pour tout ~x dans E, Φ(~x, ~x) ≥ 0 ;
• définie-positive : pour tout ~x dans E, si Φ(~x, ~x) = 0, alors ~x = 0E .
Dans ce cas, on notera pour tous vecteurs ~x et ~
y de E : Φ(~x, ~y) = (~x | ~y ).
Définition : Un R-e.v de dim finie E muni d’un produit scalaire (· | ·) est appelé espace vectoriel euclidien (e.v.e).
p
Définition : Pour tout ~x ∈ E, le réel (~x | ~x) est positif. On note k~xk = (~x | ~x) la norme euclidienne de ~x.
Proposition.— Identités de polarisation —. Soit E un e.v.e. Pour tous vecteurs ~x et ~y dans E,
•
k~x + ~
y k2 = k~xk2 + 2(~x | ~
y ) + k~yk2
• (~x | ~y) =
1
4
k~x + ~yk2 − k~x − ~yk2
.
Théorème.— Soit E un e.v.e , (~x, ~y ) ∈ E 2 . Alors :
Inégalité de Cauchy-Schwarz |(~x | ~y)| ≤ k~xk · k~yk avec égalité ssi ~x et ~y sont colinéaires.
Inégalité triangulaire k~x + ~yk ≤ k~xk + k~yk avec égalité ssi ~x et ~y sont colinéaires et de même sens.
Familles orthogonales, orthonormales
Définition : Soit E un e.v.e.. Soit ~x, ~y , ~x1 , . . . , ~xp des vecteurs de E. On dit que :
• ~x et ~y sont orthogonaux si (~x | ~y ) = 0 ;
• la famille (~x1 , · · · , ~xp ) est orthogonale si ∀(i, j) ∈ [[1, p]]2 , i 6= j ⇒ (~xi | ~xj ) = 0 ;
• la famille (~x1 , · · · , ~xp ) est orthonormale si ∀(i, j) ∈ [[1, p]]2 , (~xi | ~xj ) = δij ;
• la famille (~x1 , · · · , ~xn ) est une base orthonormée (BON) de E si c’est une base et une famille orthonormale.
Proposition.— Dans un e.v.e., toute famille orthonormale est libre.
Théorème.— Orthonormalisation de Gram-Schmidt —. Soit E un e.v.e. et (~e1 , · · · , ~ep ) une famille libre de vecteurs.
Alors, il existe une famille orthonormale (~ǫ1 , · · · ,~ǫp ) telle que ∀k ∈ [[1, p]], Vect (~e1 , . . . , ~ek ) = Vect (~ǫ1 , . . . ,~ǫk ).
Savoir-faire : orthonormaliser une famille libre à l’aide du procédé d’orthonormalisation de G-S.
Corollaire.— TBONI —. Un espace vectoriel euclidien E possède des BON. Plus précisément, toute famille orthonormale de E peut être complétée en une base orthonormée de E.
Proposition.—
Calculs en BON
Pn
Pn —. Soit E un e.v.e. rapporté à une BON B = (~e1 , . . . , ~en ).
Soit ~x = i=1 xi · ~ei et ~y = i=1 yi · ~ei des vecteurs de E, alors
•
~x =
n
X
(~x|~ei ) · ~ei ,
•
(~x|~y) =
n
X
xi ~yi ,
i=1
i=1
•
k ~xk2 =
n
X
x2i
i=1
Orthogonal d’une partie, projecteurs orthogonaux, symétries orthogonales
Définition : Soit E un e.v.e. et A une partie de E. On appelle orthogonal de A, et on note A⊥ l’ensemble des
vecteurs de E orthogonaux à tous les vecteurs de A : A⊥ = {~x ∈ E | ∀a ∈ A, (~x | a) = 0}.
Remarque : A⊥ est toujours un sous-e.v de E, même si A ne l’est pas.
1
Proposition.— Supplémentaire orthogonal —.
supplémentaires F ⊕ F ⊥ = E.
Soit E un e.v.e. et F un sous-e.v de E. Alors F et F ⊥ sont
Vocabulaire : F ⊥ est le seul sev orthogonal et supplémentaire de F . On l’appelle le supplémentaire orthogonal de F .
Définition : Soit F un sous-espace d’un espace vectoriel euclidien E.
• La projection orthogonale pF : E → E est la projection sur F parallèlement à F ⊥ .
• La symétrie orthogonale sF : E → E est la symétrie par rapport à F , parallèlement à F ⊥ .
Proposition.— Propriétés du projeté orthogonal —. Soit E un e.v.e. et pF : E → E la projection orthogonale sur
un sous-espace F . Pour tout vecteur x, le projeté orthogonal de ~x sur F est caractérisé par
le vecteur pF (~x) appartient à F ;
le vecteur ~x − pF (~x) appartient à F ⊥ .
De plus, pour tout vecteur ~y de F , k~x − pF (~x)k ≤ k~x − ~yk.
Conséquence : k~x − pF (~x)k est la distance minimale entre ~x et un vecteur de F . On note d(~x, F ) = k~x − pF (~x)k.
Proposition.— Expression de pF en BON —.
∀~x ∈ E,
Soit E un e.v.e., F un sev de E rapporté à une BON (~e1 , . . . , ~ep ).
pF (~x) =
p
X
(~x | ~ei ) · ~ei
i=1
Savoir-faire : construire la matrice représentative d’une projection, calculer la distance d’un vecteur à un sous-espace
en construisant pF , avec ou sans BON de F ! !
Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales
Définition : Soit E un e.v.e., f ∈ L(E) un endomorphisme de E. On dit que f est un automorphisme orthogonal
s’il préserve le produit scalaire, i.e. ∀(~x, ~y) ∈ E 2 , (f (~x) | f (~y ) = (~x | ~y).
Proposition*.— Groupe orthogonal O(E) —. Soit E un e.v.e.
Tout automorphisme orthogonal sur E est bijectif et Detf = ±1.
L’ensemble des automorphismes orthogonaux forme un sous-groupe de (GL(E), ◦), appelé groupe orthogonal
de E et noté O(E).
L’ensemble des automorphismes orthogonaux de déterminant égal à 1 forme un sous-groupe de (O(E), ◦), appelé
groupe spécial orthogonal de E et noté SO(E).
Proposition*.— Caractérisations des automorphismes orthogonaux —. Soit f ∈ L(E) un endomorphisme d’un
e.v.e. E. Les asse :
~
w • f est un automorphisme orthogonal : ∀(~x, ~y ) ∈ E 2 , (f (~x) | f (~y )) = (~x | ~y ) ;
w
w • f préserve la norme : ∀~x ∈ E, kf (~x)k = k~xk ;
w
 • Pour toute BON ~e1 , · · · , ~en de E, f (~e1 ), · · · , f (~en ) est une BON.
Vocabulaire : un automorphisme orthogonal est aussi appelé une isométrie vectorielle.
Définition : Soit n ∈ N⋆ . On dit que la matrice Ω ∈ Mn (R) est orthogonale si : t Ω · Ω = In . On note On (R)
l’ensemble des matrices orthogonales.
Proposition*.— Groupe orthogonal On (R) —. Soit n ∈ N⋆ .
Toute matrice orthogonale Ω est inversible et Ω−1 =t Ω. En particulier Det(Ω) = ±1.
(On (R), ×) est un sous-groupe de (GLn (R), ×), appelé groupe orthogonal d’ordre n.
L’ensemble SOn (R) des matrices orthogonales de déterminant égal à 1 est un sous-groupe de (On (R), ×), appelé
groupe spécial orthogonal.
Proposition*.— Caractérisation des matrices orthogonales —. Soit Ω ∈ Mn (R). Notons C1 , . . . , Cn les colonnes
de Ω. Les asse :
~
w • Ω ∈ On (R)
w
 • (C1 , . . . , Cn ) est une b.o.n. de Mn,1 (R)
2
Proposition*.— Liens entre automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales —.
Soit f ∈ L(E) un endomorphisme d’un e.v.e. de dimension n rapporté à une BON B. Alors, f est orthogonal si
et seulement si la matrice MB (f ) est orthogonale dans On (R).
Réciproquement, soit n ∈ N⋆ un entier et Ω ∈ Mn (R). On note f : Rn → Rn l’application linéaire canoniquement
associée à Ω. Alors, Ω est orthogonale si et seulement si f est un automorphisme orthogonal de Rn .
Isométries du plan et de l’espace
Isométries du plan
Théorème*.— Structure de O2 (R) —. Le groupe O2 (R) des matrices orthogonales d’ordre 2 est constitué de deux
types de matrices :
cos θ − sin θ
◮ Les matrices R(θ) =
, pour θ ∈ R. Les matrices R(θ) sont les matrices orthogonales directes,
sin θ
cos θ
elles forment le groupe spécial orthogonal SO2 (R). Ce sont les matrices représentatives en BON des rotations
vectorielles.
cos θ
sin θ
◮ Les matrices S(θ) =
, pour θ ∈ R. Les matrices S(θ) sont les matrices orthogonales indirectes.
sin θ − cos θ
Ce sont les matrices représentatives en BON des réflexions.
Théorème*.— Structure de O(E) —. soit E un eve de dim 2 et f ∈ O(E).
◮ Si Det(f ) = 1, alors f est une rotation.
◮ Si Det(f ) = −1, alors f est une réflexion.
Isométries de l’espace
Définition : Rotation de l’espace —. Soit ~u un vecteur non nul de E, et θ ∈ R. On note D = Vect (~u) et P = D⊥ .
La rotation d’axe D et d’angle θ est l’endomorphisme Rotu~ ,θ ∈ L(E) tel que
• les vecteurs de D sont invariants par f ;
• la restriction de f au plan P , muni de l’orientation induite par celle de D est la rotation plane d’angle θ.
Proposition.— Représentation matricielle d’une rotation —. Soient ~u ∈ E un vecteur unitaire, θ ∈ R et B =
(~u, ~v , w)
~ une BOND de E. Soit r = Rotu~ ,θ la rotation d’axe D = Vect (~u) et d’angle θ. Alors

1
MB (r) =  0
0
0
cos θ
sin θ

0
− sin θ 
cos θ
Proposition*.— Soit Rotu~ ,θ la rotation d’angle θ et d’axe dirigé et orienté par ~u. On note A la matrice représentative
de Rotu~ ,θ dans une base B de E. Alors :
• Tr (A) = 2 cos θ + 1 ;
• si ~x est non colinéaire à ~u, alors sin θ est du signe du produit mixte [~u, ~x, f (~x)]
Proposition.— Représentation matricielle d’une réflexion —. Soit s ∈ O(E) la réflexion par rapport à un plan P .
Si B = (~u, ~v , w)
~ est une base orthonormée directe de E telle que (~u, ~v ) soit une BOND de P , alors

1 0
MB (s) =  0 1
0 0

0
0 
−1
Théorème*.— Structure de O(E) —. Soit E un e.v.e de dim 3 et f ∈ O(E). On note F = Ker (f − IdE ).
◮ Si dim R F = 3, alors f est l’identité ;
◮ Si dim R F = 2, alors f est la réflexion par rapport au plan F
◮ Si dim R F = 1, alors f est une rotation d’axe F
◮ Si dim R F = 0, alors f est la composée commutative d’une réflexion par rapport à un plan P et d’une rotation
d’axe P ⊥ .
Savoir-faire : déterminer la nature et les éléments caractéristiques d’une isométrie vectorielle.
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